Энэ нийтлэлд бид яаж гэдгийг харуулах болно тригонометрийн өнцөг, тооны синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт. Энд бид тэмдэглэгээний талаар ярилцаж, бичлэгийн жишээг өгч, график дүрслэлийг өгөх болно. Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометр, геометрийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтуудын хооронд параллель зурна.

Хуудасны навигаци.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт

Сургуулийн математикийн хичээлд синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн ойлголт хэрхэн бүрэлдэж байгааг авч үзье. Геометрийн хичээлд тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг өгдөг. Дараа нь тригонометрийг судалдаг бөгөөд энэ нь эргэлтийн өнцөг ба тоонуудын синус, косинус, тангенс, котангенсыг илэрхийлдэг. Бид энэ бүх тодорхойлолтыг өгч, жишээ болгон өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгдөг.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг

Геометрийн хичээлээс тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэддэг. Тэдгээрийг тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаагаар өгсөн болно. Бид тэдний жорыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синуснь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн косинуснь зэргэлдээх хөлний гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенснь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн котангенснь зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Мөн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдэглэгээг энд оруулав - sin, cos, tg, ctg тус тус.

Жишээлбэл, хэрэв ABC нь тэгш өнцөгт C өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бол хурц өнцөгт A-ийн синус нь эсрэг талын BC хөлийг AB гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл sin∠A=BC/AB.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын мэдэгдэж буй уртаас хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг тооцоолох боломжийг олгодог. мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэсинус, косинус, тангенс, котангенс ба аль нэг талын уртыг ашиглан нөгөө талуудын уртыг олно. Жишээлбэл, хэрэв бид тэгш өнцөгт гурвалжинд АС хөл 3, AB гипотенуз 7 гэдгийг мэдсэн бол цочмог А өнцгийн косинусыг cos∠A=AC/AB=3/7 гэсэн тодорхойлолтоор тооцоолж болно.

Эргэлтийн өнцөг

Тригонометрийн хувьд тэд өнцгийг илүү өргөнөөр харж эхэлдэг - тэд эргэлтийн өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлдэг. Эргэлтийн өнцөг нь хурц өнцгөөс ялгаатай нь 0-ээс 90 градусын хүрээгээр хязгаарлагдахгүй, эргэлтийн өнцгийг градусаар (болон радианаар) −∞-аас +∞ хүртэлх бодит тоогоор илэрхийлж болно.

Энэ үүднээс авч үзвэл синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь хурц өнцөг байхаа больсон, харин дурын хэмжээтэй өнцөг буюу эргэлтийн өнцөг юм. Тэдгээр нь тэгш өнцөгт декартын координатын системийн эхлэл болох О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргэлдсэний дараа A(1, 0) анхны цэг гэж нэрлэгддэг цэгийг дайран өнгөрөх A 1 цэгийн х ба у координатуудаар өгөгдсөн. ба нэгж тойргийн төв.

Тодорхойлолт.

Эргэлтийн өнцгийн синусα нь A 1 цэгийн ординат, өөрөөр хэлбэл sinα=y .

Тодорхойлолт.

эргэлтийн өнцгийн косинусα-г А 1 цэгийн абсцисса гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл cosα=x .

Тодорхойлолт.

Эргэлтийн өнцгийн тангенсα нь А 1 цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл tgα=y/x .

Тодорхойлолт.

Эргэлтийн өнцгийн котангенсα нь А 1 цэгийн абсциссыг ординаттай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл ctgα=x/y .

Синус ба косинусыг аль ч өнцгийн хувьд тодорхойлно α , учир нь бид үргэлж цэгийн абсцисса ба ординатыг тодорхойлж чаддаг бөгөөд энэ нь эхлэлийн цэгийг α өнцгөөр эргүүлснээр олж авдаг. Мөн тангенс ба котангенс нь ямар ч өнцгийн хувьд тодорхойлогдоогүй. Анхны цэг нь тэг абсцисса (0, 1) эсвэл (0, −1) цэг рүү очдог α өнцгийн хувьд шүргэгч тодорхойлогдоогүй бөгөөд энэ нь 90°+180° k , k∈Z өнцөгт явагдана. (π /2+π к рад). Үнэн хэрэгтээ ийм эргэлтийн өнцөгт tgα=y/x илэрхийлэл нь тэгээр хуваагдахыг агуулдаг тул утгагүй юм. Котангентын хувьд α-ийн өнцгийн хувьд эхлэлийн цэг нь ординат тэг (1, 0) эсвэл (−1, 0) цэг рүү очиход тодорхойлогдоогүй бөгөөд энэ нь 180 ° k өнцгийн хувьд тохиолддог. k ∈Z (π к рад).

Тэгэхээр синус ба косинусыг ямар ч эргэлтийн өнцөгт, шүргэгчийг 90°+180° k , k∈Z (π/2+π к рад)-аас бусад бүх өнцөгт, котангенсыг 180-аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлно. ° ·k , k∈Z (π·k рад).

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан тэмдэглэгээ нь sin, cos, tg, ctg гэсэн тодорхойлолтуудад гарч ирдэг бөгөөд тэдгээр нь эргэлтийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тэмдэглэхэд хэрэглэгддэг (заримдаа та тангенс ба тангенстай харгалзах tan, cot тэмдэглэгээг олж болно. котангенс). Тэгэхээр 30 градусын эргэлтийн өнцгийн синусыг sin30° гэж бичиж болох ба tg(−24°17′) ба ctgα бичлэгүүд нь эргэлтийн өнцгийн тангенс -24 градус 17 минут, эргэлтийн өнцгийн котангенс α-тай тохирч байна. . Өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг бичихдээ "рад" гэсэн тэмдэглэгээг ихэвчлэн орхигдуулдаг гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, гурван пи радын эргэлтийн өнцгийн косинусыг ихэвчлэн cos3 π гэж тэмдэглэдэг.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд эргэлтийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тухай ярихдаа "эргэлтийн өнцөг" гэсэн хэллэг эсвэл "эргэлт" гэсэн үгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл, "альфа эргэлтийн өнцгийн синус" гэсэн хэллэгийн оронд "альфа өнцгийн синус" гэсэн хэллэгийг ихэвчлэн ашигладаг, эсвэл бүр богино - "альфагийн синус" гэсэн үг юм. Косинус, тангенс, котангенст мөн адил хамаарна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь 0-ээс 90 хүртэлх эргэлтийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тухай сая өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байна гэж бодъё. градус. Үүнийг бид нотлох болно.

Тоонууд

Тодорхойлолт.

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс t нь эргэлтийн өнцгийн t радиан дахь синус, косинус, тангенс, котангенстай тэнцүү тоо юм.

Жишээлбэл, 8 π косинус нь тодорхойлолтоор 8 π рад өнцгийн косинустай тэнцүү тоо юм. Мөн өнцгийн косинус нь 8 π рад байна нэгтэй тэнцүү, тиймээс 8 π тооны косинус нь 1-тэй тэнцүү байна.

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Энэ нь бодит тоо t бүрт тэгш өнцөгт координатын системийн эхэнд төвлөрсөн нэгж тойргийн цэгийг оноож, синус, косинус, тангенс, котангенсыг энэ цэгийн координатаар тодорхойлно. Энэ талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Бодит тоо ба тойргийн цэгүүдийн хоорондын захидал харилцаа хэрхэн тогтоогдсоныг харуулъя.

• 0 тоо нь A(1, 0) эхлэлийн цэгийг өгсөн;
• эерэг тоо t нь нэгж тойргийн цэгтэй холбоотой бөгөөд хэрэв бид тойргийн эргэн тойронд эхлэх цэгээс цагийн зүүний эсрэг хөдөлвөл бид хүрэх болно. замаар явцгааяурт t;
• сөрөг тоо t нь нэгж тойргийн цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд хэрэв бид тойргийн эхлэл цэгээс цагийн зүүний дагуу хөдөлж, |t| урттай замаар явбал бид хүрэх болно. .

Одоо t тооны синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд руу шилжье. t тоо нь A 1 (x, y) тойргийн цэгтэй тохирч байна гэж үзье (жишээлбэл, &pi/2; тоо нь A 1 (0, 1) цэгтэй тохирч байна).

Тодорхойлолт.

Тооны синус t нь t тоонд харгалзах нэгж тойргийн цэгийн ординат, өөрөөр хэлбэл sint=y .

Тодорхойлолт.

Тооны косинус t тоонд харгалзах нэгж тойргийн цэгийн абсцисса гэж t , өөрөөр хэлбэл зардал=x .

Тодорхойлолт.

Тооны тангенс t нь t тоонд харгалзах нэгж тойргийн цэгийн абсцисстай ординатыг харьцаа, өөрөөр хэлбэл tgt=y/x. Өөр нэг ижил томъёололд t тооны шүргэгч нь энэ тооны синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл tgt=sint/cost .

Тодорхойлолт.

Тооны котангенс t нь t тоонд харгалзах нэгж тойргийн цэгийн ординатад абсцисс хоорондын харьцаа, өөрөөр хэлбэл ctgt=x/y. Өөр нэг томъёолол нь дараах байдалтай байна: t тооны шүргэгч нь t тооны косинусыг t тооны синустай харьцуулсан харьцаа юм: ctgt=cost/sint .

Дөнгөж өгсөн тодорхойлолтууд нь энэ дэд хэсгийн эхэнд өгсөн тодорхойлолттой тохирч байгааг энд тэмдэглэж байна. Үнэн хэрэгтээ t тоонд тохирох нэгж тойргийн цэг нь эхлэлийн цэгийг t радианы өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан цэгтэй давхцдаг.

Мөн энэ зүйлийг тодруулах нь зүйтэй юм. Бидэнд sin3 оруулга байна гэж бодъё. 3-ын тооны синус эсвэл 3 радианы эргэлтийн өнцгийн синусыг хэрхэн ойлгох вэ? Энэ нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой харагддаг, эс тэгвээс энэ нь хамаагүй байж магадгүй юм.

Өнцгийн болон тоон аргументуудын тригонометрийн функцууд

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн тодорхойлолтуудын дагуу эргэлтийн өнцөг бүр α нь сайн тодорхойлсон утгатай sin α , түүнчлэн cos α утгатай тохирч байна. Түүнчлэн, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π к рад) -аас бусад бүх эргэлтийн өнцөг нь tgα, 180° k , k∈Z (π k рад) -аас бусад утгатай тохирч байна. нь ctgα-ийн утгууд юм. Тиймээс sinα, cosα, tgα, ctgα нь α өнцгийн функцууд юм. Өөрөөр хэлбэл эдгээр нь өнцгийн аргументын функцууд юм.

Үүнтэй адилаар бид тоон аргументийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн функцүүдийн талаар ярьж болно. Үнэн хэрэгтээ, бодит тоо t бүр нь sint-ийн сайн тодорхойлсон утгатай тохирч байна, түүнчлэн зардал . Түүнчлэн, π/2+π·k , k∈Z-ээс бусад бүх тоонууд нь tgt утгатай, π·k , k∈Z тоонууд нь ctgt утгатай тохирно.

Синус, косинус, тангенс, котангенс функцуудыг нэрлэдэг гол тригонометрийн функцууд .

Бид өнцгийн аргумент эсвэл тоон аргументийн тригонометрийн функцуудтай харьцаж байгаа нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой харагддаг. Үгүй бол бид бие даасан хувьсагчийг өнцгийн хэмжүүр (өнцгийн аргумент) болон тоон аргумент гэж үзэж болно.

Гэхдээ тус сургууль голчлон суралцдаг тоон функцууд, өөрөөр хэлбэл аргументууд, түүнчлэн тэдгээрийн харгалзах функцын утгууд нь тоо байдаг функцууд. Тиймээс, хэрэв бид функцүүдийн тухай ярьж байгаа бол тригонометрийн функцийг тоон аргументуудын функц гэж үзэхийг зөвлөж байна.

Геометр ба тригонометрийн тодорхойлолтуудын холболт

Хэрэв бид α-ийн эргэлтийн өнцгийг 0-ээс 90 градусын хооронд авч үзвэл эргэлтийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтын тригонометрийн агуулга дахь өгөгдөл нь синус, косинусын тодорхойлолттой бүрэн нийцдэг. , геометрийн хичээлд өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс ба котангенс. Үүнийг үндэслэлтэй болгоё.

Тэгш өнцөгт декартын координатын Окси системд нэгж тойрог зур. A(1, 0) эхлэх цэгийг анхаарна уу. Үүнийг 0-ээс 90 градусын хооронд α өнцгөөр эргүүлье, бид A 1 (x, y) цэгийг авна. А 1 цэгээс Ox тэнхлэг рүү перпендикуляр A 1 H буулгая.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд A 1 OH өнцөг байгааг харахад хялбар байдаг өнцөгтэй тэнцүү байнаэргэх α , энэ булантай зэргэлдээх OH хөлийн урт нь A 1 цэгийн абсциссатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл |OH|=x, A 1 H булангийн эсрэг талын хөлийн урт нь ординаттай тэнцүү байна. цэгийн A 1 , өөрөөр хэлбэл |A 1 H|=y ба гипотенузын урт OA 1 нь нэгж тойргийн радиус тул нэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь геометрийн тодорхойлолтоор A 1 OH тэгш өнцөгт гурвалжны α цочмог өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Мөн тригонометрийн тодорхойлолтоор α эргэлтийн өнцгийн синус нь A 1 цэгийн ординаттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sinα=y байна. Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синусын тодорхойлолт нь α-ийн 0-ээс 90 градусын эргэлтийн өнцгийн α-ийн синусын тодорхойлолттой тэнцэж байгааг харуулж байна.

Үүний нэгэн адил цочмог өнцгийн косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь α эргэлтийн өнцгийн косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолттой нийцэж байгааг харуулж болно.

Ном зүй.

1. Геометр. 7-9 анги: судалдаг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Л. С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев болон бусад]. - 20 дахь хэвлэл. М.: Боловсрол, 2010. - 384 х.: өвчтэй. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А.В.Геометр: Proc. 7-9 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. V. Погорелов. - 2-р хэвлэл - М.: Гэгээрэл, 2001. - 224 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебр ба энгийн функцууд: Заавар 9-р ангийн сурагчдад зориулсан ахлах сургууль/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор О.Н.Головин найруулсан - 4-р хэвлэл. Москва: Боловсрол, 1969 он.
4. Алгебр:Прок. 9 эсийн хувьд. дундаж сургууль / Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Гэгээрэл, 1990.- 272 х.: Өвч.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебрболон шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorova.- 14-р хэвлэл.- М.: Гэгээрэл, 2004.- 384 х.: илл.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордкович А.Г.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-р анги. 2 х. 1-р бүлэгт: зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд (профайлын түвшин)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-р хэвлэл, нэмэх. - М.: Mnemosyne, 2007. - 424 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин /[Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ed. A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - I .: Боловсрол, 2010. - 368 х.: Өвчтэй. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Гэгээрэл, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Тригонометр бол тригонометрийн функц, тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн хөгжил нь эртний Грекийн үеэс эхэлсэн. Дундад зууны үед энэ шинжлэх ухааныг хөгжүүлэхэд Ойрхи Дорнод, Энэтхэгийн эрдэмтэд чухал хувь нэмэр оруулсан.

Энэхүү нийтлэл нь тригонометрийн үндсэн ойлголт, тодорхойлолтод зориулагдсан болно. Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг авч үздэг. Тэдний геометрийн утгыг тайлбарлаж, дүрсэлсэн болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Эхлээд аргумент нь өнцөг болох тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаагаар илэрхийлсэн.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Өнцгийн синус (sin α) нь энэ өнцгийн эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус (cos α) нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс (t g α) нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс (c t g α) нь зэргэлдээх хөлийг эсрэг талынхтай харьцуулсан харьцаа юм.

Эдгээр тодорхойлолтыг тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөгт өгсөн болно!

Нэг жишээ хэлье.

Тэгш өнцөгт C өнцөгтэй ABC гурвалжинд А өнцгийн синус нь ВС хөл ба гипотенуз AB-ийн харьцаатай тэнцүү байна.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь гурвалжны талуудын мэдэгдэж буй уртаас эдгээр функцүүдийн утгыг тооцоолох боломжийг олгодог.

Санах нь чухал!

Синус ба котангенсийн утгын хүрээ: -1-ээс 1 хүртэл. Өөрөөр хэлбэл, синус ба косинус нь -1-ээс 1 хүртэлх утгыг авдаг. Шүргэдэг ба котангенсийн утгуудын хүрээ нь бүхэл тооны шугам, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь функцууд ямар ч утгыг авч болно.

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолтууд нь хурц өнцөгт хамаарна. Тригонометрийн хувьд эргэлтийн өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд түүний утга нь хурц өнцгөөс ялгаатай нь 0-ээс 90 градусын хүрээгээр хязгаарлагдахгүй. Эргэлтийн өнцгийг градусаар эсвэл радианаар илэрхийлсэн ямар ч бодит тоогоор илэрхийлнэ - ∞-ээс + ∞ хүртэл.

Энэ нөхцөлд дурын хэмжигдэхүүнтэй өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлж болно. Декартын координатын системийн эхэнд төвлөрсөн нэгж тойрог гэж төсөөлөөд үз дээ.

Координаттай (1 , 0) A эхлэл цэг нь нэгж тойргийн төвийг α өнцгөөр тойрон эргэлдэж, А 1 цэг рүү очдог. Тодорхойлолтыг А 1 (x, y) цэгийн координатаар дамжуулан өгсөн болно.

Эргэлтийн өнцгийн синус (нүгэл).

Эргэлтийн өнцгийн синус α нь A 1 (x, y) цэгийн ординат юм. sinα = у

Эргэлтийн өнцгийн косинус (cos).

Эргэлтийн өнцгийн косинус α нь A 1 (x, y) цэгийн абсцисса юм. cos α = x

Эргэлтийн өнцгийн тангенс (тг).

Эргэлтийн өнцгийн тангенс α нь A 1 (x, y) цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. t g α = y x

Эргэлтийн өнцгийн котангенс (ctg).

Эргэлтийн өнцгийн котангенс α нь A 1 (x, y) цэгийн абсциссыг түүний ординаттай харьцуулсан харьцаа юм. c t g α = x y

Эргэлтийн аль ч өнцгийн хувьд синус ба косинусыг тодорхойлно. Эргүүлсний дараах цэгийн абсцисса ба ординатыг дурын өнцгөөр тодорхойлж болох тул энэ нь логик юм. Тангенс ба котангенсийн хувьд байдал өөр байна. Эргүүлсний дараах цэг нь тэг абсцисса (0 , 1) ба (0 , - 1) цэг рүү очиход шүргэгч тодорхойлогдоогүй болно. Ийм тохиолдолд t g α = y x шүргэгчийн илэрхийлэл нь тэгээр хуваагдахыг агуулж байгаа тул утгагүй болно. Нөхцөл байдал котангентын хувьд ижил төстэй байна. Ялгаа нь цэгийн ординат алга болсон тохиолдолд котангенс тодорхойлогдоогүйд оршино.

Санах нь чухал!

Синус ба косинусыг дурын α өнцгийн хувьд тодорхойлно.

Тангенс нь α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Котангенс нь α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Шийдвэр гаргахдаа практик жишээнүүд"Эргэлтийн өнцгийн синус α" гэж бүү хэл. "Эргэлтийн өнцөг" гэсэн үгсийг зүгээр л орхигдуулсан нь контекстээс юу болж байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон гэсэн үг юм.

Тоонууд

Тооны эргэлтийн өнцгийг бус синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг яах вэ?

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс тсинус, косинус, тангенс, котангенстай тэнцүү тоо гэж нэрлэдэг традиан.

Жишээлбэл, 10 π-ийн синус нь 10 π рад-ийн эргэлтийн өнцгийн синустай тэнцүү байна.

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Аливаа бодит тоо тНэгж тойргийн цэгийг тэгш өнцөгт декартын координатын системийн гарал үүслийн төвтэй тохирч байна. Синус, косинус, тангенс, котангенсыг энэ цэгийн координатаар тодорхойлно.

Тойрог дээрх эхлэх цэг нь координаттай (1 , 0) А цэг юм.

эерэг тоо т

Сөрөг тоо тнь тойргийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг хөдөлж, t замыг өнгөрвөл эхлэх цэг шилжих цэгтэй тохирч байна.

Тойрог дээрх тоо ба цэгийн хоорондох холбоо тогтоогдсон тул бид синус, косинус, тангенс, котангенсын тодорхойлолт руу шилжлээ.

t тооны синус (нүгэл).

Тооны синус т- тоонд тохирох нэгж тойргийн цэгийн ординат т. sin t = y

Косинус (cos) t

Тооны косинус т- тоонд тохирох нэгж тойргийн цэгийн абсцисса т. cos t = x

Тангенс (тг) t

Тооны тангенс т- тоонд харгалзах нэгж тойргийн цэгийн ординатыг абсцисстай харьцуулсан харьцаа т. t g t = y x = sin t cos t

Сүүлчийн тодорхойлолтууд нь энэ хэсгийн эхэнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байгаа бөгөөд зөрчилдөхгүй. Тоотой тохирох тойрог дээр заа т, өнцгөөр эргүүлсний дараа эхлэлийн цэг өнгөрөх цэгтэй давхцдаг традиан.

Өнцгийн болон тоон аргументуудын тригонометрийн функцууд

α өнцгийн утга бүр нь энэ өнцгийн синус ба косинусын тодорхой утгатай тохирч байна. α = 90 ° + 180 ° · k -ээс бусад бүх α өнцөгтэй адил k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) нь шүргэгчийн тодорхой утгатай тохирч байна. Дээр дурдсанчлан котангенс нь α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -ээс бусад бүх α-д тодорхойлогддог.

sin α , cos α , t g α , c t g α нь альфа өнцгийн функцууд буюу өнцгийн аргументийн функцууд гэж бид хэлж болно.

Үүний нэгэн адил синус, косинус, тангенс, котангенсыг тоон аргументийн функц гэж хэлж болно. Бодит тоо бүр ттооны синус эсвэл косинусын тодорхой утгатай тохирч байна т. π 2 + π · k , k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонууд шүргэгчийн утгатай тохирч байна. Котангенс нь π · k , k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонуудын хувьд адилхан тодорхойлогддог.

Тригонометрийн үндсэн функцууд

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн функцууд юм.

Бид тригонометрийн функцийн аль аргументыг (өнцгийн аргумент эсвэл тоон аргумент) авч үзэж байгаа нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг.

0-ээс 90 градусын хооронд байрлах альфа өнцгийн тодорхойлолт ба хамгийн эхэнд байгаа өгөгдөл рүү буцъя. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тригонометрийн тодорхойлолтууд нь бүрэн нийцдэг геометрийн тодорхойлолтууд, тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаагаар өгөгдсөн. Үүнийг үзүүлье.

Тэгш өнцөгт декартын координатын систем дээр төвлөрсөн нэгж тойргийг ав. А (1, 0) цэгийг 90 хүртэл өнцгөөр эргүүлж, үүссэн A 1 (x, y) цэгээс х тэнхлэгт перпендикуляр зуръя. Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинд A 1 O H өнцөг нь эргэлтийн өнцөг α, хөлний урт O H нь A 1 (x, y) цэгийн абсциссатай тэнцүү байна. Булангийн эсрэг талын хөлийн урт нь A 1 (x, y) цэгийн ординаттай тэнцүү бөгөөд энэ нь нэгж тойргийн радиус тул гипотенузын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Геометрийн тодорхойлолтын дагуу α өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

нүгэл α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синусын харьцаагаар дамжуулан тодорхойлох нь альфа нь 0-ээс 90 градусын хооронд байрлах эргэлтийн өнцгийн α-ийн синусын тодорхойлолттой тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар косинус, тангенс, котангенсийн хувьд тодорхойлолтуудын нийцлийг харуулж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Синус нь тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг бөгөөд зөвхөн геометрээр хязгаарлагдахгүй. Тригонометрийн функцийг тооцоолох хүснэгтүүд, түүнчлэн инженерийн тооцоолуур, үргэлж гарт байдаггүй бөгөөд янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа синусыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Ерөнхийдөө синусын тооцоолол нь зургийн ур чадвар, тригонометрийн ижил төстэй байдлын талаархи мэдлэгийг нэгтгэхэд тусална.

Захирагч, харандаа тоглоом

Энгийн даалгавар: цаасан дээр зурсан өнцгийн синусыг хэрхэн олох вэ? Шийдвэрлэхийн тулд танд ердийн захирагч, гурвалжин (эсвэл луужин) болон харандаа хэрэгтэй. Өнцгийн синусыг тооцоолох хамгийн энгийн арга бол тэгш өнцөгт гурвалжны алсын хөлийг урт тал буюу гипотенузаар хуваах явдал юм. Тиймээс эхлээд өнцгийн оройноос дурын зайд цацрагуудын аль нэгэнд перпендикуляр шугам татах замаар тэгш өнцөгт гурвалжны дүрсийн хурц өнцгийг дуусгах хэрэгтэй. Яг 90 ° өнцгийг ажиглах шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бидэнд бичиг хэргийн гурвалжин хэрэгтэй болно.

Луужин ашиглах нь арай илүү нарийвчлалтай боловч илүү урт хугацаа шаардагдана. Цацрагийн аль нэг дээр та тодорхой зайд 2 цэгийг тэмдэглэж, луужин дээр цэгүүдийн хоорондох зайтай ойролцоо радиусыг тогтоож, эдгээр цэгүүд дээр төвүүдтэй хагас тойрог зурж, эдгээр шугамууд огтлолцох хүртэл зурах хэрэгтэй. Бидний тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг хооронд нь холбосноор бид өнцгийн туяанд хатуу перпендикуляр авах болно, энэ нь өөр туяатай огтлолцох хүртэл шугамыг сунгахад л үлддэг.

Үүссэн гурвалжинд та булангийн эсрэг талын талыг, туяануудын аль нэг дээр урт талыг захирагчаар хэмжих хэрэгтэй. Эхний хэмжилтийн хоёр дахь хэмжилтийн харьцаа нь хурц өнцгийн синусын хүссэн утга байх болно.

90°-аас их өнцгийн синусыг ол

Мохоо өнцгийн хувьд даалгавар нь тийм ч хэцүү биш юм. Бидний сонирхож буй өнцгийн аль нэг туяатай шулуун шугам үүсгэхийн тулд захирагч ашиглан эсрэг чиглэлд оройгоос туяа зурах шаардлагатай. Үүссэн хурц өнцгөөр дээр дурдсан синусуудыг үргэлжлүүлнэ зэргэлдээ булангууд, хамтдаа 180 ° хөгжсөн өнцгийг бүрдүүлэх, тэнцүү байна.

Бусад тригонометрийн функцуудаас синусыг тооцоолох

Мөн өнцгийн бусад тригонометрийн функцуудын утгууд эсвэл дор хаяж гурвалжны талуудын уртыг мэддэг бол синусыг тооцоолох боломжтой. Энэ нь бидэнд туслах болно тригонометрийн ижил төстэй байдал. Нийтлэг жишээнүүдийг авч үзье.

Өнцгийн мэдэгдэж буй косинустай синусыг хэрхэн олох вэ? Пифагорын теоремоос гаралтай анхны тригонометрийн ижил төстэй байдал нь ижил өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг.

Өнцгийн мэдэгдэж буй тангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Шүргэгчийг холын хөлийг ойрын хөлөөр хуваах эсвэл синусын косинусыг хуваах замаар олж авна. Тиймээс синус нь косинус ба шүргэгчийн үржвэр байх ба синусын квадрат нь энэ бүтээгдэхүүний квадрат болно. Бид квадрат косинусыг нэгдэл ба квадрат синус хоёрын зөрүүгээр эхний тригонометрийн адилтгалын дагуу орлуулж, энгийн залилангийн тусламжтайгаар шүргэгчээр дамжуулан квадрат синусыг тооцоолох тэгшитгэлийг авчирч, синусыг тооцоолохын тулд та үүнийг хийх хэрэгтэй болно. олж авсан үр дүнгээс үндсийг гаргаж авна.

Өнцгийн мэдэгдэж буй котангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Котангенсын утгыг хөлийн өнцгөөс ойрын уртыг алсын уртад хувааж, косинусын синусыг хуваах замаар тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл котангенс нь тангенсийн урвуу функц юм. 1-ийн тоог харгалзан үзэх. Синусыг тооцоолохын тулд та tg α \u003d 1 / ctg α томъёог ашиглан шүргэгчийг тооцоолж, хоёр дахь хувилбарт томъёог ашиглаж болно. Та мөн шүргэгчтэй зүйрлэн шууд томъёо гаргаж болох бөгөөд энэ нь иймэрхүү харагдах болно.

Гурвалжны гурван талын синусыг хэрхэн олох вэ

Эсрэг өнцгийн косинусын тригонометрийн функцийг ашиглан мэдэгдэж буй хоёр тал өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны бус аль ч гурвалжны үл мэдэгдэх талын уртыг олох томъёо байдаг. Тэр ийм харагдаж байна.

За, синусыг дээр дурдсан томъёоны дагуу косинусаас нэмж тооцоолж болно.

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн ойлголтууд нь тригонометрийн үндсэн категори болох математикийн нэг салбар бөгөөд өнцгийн тодорхойлолттой салшгүй холбоотой байдаг. Энэхүү математикийн шинжлэх ухааныг эзэмшихийн тулд томъёо, теоремыг цээжлэх, ойлгох, орон зайн сэтгэлгээг хөгжүүлэх шаардлагатай. Тийм ч учраас тригонометрийн тооцоолол нь сургуулийн сурагчид, оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та тригонометрийн функц, томъёог илүү сайн мэддэг байх ёстой.

Тригонометрийн ойлголтууд

Тохируулахын тулд үндсэн ойлголтуудтригонометрийн хувьд та эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин ба тойрог доторх өнцөг гэж юу болох, яагаад бүх үндсэн тригонометрийн тооцоонууд тэдгээртэй холбоотой болохыг шийдэх хэрэгтэй. Нэг өнцөг нь 90 градус байх гурвалжин бол тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Түүхийн хувьд энэ дүрсийг архитектур, навигаци, урлаг, одон орон судлалын хүмүүс ихэвчлэн ашигладаг байсан. Үүний дагуу энэ зургийн шинж чанарыг судалж, дүн шинжилгээ хийснээр хүмүүс түүний параметрүүдийн харгалзах харьцааг тооцоолоход хүрчээ.

Тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой гол ангилал нь гипотенуз ба хөл юм. Гипотенуз нь гурвалжны эсрэг талын тал юм зөв өнцөг. Хөл нь тус тусын нөгөө хоёр тал юм. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градус байдаг.

Бөмбөрцөг тригонометр бол сургуульд сурдаггүй тригонометрийн салбар юм хэрэглээний шинжлэх ухаанодон орон, геодези зэрэг эрдэмтэд үүнийг ашигладаг. Бөмбөрцөг тригонометрийн гурвалжны нэг онцлог нь түүний өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдаг.

Гурвалжны өнцөг

Тэгш өнцөгт гурвалжинд өнцгийн синус нь хүссэн өнцгийн эсрэг талын хөлийг гурвалжны гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Үүний дагуу косинус нь зэргэлдээх хөл ба гипотенузын харьцаа юм. Гипотенуз нь хөлөөс үргэлж урт байдаг тул эдгээр хоёр утга нь үргэлж нэгээс бага утгатай байдаг.

Өнцгийн шүргэгч нь эсрэг талын хөлийг хүссэн өнцгийн зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа буюу синусын косинустай тэнцүү утга юм. Котангенс нь эргээд хүссэн өнцгийн зэргэлдээх хөлийг эсрэг талын кактеттай харьцуулсан харьцаа юм. Нэгжийг шүргэгчийн утгад хуваах замаар өнцгийн котангенсыг олж авч болно.

нэгж тойрог

Геометрийн нэгж тойрог нь радиус нь нэгтэй тэнцүү тойрог юм. Ийм тойрог нь декартын координатын системд баригдсан бөгөөд тойргийн төв нь үүссэн цэгтэй давхцаж, радиус векторын анхны байрлалыг X тэнхлэгийн эерэг чиглэл (абсцисса тэнхлэг) тодорхойлно. Тойргийн цэг бүр нь XX ба YY гэсэн хоёр координаттай, өөрөөр хэлбэл абсцисса ба ординатын координат юм. XX хавтгай дахь тойргийн дурын цэгийг сонгож, түүнээс перпендикулярыг абсцисса тэнхлэг рүү буулгаснаар сонгосон цэг рүү радиусаар үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг (үүнийг C үсгээр тэмдэглэе), перпендикуляр зурсан болно. X тэнхлэг (огтлолцох цэгийг G үсгээр тэмдэглэсэн) ба гарал үүсэл (цэг нь А үсгээр тэмдэглэгдсэн) ба G огтлолцлын цэгийн хоорондох абсцисса тэнхлэгийн сегмент. Үүссэн гурвалжин ACG нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. тойрог, AG нь гипотенуз, AC ба GC нь хөл юм. AC тойргийн радиус ба абсцисса тэнхлэгийн сегментийн AG тэмдэглэгээний хоорондох өнцгийг бид α (альфа) гэж тодорхойлно. Тиймээс cos α = AG/AC. АС нь нэгж тойргийн радиус бөгөөд нэгтэй тэнцүү гэж үзвэл cos α=AG болно. Үүний нэгэн адил sin α=CG.

Үүнээс гадна эдгээр өгөгдлийг мэдэж байгаа тул тойрог дээрх С цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой, учир нь cos α=AG, sin α=CG нь C цэг нь өгөгдсөн координаттай (cos α; sin α) байна гэсэн үг юм. Тангенс нь синусыг косинустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү гэдгийг мэдсэнээр бид tg α \u003d y / x, ctg α \u003d x / y гэдгийг тодорхойлж болно. Сөрөг координатын систем дэх өнцгийг харгалзан үзвэл зарим өнцгийн синус ба косинусын утгууд сөрөг байж болохыг тооцоолж болно.

Тооцоолол ба үндсэн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн утгууд

Нэгж тойргоор дамжуулан тригонометрийн функцүүдийн мөн чанарыг авч үзээд зарим өнцгийн хувьд эдгээр функцүүдийн утгыг гаргаж авах боломжтой. Доорх хүснэгтэд утгуудыг жагсаав.

Хамгийн энгийн тригонометрийн таних тэмдэг

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх утга байгаа тэгшитгэлийг тригонометр гэж нэрлэдэг. sin x = α, k утгатай адилтгалууд нь дурын бүхэл тоо:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. нүгэл x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. нүгэл x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

tg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

ctg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Дамжуулах томъёо

Тогтмол томъёоны энэ ангилал нь хэлбэрийн тригонометрийн функцээс аргументийн функц руу шилжих, өөрөөр хэлбэл ямар ч утгын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг өнцгийн харгалзах үзүүлэлт болгон хувиргах аргуудыг илэрхийлдэг. Тооцооллыг илүү хялбар болгохын тулд 0-ээс 90 градусын интервал.

Өнцгийн синусын функцийг багасгах томъёо дараах байдалтай байна.

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = нүгэл α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• нүгэл(3600 + α) = нүгэл α.

Өнцгийн косинусын хувьд:

• cos(900 - α) = нүгэл α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = нүгэл α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Дээрх томъёог ашиглах нь хоёр дүрмийн дагуу боломжтой. Нэгдүгээрт, хэрэв өнцгийг утга (π/2 ± a) эсвэл (3π/2 ± a) хэлбэрээр илэрхийлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөнө.

• нүглээс cos хүртэл;
• учираас нүгэл рүү;
• tg-ээс ctg хүртэл;
• ctg-ээс tg хүртэл.

Хэрэв өнцгийг (π ± a) эсвэл (2π ± a) гэж дүрсэлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.

Хоёрдугаарт, бууруулсан функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй: хэрэв энэ нь анх эерэг байсан бол энэ нь хэвээр байна. Сөрөг функцүүдийн хувьд ч мөн адил.

Нэмэлт томъёо

Эдгээр томьёо нь тригонометрийн функцээр хоёр эргэлтийн өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг илэрхийлдэг. Өнцгийг ихэвчлэн α ба β гэж тэмдэглэдэг.

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * нүгэл.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * нүгэл.
3. tan(α ± β) = (тан α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эдгээр томъёо нь α ба β өнцөгт хүчинтэй.

Давхар ба гурвалсан өнцгийн томьёо

Давхар ба гурвалсан өнцгийн тригонометрийн томьёо нь 2α ба 3α өнцгийн функцийг α өнцгийн тригонометрийн функцтэй холбосон томъёо юм. Нэмэлт томъёоноос гаргаж авсан:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Нийлбэрээс бүтээгдэхүүн рүү шилжих

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) гэдгийг авч үзвэл энэ томьёог хялбарчлан sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ижилслийг олж авна. Үүний нэгэн адил sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = нүгэл(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Бүтээгдэхүүнээс нийлбэр рүү шилжих

Эдгээр томьёо нь нийлбэрийг бүтээгдэхүүн рүү шилжүүлэх таних тэмдгүүдээс дагана.

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Бууруулах томъёо

Эдгээр ижил төстэй байдлын хувьд синус ба косинусын квадрат ба куб хүчийг олон өнцгийн эхний түвшний синус ба косинусаар илэрхийлж болно.

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Бүх нийтийн орлуулалт

Бүх нийтийн томъёолол тригонометрийн орлуулалттригонометрийн функцуудыг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлнэ.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), харин x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), энд x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), энд x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), харин x \u003d π + 2πn.

Онцгой тохиолдлууд

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн тодорхой тохиолдлуудыг доор өгөв (k нь дурын бүхэл тоо).

Синусын хувьд хувийн:

sin x утга	x утга
0	pk
1	π/2 + 2πк
-1	-π/2 + 2πк
1/2	π/6 + 2πk эсвэл 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk эсвэл -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk эсвэл 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk эсвэл -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk эсвэл 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk эсвэл -2π/3 + 2πk

Косинусын коэффициентууд:

cos x утга	x утга
0	π/2 + 2πк
1	2πк
-1	2 + 2πк
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πк
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Тангенсийн хувьд хувийн:

tg x утга	x утга
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Котангентын коэффициентүүд:

ctg x утга	x утга
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремууд

Синусын теорем

Теоремын хоёр хувилбар байдаг - энгийн ба өргөтгөсөн. Энгийн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Энэ тохиолдолд a, b, c нь гурвалжны талууд, α, β, γ нь эсрэг талын өнцөг юм.

Дурын гурвалжны өргөтгөсөн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Энэ адилтгалын хувьд R нь өгөгдсөн гурвалжныг дүрсэлсэн тойргийн радиусыг илэрхийлнэ.

Косинусын теорем

Тодорхойлолтыг дараах байдлаар харуулна: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Томъёонд a, b, c нь гурвалжны талууд, α нь а талын эсрэг талын өнцөг юм.

Тангенс теорем

Томъёо нь хоёр өнцгийн тангенс ба тэдгээрийн эсрэг талын талуудын уртын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг. Талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэсэн бөгөөд харгалзах эсрэг талын өнцөг нь α, β, γ байна. Шүргэх теоремын томъёо: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Котангентын теорем

Гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг талуудын урттай холбоно. Хэрэв a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь тус тусын эсрэг өнцөг, r нь бичээстэй тойргийн радиус, p нь гурвалжны хагас периметр бол дараах ижил төстэй байдал үүснэ. барих:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Хэрэглээ

Тригонометр нь зөвхөн холбоотой онолын шинжлэх ухаан биш юм математикийн томьёо. Түүний шинж чанар, теорем, дүрмийг хүний ​​​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарууд - одон орон судлал, агаар, далайн навигаци, хөгжмийн онол, геодези, хими, акустик, оптик, электроник, архитектур, эдийн засаг, механик инженерчлэл, хэмжих ажил, практикт ашигладаг. компьютер график, зураг зүй, далай судлал, бусад олон.

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн ойлголт бөгөөд гурвалжны өнцөг ба талуудын уртын хамаарлыг математикийн аргаар илэрхийлж, ижил төстэй байдал, теорем, дүрмээр дамжуулан хүссэн хэмжигдэхүүнийг олох боломжтой.

Синусыг хэрхэн олох вэ?

Геометрийн судалгаа нь сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд тусалдаг. Энэ хичээлийг сургалтын хөтөлбөрт оруулсан болно. Амьдралд энэ сэдвээр мэдлэг хэрэгтэй байж болно - жишээлбэл, орон сууц төлөвлөхдөө.

Түүхээс

Геометрийн хичээлийн нэг хэсэг болох тригонометрийн функцийг судалдаг тригонометрийг бас судалдаг. Тригонометрийн хувьд бид өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг судалдаг.

Гэхдээ одоо хамгийн энгийн синусаас эхэлцгээе. Хамгийн анхны ойлголт болох геометрийн өнцгийн синусыг нарийвчлан авч үзье. Синус гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

"Өнцгийн синус" ба синусоидын тухай ойлголт

Өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн утгууд ба тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын харьцаа юм. Энэ нь шууд тригонометрийн функц бөгөөд үүнийг бичгээр "sin (x)" гэж бичдэг, энд (x) нь гурвалжны өнцөг юм.

График дээр өнцгийн синусыг өөрийн шинж чанартай синусоидоор зааж өгсөн болно. Синусоид нь координатын хавтгай дээр тодорхой хязгаарт оршдог тасралтгүй долгионт шугам шиг харагддаг. Функц нь сондгой тул координатын хавтгай дээрх 0-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (энэ нь координатын эхийг орхидог).

Энэ функцийн муж нь декартын координатын систем дээр -1-ээс +1 хүртэлх мужид оршдог. Синусын өнцгийн функцын хугацаа нь 2 Pi байна. Энэ нь 2 Pi тутамд хэв маяг давтагдаж, синус долгион нь бүтэн циклээр дамждаг гэсэн үг юм.

Синусоидын тэгшитгэл

• sin x = a / c
• Энд a нь гурвалжны өнцгийн эсрэг талын хөл юм
• в - тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз

Өнцгийн синусын шинж чанарууд

1. sin(x) = - sin(x). Энэ функц нь функц нь тэгш хэмтэй болохыг харуулж байгаа бөгөөд хэрэв координатын систем дээр x ба (-x) утгуудыг хоёр чиглэлд байрлуулбал эдгээр цэгүүдийн ординатууд эсрэгээрээ байх болно. Тэд бие биенээсээ ижил зайд байх болно.
2. Энэ функцийн өөр нэг онцлог нь функцийн график [- P / 2 + 2 Pn] сегмент дээр нэмэгдэх явдал юм; [P/2 + 2Pn], энд n нь дурын бүхэл тоо. Сегмент дээр өнцгийн синусын график буурах нь ажиглагдах болно: [P / 2 + 2 Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. x мужид (2Pn, P + 2Pn) байх үед sin (x) > 0
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Өнцгийн синусын утгыг тусгай хүснэгтээр тодорхойлно. Нарийн төвөгтэй томъёо, тэгшитгэлийг тооцоолох үйл явцыг хөнгөвчлөх үүднээс ийм хүснэгтүүдийг бүтээсэн. Энэ нь хэрэглэхэд хялбар бөгөөд зөвхөн sin(x) функцийн утгыг төдийгүй бусад функцүүдийн утгыг агуулдаг.

Нэмж дурдахад эдгээр функцүүдийн стандарт утгуудын хүснэгтийг үржүүлэх хүснэгт гэх мэт санах ойн зайлшгүй судалгаанд оруулсан болно. Энэ нь ялангуяа физик, математикийн хазайлттай ангиудад үнэн юм. Хүснэгтээс та тригонометрийн үндсэн өнцгүүдийн утгыг харж болно: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270, 360 градус.

Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тодорхойлсон хүснэгт бас байдаг. Давуу талыг ашиглаж байна өөр өөр хүснэгтүүд, та зарим өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг хялбархан тооцоолж болно.

Тэгшитгэлийг тригонометрийн функцээр хийдэг. Хэрэв та нүгэл (P / 2 + x) \u003d cos (x) болон бусад функцүүдийн энгийн тригонометрийн таних тэмдэг, бууралтыг мэддэг бол эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар болно. Ийм жүжигт зориулсан тусдаа хүснэгтийг эмхэтгэсэн.

Өнцгийн синусыг хэрхэн олох вэ

Даалгавар бол өнцгийн синусыг олох явдал бөгөөд бид зөвхөн өнцгийн косинус, тангенс эсвэл котангенстай байх нөхцөлд бид тригонометрийн ижилсэлтүүдийг ашиглан юу хэрэгтэйг хялбархан тооцоолж чадна.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Энэ тэгшитгэлээс бид аль утга нь тодорхойгүй байгаагаас хамааран синус ба косинусыг хоёуланг нь олж болно. Бид амжилтанд хүрнэ тригонометрийн тэгшитгэлнэг үл мэдэгдэх:

• нүгэл 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Энэ тэгшитгэлээс та өнцгийн котангенсын утгыг мэдэж, синусын утгыг олох боломжтой. Хялбаршуулахын тулд sin 2 x = y-г орлуулж, дараа нь та энгийн тэгшитгэлтэй болно. Жишээлбэл, котангентын утга 1 байвал:

• 1 + 1 = 1/y
• 2 = 1 / жил
• 2y = 1
• y = 1/2

Одоо бид тоглуулагчийг урвуу солих ажлыг хийж байна.

• нүгэл 2 x = ½
• нүгэл x = 1 / √2

Бид стандарт өнцгийн котангентын утгыг (45 0) авсан тул олж авсан утгыг хүснэгтээс шалгаж болно.

Хэрэв танд шүргэгч утгатай боловч синусыг олох шаардлагатай бол өөр тригонометрийн таних нь туслах болно.

• tg x * ctg x = 1

Үүнээс үзэхэд:

• ctg x = 1 / tg x

Стандарт бус өнцгийн синусыг олохын тулд жишээлбэл 240 0 өнцгийг багасгах томъёог ашиглах хэрэгтэй. π нь бидний хувьд 180 0-тэй тохирч байгааг бид мэднэ. Тиймээс бид стандарт өнцгүүдийг тэлэлтээр ашиглан тэгш байдлыг илэрхийлэх болно.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Бид дараах зүйлийг олох хэрэгтэй: нүгэл (180 0 + 60 0). Тригонометрийн хувьд энэ тохиолдолд хэрэгтэй бууруулах томъёо байдаг. Энэ бол томъёо юм:

• нүгэл (π + x) = - нүгэл (x)

Тиймээс 240 градусын өнцгийн синус нь:

• нүгэл (180 0 + 60 0) = - нүгэл (60 0) = - √3/2

Манай тохиолдолд x = 60, P нь тус тус 180 градус байна. Бид стандарт өнцгийн функцүүдийн утгын хүснэгтээс (-√3/2) утгыг олсон.

Ийм байдлаар стандарт бус өнцгийг задалж болно, жишээлбэл: 210 = 180 + 30.