α ба β хоёр өнцгийн синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүний томьёо нь эдгээр өнцгийн нийлбэрээс α + β 2 ба α - β 2 өнцгийн үржвэр рүү шилжих боломжийг бидэнд олгодог. Синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүний томъёог нийлбэр ба зөрүүний синус ба косинусын томъёотой андуурч болохгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Доор бид эдгээр томъёог жагсааж, тэдгээрийн гарал үүслийг өгч, тодорхой асуудлуудад хэрэглэх жишээг үзүүлэв.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Синус ба косинусын нийлбэр ба ялгааны томъёо

Синус болон косинусын нийлбэр ба ялгаварын томьёо ямар байхыг бичье

Синусын нийлбэр ба ялгааны томъёо

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Косинусын нийлбэр ба ялгааны томъёо

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Эдгээр томъёо нь α ба β өнцөгт хүчинтэй. α + β 2 ба α - β 2 өнцгийг альфа ба бета өнцгийн хагас нийлбэр ба хагас ялгаа гэж нэрлэдэг. Томъёо тус бүрийн томъёог өгье.

Синус ба косинусын нийлбэр ба ялгааны томъёоны тодорхойлолт

Хоёр өнцгийн синусын нийлбэрнь эдгээр өнцгүүдийн хагасын нийлбэрийн синусын үржвэр ба хагас зөрүүний косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр өнцгийн синусын ялгаань эдгээр өнцгүүдийн хагас ялгааны синусын үржвэр ба хагас нийлбэрийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр өнцгийн косинусын нийлбэрнь хагас нийлбэрийн косинусын үржвэр ба эдгээр өнцгийн хагас зөрүүний косинусын үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр өнцгийн косинусын ялгаасөрөг тэмдгээр авсан эдгээр өнцгүүдийн хагас нийлбэрийн синус ба косинусын хагасын зөрүүний үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна.

Синус ба косинусын нийлбэр ба ялгаварын томъёог гаргах

Хоёр өнцгийн синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүний томъёог гаргахын тулд нэмэх томъёог ашиглана. Тэднийг доор жагсаацгаая

нүгэл (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - нүгэл α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Мөн өнцгүүдийг хагас нийлбэр ба хагас ялгааны нийлбэр гэж төсөөлье.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Бид нүгэл ба cos-ийн нийлбэр ба ялгаварын томъёоны гарал үүслийг шууд үргэлжлүүлнэ.

Синусын нийлбэрийн томъёог гарган авах

IN нийлбэр нүгэлα + sin β нь α ба β-г дээрх өнцгийн илэрхийллээр солино. Бид авдаг

нүгэл α + нүгэл β = нүгэл α + β 2 + α - β 2 + нүгэл α + β 2 - α - β 2

Одоо бид эхний илэрхийлэлд нэмэх томъёог, хоёр дахь нь өнцгийн зөрүүний синусын томъёог хэрэглэнэ (дээрх томьёог үзнэ үү)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг нэмж, шаардлагатай томьёог авна уу.

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Үлдсэн томьёог гаргах алхмууд ижил байна.

Синусын зөрүүний томъёоны гарал үүсэл

нүгэл α - нүгэл β = нүгэл α + β 2 + α - β 2 - нүгэл α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - нүгэл α + β 2 - α - β 2 = нүгэл α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Косинусын нийлбэрийн томъёоны гарал үүсэл

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Косинусын ялгаварын томъёоны гарган авах

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 нүгэл α - β 2

Практик асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Нэгдүгээрт, тодорхой өнцгийн утгыг орлуулах замаар томъёоны аль нэгийг шалгацгаая. α = π 2, β = π 6 гэж үзье. Эдгээр өнцгийн синусын нийлбэрийн утгыг тооцоолъё. Эхлээд бид тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын хүснэгтийг ашиглаж, дараа нь синусын нийлбэрийн томъёог ашиглана.

Жишээ 1. Хоёр өнцгийн синусын нийлбэрийн томъёог шалгах

α = π 2, β = π 6 нүгэл π 2 + нүгэл π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 нүгэл π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Өнцгийн утгууд нь хүснэгтэд үзүүлсэн үндсэн утгуудаас ялгаатай байх тохиолдлыг авч үзье. α = 165°, β = 75° байна. Эдгээр өнцгийн синусын зөрүүг тооцоолъё.

Жишээ 2. Синусын зөрүүний томъёоны хэрэглээ

α = 165 °, β = 75 ° нүгэл α - нүгэл β = нүгэл 165 ° - нүгэл 75 ° нүгэл 165 - нүгэл 75 = 2 нүгэл 165 ° - нүгэл 75 ° 2 cos 165 ° + гэм 75 ° 2 = = 2 нүгэл 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүний томъёог ашиглан та тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр эсвэл зөрүүгээс үржвэр рүү шилжиж болно. Ихэнхдээ эдгээр томъёог нийлбэрээс бүтээгдэхүүн рүү шилжүүлэх томъёо гэж нэрлэдэг. Синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүний томъёог шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг тригонометрийн тэгшитгэлмөн тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх үед.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Бид тригонометрийн судалгаагаа зөв гурвалжингаар эхлүүлнэ. Синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болохыг тодорхойлъё хурц өнцөг. Энэ бол тригонометрийн үндэс суурь юм.

Үүнийг сануулъя зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл хагас эргэх өнцөг.

Хурц булан- 90 градусаас бага.

Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгийн хувьд "мохоо" гэдэг нь доромжлол биш, харин математикийн нэр томъёо юм :-)

Тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Зөв өнцгийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг ижил үсгээр, зөвхөн жижиг гэж тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс эсрэг талын А өнцгийг тэмдэглэв.

Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэв.

ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм.

Хөл- хурц өнцгүүдийн эсрэг талд байрлах талууд.

Өнцгийн эсрэг талд хэвтэж буй хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Өнцгийн аль нэг талд байрлах нөгөө хөлийг дуудна зэргэлдээ.

СинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:

Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талынх нь зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа:

Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.

Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай ижил харьцаа):

Доорх синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн хамаарлыг тэмдэглэ. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тэд бидэнд ашигтай байх болно.

Тэдний заримыг нь нотолж үзье.

За, бид тодорхойлолт өгч, томьёо бичсэн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй хэвээр байна вэ?

Бид үүнийг мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.

хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем: .

Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдсэнээр та гурав дахь өнцгийг олж чадна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь хэсгийг нь олох боломжтой. Энэ нь өнцөг нь өөрийн гэсэн харьцаатай, талууд нь өөрийн гэсэн утгатай гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөв өнцгөөс бусад) ба нэг талыг мэддэг ч нөгөө талыг нь олох шаардлагатай бол та яах ёстой вэ?

Эрт дээр үед хүмүүс энэ газар нутаг, одтой тэнгэрийн газрын зургийг гаргахдаа ийм зүйлтэй тулгардаг байв. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг тригонометрийн өнцгийн функцууд- хоорондын харилцааг өгөх намуудТэгээд булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгт ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсыг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.

Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.

Хүснэгтэнд байгаа хоёр улаан зураасыг анхаарна уу. Тохиромжтой өнцгийн утгуудад тангенс ба котангенс байхгүй.

FIPI Task Bank-аас хэд хэдэн тригонометрийн асуудлыг авч үзье.

1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.

Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.

Учир нь , .

2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.

Үүнийг Пифагорын теоремоор олъё.

Асуудал шийдэгдсэн.

Ихэнхдээ асуудалд өнцөгтэй гурвалжин эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр санаарай!

Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.

Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.

Шийдвэрлэх асуудлуудыг бид харлаа зөв гурвалжин- өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! IN Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудМатематикт гурвалжны гаднах өнцгийн синус, косинус, тангенс эсвэл котангенс гарч ирдэг олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.

Энэ нийтлэлд бид ярих болно бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт. Энэ нь аль ч өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэхийг хэлнэ. Түүнээс гадна ийм орлуулалт нь үндэслэлгүй, өөрөөр хэлбэл үндэсгүйгээр хийгддэг.

Эхлээд бид синус, косинус, тангенс, котангенсыг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлдэг томьёог бичнэ. Дараа нь бид эдгээр томъёоны гарал үүслийг харуулах болно. Эцэст нь хэлэхэд, бүх нийтийн хэрэглээний цөөн хэдэн жишээг авч үзье тригонометрийн орлуулалт.

Хуудасны навигаци.

Хагас өнцгийн шүргэгчээр дамжин синус, косинус, тангенс, котангенс

Эхлээд хагас өнцгийн тангенсаар дамжих өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг илэрхийлэх дөрвөн томьёог бичье.

Заасан томьёо нь тэдгээрт орсон тангенс ба котангенсыг тодорхойлсон бүх өнцөгт хүчинтэй байна.

Гаргах томъёо

Хагас өнцгийн шүргэгчээр өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг илэрхийлэх томъёоны гарал үүслийг задлан шинжилье. Синус болон косинусын томъёогоор эхэлцгээе.

Синус болон косинусыг дараах байдлаар илэрхийлье давхар өнцгийн томъёоХэрхэн Тэгээд тус тус. Одоо илэрхийллүүд Тэгээд бид үүнийг 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр бичнэ Тэгээд . Цаашид суурь дээр үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгБид хуваагч дахь нэгжүүдийг синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр сольж, дараа нь бид авна. Тэгээд . Эцэст нь бид үүссэн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хуваана (түүний утга нь өгөгдсөн тэгээс өөр байна) ). Үүний үр дүнд үйлдлийн бүх гинжин хэлхээ нь дараах байдалтай байна.


Тэгээд

Энэ нь хагас өнцгийн шүргэгчээр дамжуулан синус ба косинусыг илэрхийлдэг томъёог гаргаж авах ажлыг дуусгана.

Тангенс ба котангенсийн томъёог гаргахад л үлддэг. Одоо дээр дурдсан томъёог харгалзан томьёо болон , бид нэн даруй хагас өнцгийн тангенсаар шүргэгч ба котангенсыг илэрхийлэх томъёог олж авна.

Тиймээс бид бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын бүх томъёог гаргаж авсан.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах жишээ

Эхлээд илэрхийллийг хувиргахдаа бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах жишээг авч үзье.

Жишээ.

Үзэл бодлоо илэрхийлэх зөвхөн нэгийг агуулсан илэрхийлэлд тригонометрийн функц.

Шийдэл.

Хариулт:

.

Ном зүй.

• Алгебр:Сурах бичиг 9-р ангийн хувьд. дундаж сургууль/Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Боловсрол, 1990.- 272 х.: илл.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov. - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.