Тангенс (tg x) ба котангенс (ctg x)-ийн лавлагаа өгөгдөл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Шүргэгч ба котангентын хүснэгт, дериватив, интеграл, цувааны өргөтгөл. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Геометрийн тодорхойлолт

|BD| - А цэг дээр төвлөрсөн тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.

шүргэгч ( tgα) нь гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц юм зөв гурвалжин, эсрэг талын хөлний уртын харьцаатай тэнцүү |BC| зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB| .

Котангенс ( ctgα) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| эсрэг талын хөлний урт хүртэл |BC| .

Тангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
;
;
.

Шүргэх функцийн график, y = tg x

Котангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараах тэмдэглэгээг мөн баталсан.
;
;
.

Котангенсийн функцийн график, y = ctg x

Тангенс ба котангенсын шинж чанарууд

Үе үе

Функцууд y= tg xба у= ctg xπ үетэй үечилсэн байна.

Паритет

Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.

Тодорхойлолт ба утгын хүрээ, өсөх, буурах

Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэл тоо).

	у= tg x	у= ctg x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал
Утгын хүрээ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Өгсөж байна		-
Бууж байна	-
Хэт их	-	-
Тэг, у= 0
У тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 0	-

Томъёо

Синус ба косинусын илэрхийлэл

; ;
; ;
;

Нийлбэр ба ялгаварын тангенс ба котангенсийн томъёо

Жишээлбэл, бусад томъёог олж авахад хялбар байдаг

Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн

Шүргэгчийн нийлбэр ба зөрүүний томъёо

Энэ хүснэгтэд аргументийн зарим утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав.

Комплекс тоонуудын илэрхийлэл

Гиперболын функцүүдийн илэрхийлэл

;
;

Дериватив

; .

.
Функцийн х хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томъёоны гарган авах > > > ; котангенсийн хувьд > > >

Интеграл

Цуврал болгон өргөтгөх

X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн тэлэлтийг авахын тулд функцүүдийн хүчирхэг цувралын өргөтгөлийн хэд хэдэн нөхцөлийг авах шаардлагатай. гэм хТэгээд cos xмөн эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хувааж, . Үүний үр дүнд дараах томъёо гарч ирнэ.

-д.

цагт.
Хаана Б н- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
Хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу:

Урвуу функцууд

Тангенс ба котангенсийн урвуу функцууд нь арктангенс ба арккотангенс байна.

Арктангенс, арктг

, Хаана n- бүхэлд нь.

Нуман тангенс, arcctg

, Хаана n- бүхэлд нь.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.
Г.Корн, Судлаач, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт

Анхаарна уу. Энэхүү тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд √ тэмдгийг ашиглана квадрат язгуур. Бутархайг тэмдэглэхийн тулд - "/" тэмдэг.

бас үзнэ үүашигтай материал:

Учир нь тригонометрийн функцийн утгыг тодорхойлох, тригонометрийн функцийг заасан шугамын огтлолцол дээр ол. Жишээлбэл, 30 градусын синус - бид нүгэл (синус) гэсэн гарчигтай баганыг хайж байгаа бөгөөд хүснэгтийн энэ баганын огтлолцлыг "30 градус" гэсэн шугамаар олдог бөгөөд тэдгээрийн уулзвар дээр бид үр дүнг уншина - нэг хоёрдугаарт. Үүнтэй адилаар бид олдог косинус 60градус, синус 60градус (дахин нүгэл (синус) багана ба 60 градусын эгнээний огтлолцол дээр бид sin 60 = √3/2 утгыг олно) гэх мэт. Үүнтэй адилаар бусад "алдартай" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсийн утгыг олдог.

Пи-ийн синус, пи-ийн косинус, пи-ийн тангенс болон радиан дахь бусад өнцөг

Доорх косинус, синус, тангенсийн хүснэгт нь аргумент нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоход тохиромжтой. радианаар өгөгдсөн. Үүнийг хийхийн тулд өнцгийн утгуудын хоёр дахь баганыг ашиглана уу. Үүний ачаар та алдартай өнцгийн утгыг градусаас радиан болгон хувиргаж болно. Жишээлбэл, эхний мөрөнд байгаа 60 градусын өнцгийг олоод түүний утгыг радианаар уншъя. 60 градус нь π/3 радиантай тэнцүү.

Пи тоо нь тойргийн тойргийн өнцгийн хэмжүүрээс хамаарах хамаарлыг онцгой илэрхийлдэг. Тэгэхээр пи радиан нь 180 градустай тэнцэнэ.

Пи (радиан) -аар илэрхийлсэн дурын тоог pi (π) тоог 180-аар сольсноор градус руу хялбархан хөрвүүлж болно..

Жишээ:
1. синус пи.
sin π = нүгэл 180 = 0
Тиймээс pi-ийн синус нь 180 градусын синустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

2. косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
Тиймээс pi-ийн косинус нь 180 градусын косинустай ижил бөгөөд хасах нэгтэй тэнцүү байна.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
Иймээс pi-ийн тангенс нь 180 градусын тангенстай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

0 - 360 градусын өнцгийн синус, косинус, тангенсийн утгын хүснэгт (байнга утгууд)

өнцөг α (зэрэг)	өнцөг α радианд (pi-ээр)	нүгэл (синус)	cos (косинус)	тг (шүргэх)	ctg (котангенс)	сек (секант)	шалтгаан (косекант)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Хэрэв тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд функцийн утгын оронд зураас (шүргээ (tg) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) тэмдэглэгдсэн бол хэзээ өгөгдсөн үнэ цэнэөнцгийн функцийн градусын хэмжүүр нь тодорхой утгагүй. Хэрэв зураас байхгүй бол нүд хоосон байна, бид хараахан ороогүй байна хүссэн үнэ цэнэ. Хамгийн түгээмэл өнцгийн утгуудын косинус, синус, тангенсийн утгын талаарх одоогийн өгөгдөл нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байгаа хэдий ч хэрэглэгчид бидэнд ямар хүсэлт ирүүлж, хүснэгтийг шинэ утгуудаар нэмж байгааг бид сонирхож байна. асуудлууд.

Хамгийн алдартай өнцгүүдийн sin, cos, tg тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(тоон утгууд "Брадисын хүснэгтийн дагуу")

өнцгийн утга α (градус)	радиан дахь α өнцгийн утга	нүгэл (синус)	cos (косинус)	tg (шүргэх)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтууд (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг), "чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхнээс нь эхэлцгээе. мөн өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгох.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус болон радианаар хэмжиж болно.

Өнцөг (нэг градус) нь тойргийн хэсэгтэй тэнцүү дугуй нуман дээр тулгуурласан тойргийн төв өнцөг юм. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумануудын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр суурилдаг.

Радианаар хэмжигдэх өнцгийг тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нуман дээр тулгуурлан тойргийн төв өнцөг гэж нэрлэдэг. За ойлгов уу? Үгүй бол зургийг харцгаая.

Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү (урт нь урттай тэнцүү эсвэл радиус нь тэнцүү) дугуй нуман дээр суурилдаг. нумын урт). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.

За, та үүнийг мэдэж байгаа тул тойргоор дүрсэлсэн өнцөг хэдэн радиан агуулж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр энд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулдаг.

Хэдэн радиантай вэ? Яг зөв!

Авчихсан? Дараа нь урагшаа чангал:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс, өнцгийн тухай ойлголттой болсон. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүний тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), үүнээс гадна, хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэг талынх юм. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синуснь эсрэг талын (хол) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юугаар хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

косинус→хүрч→хүрч→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа болох синус, косинус, тангенс, котангенс нь эдгээр талуудын уртаас (нэг өнцгөөр) хамаардаггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Итгэхгүй байна? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд засаарай!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: булангийн хувьд адилхан тооцоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийн судалгаанд маш их хэрэгтэй байдаг. Тиймээс бид энэ талаар бага зэрэг нарийвчлан авч үзэх болно.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь эх цэг дээр байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойргийн цэг бүр нь тэнхлэгийн дагуух координат ба тэнхлэгийн дагуух координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны талаар санаарай. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжингаас ямар тэнцүү вэ? Яг зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, тиймээс, . Энэ утгыг манай косинусын томъёонд орлуулна уу. Энд юу болох вэ:

Гурвалжингаас юу тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр та тойрогт хамаарах цэгийн координат хэд болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо юм бол? Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг, координат! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Зөв шүү, зохицуулаарай! Тиймээс, цэг.

Тэгээд юу тэнцүү ба? Зөв шүү, тангенс ба котангенсийн тохирох тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэв. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга хэд вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Иймд эдгээр хамаарал нь радиус векторын аливаа эргэлтэд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та бас тодорхой хэмжээний өнцөг авах болно, гэхдээ энэ нь зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тэгэхээр, тойргийн эргэн тойронд радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Тиймээс эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүрэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид өөр өөр өнцөг буюу (энэ нь ямар ч бүхэл тоо) нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд тохирох гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юутай тэнцүү вэ гэдэгт хариулахыг хичээгээрэй.

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Ямар нэг хүндрэл байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид өнцгийн тодорхой хэмжүүрт тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байдаггүй;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө оролдоод үз, дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Байдаггүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:

Бүү ай, одоо бид жишээнүүдийн аль нэгийг үзүүлэх болно харгалзах утгуудыг энгийн цээжлэх:

Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг (), мөн өнцгийн тангенсын утгыг санах нь чухал юм. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд хялбар байдаг - косинусын утгуудыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт үзүүлсэн сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, диаграммыг сумаар санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Гаргаад ирье ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.

Жишээлбэл, бидэнд ийм тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикоор бид цэгийн y координатын утгыг олно. Тиймээс,

Тиймээс дотор ерөнхий үзэлцэгийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координат,

тойрог радиус,

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж, амтлахын тулд эдгээр томъёог туршиж үзье?

1. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

2. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

3. Нэг цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг - тойргийн төв. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл шийдлийг сайн ойлгоорой), та тэдгээрийг хэрхэн олохыг сурах болно!

1.

Үүнийг харж болно. Мөн бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

2. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Эхлэх цэгийн хоёр бүрэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн хүссэн координатыг олно.

Синус ба косинус нь хүснэгтийн утгууд юм. Бид тэдний үнэ цэнийг санаж, дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

3. Тойрог нь нэг цэгийн төвтэй нэгж бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Үүнийг харж болно. Зураг дээр авч үзсэн жишээг дүрсэлцгээе.

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утгатай, мөн синус эерэг байвал бидэнд:

Сэдвийн тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ижил төстэй жишээнүүдийг илүү нарийвчлан шинжилдэг.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

4.

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдсэнээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Радиус векторын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).

Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авна уу:

ба - хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийг санаж, томъёонд орлуулна:

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОМЪЁО

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хөлийг зэргэлдээх (ойр) хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.

Тригонометр нь шинжлэх ухааны хувьд Эртний Дорнодод үүссэн. Анхны тригонометрийн харьцааг одон орон судлаачид үнэн зөв хуанли зохиож, оддын чиг баримжаа олгох зорилгоор боловсруулсан. Эдгээр тооцоолол нь бөмбөрцөг тригонометртэй холбоотой бөгөөд сургуулийн хичээл дээр тэд хавтгай гурвалжны талууд ба өнцгийн харьцааг судалдаг.

Тригонометр бол тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм.

МЭ 1-р мянганы соёл, шинжлэх ухааны оргил үед Эртний Дорнодоос Грект мэдлэг дэлгэрчээ. Гэхдээ тригонометрийн гол нээлт бол Арабын Халифатын үеийн хүмүүсийн гавьяа юм. Тодруулбал, туркмены эрдэмтэн аль-Маразви тангенс, котангенс зэрэг функцүүдийг нэвтрүүлж, синус, тангенс, котангенсийн утгын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Синус ба косинусын тухай ойлголтыг Энэтхэгийн эрдэмтэд нэвтрүүлсэн. Евклид, Архимед, Эратосфен зэрэг эртний агуу хүмүүсийн бүтээлүүдэд тригонометрийн асуудалд ихээхэн анхаарал хандуулдаг.

Тригонометрийн үндсэн хэмжигдэхүүнүүд

Тоон аргументын үндсэн тригонометрийн функцууд нь синус, косинус, тангенс, котангенс юм. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн графиктай: синус, косинус, тангенс, котангенс.

Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг тооцоолох томъёо нь Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн болно. Сургуулийн хүүхдүүдэд "Бүх чиглэлд тэнцүү Пифагор өмд" гэсэн томъёоллыг илүү сайн мэддэг, учир нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжны жишээн дээр нотолгоо өгсөн болно.

Синус, косинус болон бусад хамаарал нь хоорондын харилцааг бий болгодог хурц булангуудба дурын тэгш өнцөгт гурвалжны талууд. Бид А өнцгийн хувьд эдгээр хэмжигдэхүүнийг тооцоолох томъёог өгч, тригонометрийн функцүүдийн хамаарлыг судална.

Таны харж байгаагаар tg ба ctg нь урвуу функцууд юм. Хэрэв бид a хөлийг нүгэл А ба гипотенуз c-ийн үржвэрээр, b хөлийг cos A * c гэж илэрхийлбэл тангенс ба котангенсын дараах томъёог авна.

тригонометрийн тойрог

Графикаар дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энэ тохиолдолд тойрог нь α өнцгийн бүх боломжит утгыг илэрхийлнэ - 0 ° -аас 360 ° хүртэл. Зургаас харахад функц бүр сөрөг эсвэл авдаг эерэг утгаөнцгөөс хамаарна. Жишээлбэл, хэрэв α нь тойргийн I ба II хэсэгт хамаарах бол нүгэл α нь "+" тэмдэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл 0 ° -аас 180 ° хүртэл байна. α нь 180°-аас 360° хүртэл (III ба IV улирал) байвал sin α нь зөвхөн сөрөг утгатай байж болно.

Бариулахыг хичээцгээе тригонометрийн хүснэгтүүдтодорхой өнцгийн хувьд хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг олж мэдээрэй.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° гэх мэт α-ийн утгыг онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, тусгай хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв.

Эдгээр өнцгүүдийг санамсаргүй байдлаар сонгоогүй. Хүснэгт дэх π тэмдэглэгээ нь радианд зориулагдсан. Рад нь дугуй нумын урт нь түүний радиустай тохирч байх өнцөг юм. Энэ утгыг бүх нийтийн харилцааг бий болгохын тулд оруулсан бөгөөд радианаар тооцоолоход радиусын бодит урт нь см-ээр хамаарахгүй.

Тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн өнцөг нь радиан утгатай тохирч байна.

Тэгэхээр 2π нь бүтэн тойрог буюу 360° гэдгийг таахад хэцүү биш юм.

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд: синус ба косинус

Синус ба косинус, тангенс ба котангенсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх, харьцуулахын тулд тэдгээрийн функцийг зурах шаардлагатай. Үүнийг хоёр хэмжээст координатын системд байрлах муруй хэлбэрээр хийж болно.

Санаж үз харьцуулах хүснэгтСинусоид ба косинусын долгионы шинж чанарууд:

синусоид	косинусын долгион
у = нүгэл х	у = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, хувьд x = πk, энд k ϵ Z	cos x = 0, хувьд x = π/2 + πk, энд k ϵ Z
sin x = 1, хувьд x = π/2 + 2πk, энд k ϵ Z	cos x = 1, хувьд x = 2πk, энд k ϵ Z
sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, энд k ϵ Z	cos x = - 1, хувьд x = π + 2πk, энд k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, өөрөөр хэлбэл сондгой функц	cos (-x) = cos x, өөрөөр хэлбэл функц нь тэгш байна
	функц нь үечилсэн, хамгийн бага үе нь 2π
sin x › 0, x нь I ба II хэсэгт хамаарах буюу 0°-аас 180° хүртэл (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x нь I ба IV улиралд хамаарах буюу 270°-аас 90° хүртэл (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x нь III ба IV улиралд хамаарах буюу 180°-аас 360° хүртэл (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x нь II ба III улиралд хамаарах буюу 90°-аас 270° хүртэл (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
[- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] интервал дээр нэмэгдэнэ.	[-π + 2πk, 2πk] интервал дээр нэмэгддэг
[ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] интервалууд дээр буурдаг.	интервалаар буурдаг
дериватив (нүгэл х)' = cos x	дериватив (cos x)’ = - sin x

Функц тэгш эсвэл тэгш биш эсэхийг тодорхойлох нь маш энгийн. Тригонометрийн хэмжигдэхүүний шинж тэмдэг бүхий тригонометрийн тойргийг төсөөлж, OX тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийг оюун ухаанаар "нугалахад" хангалттай. Тэмдгүүд ижил байвал функц нь тэгш, үгүй ​​бол сондгой байна.

Радиануудын танилцуулга, синусоид ба косинусын долгионы үндсэн шинж чанарыг тоолох нь дараахь хэв маягийг авчрах боломжийг бидэнд олгодог.

Томъёоны зөв эсэхийг шалгах нь маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, x = π/2-ийн хувьд синус нь 1-тэй тэнцүү, x = 0-ийн косинус нь өгөгдсөн утгуудын хувьд хүснэгтүүдийг харах эсвэл функцийн муруйг мөрдөх замаар шалгах боломжтой.

Тангентоид ба котангентоидын шинж чанарууд

Тангенс ба котангентын функцүүдийн графикууд нь синусоид ба косинусын долгионоос эрс ялгаатай. tg ба ctg утга нь бие биенээсээ урвуу байна.

1. Y = tgx.
2. Шүргэгч нь x = π/2 + πk дахь y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч тэдгээрт хэзээ ч хүрдэггүй.
3. Тангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
5. Tg x = 0, x = πk-ийн хувьд.
6. Функц нэмэгдэж байна.
7. Tg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (— π/2 + πk, πk).
9. Дериватив (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Текст дэх котангентоидын график дүрслэлийг авч үзье.

Котангентоидын үндсэн шинж чанарууд:

1. Y = ctgx.
2. Синус ба косинусын функцээс ялгаатай нь тангентоид Y нь бүх бодит тоонуудын багцын утгыг авч болно.
3. Котангентоид нь x = πk үед y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй.
4. Котангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk-ийн хувьд.
7. Функц нь буурч байна.
8. Ctg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (π/2 + πk, πk).
10. Дериватив (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Засвар

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулагдсан.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Юуны өмнө "Синус, косинус гэж юу вэ? Тангенс ба котангенс гэж юу вэ?" гэсэн хичээлээс энгийн боловч маш хэрэгтэй дүгнэлтийг сануулъя.

Энэ гаралт нь:

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тэдгээрийн өнцөгтэй нягт холбоотой байдаг. Бид нэг зүйлийг мэддэг болохоор өөр зүйлийг мэддэг.

Өөрөөр хэлбэл өнцөг бүр өөрийн гэсэн тогтмол синус болон косинустай байдаг. Мөн бараг бүх хүн өөрийн шүргэгч, котангенстай байдаг. Яагаад бараг л?Энэ талаар доор дэлгэрэнгүй үзнэ үү.

Энэ мэдлэг танд маш их тус болно! Та синусуудаас өнцөг рүү, эсрэгээр нь шилжих шаардлагатай олон даалгавар байдаг. Үүний тулд бий синус хүснэгт.Үүний нэгэн адил, косинустай ажлын хувьд - косинусын хүснэгт.Мөн та таамаглаж байсан, тэнд байна шүргэгч хүснэгтТэгээд котангентын хүснэгт.)

Хүснэгтүүд өөр өөр байдаг. Урт хүмүүс, та юу харж болно, sin37 ° 6 ' тэнцүү байна гэж хэлж болно. Бид Bradis хүснэгтүүдийг нээж, зургаан минутын гучин долоон градусын өнцгийг хайж, 0.6032 утгыг харна. Мэдээжийн хэрэг, энэ тоог (мөн бусад олон мянган хүснэгтийн утгыг) санах нь туйлын шаардлагагүй юм.

Үнэндээ бидний цаг үед косинус, синус, тангенс, котангентын урт хүснэгтүүд үнэхээр хэрэггүй болсон. Нэг сайн тооцоолуур нь тэдгээрийг бүрэн орлуулдаг. Гэхдээ ийм хүснэгтүүд байгаа талаар мэдэх нь гэмтээхгүй. Ерөнхий мэдлэгийн хувьд.)

Яагаад энэ хичээл? - Та асуух.

Гэхдээ яагаад. Хязгааргүй тооны өнцгүүдийн дунд байдаг Онцгой,мэдэх ёстой зүйлийн талаар Бүгд. Сургуулийн бүх геометр, тригонометрийг эдгээр өнцгөөр бүтээдэг. Энэ бол тригонометрийн нэг төрлийн "үржүүлэх хүснэгт" юм. Хэрэв та sin50° гэж юутай тэнцэхийг мэдэхгүй бол хэн ч чамайг шүүхгүй.) Харин sin30° нь юутай тэнцэхийг мэдэхгүй байгаа бол гавъяатай deuce авахад бэлэн байгаарай...

Ийм Онцгойбулангуудыг бас зохих ёсоор бичдэг. Сургуулийн сурах бичгийг ихэвчлэн цээжлэхэд эелдэгээр санал болгодог. Синусын хүснэгт ба косинусын хүснэгтарван долоон булангийн хувьд. Тэгээд мэдээж тангенсийн хүснэгт ба котангентын хүснэгтижил арван долоон булангийн төлөө ... Тэр нь. 68 утгыг санахыг санал болгож байна. Дашрамд хэлэхэд бие биентэйгээ маш төстэй байдаг тул тэмдгүүдийг үе үе давтаж, өөрчилдөг. Тохиромжтой харааны санах ойгүй хүний ​​хувьд энэ бол өөр ажил юм ...)

Бид өөр замаар явах болно. Механик цээжлэх ухааныг логик, овсгоо ухаанаар солицгооё. Дараа нь бид синусын болон косинусын хүснэгтийн 3 (гурван!) утгыг цээжлэх хэрэгтэй. Шүргэгчийн хүснэгт ба котангентын хүснэгтийн 3 (гурван!) утга. Тэгээд л болоо. Зургаан утгыг санах нь 68-аас илүү хялбар байдаг гэж би бодож байна ...)

Бид эдгээр зургаан зүйлээс бусад бүх шаардлагатай утгыг хууль эрх зүйн хуудсуудыг ашиглан олж авах болно. - тригонометрийн тойрог. Хэрэв та энэ сэдвийг судлаагүй бол холбоос руу орно уу, залхуурах хэрэггүй. Энэ дугуйлан нь зөвхөн энэ хичээлд зориулагдаагүй. Тэр бол орлуулшгүй бүх тригонометрийн хувьд нэг дор. Ийм хэрэгслийг ашиглахгүй байх нь зүгээр л нүгэл юм! Та хүсэхгүй байна? Энэ бол таны бизнес. цээжлэх синус хүснэгт. косинусын хүснэгт. Тангентын хүснэгт. Котангентын хүснэгт.Янз бүрийн өнцгийн бүх 68 утга.)

За ингээд эхэлцгээе. Эхлэхийн тулд эдгээр бүх тусгай өнцгийг гурван бүлэгт хувааж үзье.

Булангийн эхний бүлэг.

Эхний бүлгийг авч үзье арван долоон булан Онцгой. Эдгээр нь 0°, 90°, 180°, 270°, 360° гэсэн 5 өнцөг юм.

Эдгээр өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт дараах байдалтай байна.

Өнцөг x (градусаар)	0	90	180	270	360
Өнцөг x (радианаар)	0
гэм х	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	нэр үг биш	0	нэр үг биш	0
ctg x	нэр үг биш	0	нэр үг биш	0	нэр үг биш

Санахыг хүсдэг хүмүүс - санаж яваарай. Гэхдээ энэ бүх нэг, тэг хоёр миний толгойд маш их эргэлзэж байгааг би шууд хэлэх ёстой. Таны хүссэнээс хамаагүй хүчтэй.) Тиймээс бид логик болон тригонометрийн тойргийг асаана.

Бид тойрог зурж, дээр нь ижил өнцгүүдийг тэмдэглэнэ: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Би эдгээр булангуудыг улаан цэгээр тэмдэглэв.

Эдгээр булангуудын онцлог нь юу болохыг та шууд харж болно. Тийм ээ! Эдгээр нь унадаг булангууд юм яг координатын тэнхлэг дээр!Уг нь хүмүүс андуураад л байдаг юм... Гэхдээ бид төөрөлдөхгүй. Эдгээр өнцгүүдийн тригонометрийн функцийг нэг их цээжлэхгүйгээр хэрхэн олохыг олж мэдье.

Дашрамд хэлэхэд, өнцгийн байрлал нь 0 градус байна бүрэн давхцаж байна 360 градусын өнцөгтэй. Энэ нь эдгээр өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс нь яг ижил байна гэсэн үг юм. Тойргийг дуусгахын тулд би 360 градусын өнцгийг тэмдэглэв.

Улсын нэгдсэн шалгалтын хүнд хэцүү нөхцөлд та ямар нэгэн байдлаар эргэлзэж байсан гэж бодъё ... 0 градусын синус хэдтэй тэнцүү вэ? Тэг шиг санагдаж байна ... Нэгж байвал яах вэ?! Механик санах ой бол ийм зүйл юм. Хэцүү нөхцөлд эргэлзээ төрж эхэлдэг ...)

Тайвшир, зөвхөн тайвшир!) Би танд 100% зөв хариулт өгч, бүх эргэлзээг бүрэн арилгах практик техникийг хэлэх болно.

Жишээлбэл, 0 градусын синусыг хэрхэн тодорхой бөгөөд найдвартай тодорхойлохыг олж мэдье. Үүний зэрэгцээ, косинус 0. Эдгээр утгууд нь хачирхалтай нь хүмүүс ихэвчлэн эргэлздэг.

Үүнийг хийхийн тулд тойрог дээр зур дур зоргоорообулан X. Эхний улиралд 0 хэмээс холгүй байсан. Энэ өнцгийн синус ба косинусыг тэнхлэг дээр тэмдэглэ X,бүх зүйл чинар. Үүн шиг:

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Өнцгийг багасгах X, хөдлөх талыг тэнхлэгт хүргэнэ Өө. Зурган дээр хулганыг аваачиж (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү) бүх зүйлийг харна уу.

Одоо энгийн логикийг асаана уу!Хараад бодоод үз: x өнцөг багасах үед синкс хэрхэн ажилладаг вэ? Өнцөг тэг рүү ойртох тусам?Энэ нь багасч байна! Мөн cosx - нэмэгддэг!Өнцөг бүрэн нурах үед синус юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Хэзээ өнцгийн хөдөлж буй тал (А цэг) OX тэнхлэг дээр тогтож, өнцөг нь тэгтэй тэнцүү болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн синус мөн тэг болно. Мөн косинус нь ... хүртэл ... хүртэл нэмэгдэх болно Өнцгийн хөдөлж буй талын урт (тригонометрийн тойргийн радиус) хэд вэ? Эв нэгдэл!

Хариулт нь энд байна. 0 градусын синус нь 0. 0 градусын косинус нь 1. Үнэмлэхүй төмрөөр хучигдсан бөгөөд ямар ч эргэлзээгүй!) Зүгээр л учир нь өөрөөр хэлбэл. байж болохгүй.

Яг үүнтэй адилаар та жишээ нь 270 градусын синусыг олж (эсвэл тодруулж) болно. Эсвэл косинус 180. Тойрог зур, дур зоргоорооБидний сонирхож буй координатын тэнхлэгийн хажууд дөрөвний нэг дэх өнцөг, өнцгийн талыг оюун ухаанаараа хөдөлгөж, өнцгийн тал нь тэнхлэг дээр тогтох үед синус ба косинус ямар болохыг тогтооно. Тэгээд л болоо.

Таны харж байгаагаар энэ бүлгийн өнцгийн хувьд юу ч цээжлэх шаардлагагүй. энд хэрэггүй синус хүснэгт...Тиймээ бас косинусын хүснэгт- бас.) Дашрамд хэлэхэд, тригонометрийн тойргийг хэд хэдэн удаа ашигласны дараа эдгээр бүх утгыг өөрөө санаж байна. Хэрэв тэд мартагдсан бол 5 секундын дотор тойрог зурж, тодруулсан. Гэрчилгээ авах эрсдэлтэй найз руугаа жорлонгоос залгахаас хамаагүй хялбар, тийм үү?)

Тангенс ба котангентын хувьд бүх зүйл ижил байна. Бид тойрог дээр шүргэгч (котангенс) шугам зурдаг бөгөөд бүх зүйл шууд харагдана. Хаана тэгтэй тэнцүү, хаана байхгүй байна. Юу вэ, та шүргэгч ба котангенсийн шугамын талаар мэдэхгүй байна уу? Энэ бол гунигтай, гэхдээ засах боломжтой.) 555-р хэсэгт зочилсон Тригонометрийн тойрог дээрх тангенс ба котангенс - ямар ч асуудалгүй!

Хэрэв та эдгээр таван өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг хэрхэн тодорхой тодорхойлохыг ойлгосон бол баяр хүргэе! Ямар ч тохиолдолд та одоо функцуудыг тодорхойлж болно гэдгийг би танд мэдэгдье тэнхлэгт унах аливаа өнцөг.Мөн энэ нь 450 °, мөн 540 °, 1800 °, тэр ч байтугай хязгааргүй тоо ...) Би тоолсон (зөв!) Тойрог дээрх өнцгийг - мөн функцүүдэд ямар ч асуудал байхгүй.

Гэхдээ зөвхөн өнцгийг тоолоход асуудал, алдаа гардаг ... Үүнээс хэрхэн зайлсхийх талаар хичээл дээр бичсэн байдаг: Тригонометрийн тойрог дээр дурын өнцгийг градусаар хэрхэн зурах (тоолох). Анхан шатны, гэхдээ алдаатай тэмцэхэд маш их тустай.)

Энд сургамж байна: Тригонометрийн тойрог дээр дурын өнцгийг радианаар хэрхэн зурах (тоолох) - энэ нь илүү огцом байх болно. Боломжийн хувьд. Дөрвөн хагас тэнхлэгийн алинд нь өнцөг унахыг тодорхойл гэж хэлье

Та хэдхэн секундын дотор чадна. Би тоглож байгаа юм биш! Хэдхэн секундын дотор. Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн 345 "pi" биш ...) Мөн 121, 16, -1345. Бүхэл тоон коэффициент нь агшин зуурын хариултанд тохиромжтой.

Хэрэв өнцөг байвал яах вэ

Бодоод үз! Зөв хариултыг 10 секундын дотор авна. Хоёр хуваарьтай радианы бутархай утгын хувьд.

Үнэн хэрэгтээ тригонометрийн тойрог нь үүнд тохиромжтой. хамтран ажиллах чадвартай гэдгийг баримт зарим ньбулангуудад автоматаар тэлдэг хязгааргүй олонлогбулангууд.

Тиймээс, арван долоон булангаас таван булантай - үүнийг ойлгов.

Хоёр дахь бүлэг өнцөг.

Дараагийн бүлэг өнцгүүд нь 30°, 45°, 60° өнцөг юм. Жишээлбэл, 20, 50, 80 биш, яагаад эдгээр вэ? Тийм ээ, энэ нь ямар нэгэн байдлаар ийм болсон ... Түүхэнд.) Цаашид эдгээр өнцөгүүд хэр сайн болохыг харах болно.

Эдгээр өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт дараах байдалтай байна.

Өнцөг x (градусаар)	0	30	45	60	90
Өнцөг x (радианаар)	0
гэм х	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		нэр үг биш
ctg x	нэр үг биш		1		0

Би өмнөх хүснэгтээс 0° ба 90°-ийн утгыг бүрэн бүтэн байлгахын тулд үлдээсэн.) Эдгээр өнцгүүд эхний улиралд хэвтэж, нэмэгдэж байгааг тодорхой болгохын тулд. 0-ээс 90 хүртэл. Энэ нь бидэнд цаашид хэрэг болно.

30°, 45°, 60° өнцгийн хүснэгтийн утгыг цээжлэх ёстой. Хүсвэл зураасай. Гэхдээ энд бас өөрийнхөө амьдралыг хөнгөвчлөх боломж бий.) Анхаар синус хүснэгтийн утгуудэдгээр булангууд. Мөн харьцуулах косинусын хүснэгтийн утгууд...

Тийм ээ! Тэд адилхан!Зөвхөн урвуу дарааллаар. Өнцөг нэмэгдэж (0, 30, 45, 60, 90) - ба синусын утгууд нэмэгдүүлэх 0-ээс 1 хүртэл. Та тооцоолуураар баталгаажуулж болно. Мөн косинусын утгууд - буурах 1-ээс тэг хүртэл. Түүнээс гадна, өөрсдийгөө үнэлдэг адилхан. 20, 50, 80 өнцгийн хувьд ийм зүйл болохгүй байсан...

Тиймээс ашигтай дүгнэлт. Сурахад хангалттай гурав 30, 45, 60 градусын өнцгийн утгууд. Тэд синусыг нэмэгдүүлж, косинусыг бууруулдаг гэдгийг санаарай. Синус руу.) Хагас замд (45°) уулзана, өөрөөр хэлбэл 45 градусын синус нь 45 градусын косинустай тэнцүү байна. Тэгээд тэд дахин хуваагдана ... Гурван утгыг сурч болно, тийм үү?

Шүргэгч - котангентын хувьд зураг нь зөвхөн ижил байна. Нэгийг харьцах нэгийн. Зөвхөн үнэ цэнэ нь ялгаатай. Эдгээр үнэ цэнийг (дахиад гурвыг) бас сурах хэрэгтэй.

За тэгээд бараг бүх цээжлэх ажил дууслаа. Та тэнхлэгт унах таван өнцгийн утгыг хэрхэн тодорхойлохыг ойлгож, 30, 45, 60 градусын өнцгийн утгыг олж мэдсэн (найдаж байна). Нийт 8.

Сүүлийн 9 булангийн хэсгийг шийдвэрлэх л үлдлээ.

Эдгээр нь булангууд юм:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300 °; 315°; 330°. Эдгээр өнцгүүдийн хувьд та синусын төмөр хүснэгт, косинусын хүснэгт гэх мэтийг мэдэх хэрэгтэй.

Хар дарсан зүүд, тийм үү?)

Хэрэв та энд өнцгүүдийг нэмбэл: 405 °, 600 °, эсвэл 3000 ° ба олон, ижил төстэй олон янзын өнцөг үү?)

Эсвэл радиан дахь өнцөг үү? Жишээлбэл, булангийн талаар:

болон бусад олон зүйлийг та мэдэх ёстой Бүгд.

Хамгийн хөгжилтэй зүйл бол мэдэх явдал юм Бүгд - зарчмын хувьд боломжгүй.Хэрэв та механик санах ой ашигладаг бол.

Хэрэв та тригонометрийн тойрог ашигладаг бол энэ нь маш хялбар, үнэндээ энгийн зүйл юм. Хэрэв та тригонометрийн тойрогтой ажиллах юм бол градусаар илэрхийлсэн бүх аймшигт өнцгийг хуучин сайн өнцгүүд рүү хялбархан бөгөөд гоёмсог байдлаар багасгаж болно.

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.