Энэ өгүүлэл нь гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгай дээрх хоёр векторын перпендикуляр байдлын утгыг илчилж, нэг буюу бүхэл хос векторт перпендикуляр векторын координатыг олох болно. Энэ сэдэв нь шулуун ба хавтгайн тэгшитгэлтэй холбоотой асуудлуудад хамаатай.

Бид хоёр вектор перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг авч үзэж, өгөгдсөн векторт перпендикуляр векторыг олох аргыг шийдэж, хоёр векторт перпендикуляр векторыг олох нөхцөл байдлын талаар ярих болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёр вектор перпендикуляр байх зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл

Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд перпендикуляр векторуудын тухай дүрмийг хэрэгжүүлье.

Тодорхойлолт 1

90 ° (π 2 радиан) -тай тэнцэх тэгээс ялгаатай хоёр векторын хоорондох өнцгийн утгыг өгөгдсөн гэж нэрлэдэг. перпендикуляр.

Энэ нь юу гэсэн үг вэ, ямар нөхцөлд тэдгээрийн перпендикуляр байдлын талаар мэдэх шаардлагатай вэ?

Зургийн тусламжтайгаар перпендикуляр байдлыг тогтоох боломжтой. Өгөгдсөн цэгүүдээс хавтгайд вектор зурахдаа тэдгээрийн хоорондох өнцгийг геометрээр хэмжиж болно. Векторуудын перпендикуляр байдал, хэрэв энэ нь тогтоогдсон бол бүрэн үнэн зөв биш юм. Ихэнхдээ эдгээр асуудлууд нь протектороор үүнийг хийхийг зөвшөөрдөггүй тул энэ аргыг векторуудын талаар өөр юу ч мэдэхгүй тохиолдолд л хэрэглэнэ.

Хавтгай эсвэл огторгуй дахь тэгээс ялгаатай хоёр векторын перпендикуляр байдлыг батлах ихэнх тохиолдлуудыг ашиглан хийдэг. хоёр векторын перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.

Теорем 1

a → , b → = 0 тэгшитгэлийг биелүүлэх тэгтэй тэнцүү a → ба b → тэгээс ялгаатай хоёр векторын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн перпендикуляр байдалд хангалттай.

Баталгаа 1

Өгөгдсөн векторууд a → ба b → перпендикуляр байя, тэгвэл a ⇀ , b → = 0 тэнцүү болохыг батлах болно.

-ийн тодорхойлолтоос скаляр бүтээгдэхүүнвекторуудтэнцүү гэдгийг бид мэднэ Өгөгдсөн векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр. Нөхцөлөөр a → ба b → нь перпендикуляр тул тодорхойлолтод үндэслэн тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 ° байна. Дараа нь бид a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 байна.

Нотлох баримтын хоёр дахь хэсэг

a ⇀ , b → = 0 байх нөхцөлд a → ба b → -ийн перпендикуляр байдлыг батлах.

Үнэн хэрэгтээ нотолгоо нь өмнөх нотолгооны эсрэг тал юм. a → ба b → нь тэг биш гэдгийг мэддэг тул a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ тэгшитгэлээс бид косинусыг олно. Дараа нь бид cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 болно. Косинус нь тэг тул a → ба b → векторуудын a → , b → ^ өнцөг 90 ° байна гэж дүгнэж болно. Тодорхойлолтоор бол энэ нь зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай өмч юм.

Координатын хавтгай дээрх перпендикуляр нөхцөл

Бүлэг координат дахь цэгийн бүтээгдэхүүнтэгш бус байдлыг харуулна (a → , b →) = a x b x + a y b y , a → = (a x , a y) ба b → = (b x, b y) координаттай векторуудад хүчинтэй, хавтгай дээрх ба (a → , b → ) = a x b x + a y b y векторуудын хувьд a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) орон зайд. Хоёр вектор перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл координатын хавтгай a x b x + a y b y = 0 хэлбэртэй байна гурван хэмжээст орон зай a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Үүнийг практикт хэрэгжүүлж, жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1

a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) хоёр векторын перпендикуляр байдлын шинж чанарыг шалгана уу.

Шийдэл

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд скаляр үржвэрийг олох хэрэгтэй. Хэрэв нөхцөлөөр энэ нь тэгтэй тэнцүү байвал тэдгээр нь перпендикуляр байна.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн векторууд хавтгайд перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Хариулт:тийм, өгөгдсөн векторууд a → ба b → перпендикуляр байна.

Жишээ 2

Өгөгдсөн координатын векторууд i → , j → , k → . i → - j → ба i → + 2 j → + 2 k → векторууд перпендикуляр байж болох эсэхийг шалга.

Шийдэл

Векторын координатууд хэрхэн тодорхойлогддогийг санахын тулд та нийтлэлийг унших хэрэгтэй тэгш өнцөгт координат дахь вектор координат.Ийнхүү өгөгдсөн i → - j → ба i → + 2 j → + 2 k → векторууд нь харгалзах (1, - 1, 0) ба (1, 2, 2) координатуудтай болохыг олж авна. Орлуулах тоон утгуудмөн бид дараахийг авна: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Илэрхийлэл нь тэг биш, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , энэ нь i → - j → ба i → + 2 j → + 2 k → векторууд биш гэсэн үг юм. нөхцөл хангагдаагүй тул перпендикуляр.

Хариулт:үгүй, i → - j → ба i → + 2 j → + 2 k → векторууд перпендикуляр биш байна.

Жишээ 3

Өгөгдсөн векторууд a → = (1 , 0 , - 2) ба b → = (λ , 5 , 1) . Өгөгдсөн векторууд перпендикуляр байх λ утгыг ол.

Шийдэл

Орон зай дахь хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг квадрат хэлбэрээр ашиглавал бид олж авна

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Хариулт:векторууд λ = 2 утгад перпендикуляр байна.

Шаардлагатай, хангалттай нөхцөлд ч перпендикуляр байдлын асуудал боломжгүй байх тохиолдол байдаг. Хоёр вектор дээрх гурвалжны гурван талын мэдэгдэж буй өгөгдөлтэй бол үүнийг олох боломжтой векторуудын хоорондох өнцөгтэгээд шалгаарай.

Жишээ 4

A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 см талуудтай A B C гурвалжин өгөгдсөн A B → ба A C → векторуудын перпендикуляр байдлыг шалгана уу.

Шийдэл

A B → ба A C → векторууд перпендикуляр байвал A B C гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж үзнэ. Дараа нь бид Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ, BC нь гурвалжны гипотенуз юм. B C 2 = A B 2 + A C 2 тэгш байдлыг хангасан байх ёстой. Үүнээс үзэхэд 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 болно. Тиймээс A B ба A C гурвалжны A B C гурвалжны хөлүүд тул A B → ба A C → нь перпендикуляр байна.

Өгөгдсөн векторын перпендикуляр координатыг хэрхэн олохыг сурах нь чухал юм. Энэ нь векторууд перпендикуляр байх тохиолдолд хавтгайд ч, орон зайд ч боломжтой.

Хавтгайд өгөгдсөн векторыг перпендикуляр олох.

Тэг биш a → вектор нь хавтгайд хязгааргүй тооны перпендикуляр вектортой байж болно. Үүнийг координатын шулуун дээр дүрсэлье.

a шулуун дээр байрлах тэг биш a → вектор өгөгдсөн. Тэгвэл a шулуунд перпендикуляр дурын шулуун дээр байрлах өгөгдсөн b → нь перпендикуляр болж a → . Хэрэв i → вектор j → векторт перпендикуляр эсвэл λ нь тэгээс бусад бодит тоотой тэнцүү λ · j → векторуудын аль нэг нь байвал b → векторын перпендикуляр a → = (a x , a y) координатыг олно. шийдлийн хязгааргүй багц болгон бууруулна. Харин a → = (a x , a y) -д перпендикуляр векторын координатыг олох шаардлагатай. Үүний тулд векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг a x · b x + a y · b y = 0 хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Бидэнд перпендикуляр векторын хүссэн координат болох b x ба b y байна. a x ≠ 0 үед b y-ийн утга тэгээс өөр байх ба b x-ийг a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x тэгш бус байдлаас тооцоолно. a x = 0 ба a y ≠ 0 үед бид b x-д тэгээс өөр ямар ч утгыг өгөх ба b y = - a x · b x a y илэрхийллээс b y нь олддог.

Жишээ 5

a → = (- 2 , 2) координаттай вектор өгөгдсөн. Өгөгдсөнтэй перпендикуляр векторыг ол.

Шийдэл

Хүссэн векторыг b → (b x , b y) гэж тэмдэглэ. a → ба b → векторууд перпендикуляр байх нөхцөлөөс та түүний координатыг олж болно. Дараа нь бид: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 болно. b y = 1 гэж оноож, орлуулах: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Эндээс томъёоноос бид b x = - 2 - 2 = 1 2 болно. Эндээс b → = (1 2 , 1) вектор нь a → -д перпендикуляр вектор байна.

Хариулт: b → = (1 2 , 1) .

Гурван хэмжээст орон зайн тухай асуудал гарвал ижил зарчмаар асуудлыг шийддэг. Өгөгдсөн a → = (a x, a y, a z) векторын хувьд перпендикуляр векторуудын хязгааргүй олонлог байна. Үүнийг координатын 3D хавтгай дээр засах болно. Өгөгдсөн a → шугаман дээр хэвтэх a . Шулуун а-д перпендикуляр хавтгайг α гэж тэмдэглэв. Энэ тохиолдолд α хавтгайаас ямар ч тэг биш b → вектор нь a → -д перпендикуляр байна.

Тэг биш векторт перпендикуляр b → координатыг олох шаардлагатай a → = (a x , a y , a z) .

b → координатыг b x , b y ба b z-ээр өгье. Тэдгээрийг олохын тулд хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцлийн тодорхойлолтыг ашиглах шаардлагатай. a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 тэнцүү байх ёстой. a → - тэг биш нөхцөл байдлаас харахад координатуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү биш утгатай байна. a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 эсвэл a z ≠ 0) гэж бодъё. Иймд бид a x b x + a y b y + a z b z = 0 тэгш бус байдлыг бүхэлд нь энэ координатаар хуваах эрхтэй бөгөөд бид b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x илэрхийлэлийг авна. Бид b y ба b x координатуудад дурын утгыг оноож, b x утгыг тооцоолж, b x = - a y · b y + a z · b z a x гэсэн томъёонд үндэслэн тооцно. Хүссэн перпендикуляр вектор нь a → = (a x , a y , a z) утгатай байна.

Нотлох баримтыг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 6

a → = (1 , 2 , 3) ​​  координаттай вектор өгөгдсөн. Өгөгдсөнтэй перпендикуляр векторыг ол.

Шийдэл

Хүссэн векторыг b → = (b x , b y , b z) гэж тэмдэглэ. Векторууд перпендикуляр байх нөхцөлийг үндэслэн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Хэрэв утга b y = 1, b z = 1 бол b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 болно. Үүнээс үзэхэд векторын координатууд b → (- 5 , 1 , 1) байна. b → вектор нь өгөгдсөн перпендикуляр векторуудын нэг юм.

Хариулт: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Өгөгдсөн хоёр векторт перпендикуляр векторын координатыг олох

Гурван хэмжээст орон зайд векторын координатыг олох хэрэгтэй. Энэ нь a → (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) коллинеар бус векторуудад перпендикуляр байна. a → ба b → векторууд хоорондоо уялдаатай байх нөхцөлд бодлогод a → эсвэл b → -д перпендикуляр векторыг олоход хангалттай.

Шийдвэрлэхдээ векторуудын вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг ашигладаг.

Векторуудын хөндлөн үржвэр a → ба b → нь a → ба b → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх вектор юм. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд a → × b → вектор үржвэрийг ашиглана. Гурван хэмжээст орон зайн хувьд энэ нь a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z хэлбэртэй байна.

Бодлогын жишээн дээр вектор бүтээгдэхүүнд илүү дэлгэрэнгүй дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ 7

b → = (0, 2, 3) ба a → = (2, 1, 0) векторууд өгөгдсөн. Өгөгдөлд нэгэн зэрэг перпендикуляр векторын координатыг ол.

Шийдэл

Үүнийг шийдэхийн тулд векторуудын хөндлөн үржвэрийг олох хэрэгтэй. (Догол мөрийг заавал үзнэ үү матриц тодорхойлогчийн тооцоовекторыг олох). Бид авах:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Хариулт: (3 , - 6 , 4) - Өгөгдсөн a → ба b → -д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторын координатууд.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Заавар

Хэрэв зураг дээр анхны векторыг тэгш өнцөгт хоёр хэмжээст координатын системд харуулсан бол перпендикулярыг нэг газар барих шаардлагатай бол хавтгай дээрх векторуудын перпендикуляр байдлын тодорхойлолтыг үргэлжлүүлнэ үү. Ийм хос чиглэсэн сегментийн хоорондох өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү байх ёстой гэж заасан байдаг. Хязгааргүй олон тооны ийм векторуудыг бүтээх боломжтой. Тиймээс ямар ч хэлбэрээр зур тохиромжтой байршиланхны вектортой перпендикуляр хавтгайд өгөгдсөн цэгийн хосын урттай тэнцүү сегментийг байрлуулж, түүний төгсгөлүүдийн аль нэгийг перпендикуляр векторын эхлэл болгон онооно. Үүнийг протектор ба захирагчаар хий.

Анхны векторыг ā = (X₁;Y₁) хоёр хэмжээст координатаар өгвөл перпендикуляр хос векторын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэсэн баримтыг үндэслэнэ. Энэ нь та (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 тэнцүү байх координатуудыг ō = (X₂,Y₂) хүссэн вектордоо сонгох хэрэгтэй гэсэн үг юм.Үүнийг дараах байдлаар хийж болно: сонгох X₂ координатын тэгээс бусад утгыг авах ба Y₂ координатыг Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ томъёогоор тооцоол. Жишээлбэл, ā = (15;5) векторын хувьд абсцисс бүхий ō вектор байх болно. нэгтэй тэнцүү, ба ординат нь -(15*1)/5 = -3-тэй тэнцүү, i.e. ō = (1;-3).

Гурван хэмжээст болон бусад аливаа ортогональ координатын системийн хувьд векторуудын перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь үнэн юм - тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Иймд анхны чиглүүлсэн хэрчим нь ā = (X₁,Y₁,Z₁) координатаар өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр эрэмбэлэгдсэн ō = (X₂,Y₂,Z₂) цэгүүдийн хувьд (ā) нөхцөлийг хангасан координатуудыг сонго. ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Хамгийн хялбар арга бол X₂ ба Y₂-д дан утгыг оноож, Z₂ = -1*(X₁*1 +) хялбаршуулсан тэгшитгэлээс Z₂-ийг тооцоолох явдал юм. Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Жишээлбэл, ā = (3,5,4) векторын хувьд энэ нь дараах хэлбэрийг авна: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Дараа нь абсцисс ба ординатыг авна. перпендикуляр вектор нь нэгдмэл байх ба энэ тохиолдолд -(3+5)/4 = -2 байна.

Эх сурвалжууд:

• вектор перпендикуляр бол ол

Перпендикуляр гэж нэрлэдэг вектор, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90º байна. Перпендикуляр векторуудыг зургийн хэрэгсэл ашиглан бүтээдэг. Хэрэв тэдгээрийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол векторуудын перпендикуляр байдлыг шалгаж эсвэл олох боломжтой аналитик аргууд.

Танд хэрэгтэй болно

• - протектор;
• - луужин;
• - шугам.

Заавар

Өгөгдсөнд перпендикуляр вектор байгуул. Үүнийг хийхийн тулд векторын эхлэл болох цэг дээр перпендикулярыг сэргээнэ. Үүнийг 90º өнцгийг хажуу тийш нь шилжүүлэгчээр хийж болно. Хэрэв протектор байхгүй бол луужингаар хий.

Үүнийг векторын эхлэлийн цэгт тохируулна уу. Дурын радиустай тойрог зур. Дараа нь эхний тойрог векторын байрлах шугамыг огтолж буй цэгүүдэд төвлөрсөн хоёрыг байгуул. Эдгээр тойргийн радиус нь бие биентэйгээ тэнцүү байх ёстой бөгөөд эхний хийсэн тойргоос их байх ёстой. Тойргуудын огтлолцох цэгүүд дээр анхны векторын эхлэлийн цэгт перпендикуляр байх шулуун шугамыг барьж, өгөгдсөн вектортой перпендикуляр векторыг хажуу тийш нь тавь.

Векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл

Зөвхөн цэгийн үржвэр нь тэг байвал векторууд перпендикуляр байна.

a(xa;ya) ба b(xb;yb) хоёр вектор өгөгдсөн. Хэрэв xaxb + yayb = 0 илэрхийлэл байвал эдгээр векторууд перпендикуляр байх болно.

Хэрэв хөндлөн үржвэр нь тэг байвал векторууд параллель байна

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл. Хавтгай дээрх шулуун шугамын үндсэн даалгаварууд.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг эхний эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно Ax + Vy + C = 0, A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. A2 + B2  0. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ. Үнэт зүйлсээс хамаарна тогтмол A, Bба С-д дараах онцгой тохиолдлууд боломжтой: - C = 0, A  0, B  0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг - A = 0, B  0, C  0 ( By

C \u003d 0) - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - шулуун шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна - B \u003d C \u003d 0, A  0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна - A \u003d C \u003d 0, B  0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. янз бүрийн хэлбэрүүдаливаа өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамаарна.

A, B, C ur-th Ax+By+C=0 коэффициентүүдийн ядаж нэг нь 0-тэй тэнцүү бол ur-e
дуудсан бүрэн бус. Шулуун шугамын тэгшитгэлийн хэлбэрээр түүний байрлалыг дүгнэж болно
хараал ид өө. Боломжит тохиолдлууд:
1 C=0 L: Ax+By=0 t.O(0,0) нь энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа нь шулуун гэсэн үг.
гарал үүслээр дамждаг
2 A=0 L: Wu+C=0 - хэвийн v-r n=(0,B) эндээс OX тэнхлэгт перпендикуляр байна
Энэ нь шугам нь x тэнхлэгтэй параллель байна
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - хэвийн v-r n \u003d (A, 0) эндээс OY тэнхлэгт перпендикуляр байна
шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - гарал үүслээр дамждаггүй, огтлолцдог).
хоёр тэнхлэг.

Тэгшитгэл шулуун　онгоцондхоёроор дамждаг оноо өгсөнМөн:

Онгоц хоорондын өнцөг.

Тодорхойлогчдын тооцоо

Тодорхойлогчдын тооцоо нь бүх эрэмбийн тодорхойлогчдод хамаарах тэдгээрийн мэдэгдэж буй шинж чанарууд дээр суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь:

1. Тодорхойлогчийн хоёр мөрийг (эсвэл хоёр баганыг) дахин цэгцэлвэл тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгдөнө.

2. Тодорхойлогчийн хоёр баганын (эсвэл хоёр мөр) харгалзах элементүүд тэнцүү буюу пропорциональ байвал тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

3. Мөр ба багануудыг дарааллыг нь хадгалан сольсон тохиолдолд тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.

4. Аливаа мөр (эсвэл баганын) бүх элементүүд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол түүнийг тодорхойлогч тэмдэгээс хасаж болно.

5. Нэг мөрийн (эсвэл баганын) элементүүдэд өөр мөр (эсвэл баганын) харгалзах элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.

Матриц ба тэдгээрийн үйлдэл

Матриц- тоонуудын (эсвэл цагираган элементүүдийн) тэгш өнцөгт хүснэгт хэлбэрээр бичигдсэн математик объект, түүнтэй ижил төстэй объектуудын хооронд алгебрийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) хийх боломжтой. Ихэвчлэн матрицыг хоёр хэмжээст (тэгш өнцөгт) хүснэгтээр илэрхийлдэг. Заримдаа олон хэмжээст матриц эсвэл тэгш өнцөгт бус матрицуудыг авч үздэг.

Ихэвчлэн матрицыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэж, дугуй хаалтаар "(...)" ялгадаг (мөн "[...]" дөрвөлжин хаалт эсвэл давхар шулуун шугамын сонголт байдаг "||…| |”).

Матрицыг (матрицын элементүүд) бүрдүүлдэг тоонуудыг ихэвчлэн матрицтай ижил үсгээр тэмдэглэдэг боловч жижиг үсгээр (жишээлбэл, a11 нь А матрицын элемент юм).

Матрицын элемент бүр 2 дэд тэмдэгттэй (aij) - эхний "i" нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаарыг, хоёр дахь "j" нь баганын дугаарыг заана. Тэд "хэмжээний матриц" гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь матриц нь m мөр, n баганатай гэсэн үг юм. Үргэлж ижил матрицад байдаг

Матрицын үйлдлүүд

aij нь А матрицын элементүүд, bij нь В матрицын элементүүд байг.

Шугаман үйлдлүүд:

А матрицыг λ тоогоор үржүүлэх (тэмдэглэгээ: λA) нь В матрицыг бүтээхээс бүрддэг бөгөөд түүний элементүүд нь А матрицын элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлснээр олж авдаг, өөрөөр хэлбэл В матрицын элемент бүр тэнцүү байна. руу

A + B матрицыг нэмэх нь бүх элементүүд нь А ба В матрицын бүх харгалзах элементүүдийн хосын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл С матрицын элемент бүр нь тэнцүү байх C матрицыг олох үйлдэл юм.

A - B матрицыг хасах нь нэмэхтэй адил тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь элементүүд нь C матрицыг олох үйлдэл юм.

Зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицад нэмэх, хасах үйлдлийг зөвшөөрдөг.

Тэг матриц Θ байдаг бөгөөд түүнийг өөр А матрицад нэмэхэд А өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл.

Тэг матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Шугаман бус үйлдлүүд:

Матрицын үржүүлэх (тэмдэглэгээ: AB, ховор тохиолдолд үржүүлэх тэмдэгтэй) нь элементүүд нь эхний хүчин зүйлийн харгалзах мөр ба баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү C матрицыг тооцоолох үйлдэл юм. секунд.циж = ∑ aikbkj k

Эхний үржүүлэгч нь хоёр дахь мөртэй адил олон баганатай байх ёстой. Хэрэв А матриц нь B - хэмжээтэй байвал тэдгээрийн үржвэрийн хэмжээс нь AB = C байна. Матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй.

Матрицын үржүүлэх нь ассоциатив юм. Зөвхөн дөрвөлжин матрицыг хүчин чадал болгон өсгөж болно.

Матрицын шилжүүлэг (тэмдэг: AT) нь матрицыг үндсэн диагональ дагуу тусгах үйл ажиллагаа юм.

Хэрэв А нь хэмжээний матриц бол AT нь хэмжээсийн матриц юм

Дериватив нарийн төвөгтэй функц

Нарийн төвөгтэй функц нь дараах хэлбэртэй байна: F(x) = f(g(x)), i.e. нь функцийн функц юм. Жишээ нь: y = sin2x, y = ln(x2+2x) гэх мэт.

Хэрэв x цэг дээр g (x) функц нь g "(x) дериватив бөгөөд u \u003d g (x) цэг дээр f (u) функц нь f" (u) деривативтай бол үүсмэл байна. x цэг дэх f (g (x)) нийлмэл функц байгаа бөгөөд f"(u)g"(x)-тэй тэнцүү байна.

Далд функцийн дериватив

Олон тооны бодлогод y(x) функцийг шууд бус байдлаар зааж өгдөг. Жишээлбэл, доорх функцүүдийн хувьд

y(x) хамаарлыг тодорхой олж авах боломжгүй.

Далд функцийн y "(x) деривативыг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

Нэгдүгээрт, y нь x-ийн дифференциалагдах функц гэж үзэн, нийлмэл функцийн деривативыг тооцоолох дүрмийг ашиглан тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулах хэрэгтэй;

Үүссэн тэгшитгэлийг у "(x) деривативтай холбоотойгоор шийд.

Тодорхой болгохын тулд цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн y(x) функцийг ялга.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг х хувьсагчаас ялгана:

Энэ нь үр дүнд хүргэдэг

Лапиталийн дүрэм

Л'Хопиталын дүрэм. f(x) ба g(x) нь env-д байгаа f-tiction. t-ki x0 pr-nye f‘ ба g‘ энэ маш т-ку х0-ийн боломжийг хасч тооцно. lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 байг, тэгвэл x®x0-ийн f(x)/g(x) 0/0-ийг өгнө. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim функцийн харьцааны хязгаартай давхцах үед. (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Интервал дээр деривативтай функцийн монотон байдлын шалгуур) Функцийг үзье. тасралтгүй дээр

(a,b) ба цэг бүрт f"(x) дериватив байна. Дараа нь

1)f нь (a,b)-аар нэмэгдэнэ, хэрэв зөвхөн хэрэв байгаа бол

2) (a,b) дээр буурна

2. (Интервал дээр деривативтай функцийн хатуу монотон байх хангалттай нөхцөл) Функцийг бичье. (a,b) дээр тасралтгүй байх ба цэг бүрт f"(x) дериватив байна. Дараа нь

1) хэрэв f нь (a,b) дээр хатуу нэмэгдэж байгаа бол;

2) хэрэв f нь (a,b) дээр хатуу буурч байгаа бол.

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө үнэн биш юм. Хатуу монотон функцийн дериватив алга болж болно. Гэсэн хэдий ч дериватив нь 0-тэй тэнцүү биш цэгүүдийн багц нь (a,b) интервал дээр нягт байх ёстой. Илүү нарийн, энэ нь явагддаг.

3. (Интервал дээр деривативтай функцийн хатуу монотон байдлын шалгуур) ба үүсмэл f"(x) нь интервалын хаа сайгүй тодорхойлогддог. Дараа нь дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд f нь (a,b) интервал дээр хатуу нэмэгдэнэ.

Векторуудын скаляр үржвэр. Векторуудын хоорондох өнцөг. Векторуудын параллелизм буюу перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр юм.

Планиметрийн нэгэн адил дараах баталгааг нотолсон болно.

Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн эдгээр векторууд перпендикуляр байвал тэг болно.

Векторын цэгийн квадрат, өөрөөр хэлбэл өөрийн болон өөрийнхөө цэгийн үржвэр нь түүний уртын квадраттай тэнцүү байна.

Хоёр векторын координатаар өгөгдсөн скаляр үржвэрийг томъёогоор тооцоолж болно

Зөвхөн цэгийн үржвэр нь тэг байвал векторууд перпендикуляр байна. Жишээ. Өгөгдсөн хоёр вектор ба . Хэрэв x1x2 + y1y2 = 0 илэрхийлэл байвал эдгээр векторууд перпендикуляр байх болно. Тэг биш векторуудын хоорондох өнцөг нь эдгээр векторууд чиглүүлэгч болох шулуунуудын хоорондох өнцөг юм. Аливаа вектор ба тэг векторын хоорондох өнцгийг тодорхойлолтоор тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг 90 ° бол ийм векторуудыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг. Векторуудын хоорондох өнцгийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.