• apotemë- lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt, e cila është tërhequr nga maja e saj (përveç kësaj, apotema është gjatësia e pingules, e cila ulet nga mesi i një shumëkëndëshi të rregullt në 1 nga anët e saj);
• fytyrat anësore (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekëndëshat që konvergojnë në krye;
• brinjë anësore ( AS , BS , CS , D.S. ) - anët e përbashkëta të faqeve anësore;
• maja e piramidës (v. S) - një pikë që lidh skajet anësore dhe që nuk shtrihet në rrafshin e bazës;
• lartësia ( KËSHTU QË ) - një segment i pingulit, i cili tërhiqet përmes majës së piramidës në rrafshin e bazës së saj (skajet e një segmenti të tillë do të jenë maja e piramidës dhe baza e pingules);
• seksion diagonal i një piramide- seksioni i piramidës, i cili kalon nga maja dhe diagonalja e bazës;
• bazë (ABCD) është një shumëkëndësh të cilit nuk i përket maja e piramidës.

vetitë e piramidës.

1. Kur të gjitha skajet anësore kanë të njëjtën madhësi, atëherë:

• afër bazës së piramidës është e lehtë të përshkruhet një rreth, ndërsa maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi;
• brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me planin bazë;
• përveç kësaj është e vërtetë edhe e kundërta, d.m.th. kur brinjët anësore formohen me rrafshin bazë kënde të barabarta, ose kur një rreth mund të përshkruhet pranë bazës së piramidës dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi, që do të thotë se të gjitha skajet anësore të piramidës kanë të njëjtën madhësi.

2. Kur faqet anësore kanë një kënd të prirjes ndaj planit të bazës me të njëjtën vlerë, atëherë:

• afër bazës së piramidës, është e lehtë të përshkruhet një rreth, ndërsa maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi;
• lartësitë e faqeve anësore janë me gjatësi të barabartë;
• sipërfaqja e sipërfaqes anësore është ½ produkti i perimetrit të bazës dhe lartësisë së faqes anësore.

3. Një sferë mund të përshkruhet pranë piramidës nëse baza e piramidës është një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të rrafsheve që kalojnë përmes mesit të skajeve të piramidës pingul me to. Nga kjo teoremë nxjerrim përfundimin se, si për çdo trekëndësh, ashtu edhe për cilindo piramida e saktë sfera mund të përshkruhet.

4. Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme dyhëshe të piramidës kryqëzohen në pikën 1 (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të bëhet qendra e sferës.

Piramida më e thjeshtë.

Sipas numrit të qosheve të bazës së piramidës, ato ndahen në trekëndore, katërkëndëshe etj.

Piramida do trekëndëshi, katërkëndëshe, dhe kështu me radhë, kur baza e piramidës është një trekëndësh, një katërkëndësh, e kështu me radhë. Një piramidë trekëndore është një tetrahedron - një tetrahedron. Katërkëndësh - pesëkëndësh dhe kështu me radhë.

Një figurë tredimensionale që shfaqet shpesh në problemet gjeometrike është një piramidë. Më e thjeshta nga të gjitha figurat e kësaj klase është trekëndëshi. Në këtë artikull, ne do të analizojmë në detaje formulat bazë dhe vetitë e saktë

Paraqitje gjeometrike të figurës

Para se të vazhdojmë të shqyrtojmë vetitë e një piramide të rregullt trekëndore, le të hedhim një vështrim më të afërt se për cilën figurë po flasim.

Supozoni se ka një trekëndësh arbitrar brenda hapësirë ​​tredimensionale. Ne zgjedhim çdo pikë në këtë hapësirë ​​që nuk shtrihet në rrafshin e trekëndëshit dhe e lidhim atë me tre kulme të trekëndëshit. Ne morëm një piramidë trekëndore.

Ai përbëhet nga 4 brinjë, të gjitha trekëndësha. Pikat ku takohen tri faqe quhen kulme. Figura ka gjithashtu katër prej tyre. Linjat e kryqëzimit të dy fytyrave janë skaje. Piramida në shqyrtim ka 6 brinjë.Figura më poshtë tregon një shembull të kësaj figure.

Meqenëse figura është e formuar nga katër anët, ajo quhet edhe një tetrahedron.

Piramida e saktë

Më sipër, u konsiderua një figurë arbitrare me një bazë trekëndore. Tani supozojmë se vizatojmë një vijë pingule nga maja e piramidës në bazën e saj. Ky segment quhet lartësi. Është e qartë se është e mundur të shpenzohen 4 lartësi të ndryshme për figurën. Nëse lartësia kryqëzon bazën trekëndore në qendrën gjeometrike, atëherë një piramidë e tillë quhet piramidë e drejtë.

Një piramidë e drejtë, baza e së cilës është një trekëndësh barabrinjës quhet piramidë e rregullt. Për të, formohen të tre trekëndëshat sipërfaqe anësore figurat janë dykëndëshe dhe të barabarta me njëra-tjetrën. Një rast i veçantë i një piramide të rregullt është situata kur të katër anët janë trekëndësha identikë barabrinjës.

Konsideroni vetitë e një piramide të rregullt trekëndore dhe jepni formulat e duhura për llogaritjen e parametrave të saj.

Ana e bazës, lartësia, buza anësore dhe apotema

Çdo dy nga parametrat e listuar përcaktojnë në mënyrë unike dy karakteristikat e tjera. Ne japim formula që lidhin sasitë e emërtuara.

Le të supozojmë se ana e bazës piramidë trekëndore saktë është e barabartë me a. Gjatësia e skajit të saj anësor është e barabartë me b. Sa do të jetë lartësia e një piramide të rregullt trekëndore dhe apotema e saj?

Për lartësinë h marrim shprehjen:

Kjo formulë rrjedh nga teorema e Pitagorës për të cilën janë skaji anësor, lartësia dhe 2/3 e lartësisë së bazës.

Apotema e një piramide është lartësia për çdo trekëndësh anësor. Gjatësia e apotemës a b është:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Nga këto formula mund të shihet se cilado qoftë ana e bazës së një piramide të rregullt trekëndore dhe gjatësia e skajit të saj anësore, apotema do të jetë gjithmonë më shumë lartësi piramidat.

Dy formulat e paraqitura përmbajnë të katër karakteristikat lineare të figurës në fjalë. Prandaj, nga dy të njohurit, pjesën tjetër mund ta gjeni duke zgjidhur sistemin nga barazitë e shkruara.

vëllimi i figurës

Për absolutisht çdo piramidë (përfshirë një të pjerrët), vlera e vëllimit të hapësirës së kufizuar prej saj mund të përcaktohet duke ditur lartësinë e figurës dhe zonën e bazës së saj. Formula përkatëse duket si kjo:

Duke zbatuar këtë shprehje në figurën në fjalë, marrim formulën e mëposhtme:

Ku lartësia e një piramide të rregullt trekëndore është h dhe ana e saj bazë është a.

Nuk është e vështirë të merret një formulë për vëllimin e një katërkëndëshi, në të cilën të gjitha anët janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe përfaqësojnë trekëndësha barabrinjës. Në këtë rast, vëllimi i figurës përcaktohet nga formula:

Kjo do të thotë, ajo përcaktohet në mënyrë unike nga gjatësia e anës a.

Sipërfaqja

Ne vazhdojmë të shqyrtojmë vetitë e një piramide të rregullt trekëndore. Sipërfaqja totale e të gjitha fytyrave të një figure quhet sipërfaqja e saj. Është i përshtatshëm për të studiuar këtë të fundit duke marrë parasysh zhvillimin përkatës. Figura më poshtë tregon se si duket një piramidë e rregullt trekëndore.

Supozojmë se dimë lartësinë h dhe faqen e bazës a të figurës. Atëherë sipërfaqja e bazës së saj do të jetë e barabartë me:

Çdo student mund ta marrë këtë shprehje nëse kujton se si të gjejë sipërfaqen e një trekëndëshi, dhe gjithashtu merr parasysh që lartësia e një trekëndëshi barabrinjës është gjithashtu një përgjysmues dhe një mesatare.

Zona e sipërfaqes anësore të formuar nga tre identike trekëndëshat dykëndësh, është:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Kjo barazi rrjedh nga shprehja e apotemës së piramidës përmes lartësisë dhe gjatësisë së bazës.

Sipërfaqja totale e figurës është:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Vini re se për një katërkëndësh, në të cilin të katër anët janë të njëjtët trekëndësha barabrinjës, zona S do të jetë e barabartë me:

Vetitë e një piramide të rregullt trekëndore të cunguar

Nëse maja e piramidës trekëndore të konsideruar pritet nga një rrafsh paralel me bazën, atëherë pjesa e poshtme e mbetur do të quhet piramidë e cunguar.

Në rastin e bazës trekëndore, si rezultat i metodës së seksionit të përshkruar, fitohet një trekëndësh i ri, i cili gjithashtu është barabrinjës, por ka një gjatësi brinjë më të vogël se ana e bazës. Një piramidë trekëndore e cunguar është paraqitur më poshtë.

Shohim se kjo shifër tashmë është e kufizuar nga dy baza trekëndore dhe tre trapezoidë izoscelorë.

Supozoni se lartësia e figurës që rezulton është h, gjatësitë e anëve të bazës së poshtme dhe të sipërme janë respektivisht a 1 dhe a 2, dhe apotema (lartësia e trapezit) është e barabartë me a b. Pastaj sipërfaqja e piramidës së cunguar mund të llogaritet me formulën:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Këtu termi i parë është zona e sipërfaqes anësore, termi i dytë është zona e bazave trekëndore.

Vëllimi i figurës llogaritet si më poshtë:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Për të përcaktuar në mënyrë të qartë karakteristikat e një piramide të cunguar, është e nevojshme të njihen tre parametrat e saj, gjë që tregohet nga formulat e mësipërme.

Hipoteza: besojmë se përsosja e formës së piramidës është për shkak të ligjet matematikore ngulitur në formën e saj.

Synimi: pasi ka studiuar piramidën si një trup gjeometrik, për të shpjeguar përsosmërinë e formës së saj.

Detyrat:

1. Jepni përkufizimi matematik piramidale.

2. Studioni piramidën si trup gjeometrik.

3. Kuptoni se çfarë njohurish matematikore vendosën egjiptianët në piramidat e tyre.

Pyetje private:

1. Çfarë është piramida si trup gjeometrik?

2. Si mund të shpjegohet matematikisht forma unike e piramidës?

3. Çfarë i shpjegon mrekullitë gjeometrike të piramidës?

4. Çfarë e shpjegon përsosmërinë e formës së piramidës?

Përkufizimi i një piramide.

PIRAMIDA (nga greqishtja pyramis, gjini n. pyramidos) - një shumëfaqësh, baza e të cilit është një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha me një kulm të përbashkët (figura). Sipas numrit të këndeve të bazës, piramidat janë trekëndore, katërkëndore, etj.

PIRAMIDA - një strukturë monumentale që ka formën gjeometrike të një piramide (ndonjëherë edhe në formë të shkallëzuar ose kullë). Varret gjigante të faraonëve të lashtë egjiptianë të mijëvjeçarit III-II para Krishtit quhen piramida. e., si dhe piedestalet e lashta amerikane të tempujve (në Meksikë, Guatemalë, Honduras, Peru) të lidhura me kultet kozmologjike.

Është e mundur që fjala greke "piramidë" të vijë nga shprehja egjiptiane per-em-us, domethënë nga një term që nënkuptonte lartësinë e piramidës. Egjiptologu i shquar rus V. Struve besonte se greqishtja “puram…j” vjen nga egjiptianja e lashtë “p”-mr.

Nga historia. Duke studiuar materialin në librin shkollor "Gjeometria" nga autorët e Atanasyan. Butuzova dhe të tjerë, mësuam se: Një shumëfaqësh i përbërë nga n-këndësh A1A2A3 ... An dhe n trekëndësha RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 quhet piramidë. Shumëkëndëshi A1A2A3 ... An është baza e piramidës, dhe trekëndëshat RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 janë faqet anësore të piramidës, P është maja e piramidës, segmentet RA1, RA2, .. ., RAn janë skajet anësore.

Sidoqoftë, një përkufizim i tillë i piramidës nuk ekzistonte gjithmonë. Për shembull, matematikani i lashtë grek, autori i traktateve teorike mbi matematikën që kanë ardhur deri tek ne, Euklidi, e përkufizon një piramidë si një figurë të fortë të kufizuar nga rrafshe që konvergojnë nga një rrafsh në një pikë.

Por ky përkufizim është kritikuar tashmë në antikitet. Kështu Heron propozoi përkufizimin e mëposhtëm të një piramide: "Kjo është një figurë e kufizuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe baza e së cilës është një shumëkëndësh."

Grupi ynë, duke krahasuar këto përkufizime, doli në përfundimin se ato nuk kanë një formulim të qartë të konceptit të "themelit".

Ne studiuam këto përkufizime dhe gjetëm përkufizimin e Adrien Marie Legendre, i cili në vitin 1794 në veprën e tij "Elementet e gjeometrisë" e përcakton piramidën si më poshtë: "Piramida është një figurë trupore e formuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe përfundojnë në anët e ndryshme të një bazë e sheshtë.”

Na duket se përkufizimi i fundit jep një ide të qartë të piramidës, pasi i referohet faktit që baza është e sheshtë. Një tjetër përkufizim i një piramide u shfaq në një libër shkollor të shekullit të 19-të: "një piramidë është një kënd i fortë i prerë nga një aeroplan".

Piramida si trup gjeometrik.

Se. Një piramidë është një shumëkëndësh, njëra nga fytyrat (baza) e të cilit është një shumëkëndësh, fytyrat (anët) e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët (maja e piramidës).

Perpendikularja e tërhequr nga maja e piramidës në rrafshin e bazës quhet lartësiah piramidat.

Përveç një piramide arbitrare, ka piramida e djathtë, në bazën e të cilit ndodhet një shumëkëndësh i rregullt dhe piramidë e cunguar.

Në figurë - piramida PABCD, ABCD - baza e saj, PO - lartësia.

zonë sipërfaqe të plotë Një piramidë quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj.

Sfull = Anash + Sbase, Ku Anashështë shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore.

vëllimi i piramidës gjendet sipas formulës:

V=1/3Sbase h, ku Sosn. - zona e bazës h- lartësia.

Boshti i një piramide të rregullt është një vijë e drejtë që përmban lartësinë e saj.
Apothem ST - lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt.

Sipërfaqja e faqes anësore të një piramide të rregullt shprehet si më poshtë: Ana. =1/2P h, ku P është perimetri i bazës, h- lartësia e faqes anësore (apotema e një piramide të rregullt). Nëse piramida përshkohet nga rrafshi A'B'C'D' paralel me bazën, atëherë:

1) skajet anësore dhe lartësia ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

2) në seksion, fitohet një shumëkëndësh A'B'C'D', i ngjashëm me bazën;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Bazat e piramidës së cunguar janë shumëkëndësha të ngjashëm ABCD dhe A`B`C`D`, faqet anësore janë trapezoide.

Lartësia piramida e cunguar - distanca midis bazave.

Vëllimi i cunguar piramida gjendet me formulën:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar shprehet si më poshtë: Ana. = ½(P+P') h, ku P dhe P' janë perimetrat e bazave, h- lartësia e faqes anësore (apotema e një të rregullt të cunguar nga festat

Seksionet e piramidës.

Seksionet e piramidës nga aeroplanët që kalojnë nëpër majën e saj janë trekëndësha.

Seksioni që kalon nëpër dy skajet anësore jo të afërta të piramidës quhet seksion diagonal.

Nëse seksioni kalon nëpër një pikë në skajin anësor dhe anën e bazës, atëherë kjo anë do të jetë gjurma e saj në rrafshin e bazës së piramidës.

Një seksion që kalon nëpër një pikë që shtrihet në faqen e piramidës dhe një gjurmë e dhënë e seksionit në rrafshin e bazës, atëherë ndërtimi duhet të kryhet si më poshtë:

gjeni pikën e kryqëzimit të rrafshit të faqes së dhënë dhe gjurmën e seksionit piramidale dhe caktoni atë;

ndërtoni një vijë të drejtë që kalon pikë e dhënë dhe pika e kryqëzimit që rezulton;

· Përsëritni këto hapa për fytyrat e ardhshme.

, që korrespondon me raportin e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë 4:3. Ky raport i këmbëve korrespondon me trekëndëshin e njohur kënddrejtë me brinjë 3:4:5, i cili quhet trekëndëshi "i përsosur", "i shenjtë" ose "egjiptian". Sipas historianëve, trekëndëshit "egjiptian" iu dha një kuptim magjik. Plutarku shkroi se egjiptianët e krahasuan natyrën e universit me një trekëndësh "të shenjtë"; simbolikisht e krahasuan këmbën vertikale me burrin, bazën me gruan dhe hipotenuzën me atë që lind nga të dyja.

Për një trekëndësh 3:4:5, barazia është e vërtetë: 32 + 42 = 52, që shpreh teoremën e Pitagorës. A nuk është kjo teorema që priftërinjtë egjiptianë donin të përjetësonin duke ngritur një piramidë në bazë të trekëndëshit 3:4:5? Vështirë të gjesh më shumë shembull i mirë për të ilustruar teoremën e Pitagorës, e cila ishte e njohur për egjiptianët shumë kohë përpara zbulimit të saj nga Pitagora.

Kështu, krijuesit e zgjuar Piramidat egjiptiane u përpoqën t'u bënin përshtypje pasardhësve të largët me thellësinë e njohurive të tyre, dhe ata e arritën këtë duke zgjedhur si "idenë kryesore gjeometrike" për piramidën e Keopsit - "të artë". trekëndësh kënddrejtë, dhe për piramidën Khafre - trekëndëshi "i shenjtë" ose "egjiptian".

Shumë shpesh, në kërkimet e tyre, shkencëtarët përdorin vetitë e piramidave me përmasat e seksionit të artë.

Në matematikë fjalor enciklopedik jepet përkufizimi i mëposhtëm i seksionit të artë - kjo është një ndarje harmonike, ndarja në raportin ekstrem dhe mesatar - ndarja e segmentit AB në dy pjesë në atë mënyrë që pjesa më e madhe e AC të tij të jetë proporcionaliteti mesatar midis të gjithë segmentit AB. dhe pjesa më e vogël e saj CB.

Gjetja algjebrike e seksionit të artë të një segmenti AB = a reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit a: x = x: (a - x), nga ku x është afërsisht e barabartë me 0,62a. Raporti x mund të shprehet si thyesa 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, ku 2, 3, 5, 8, 13, 21 janë numra Fibonacci.

Ndërtimi gjeometrik i seksionit të artë të segmentit AB kryhet si më poshtë: në pikën B, rikthehet pingulja me AB, segmenti BE \u003d 1/2 AB është hedhur mbi të, A dhe E janë të lidhura, DE \ u003d BE shtyhet dhe, më në fund, AC \u003d AD, atëherë plotësohet barazia AB: CB = 2: 3.

Raporti i artë përdoret shpesh në veprat e artit, arkitekturës dhe gjendet në natyrë. Shembuj të gjallë janë skulptura e Apollo Belvedere, Partenoni. Gjatë ndërtimit të Partenonit është përdorur raporti i lartësisë së ndërtesës me gjatësinë e tij dhe ky raport është 0,618. Objektet rreth nesh japin gjithashtu shembuj të raportit të artë, për shembull, lidhjet e shumë librave kanë një raport gjerësi-gjatësi afër 0,618. Duke marrë parasysh vendosjen e gjetheve në një kërcell të përbashkët të bimëve, mund të vërehet se midis çdo dy palë gjethesh, e treta ndodhet në vendin e Raportit të Artë (rrëshqitjet). Secili prej nesh "vesh" raportin e artë me vete "në duart tona" - ky është raporti i falangave të gishtërinjve.

Falë zbulimit të disa papiruseve matematikore, egjiptologët kanë mësuar diçka për sistemet e lashta egjiptiane të llogaritjeve dhe matjeve. Detyrat e përfshira në to zgjidheshin nga skribët. Një nga më të famshmit është papirusi matematikor Rhind. Duke studiuar këto enigma, egjiptologët mësuan se si egjiptianët e lashtë trajtonin sasitë e ndryshme që lindnin gjatë llogaritjes së masave të peshës, gjatësisë dhe vëllimit, të cilat shpesh përdornin fraksione, si dhe sesi trajtonin këndet.

Egjiptianët e lashtë përdorën një metodë për llogaritjen e këndeve bazuar në raportin e lartësisë me bazën e një trekëndëshi kënddrejtë. Ata shprehnin çdo kënd në gjuhën e gradientit. Gradienti i pjerrësisë u shpreh si një raport i një numri të plotë, i quajtur "seked". Në Matematika në kohën e faraonëve, Richard Pillins shpjegon: “Sekedi i një piramide të rregullt është pjerrësia e cilësdo prej katër faqeve trekëndore në rrafshin e bazës, e matur me numrin e ntë të njësive horizontale për njësi vertikale të lartësisë. . Kështu kjo njësiështë ekuivalente me bashkëtangjenten tonë moderne të këndit të prirjes. Prandaj, fjala egjiptiane "seked" lidhet me fjalën tonë moderne "gradient".

Çelësi numerik i piramidave qëndron në raportin e lartësisë së tyre me bazën. Në terma praktike, kjo është mënyra më e lehtë për të bërë shabllone të nevojshme për të kontrolluar vazhdimisht këndin e saktë të prirjes gjatë gjithë ndërtimit të piramidës.

Egjiptologët do të ishin të lumtur të na bindin se çdo faraon ishte i etur të shprehte individualitetin e tij, prandaj dhe dallimet në këndet e prirjes për çdo piramidë. Por mund të ketë një arsye tjetër. Ndoshta të gjithë donin të mishëronin shoqata të ndryshme simbolike të fshehura në përmasa të ndryshme. Sidoqoftë, këndi i piramidës së Khafre-s (bazuar në trekëndëshin (3:4:5) shfaqet në tre problemet e paraqitura nga piramidat në Papirusin Matematik Rhind). Pra, ky qëndrim ishte i njohur për egjiptianët e lashtë.

Për të qenë të drejtë me egjiptologët që pretendojnë se egjiptianët e lashtë nuk e njihnin trekëndëshin 3:4:5, le të themi se gjatësia e hipotenuzës 5 nuk u përmend kurrë. Por problemet e matematikës, në lidhje me piramidat, zgjidhen gjithmonë në bazë të këndit të seked - raporti i lartësisë me bazën. Meqenëse gjatësia e hipotenuzës nuk u përmend kurrë, u arrit në përfundimin se egjiptianët nuk e llogaritën kurrë gjatësinë e anës së tretë.

Raportet lartësi-bazë të përdorura në piramidat e Gizës ishin pa dyshim të njohura për egjiptianët e lashtë. Është e mundur që këto raporte për çdo piramidë janë zgjedhur në mënyrë arbitrare. Megjithatë, kjo bie ndesh me rëndësinë që i kushtohet simbolizmit numerik në të gjitha llojet e artit të bukur egjiptian. Ka shumë të ngjarë që marrëdhënie të tilla të kishin një rëndësi të madhe, pasi ato shprehnin ide specifike fetare. Me fjalë të tjera, i gjithë kompleksi i Gizës i nënshtrohej një dizajni koherent, i projektuar për të pasqyruar një lloj teme hyjnore. Kjo do të shpjegonte pse dizajnerët zgjodhën kënde të ndryshme animi i tre piramidave.

Në Sekretin e Orionit, Bauval dhe Gilbert paraqitën dëshmi bindëse të lidhjes së piramidave të Gizës me yjësinë e Orionit, në veçanti me yjet e Brezit të Orionit. E njëjta plejadë është e pranishme në mitin e Isis dhe Osiris, dhe atje është arsyeja për të konsideruar çdo piramidë si një imazh të një prej tre hyjnive kryesore - Osiris, Isis dhe Horus.

MREKULLI "GJEOMETRIKE".

Ndër piramidat madhështore të Egjiptit vend i veçantë merr Piramida e Madhe e Faraonit Keops (Khufu). Para se të vazhdojmë me analizën e formës dhe madhësisë së piramidës së Keopsit, duhet të kujtojmë se çfarë sistemi masash përdorën egjiptianët. Egjiptianët kishin tre njësi gjatësie: "kubit" (466 mm), e barabartë me shtatë "pëllëmbë" (66.5 mm), e cila, nga ana tjetër, ishte e barabartë me katër "gishta" (16.6 mm).

Le të analizojmë madhësinë e piramidës së Keopsit (Fig. 2), duke ndjekur arsyetimin e dhënë në librin e mrekullueshëm të shkencëtarit ukrainas Nikolai Vasyutinskiy "Proporcioni i Artë" (1990).

Shumica e studiuesve pajtohen se gjatësia e anës së bazës së piramidës, për shembull, GFështë e barabartë me L\u003d 233,16 m. Kjo vlerë korrespondon pothuajse saktësisht me 500 "kubitë". Pajtueshmëria e plotë me 500 "kubit" do të jetë nëse gjatësia e "kubitit" konsiderohet e barabartë me 0.4663 m.

Lartësia e piramidës ( H) vlerësohet nga studiuesit ndryshe nga 146,6 në 148,2 m. Dhe në varësi të lartësisë së pranuar të piramidës, ndryshojnë të gjitha raportet e elementeve gjeometrike të saj. Cila është arsyeja e dallimeve në vlerësimin e lartësisë së piramidës? Fakti është se, në mënyrë rigoroze, piramida e Keopsit është e cunguar. Platforma e sipërme e saj sot ka një madhësi afërsisht 10' 10 m, dhe një shekull më parë ishte 6' 6 m. Është e qartë se maja e piramidës është çmontuar dhe nuk korrespondon me atë origjinale.

Gjatë vlerësimit të lartësisë së piramidës, është e nevojshme të merren parasysh të tilla faktor fizik si një dizajn "draft". Për një kohë të gjatë, nën ndikimin e presionit kolosal (duke arritur 500 tonë për 1 m2 të sipërfaqes së poshtme), lartësia e piramidës u ul në krahasim me lartësinë e saj origjinale.

Cila ishte lartësia fillestare e piramidës? Kjo lartësi mund të rikrijohet nëse gjeni "idenë gjeometrike" bazë të piramidës.

Figura 2.

Në 1837, koloneli anglez G. Wise mati këndin e prirjes së faqeve të piramidës: doli të ishte i barabartë me a= 51°51". Kjo vlerë njihet ende nga shumica e studiuesve sot. Vlera e treguar e këndit korrespondon me tangjenten (tg a), e barabartë me 1.27306. Kjo vlerë korrespondon me raportin e lartësisë së piramidës AC në gjysmën e bazës së saj CB(Fig.2), d.m.th. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Dhe këtu studiuesit ishin në një surprizë të madhe!.png" width="25" height="24">= 1.272. Krahasimi i kësaj vlere me vlerën tg a= 1.27306, shohim që këto vlera janë shumë afër njëra-tjetrës. Nëse marrim këndin a\u003d 51 ° 50", domethënë, për ta zvogëluar atë me vetëm një minutë hark, pastaj vlera a do të bëhet e barabartë me 1.272, domethënë do të përkojë me vlerën e . Duhet theksuar se në vitin 1840 G. Wise përsëriti matjet e tij dhe sqaroi se vlera e këndit a=51°50".

Këto matje i kanë çuar studiuesit në sa vijon hipotezë interesante: trekëndëshi ASV i piramidës së Keopsit bazohej në relacionin AC / CB = = 1,272!

Konsideroni tani një trekëndësh kënddrejtë ABC, në të cilën raporti i këmbëve AC / CB= (Fig.2). Nëse tani gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit ABC shënoj me x, y, z, dhe gjithashtu të marrë parasysh se raporti y/x= , atëherë, në përputhje me teoremën e Pitagorës, gjatësia z mund të llogaritet me formulën:

Nëse pranohet x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3 Trekëndëshi kënddrejtë "i artë".

Një trekëndësh kënddrejtë në të cilin brinjët lidhen si t:artë" trekëndësh kënddrejtë.

Atëherë, nëse marrim si bazë hipotezën se "ideja gjeometrike" kryesore e piramidës së Keopsit është trekëndëshi "i artë" kënddrejtë, atëherë nga këtu është e lehtë të llogaritet lartësia "projektuese" e piramidës së Keopsit. Është e barabartë me:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Le të nxjerrim tani disa marrëdhënie të tjera për piramidën e Keopsit, të cilat rrjedhin nga hipoteza "e artë". Në veçanti, gjejmë raportin e zonës së jashtme të piramidës me zonën e bazës së saj. Për ta bërë këtë, marrim gjatësinë e këmbës CB për njësi, që është: CB= 1. Por pastaj gjatësia e anës së bazës së piramidës GF= 2, dhe sipërfaqja e bazës EFGH do të jetë e barabartë me SEFGH = 4.

Tani le të llogarisim sipërfaqen e faqes anësore të piramidës së Keopsit SD. Sepse lartësia AB trekëndëshi AEFështë e barabartë me t, atëherë sipërfaqja e faqes anësore do të jetë e barabartë me SD = t. Atëherë sipërfaqja totale e të katër faqeve anësore të piramidës do të jetë e barabartë me 4 t, dhe raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen bazë do të jetë i barabartë me raportin e artë! Kjo është ajo që është - sekreti kryesor gjeometrik i piramidës së Keopsit!

Grupi i "çudive gjeometrike" të piramidës së Keopsit përfshin vetitë reale dhe të sajuara të marrëdhënies midis dimensioneve të ndryshme në piramidë.

Si rregull, ato merren në kërkim të ndonjë "konstante", në veçanti, numri "pi" (numri Ludolf), i barabartë me 3,14159...; bazat e logaritmeve natyrore "e" (numri i Napierit) i barabartë me 2,71828...; numri "F", numri i "seksionit të artë", i barabartë, për shembull, 0.618 ... etj.

Ju mund të emërtoni, për shembull: 1) Pasuria e Herodotit: (Lartësia) 2 \u003d 0,5 st. kryesore x Apotemë; 2) Prona e V. Çmimi: Lartësia: 0,5 rr. osn \u003d Rrënja katrore e "Ф"; 3) Vetia e M. Eist: Perimetri i bazës: 2 Lartësia = "Pi"; në një interpretim të ndryshëm - 2 lugë gjelle. kryesore : Lartësia = "Pi"; 4) Pasuria e G. Reberit: Rrezja e rrethit të brendashkruar: 0,5 st. kryesore = "F"; 5) Prona e K. Kleppish: (Rr. kryesore.) 2: 2 (rr. kryesore. x Apothem) \u003d (rr. kryesore. W. Apothem) \u003d 2 (rr. kryesore. x Apothem) : (( 2 st. kryesore X Apothem) + (rr. kryesore) 2). etj. Ju mund të gjeni shumë prona të tilla, veçanërisht nëse lidhni dy piramida fqinje. Për shembull, si "Vetitë e A. Arefiev" mund të përmendet se diferenca midis vëllimeve të piramidës së Keopsit dhe piramidës së Khafres është e barabartë me dyfishin e vëllimit të piramidës së Menkaure...

Shumë dispozita interesante, në veçanti, për ndërtimin e piramidave sipas "seksionit të artë" janë përcaktuar në librat e D. Hambridge "Simetria dinamike në arkitekturë" dhe M. Geek "Estetika e proporcionit në natyrë dhe art". Kujtojmë se "seksioni i artë" është ndarja e segmentit në një raport të tillë, kur pjesa A është sa herë më e madhe se pjesa B, sa herë A është më e vogël se i gjithë segmenti A + B. Raporti A / B është e barabartë me numrin "Ф" == 1.618. .. Përdorimi i "seksionit të artë" tregohet jo vetëm në piramidat individuale, por në të gjithë kompleksin piramidale në Giza.

Gjëja më kurioze, megjithatë, është se e njëjta piramidë e Keopsit thjesht "nuk mund" të përmbajë kaq shumë veti të mrekullueshme. Duke marrë një pronë të caktuar një nga një, ju mund ta "rregulloni", por ato nuk përshtaten menjëherë - ato nuk përkojnë, ato kundërshtojnë njëra-tjetrën. Prandaj, nëse, për shembull, kur kontrollohen të gjitha pronat, fillimisht merret e njëjta anë e bazës së piramidës (233 m), atëherë lartësitë e piramidave me veti të ndryshme do të jenë gjithashtu të ndryshme. Me fjalë të tjera, ekziston një "familje" e caktuar piramidash, të ngjashme nga jashtë me ato të Keopsit, por që korrespondojnë me veti të ndryshme. Vini re se nuk ka asgjë veçanërisht të mrekullueshme në vetitë "gjeometrike" - shumë lindin thjesht automatikisht, nga vetitë e vetë figurës. Një "mrekulli" duhet të konsiderohet vetëm diçka dukshëm e pamundur për egjiptianët e lashtë. Kjo përfshin, në veçanti, mrekullitë "kozmike", në të cilat matjet e piramidës së Keopsit ose kompleksit të piramidës së Gizës krahasohen me disa astronomike matjet dhe tregoni numrat "çift": një milion herë, një miliard herë më pak, e kështu me radhë. Le të shqyrtojmë disa marrëdhënie "kozmike".

Një nga pohimet është kjo: "Nëse e ndajmë anën e bazës së piramidës me gjatësinë e saktë të vitit, marrim saktësisht 10 miliontën e boshti i tokës Llogaritni: pjesëtojmë 233 me 365, marrim 0,638. Rrezja e Tokës është 6378 km.

Një deklaratë tjetër është në të vërtetë e kundërta e asaj të mëparshme. F. Noetling vuri në dukje se nëse përdorni "bërrylin egjiptian" të shpikur prej tij, atëherë ana e piramidës do të korrespondojë me "kohëzgjatjen më të saktë të vitit diellor, të shprehur me të miliardtën më të afërt të ditës" - 365.540.903.777 .

Deklarata e P. Smith: "Lartësia e piramidës është saktësisht një e miliarda e distancës nga Toka në Diell". Megjithëse zakonisht merret lartësia prej 146.6 m, Smith e mori atë si 148.2 m. Sipas matjeve moderne të radarit, boshti gjysmë i madh i orbitës së tokës është 149.597.870 + 1.6 km. Kjo është distanca mesatare nga Toka në Diell, por në perihelion është 5,000,000 kilometra më pak se në aphelion.

Deklarata e fundit kurioze:

“Si të shpjegohet se masat e piramidave të Keopsit, Khafres dhe Menkaures janë të lidhura me njëra-tjetrën, si masat e planetëve Tokë, Venus, Mars? Le të llogarisim. Masat e tre piramidave lidhen si: Khafre - 0,835; Keops - 1000; Mikerin - 0,0915. Raportet e masave të tre planetëve: Venusi - 0,815; Toka - 1000; Marsi - 0,108.

Pra, me gjithë skepticizmin, le të vërejmë harmoninë e njohur të ndërtimit të pohimeve: 1) lartësia e piramidës, si një vijë "që shkon në hapësirë" - i përgjigjet distancës nga Toka në Diell; 2) ana e bazës së piramidës më afër "nënshtresës", domethënë Tokës, është përgjegjëse për rrezen e tokës dhe qarkullimin e tokës; 3) vëllimet e piramidës (lexo - masat) korrespondojnë me raportin e masave të planetëve më afër Tokës. Një "shifr" i ngjashëm mund të gjurmohet, për shembull, në gjuhën e bletëve, analizuar nga Karl von Frisch. Megjithatë, ne përmbahemi nga komentimi për këtë për momentin.

FORMA E PIRAMIDAVE

Forma e famshme tetraedrale e piramidave nuk u shfaq menjëherë. Skitët bënin varrime në formën e kodrave prej balte - barrows. Egjiptianët ndërtuan "kodra" prej guri - piramida. Kjo ndodhi për herë të parë pas bashkimit të Egjiptit të Sipërm dhe të Poshtëm, në shekullin e 28 para Krishtit, kur themeluesi i dinastisë III, faraoni Djoser (Zoser), u përball me detyrën për të forcuar unitetin e vendit.

Dhe këtu, sipas historianëve, rol i rendesishem"koncepti i ri i hyjnizimit" i carit luajti një rol në forcimin e pushtetit qendror. Megjithëse varrosjet mbretërore dalloheshin për një shkëlqim më të madh, ato nuk ndryshonin në parim nga varret e oborrtarëve. fisnikët, ishin të njëjtat struktura - mastaba. Mbi dhomën me sarkofagun që përmbante mumje, u derdh një kodër drejtkëndëshe me gurë të vegjël, ku më pas u vendos një ndërtesë e vogël me blloqe të mëdha guri - "mastaba" (në arabisht - "stol"). Në vendin e mastabës së paraardhësit të tij, Sanakht, faraoni Djoser ngriti piramidën e parë. Ajo ishte me shkallë dhe ishte një fazë e dukshme kalimtare nga një formë arkitekturore në tjetrën, nga një mastaba në një piramidë.

Në këtë mënyrë, faraoni u “ngrit” nga i urti dhe arkitekti Imhotep, i cili më vonë u konsiderua magjistar dhe u identifikua nga grekët me perëndinë Asklepius. Sikur të ishin ngritur gjashtë mastaba radhazi. Për më tepër, piramida e parë zinte një sipërfaqe prej 1125 x 115 metrash, me një lartësi të vlerësuar prej 66 metrash (sipas masave egjiptiane - 1000 "palma"). Në fillim, arkitekti planifikoi të ndërtonte një mastaba, por jo të zgjatur, por katror në plan. Më vonë u zgjerua, por duke qenë se shtrirja u bë më e ulët, u formuan si të thuash dy shkallë.

Kjo situatë nuk e kënaqi arkitektin dhe me radhë platforma e lartë Imhotep ngriti një mastaba të madhe të sheshtë edhe tre të tjera, duke u ulur gradualisht drejt majës. Varri ishte nën piramidë.

Dihen disa piramida të tjera me shkallë, por më vonë ndërtuesit kaluan në ndërtimin e piramidave më të njohura tetraedrale. Pse, megjithatë, jo trekëndësh ose, të themi, tetëkëndësh? Një përgjigje indirekte jep fakti se pothuajse të gjitha piramidat janë të orientuara në mënyrë të përsosur në katër pikat kryesore, dhe për këtë arsye kanë katër anët. Përveç kësaj, piramida ishte një "shtëpi", një guaskë e një dhome varrimi katërkëndëshe.

Por çfarë e shkaktoi këndin e prirjes së fytyrave? Në librin "Parimi i proporcioneve" i kushtohet një kapitull i tërë kësaj: "Çfarë mund të përcaktojë këndet e piramidave". Në veçanti, tregohet se "imazhi në të cilin gravitojnë piramidat e mëdha mbretëria e lashtë- një trekëndësh me një kënd të drejtë në majë.

Në hapësirë, është një gjysmë-oktaedron: një piramidë në të cilën skajet dhe anët e bazës janë të barabarta, faqet janë trekëndësha barabrinjës.Për këtë temë jepen disa konsiderata në librat e Hambidge, Geek dhe të tjerë.

Cili është avantazhi i këndit të gjysmëoktaedrit? Sipas përshkrimeve të arkeologëve dhe historianëve, disa piramida u shembën nën peshën e tyre. Ajo që duhej ishte një "kënd i qëndrueshmërisë", një kënd që ishte energjikisht më i besueshëm. Thjesht empirikisht, ky kënd mund të merret nga këndi i kulmit në një grumbull rëre të thatë që shkërmoqet. Por për të marrë të dhëna të sakta, duhet të përdorni modelin. Duke marrë katër topa të fiksuar fort, duhet të vendosni të pestin mbi to dhe të matni këndet e prirjes. Sidoqoftë, këtu mund të bëni një gabim, prandaj, një llogaritje teorike ndihmon: duhet të lidhni qendrat e topave me vija (mendërisht). Në bazë, ju merrni një katror me një anë të barabartë me dyfishin e rrezes. Sheshi do të jetë vetëm baza e piramidës, gjatësia e skajeve të së cilës do të jetë gjithashtu e barabartë me dyfishin e rrezes.

Kështu, një grumbullim i dendur i topave të llojit 1:4 do të na japë një gjysmë-oktaedron të rregullt.

Megjithatë, pse shumë piramida, që gravitojnë drejt një forme të ngjashme, megjithatë nuk e ruajnë atë? Ndoshta piramidat po plaken. Ndryshe nga thënia e famshme:

"Gjithçka në botë ka frikë nga koha, dhe koha ka frikë nga piramidat", ndërtesat e piramidave duhet të plaken, ato mund dhe duhet të ndodhin jo vetëm proceset e motit të jashtëm, por edhe proceset e "tkurrjes" së brendshme. , nga e cila piramidat mund të bëhen më të ulëta. Tkurrja është gjithashtu e mundur sepse, siç u zbulua nga veprat e D. Davidovits, egjiptianët e lashtë përdorën teknologjinë e bërjes së blloqeve nga copëzat e gëlqeres, me fjalë të tjera, nga "betoni". Janë këto procese që mund të shpjegojnë arsyen e shkatërrimit të piramidës Medum, që ndodhet 50 km në jug të Kajros. Është 4600 vjeç, përmasat e bazës janë 146 x 146 m, lartësia 118 m. “Pse është kaq i gjymtuar?” pyet V. Zamarovsky. “Referencat e zakonshme ndaj efekteve shkatërruese të kohës dhe “përdorimit të gurit për ndërtesa të tjera” nuk përshtaten këtu.

Në fund të fundit, pjesa më e madhe e blloqeve të saj dhe pllakave ballore mbeten ende në vend, në rrënojat në këmbët e saj. "Siç do të shohim, një sërë dispozitash të bëjnë të mendosh se edhe piramida e famshme e Keopsit është "tkurrur". Në çdo rast. , në të gjitha imazhet e lashta piramidat janë të theksuara ...

Forma e piramidave mund të krijohej edhe me imitim: disa modele natyrore, "përsosmëri e mrekullueshme", le të themi, disa kristale në formën e një tetëedri.

Kristale të tilla mund të jenë kristale diamanti dhe ari. Karakteristike nje numer i madh i Shenjat "ndërprerëse" për koncepte të tilla si Faraoni, Dielli, Ari, Diamanti. Kudo - fisnike, e shkëlqyer (e shkëlqyer), e shkëlqyeshme, e patëmetë dhe kështu me radhë. Ngjashmëritë nuk janë të rastësishme.

Kulti diellor, siç e dini, ishte pjesë e rëndësishme fetë Egjipti i lashte. "Pavarësisht se si e përkthejmë emrin e më të madhes së piramidave," thotë një nga tekstet moderne, "Sky Khufu" ose "Sky Khufu", kjo do të thoshte se mbreti është dielli. Nëse Khufu, në shkëlqimin e fuqisë së tij, e imagjinonte veten si një diell të dytë, atëherë djali i tij Jedef-Ra u bë i pari nga mbretërit egjiptianë që filloi ta quante veten "djali i Ra", domethënë djali i dielli. Dielli u simbolizua pothuajse nga të gjithë popujt si "metal diellor", ar. " disk i madh ari i ndritshëm" - kështu e quajtën egjiptianët tanë drita e ditës. Egjiptianët e njihnin shumë mirë arin, njihnin format e tij amtare, ku kristalet e arit mund të shfaqen në formën e oktaedroneve.

Si është interesante "format e mostrës" këtu dhe " gur dielli"- diamanti. Emri i diamantit erdhi vetëm nga bota arabe," almas "- më i forti, më i fortë, i pathyeshëm. Egjiptianët e lashtë e dinin se diamanti dhe vetitë e tij ishin shumë të mira. Sipas disa autorëve, ata e përdornin edhe për shpime. bronzi tuba me prerës diamanti.

Aktualisht, furnizuesi kryesor i diamanteve është Afrika e Jugut, por edhe Afrika Perëndimore është e pasur me diamante. Madje, territori i Republikës së Malit quhet "Toka e Diamantit" atje. Ndërkohë, është në territorin e Malit që jetojnë Dogon, me të cilët mbështetësit e hipotezës së paleovizitit lidhin shumë shpresa (shih më poshtë). Diamantet nuk mund të ishin arsyeja e kontakteve të egjiptianëve të lashtë me këtë rajon. Sidoqoftë, në një mënyrë apo tjetër, është e mundur që pikërisht duke kopjuar oktaedronet e diamantit dhe kristaleve të arit, egjiptianët e lashtë hyjnizuan faraonët, "të pathyeshëm" si diamanti dhe "shkëlqyeshëm" si ari, bijtë e Diellit, të krahasueshëm. vetëm me krijimet më të mrekullueshme të natyrës.

konkluzioni:

Duke studiuar piramidën si një trup gjeometrik, duke u njohur me elementet dhe vetitë e saj, u bindëm për vlefshmërinë e mendimit për bukurinë e formës së piramidës.

Si rezultat i hulumtimit tonë, arritëm në përfundimin se egjiptianët, pasi kishin mbledhur njohuritë më të vlefshme matematikore, e mishëruan atë në një piramidë. Prandaj, piramida është vërtet krijimi më i përsosur i natyrës dhe i njeriut.

BIBLIOGRAFI

"Gjeometria: Proc. për 7-9 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet \, etj. - Botimi i 9-të - M .: Arsimi, 1999

Historia e matematikës në shkollë, M: "Iluminizmi", 1982

Klasa e gjeometrisë 10-11, M: "Iluminizmi", 2000

Peter Tompkins "Sekretet e Piramidës së Madhe të Keopsit", M: "Centropoligraph", 2005

Burimet e internetit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html