När ett mynt kastas kan vi säga att det landar heads up, eller sannolikhet detta är 1/2. Naturligtvis betyder det inte att om ett mynt kastas 10 gånger, kommer det nödvändigtvis att landa på huvuden 5 gånger. Om myntet är "rättvist" och om det kastas många gånger, kommer huvuden att landa väldigt nära halva tiden. Det finns alltså två typer av sannolikheter: experimentell Och teoretisk .

Experimentell och teoretisk sannolikhet

Om vi ​​slår ett mynt ett stort antal gånger - säg 1000 - och räknar hur många gånger det landar på huvuden, kan vi bestämma sannolikheten att det landar på huvuden. Om huvuden kastas 503 gånger kan vi beräkna sannolikheten för att det landar:
503/1000 eller 0,503.

Detta experimentell definition av sannolikhet. Denna definition av sannolikhet kommer från observation och studie av data och är ganska vanlig och mycket användbar. Här är till exempel några sannolikheter som bestämdes experimentellt:

1. Sannolikheten att en kvinna kommer att utveckla bröstcancer är 1/11.

2. Om du kysser någon som är förkyld så är sannolikheten att du också blir förkyld 0,07.

3. En person som just har släppts från fängelset har 80 % chans att återvända till fängelset.

Om vi ​​överväger att kasta ett mynt och ta hänsyn till att det är lika troligt att det kommer upp med huvuden eller svansar, kan vi beräkna sannolikheten att få huvuden: 1/2 Detta är en teoretisk definition av sannolikhet. Här är några andra sannolikheter som har bestämts teoretiskt med hjälp av matematik:

1. Om det är 30 personer i ett rum är sannolikheten att två av dem har samma födelsedag (exklusive år) 0,706.

2. Under en resa träffar du någon, och under samtalet upptäcker du att ni har en gemensam vän. Typisk reaktion: "Det här kan inte vara!" Faktum är att den här frasen inte är lämplig, eftersom sannolikheten för en sådan händelse är ganska hög - drygt 22%.

Således bestäms experimentella sannolikheter genom observation och datainsamling. Teoretiska sannolikheter bestäms genom matematiska resonemang. Exempel på experimentella och teoretiska sannolikheter, som de som diskuterats ovan, och särskilt de som vi inte förväntar oss, leder oss till vikten av att studera sannolikhet. Du kanske frågar "Vad är sann sannolikhet?" Det finns faktiskt inget sådant. Sannolikheter inom vissa gränser kan bestämmas experimentellt. De kan eller kanske inte sammanfaller med de sannolikheter som vi får teoretiskt. Det finns situationer där det är mycket lättare att avgöra en typ av sannolikhet än en annan. Det skulle till exempel vara tillräckligt att hitta sannolikheten att bli förkyld med hjälp av teoretisk sannolikhet.

Beräkning av experimentella sannolikheter

Låt oss först överväga den experimentella definitionen av sannolikhet. Den grundläggande principen vi använder för att beräkna sådana sannolikheter är följande.

Princip P (experimentell)

Om i ett experiment där n observationer görs en situation eller händelse E inträffar m gånger i n observationer, så sägs den experimentella sannolikheten för händelsen vara P (E) = m/n.

Exempel 1 Sociologisk undersökning. En experimentell studie genomfördes för att fastställa antalet vänsterhänta, högerhänta och personer vars båda händer är lika utvecklade. Resultaten visas i grafen.

a) Bestäm sannolikheten för att personen är högerhänt.

b) Bestäm sannolikheten för att personen är vänsterhänt.

c) Bestäm sannolikheten för att en person är lika flytande i båda händerna.

d) De flesta Professional Bowling Associations turneringar är begränsade till 120 spelare. Baserat på data från detta experiment, hur många spelare kan vara vänsterhänta?

Lösning

a)Antalet personer som är högerhänta är 82, antalet vänsterhänta är 17, och antalet personer som är lika flytande i båda händerna är 1. Det totala antalet observationer är 100. Således är sannolikheten att en person är högerhänt är P
P = 82/100, eller 0,82, eller 82%.

b) Sannolikheten att en person är vänsterhänt är P, där
P = 17/100, eller 0,17, eller 17%.

c) Sannolikheten att en person är lika flytande i båda händerna är P, där
P = 1/100, eller 0,01, eller 1%.

d) 120 bowlare, och från (b) kan vi förvänta oss att 17% är vänsterhänta. Härifrån
17 % av 120 = 0,17,120 = 20,4,
det vill säga vi kan förvänta oss ett 20-tal spelare som är vänsterhänta.

Exempel 2 Kvalitetskontroll . Det är mycket viktigt för en tillverkare att upprätthålla kvaliteten på sina produkter hög nivå. Faktum är att företag anlitar kvalitetskontrollinspektörer för att säkerställa denna process. Målet är att producera minsta möjliga antal defekta produkter. Men eftersom företaget producerar tusentals produkter varje dag har det inte råd att testa varje produkt för att avgöra om den är defekt eller inte. För att ta reda på hur stor andel av produkterna som är defekta testar företaget betydligt färre produkter.
Departement lantbruk USA kräver att 80 % av de frön som säljs av odlare måste gro. För att bestämma kvaliteten på de frön som ett jordbruksföretag producerar planteras 500 frön från de som producerats. Efter detta beräknades det att 417 frön grodde.

a) Vad är sannolikheten att fröet kommer att gro?

b) Uppfyller fröna myndigheternas standarder?

Lösning a) Vi vet att av 500 frön som såddes grodde 417. Sannolikhet för frögroning P, och
P = 417/500 = 0,834 eller 83,4 %.

b) Eftersom andelen grodda frön har överskridit 80 % som krävs, uppfyller fröna myndigheternas standarder.

Exempel 3 TV-betyg. Enligt statistiken finns det 105 500 000 hushåll med tv-apparater i USA. Varje vecka samlas och bearbetas information om visningsprogram. På en vecka tittade 7 815 000 hushåll på succéserien "Everybody Loves Raymond" på CBS och 8 302 000 hushåll tittade på succéserien "Law & Order" på NBC (Källa: Nielsen Media Research). Vad är sannolikheten att ett hushålls TV är inställd på "Everybody Loves Raymond" under en given vecka till "Law & Order"?

Lösning Sannolikheten att TV:n i ett hushåll är inställd på "Alla älskar Raymond" är P, och
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Chansen att ett hushålls TV var inställd på Law & Order är P, och
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Dessa procentsatser kallas betyg.

Teoretisk sannolikhet

Anta att vi genomför ett experiment, som att kasta ett mynt eller pil, dra ett kort från en kortlek eller kontrollera produkter för kvalitet på löpande band. Varje möjlig resultat av ett sådant experiment kallas Exodus . Uppsättningen av alla möjliga utfall kallas resultatutrymme . Händelse det är en uppsättning resultat, det vill säga en delmängd av utrymmet av utfall.

Exempel 4 Kasta pilar. Anta att i ett pilkastningsexperiment träffar en pil ett mål. Hitta vart och ett av följande:

b) Resultatutrymme

Lösning
a) Resultaten är: slå svart (B), slå rött (R) och slå vitt (B).

b) Utrymmet för utfall är (slå svart, slå rött, slå vitt), vilket enkelt kan skrivas som (H, K, B).

Exempel 5 Kasta tärningar. En tärning är en kub med sex sidor, var och en med en till sex prickar på.


Anta att vi kastar en tärning. Hitta
a) Resultat
b) Resultatutrymme

Lösning
a) Resultat: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Resultatutrymme (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vi betecknar sannolikheten för att en händelse E inträffar som P(E). Till exempel kan "myntet landa på huvuden" betecknas med H. Då representerar P(H) sannolikheten att myntet kommer att landa på huvuden. När alla utfall av ett experiment har samma sannolikhet att inträffa, sägs de vara lika sannolika. För att se skillnaderna mellan händelser som är lika sannolika och händelser som inte är det, överväg målet som visas nedan.

För mål A är händelserna att träffa svart, rött och vitt lika sannolika, eftersom de svarta, röda och vita sektorerna är desamma. Men för mål B är zonerna med dessa färger inte desamma, det vill säga att träffa dem är inte lika troligt.

Princip P (teoretisk)

Om en händelse E kan inträffa på m sätt av n möjliga lika sannolika utfall från utfallsutrymmet S, då teoretisk sannolikhet händelser, P(E) är
P(E) = m/n.

Exempel 6 Vad är sannolikheten att slå en tärning för att få en 3:a?

Lösning Det finns 6 lika sannolika utfall på en tärning och det finns bara en möjlighet att kasta siffran 3. Då blir sannolikheten P P(3) = 1/6.

Exempel 7 Vad är sannolikheten att slå ett jämnt tal på en tärning?

Lösning Händelsen är att kasta ett jämnt tal. Detta kan ske på 3 sätt (om du slår en 2, 4 eller 6). Antalet lika sannolika utfall är 6. Då är sannolikheten P(jämn) = 3/6, eller 1/2.

Vi kommer att använda ett antal exempel som involverar en standardlek med 52 kort. Denna kortlek består av korten som visas i figuren nedan.

Exempel 8 Vad är sannolikheten att dra ett ess från en väl blandad kortlek?

Lösning Det finns 52 utfall (antalet kort i kortleken), de är lika sannolika (om kortleken är väl blandad), och det finns fyra sätt att dra ett ess, så enligt P-principen är sannolikheten
P(dra ett ess) = 4/52 eller 1/13.

Exempel 9 Anta att vi väljer, utan att titta, en boll från en påse med 3 röda bollar och 4 gröna bollar. Vad är sannolikheten att välja en röd boll?

Lösning Det finns 7 lika sannolika resultat av att dra en boll, och eftersom antalet sätt att dra en röd boll är 3, får vi
P(röd bollval) = 3/7.

Följande påståenden är resultat från princip P.

Egenskaper för sannolikhet

a) Om händelse E inte kan inträffa är P(E) = 0.
b) Om händelse E säkert kommer att inträffa är P(E) = 1.
c) Sannolikheten att händelse E inträffar är ett tal från 0 till 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Till exempel, i en myntkastning har händelsen att myntet landar på kanten noll sannolikhet. Sannolikheten att ett mynt är antingen huvuden eller svansar har sannolikheten 1.

Exempel 10 Låt oss anta att 2 kort dras från en kortlek med 52 kort. Vad är sannolikheten att båda är toppar?

Lösning Antalet n sätt att dra 2 kort från en väl blandad kortlek med 52 kort är 52 C 2 . Eftersom 13 av de 52 korten är spader, är antalet sätt m att dra 2 spader 13 C 2 . Sedan,
P(drar 2 toppar) = m/n = 13 C2 / 52 C2 = 78/1326 = 1/17.

Exempel 11 Anta att 3 personer väljs slumpmässigt ut från en grupp på 6 män och 4 kvinnor. Vad är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut?

Lösning Antalet sätt att välja ut tre personer från en grupp på 10 personer är 10 C 3. En man kan väljas på 6 C 1 sätt och 2 kvinnor kan väljas på 4 C 2 sätt. Enligt den grundläggande principen för räkning är antalet sätt att välja 1 man och 2 kvinnor på 6 C 1. 4 C2. Då är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut
P = 6 Ci. 4 C2/10 C3 = 3/10.

Exempel 12 Kasta tärningar. Vad är sannolikheten att kasta totalt 8 på två tärningar?

Lösning Varje tärning har 6 möjliga utfall. Resultaten fördubblas, vilket innebär att det finns 6,6 eller 36 möjliga sätt på vilka siffrorna på de två tärningarna kan visas. (Det är bättre om kuberna är olika, säg att den ena är röd och den andra är blå - detta hjälper till att visualisera resultatet.)

De talpar som summerar till 8 visas i figuren nedan. Det finns 5 möjliga sätt får en summa lika med 8, därför är sannolikheten 5/36.

För att kvantitativt jämföra händelser med varandra enligt graden av deras möjlighet, är det uppenbarligen nödvändigt att associera ett visst antal till varje händelse, vilket är större ju mer möjligt händelsen är. Vi kommer att kalla detta nummer sannolikheten för en händelse. Således, sannolikheten för en händelseär ett numeriskt mått på graden av objektiv möjlighet för denna händelse.

Den första definitionen av sannolikhet bör betraktas som den klassiska, som uppstod från analysen av hasardspel och till en början användes intuitivt.

Den klassiska metoden för att bestämma sannolikhet bygger på konceptet med lika möjliga och oförenliga händelser, som är resultatet av en given upplevelse och bildar en komplett grupp av oförenliga händelser.

Det enklaste exemplet på lika möjliga och oförenliga händelser som bildar en komplett grupp är utseendet av en eller annan boll från en urna som innehåller flera kulor av samma storlek, vikt och andra påtagliga egenskaper, som endast skiljer sig i färg, noggrant blandade innan de avlägsnas.

Därför sägs ett test vars resultat bildar en komplett grupp av inkompatibla och lika möjliga händelser vara reducerbart till ett mönster av urnor, eller ett mönster av fall, eller passar in i det klassiska mönstret.

Lika möjliga och oförenliga händelser som utgör en komplett grupp kommer att kallas helt enkelt fall eller chanser. Dessutom, i varje experiment, tillsammans med fall, kan mer komplexa händelser inträffa.

Exempel: När vi kastar en tärning, tillsammans med fallen A i - förlusten av i-poäng på ovansidan, kan vi överväga sådana händelser som B - förlusten av ett jämnt antal poäng, C - förlusten av ett antal poäng som är en multipel av tre...

I förhållande till varje händelse som kan inträffa under experimentet delas fall in i gynnsam, där denna händelse inträffar, och ogynnsam, där händelsen inte inträffar. I det föregående exemplet gynnas händelse B av fall A 2, A 4, A 6; händelse C - fall A 3, A 6.

Klassisk sannolikhet förekomsten av en viss händelse kallas förhållandet mellan antalet fall som är gynnsamt för förekomsten av denna händelse och det totala antalet lika möjliga, inkompatibla fall som utgör hela gruppen i ett givet experiment:

Där P(A)- sannolikheten att händelse A inträffar; m- Antalet fall som gynnar händelse A. n - totalt antal fall.

Exempel:

1) (se exemplet ovan) P(B)= , P(C) =.

2) Urnan innehåller 9 röda och 6 blå kulor. Hitta sannolikheten för att en eller två bollar som dras slumpmässigt kommer att visa sig vara röda.

A- en slumpmässig röd boll:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- två röda bollar dragna slumpmässigt:

Följande egenskaper följer av den klassiska definitionen av sannolikhet (visa dig själv):

1) Sannolikheten för en omöjlig händelse är 0;

2) Sannolikheten för en tillförlitlig händelse är 1;

3) Sannolikheten för en händelse ligger mellan 0 och 1;

4) Sannolikheten för en händelse motsatt händelse A,

Den klassiska definitionen av sannolikhet antar att antalet utfall av en rättegång är ändligt. I praktiken är tester mycket vanliga, antalet möjliga fall som är oändliga. Dessutom, svag sida Den klassiska definitionen är att det väldigt ofta är omöjligt att representera resultatet av ett test i form av en uppsättning elementära händelser. Det är ännu svårare att ange skälen till att de grundläggande resultaten av ett test anses vara lika möjliga. Vanligtvis dras jämviktigheten av elementära testresultat slutsatsen från överväganden om symmetri. Sådana uppgifter är dock mycket sällsynta i praktiken. Av dessa skäl, tillsammans med den klassiska definitionen av sannolikhet, används även andra definitioner av sannolikhet.

Statistisk sannolikhet händelse A är den relativa frekvensen av inträffandet av denna händelse i de utförda testerna:

där är sannolikheten att händelse A inträffar;

Relativ frekvens av händelse A;

Antalet försök där händelse A uppträdde;

Totalt antal tester.

Till skillnad från klassisk sannolikhet är statistisk sannolikhet en experimentell egenskap.

Exempel: För att kontrollera kvaliteten på produkter från en batch valdes 100 produkter ut slumpmässigt, varav 3 produkter visade sig vara defekta. Bestäm sannolikheten för äktenskap.

.

Den statistiska metoden för att bestämma sannolikhet är endast tillämplig på de händelser som har följande egenskaper:

De händelser som övervägs bör endast vara resultatet av de tester som kan reproduceras ett obegränsat antal gånger under samma uppsättning förhållanden.

Händelser måste ha statistisk stabilitet (eller stabilitet för relativa frekvenser). Detta innebär att i olika serier av tester den relativa frekvensen av händelsen förändras lite.

Antalet försök som resulterar i händelse A måste vara ganska stort.

Det är lätt att verifiera att egenskaperna hos sannolikhet som härrör från den klassiska definitionen också bevaras i den statistiska definitionen av sannolikhet.

Till en början, eftersom det bara var en samling information och empiriska observationer om tärningsspelet, blev sannolikhetsteorin en grundlig vetenskap. De första som gav den en matematisk ram var Fermat och Pascal.

Från att tänka på det eviga till sannolikhetsteorin

De två individer som sannolikhetsteorin är skyldig många av dess grundläggande formler, Blaise Pascal och Thomas Bayes, är kända som djupt religiösa människor, den sistnämnda är en presbyteriansk minister. Tydligen gav dessa två forskares önskan att bevisa felaktigheten i åsikten om en viss förmögenhet som ger lycka till sina favoriter drivkraft till forskning på detta område. När allt kommer omkring, faktiskt, vilken som helst spelande med sina vinster och förluster är det bara en symfoni av matematiska principer.

Tack vare passionen hos Chevalier de Mere, som var lika en spelare som en man som inte var likgiltig för vetenskap, tvingades Pascal hitta ett sätt att beräkna sannolikhet. De Mere var intresserad av följande fråga: "Hur många gånger behöver du kasta två tärningar i par så att sannolikheten att få 12 poäng överstiger 50%?" Den andra frågan, som var av stort intresse för gentlemannen: "Hur delar man insatsen mellan deltagarna i det oavslutade spelet?" Naturligtvis besvarade Pascal framgångsrikt båda frågorna från de Mere, som blev den omedvetna initiativtagaren till utvecklingen av sannolikhetsteorin. Det är intressant att personen de Mere förblev känd på detta område, och inte i litteraturen.

Tidigare hade ingen matematiker någonsin försökt beräkna sannolikheterna för händelser, eftersom man trodde att detta bara var en gissningslösning. Blaise Pascal gav den första definitionen av sannolikheten för en händelse och visade att det är en specifik siffra som kan motiveras matematiskt. Sannolikhetsteori har blivit grunden för statistik och används flitigt inom modern vetenskap.

Vad är slumpmässighet

Om vi ​​betraktar ett test som kan upprepas ett oändligt antal gånger, så kan vi definiera en slumpmässig händelse. Detta är ett av de troliga resultaten av experimentet.

Erfarenhet är genomförandet av specifika åtgärder under konstanta förhållanden.

För att kunna arbeta med resultaten av experimentet betecknas händelser vanligtvis med bokstäverna A, B, C, D, E...

Sannolikhet för en slumpmässig händelse

För att börja den matematiska delen av sannolikhet är det nödvändigt att definiera alla dess komponenter.

Sannolikheten för en händelse är ett numeriskt mått på möjligheten att någon händelse (A eller B) inträffar som ett resultat av en upplevelse. Sannolikheten betecknas som P(A) eller P(B).

I sannolikhetsteorin särskiljer de:

• pålitlig händelsen kommer garanterat att inträffa som ett resultat av upplevelsen P(Ω) = 1;
• omöjlig händelsen kan aldrig inträffa P(Ø) = 0;
• slumpmässig en händelse ligger mellan tillförlitlig och omöjlig, det vill säga sannolikheten för att den inträffar är möjlig, men inte garanterad (sannolikheten för en slumpmässig händelse är alltid inom intervallet 0≤Р(А)≤ 1).

Samband mellan händelser

Både en och summan av händelser A+B beaktas när händelsen räknas när minst en av komponenterna, A eller B, eller båda, A och B, är uppfyllda.

I förhållande till varandra kan händelser vara:

• Lika möjligt.
• Kompatibel.
• Oförenlig.
• Motsatt (ömsesidigt uteslutande).
• Beroende.

Om två händelser kan hända med lika sannolikhet, då de lika möjligt.

Om förekomsten av händelse A inte minskar sannolikheten för att händelse B inträffar till noll, då kompatibel.

Om händelserna A och B aldrig inträffar samtidigt i samma upplevelse, så kallas de oförenlig. Myntkastning - bra exempel: utseendet på huvuden är automatiskt att huvuden inte syns.

Sannolikheten för summan av sådana oförenliga händelser består av summan av sannolikheterna för var och en av händelserna:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Om förekomsten av en händelse gör förekomsten av en annan omöjlig, då kallas de motsatta. Sedan betecknas en av dem som A, och den andra - Ā (läses som "inte A"). Förekomsten av händelse A betyder att  inte inträffade. Dessa två händelser bildar en komplett grupp med en summa av sannolikheter lika med 1.

Beroende händelser har ömsesidigt inflytande, minskar eller ökar sannolikheten för varandra.

Samband mellan händelser. Exempel

Med hjälp av exempel är det mycket lättare att förstå principerna för sannolikhetsteorin och kombinationer av händelser.

Experimentet som kommer att genomföras består i att ta bollar ur en låda, och resultatet av varje experiment är ett elementärt resultat.

En händelse är ett av de möjliga resultaten av ett experiment - en röd boll, en blå boll, en boll med nummer sex, etc.

Test nr 1. Det är 6 bollar inblandade, varav tre är blå med udda nummer på och de andra tre är röda med jämna nummer.

Test nr 2. 6 bollar inblandade blå med nummer från ett till sex.

Baserat på detta exempel kan vi namnge kombinationer:

• Pålitlig händelse. På spanska Nr 2 händelsen "få den blå bollen" är tillförlitlig, eftersom sannolikheten för att den inträffar är lika med 1, eftersom alla bollar är blå och det kan inte vara någon miss. Medan händelsen "få bollen med siffran 1" är slumpmässig.
• Omöjlig händelse. På spanska Nr 1 med blå och röda bollar är händelsen "att få en lila boll" omöjlig, eftersom sannolikheten för att den inträffar är 0.
• Lika möjliga händelser. På spanska Nr 1, händelserna "få bollen med siffran 2" och "få bollen med siffran 3" är lika möjliga, och händelserna "få bollen med ett jämnt nummer" och "få bollen med siffran 2 ” har olika sannolikheter.
• Kompatibla evenemang. Att få en sexa två gånger i rad när du kastar en tärning är en kompatibel händelse.
• Inkompatibla händelser. På samma spanska Nr 1 kan händelserna "få en röd boll" och "få en boll med ett udda nummer" inte kombineras i samma upplevelse.
• Motsatta händelser. Mest lysande exempel Detta är myntkastning, där att rita huvuden motsvarar att inte dra svansar, och summan av deras sannolikheter är alltid 1 (full grupp).
• Beroende händelser. Alltså på spanska Nr 1 kan du sätta som mål att dra den röda bollen två gånger i rad. Att hämta den eller inte hämta den första gången påverkar sannolikheten att hämta den andra gången.

Det kan ses att den första händelsen signifikant påverkar sannolikheten för den andra (40% och 60%).

Händelsesannolikhetsformel

Övergången från spådom till exakta data sker genom översättning av ämnet till ett matematiskt plan. Det vill säga att bedömningar om en slumpmässig händelse som "hög sannolikhet" eller "minimal sannolikhet" kan översättas till specifika numeriska data. Det är redan tillåtet att utvärdera, jämföra och lägga in sådant material i mer komplexa beräkningar.

Ur beräkningssynpunkt är att bestämma sannolikheten för en händelse förhållandet mellan antalet elementära positiva utfall och antalet av alla möjliga erfarenhetsutfall för en specifik händelse. Sannolikhet betecknas med P(A), där P står för ordet "sannolikhet", som från franska översatts med "sannolikhet".

Så formeln för sannolikheten för en händelse är:

Där m är antalet gynnsamma utfall för händelse A, n är summan av alla möjliga utfall för denna upplevelse. I det här fallet ligger sannolikheten för en händelse alltid mellan 0 och 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beräkning av sannolikheten för en händelse. Exempel

Låt oss ta spanska. Nr 1 med kulor, som beskrevs tidigare: 3 blå kulor med siffrorna 1/3/5 och 3 röda kulor med siffrorna 2/4/6.

Baserat på detta test kan flera olika problem övervägas:

• En - röd boll som faller ut. Det finns 3 röda bollar, och det finns 6 alternativ totalt. Detta är det enklaste exemplet där sannolikheten för en händelse är lika med P(A) = 3/6 = 0,5.
• B - rulla ett jämnt tal. Det finns 3 jämna tal (2,4,6), och det totala antalet möjliga numeriska alternativ är 6. Sannolikheten för denna händelse är P(B)=3/6=0,5.
• C - förekomsten av ett tal större än 2. Det finns 4 sådana alternativ (3,4,5,6) av ett totalt antal möjliga utfall av 6. Sannolikheten för händelse C är lika med P(C)=4 /6=0,67.

Som framgår av beräkningarna har händelse C en högre sannolikhet, eftersom antalet troliga positiva utfall är högre än i A och B.

Inkompatibla händelser

Sådana händelser kan inte förekomma samtidigt i samma upplevelse. Som på spanska Nr 1 är det omöjligt att få en blå och en röd boll samtidigt. Det vill säga att du kan få antingen en blå eller en röd boll. På samma sätt kan ett jämnt och ett udda tal inte förekomma i en tärning samtidigt.

Sannolikheten för två händelser betraktas som sannolikheten för deras summa eller produkt. Summan av sådana händelser A+B anses vara en händelse som består av inträffandet av händelse A eller B, och produkten av dem AB är förekomsten av båda. Till exempel, uppkomsten av två sexor på en gång på sidorna av två tärningar i ett kast.

Summan av flera händelser är en händelse som förutsätter att minst en av dem inträffar. Produktionen av flera evenemang är den gemensamma förekomsten av dem alla.

I sannolikhetsteori, som regel, betecknar användningen av konjunktionen "och" en summa och konjunktionen "eller" - multiplikation. Formler med exempel hjälper dig att förstå logiken i addition och multiplikation i sannolikhetsteorin.

Sannolikhet för summan av oförenliga händelser

Om sannolikheten för inkompatibla händelser beaktas, är sannolikheten för summan av händelser lika med tillägget av deras sannolikheter:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Till exempel: låt oss beräkna sannolikheten att på spanska. Nr 1 med blå och röda bollar, kommer ett tal mellan 1 och 4 att dyka upp. Så i ett sådant experiment finns det bara 6 bollar eller 6 av alla möjliga resultat. Siffrorna som uppfyller villkoret är 2 och 3. Sannolikheten att få talet 2 är 1/6, sannolikheten att få talet 3 är också 1/6. Sannolikheten att få ett tal mellan 1 och 4 är:

Sannolikheten för summan av inkompatibla händelser i en komplett grupp är 1.

Så om vi i ett experiment med en kub lägger ihop sannolikheterna för att alla siffror ska visas, blir resultatet ett.

Detta gäller även för motsatta händelser, till exempel i experimentet med ett mynt, där den ena sidan är händelsen A och den andra är den motsatta händelsen Ā, som bekant,

P(A) + P(Ā) = 1

Sannolikhet för att oförenliga händelser inträffar

Sannolikhetsmultiplikation används när man beaktar förekomsten av två eller flera oförenliga händelser i en observation. Sannolikheten att händelser A och B kommer att dyka upp samtidigt är lika med produkten av deras sannolikheter, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Till exempel, sannolikheten att på spanska Nr 1, som ett resultat av två försök kommer en blå boll att dyka upp två gånger, lika med

Det vill säga, sannolikheten för att en händelse inträffar när, som ett resultat av två försök att extrahera bollar, endast blåa bollar extraheras är 25 %. Det är väldigt enkelt att göra praktiska experiment på detta problem och se om det verkligen är så.

Gemensamma evenemang

Händelser anses vara gemensamma när förekomsten av en av dem kan sammanfalla med förekomsten av en annan. Trots att de är gemensamma beaktas sannolikheten för oberoende händelser. Att kasta två tärningar kan till exempel ge ett resultat när siffran 6 dyker upp på dem båda trots att händelserna sammanföll och dök upp samtidigt, är de oberoende av varandra - bara en sexa kan falla ut, den andra tärningen har ingen. inflytande på det.

Sannolikheten för gemensamma händelser betraktas som sannolikheten för deras summa.

Sannolikhet för summan av gemensamma händelser. Exempel

Sannolikheten för summan av händelserna A och B, som är gemensamma i förhållande till varandra, är lika med summan av sannolikheterna för händelsen minus sannolikheten för att de inträffar (det vill säga deras gemensamma förekomst):

R led (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Låt oss anta att sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,4. Sedan träffar händelse A målet i det första försöket, B - i det andra. Dessa händelser är gemensamma, eftersom det är möjligt att du kan träffa målet med både första och andra skottet. Men händelserna är inte beroende. Vad är sannolikheten för att händelsen träffar målet med två skott (minst med ett)? Enligt formeln:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på frågan är: "Sannolikheten att träffa målet med två skott är 64 %."

Denna formel för sannolikheten för en händelse kan även tillämpas på inkompatibla händelser, där sannolikheten för att en händelse gemensamt inträffar P(AB) = 0. Detta innebär att sannolikheten för summan av oförenliga händelser kan betraktas som ett specialfall av den föreslagna formeln.

Sannolikhetsgeometri för klarhet

Intressant nog kan sannolikheten för summan av gemensamma händelser representeras som två områden A och B, som skär varandra. Som framgår av bilden är arean för deras förening lika med den totala arean minus arean för deras skärningspunkt. Denna geometriska förklaring gör den till synes ologiska formeln mer begriplig. Observera att geometriska lösningar inte är ovanliga inom sannolikhetsteorin.

Att bestämma sannolikheten för summan av många (fler än två) gemensamma händelser är ganska besvärligt. För att beräkna det måste du använda formlerna som tillhandahålls för dessa fall.

Beroende händelser

Händelser kallas beroende om förekomsten av en (A) av dem påverkar sannolikheten för att en annan (B) inträffar. Dessutom tas inverkan av både förekomsten av händelse A och dess uteblivna hänsyn. Även om händelser per definition kallas beroende, är bara en av dem beroende (B). Vanlig sannolikhet betecknades som P(B) eller sannolikheten för oberoende händelser. När det gäller beroende händelser introduceras ett nytt begrepp - villkorlig sannolikhet P A (B), vilket är sannolikheten för en beroende händelse B under förutsättning att händelse A (hypotes) inträffar som den beror på.

Men händelse A är också slumpmässig, så den har också en sannolikhet att behöver och kan tas med i beräkningarna som görs. Följande exempel visar hur man arbetar med beroende händelser och en hypotes.

Ett exempel på att beräkna sannolikheten för beroende händelser

Ett bra exempel för att beräkna beroende händelser skulle vara en vanlig kortlek.

Med hjälp av en kortlek med 36 kort som exempel, låt oss titta på beroende händelser. Vi måste bestämma sannolikheten för att det andra kortet som dras från leken kommer att vara av diamanter om det första kortet som dras är:

1. Bubnovaya.
2. En annan färg.

Uppenbarligen beror sannolikheten för den andra händelsen B på den första A. Så, om det första alternativet är sant, att det finns 1 kort (35) och 1 ruter (8) mindre i leken, är sannolikheten för händelse B:

RA(B) =8/35=0,23

Om det andra alternativet är sant, har kortleken 35 kort, och hela antalet ruter (9) behålls fortfarande, då är sannolikheten för följande händelse B:

RA(B) =9/35=0,26.

Det kan ses att om händelse A är betingad av att det första kortet är en ruter, så minskar sannolikheten för händelse B, och vice versa.

Multiplicera beroende händelser

Med ledning av föregående kapitel accepterar vi den första händelsen (A) som ett faktum, men i grund och botten är den av slumpmässig karaktär. Sannolikheten för denna händelse, nämligen att dra en diamant från en kortlek, är lika med:

P(A) = 9/36=1/4

Eftersom teorin inte existerar ensam, utan är avsedd att tjäna i praktiska syften, är det rimligt att notera att det som oftast behövs är sannolikheten för att producera beroende händelser.

Enligt satsen om produkten av sannolikheter för beroende händelser är sannolikheten för förekomsten av gemensamt beroende händelser A och B lika med sannolikheten för en händelse A, multiplicerad med den villkorade sannolikheten för händelse B (beroende på A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Sedan, i kortleksexemplet, är sannolikheten för att dra två kort med diamanter:

9/36*8/35=0,0571, eller 5,7 %

Och sannolikheten för att inte utvinna diamanter först, och sedan diamanter, är lika med:

27/36*9/35=0,19 eller 19 %

Det kan ses att sannolikheten för att händelse B inträffar är större förutsatt att det första kortet i en annan färg än ruter dras. Detta resultat är ganska logiskt och förståeligt.

Total sannolikhet för en händelse

När ett problem med betingade sannolikheter blir mångfacetterat kan det inte beräknas med konventionella metoder. När det finns mer än två hypoteser, nämligen A1,A2,...,A n, bildar .. en komplett grupp av händelser:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Så formeln för den totala sannolikheten för händelse B med en komplett grupp av slumpmässiga händelser A1, A2,..., A n är lika med:

Tittar på framtiden

Sannolikheten för en slumpmässig händelse är ytterst nödvändig inom många vetenskapsområden: ekonometri, statistik, fysik, etc. Eftersom vissa processer inte kan beskrivas deterministiskt, eftersom de i sig är sannolikhetsmässiga till sin natur, krävs speciella arbetsmetoder. Teorin om händelsesannolikhet kan användas inom vilket tekniskt område som helst som ett sätt att fastställa möjligheten för ett fel eller fel.

Vi kan säga att genom att känna igen sannolikhet tar vi på något sätt ett teoretiskt steg in i framtiden och ser på det genom formlernas prisma.

Detta är förhållandet mellan antalet observationer där händelsen i fråga inträffade och det totala antalet observationer. Denna tolkning är acceptabel i fallet med tillräcklig stor mängd observationer eller experiment. Om till exempel ungefär hälften av människorna du möter på gatan är kvinnor, så kan du säga att sannolikheten att personen du möter på gatan kommer att vara en kvinna är 1/2. Med andra ord kan en uppskattning av sannolikheten för en händelse vara frekvensen av dess förekomst i en lång rad oberoende upprepningar av ett slumpmässigt experiment.

Sannolikhet i matematik

I det moderna matematiska tillvägagångssättet ges klassisk (det vill säga inte kvant) sannolikhet av Kolmogorovs axiomatik. Sannolikhet är ett mått P, som definieras på setet X, kallat sannolikhetsutrymme. Denna åtgärd måste ha följande egenskaper:

Av dessa förhållanden följer att sannolikhetsmåttet P har också fastigheten additivitet: om ställer in A 1 och A 2 skär inte, då . För att bevisa måste du lägga allt A 3 , A 4 , ... lika med den tomma uppsättningen och tillämpa egenskapen räknebar additivitet.

Sannolikhetsmåttet kanske inte definieras för alla delmängder av mängden X. Det räcker att definiera det på en sigma-algebra, som består av några delmängder av mängden X. I detta fall definieras slumpmässiga händelser som mätbara delmängder av rymden X, det vill säga som delar av sigma algebra.

Sannolikhetskänsla

När vi finner att orsakerna till att något möjligt faktum faktiskt inträffar överväger de motsatta skälen, överväger vi det faktumet sannolik, annars - otrolig. Denna övervikt av positiva baser över negativa, och vice versa, kan representera en obestämd uppsättning grader, som ett resultat av vilket sannolikhet(Och osannolikhet) Det händer mer eller mindre .

Komplexa individuella fakta tillåter inte en exakt beräkning av graden av deras sannolikhet, men även här är det viktigt att fastställa några stora underavdelningar. Så, till exempel, inom det juridiska området, när ett personligt faktum som är föremål för rättegång fastställs på grundval av vittnesmål, förblir det strängt taget alltid bara sannolikt, och det är nödvändigt att veta hur betydande denna sannolikhet är; i romersk rätt antogs en fyrdubbling här: probatio plena(där sannolikheten praktiskt taget övergår till pålitlighet), vidare - probatio minus plena, sedan - probatio semiplena major och slutligen probatio semiplena minor .

Utöver frågan om fallets sannolikhet kan frågan uppkomma, såväl inom rättsområdet som på det moraliska området (med viss etisk synpunkt), hur troligt det är att ett visst visst faktum utgör en brott mot den allmänna lagen. Denna fråga, som fungerar som huvudmotivet i Talmuds religiösa rättspraxis, gav också upphov till mycket komplexa systematiska konstruktioner och en enorm litteratur, dogmatisk och polemisk, inom romersk-katolsk moralteologi (särskilt från slutet av 1500-talet) ( se sannolikhet).

Sannolikhetsbegreppet tillåter ett visst numeriskt uttryck när det endast tillämpas på sådana fakta som ingår i vissa homogena serier. Så (i det enklaste exemplet), när någon kastar ett mynt hundra gånger i rad, finner vi här en generell eller stor serie (summan av alla myntfall), bestående av två privata eller mindre, i detta fall numeriskt lika, serie (faller "huvuden" och faller "svansar"); Sannolikheten att den här gången kommer myntet att landa huvuden, det vill säga att denna nya medlem av den allmänna serien kommer att tillhöra denna av de två mindre serierna, är lika med bråkdelen som uttrycker det numeriska förhållandet mellan denna lilla serie och den större, nämligen 1/2, det vill säga samma sannolikhet tillhör den ena eller den andra av två speciella serier. På mindre enkla exempel slutsatsen kan inte härledas direkt från uppgifterna om själva problemet, utan kräver preliminär induktion. Så till exempel är frågan: vad är sannolikheten för en given nyfödd att leva till 80 år? Här måste det finnas en allmän, eller stor, serie av ett visst antal personer födda under liknande förhållanden och dör i olika åldrar (detta måste vara tillräckligt stort för att eliminera slumpmässiga avvikelser, och tillräckligt litet för att bibehålla seriens homogenitet, för för en person, född till exempel i S:t Petersburg i en rik, odlad familj, hela stadens miljonbefolkning, varav en betydande del består av människor från olika grupper som kan dö i förtid - soldater, journalister, arbetare i farliga yrken - representerar en grupp som är för heterogen för en verklig bestämning av sannolikhet) ; låt denna allmänna rad bestå av tiotusen människoliv; den inkluderar mindre serier som representerar antalet personer som överlever till en viss ålder; en av dessa mindre serier representerar antalet personer som lever till 80 års ålder. Men det är omöjligt att bestämma antalet av denna mindre serie (som alla andra) a priori; detta görs rent induktivt, genom statistik. Antag att statistiska studier har fastställt att av 10 000 medelklassinvånare i S:t Petersburg lever endast 45 till 80 år; Således är denna mindre serie relaterad till den större eftersom 45 är till 10 000, och sannolikheten för en given person att tillhöra denna mindre serie, det vill säga att leva till 80 år, uttrycks som en bråkdel av 0,0045. Studiet av sannolikhet ur en matematisk synvinkel utgör en speciell disciplin - sannolikhetsteori.

Se även

Anteckningar

Litteratur

• Alfred Renyi. Bokstäver om sannolikhet / övers. från ungerska D. Saas och A. Crumley, red. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Sannolikhetslära kurs. M., 2007. 42 sid.
• Kuptsov V.I. Determinism och sannolikhet. M., 1976. 256 sid.

Wikimedia Foundation.

2010.:

Synonymer:

Antonymer

Se vad "Probability" är i andra ordböcker: Allmänt vetenskapligt och filosofiskt. en kategori som anger den kvantitativa graden av möjlighet för förekomsten av slumpmässiga masshändelser under fasta observationsförhållanden, som kännetecknar stabiliteten hos deras relativa frekvenser. I logik, semantisk grad... ...

Filosofisk uppslagsverk PROBABILITY, ett tal i intervallet från noll till och med ett, som representerar möjligheten att inträffa. Sannolikheten för en händelse definieras som förhållandet mellan antalet chanser att en händelse kan inträffa och det totala antalet möjliga... ... Vetenskaplig och teknisk encyklopedisk ordbok

Med all sannolikhet.. Ordbok över ryska synonymer och liknande uttryck. under. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. sannolikhet möjlighet, sannolikhet, chans, objektiv möjlighet, maza, tillåtlighet, risk. Myra. omöjlighet... ... Ordbok över synonymer

sannolikhet– Ett mått på att en händelse sannolikt kommer att inträffa. Notera Matematisk definition sannolikhet: "ett reellt tal mellan 0 och 1 som relaterar till en slumpmässig händelse." Siffran kan återspegla den relativa frekvensen i en serie observationer... ... Teknisk översättarguide

Sannolikhet- "ett matematiskt, numeriskt kännetecken för graden av möjlighet att inträffa en händelse under vissa specifika förhållanden som kan upprepas ett obegränsat antal gånger." Baserad på denna klassiker... ... Ekonomisk och matematisk ordbok

- (sannolikhet) Möjligheten att en händelse eller ett visst resultat inträffar. Den kan presenteras i form av en skala med divisioner från 0 till 1. Om sannolikheten för en händelse är noll, är dess förekomst omöjlig. Med en sannolikhet lika med 1, börjar... Ordbok över affärstermer

"Läsaren har redan lagt märke till i vår presentation den frekventa användningen av begreppet "sannolikhet."

Detta karaktäristiskt drag modern logik i motsats till antik och medeltida logik. En modern logiker förstår att all vår kunskap bara är mer eller mindre probabilistisk, och inte säker, som filosofer och teologer är vana att tro. Han är inte överdrivet bekymrad över det faktum att induktiv slutledning bara ger sannolikhet till dess slutsats, eftersom han inte förväntar sig något mer. Han kommer dock att tänka på det om han finner anledning att tvivla på sannolikheten för hans slutsats.

Två problem har alltså fått mycket större betydelse i modern logik än tidigare. Den första är sannolikhetens natur och den andra är betydelsen av induktion. Låt oss kort diskutera dessa problem.

Det finns följaktligen två typer av sannolikhet - bestämd och osäker.

En viss typ av sannolikhet förekommer i matematisk teori sannolikhet, som diskuterar problem som att kasta tärningar eller kasta mynt. Det förekommer överallt där det finns flera möjligheter och ingen av dem kan föredras framför den andra. Om du kastar ett mynt bör det landa på antingen huvuden eller svansen, men båda verkar lika troliga. Därför är chansen för huvud och svans 50%, en tas som tillförlitlighet. På samma sätt, om du slår en tärning, kan den landa på någon av de sex sidorna, och det finns ingen anledning att gynna den ena framför den andra, så var och en har en 1/6 chans. Försäkringsbolag använder denna typ av sannolikhet i sitt arbete. De vet inte vilken byggnad som kommer att brinna ner, men de vet hur stor andel av byggnaderna som brinner ner varje år. De vet inte hur länge en viss person kommer att leva, men de vet den genomsnittliga livslängden vid en viss period. I alla sådana fall är uppskattningen av sannolikheten i sig inte bara sannolik, utom i den mening i vilken all kunskap bara är sannolik. En sannolikhetsuppskattning kan i sig ha en hög grad av sannolikhet. Annars skulle försäkringsbolagen gå i konkurs.

Stora ansträngningar har gjorts för att öka sannolikheten för induktion, men det finns anledning att tro att alla dessa försök var förgäves. Sannolikhetsegenskapen för induktiva slutledningar är nästan alltid, som jag sa ovan, av osäker karaktär.

Nu ska jag förklara vad det är.

Det har blivit trivialt att säga att all mänsklig kunskap är felbar. Det är uppenbart att fel är olika. Om jag säger det Buddha levde på 600-talet före Kristi födelse kommer sannolikheten för fel att vara mycket stor. Om jag säger det Caesar dödades, kommer sannolikheten för fel att vara liten.

Om jag berättar vad som händer nu stora krig, då är sannolikheten för ett fel så liten att endast en filosof eller logiker kan erkänna dess närvaro. Dessa exempel berör historiska händelser, men en liknande gradering finns i förhållande till vetenskapliga lagar. Vissa av dem har den uppenbara karaktären av hypoteser, som ingen kommer att ge mer seriös status på grund av bristen på empiriska data till deras fördel, medan andra verkar så bestämda att det praktiskt taget inte råder några tvivel från forskarnas sida om deras sanning. (När jag säger "sanning", menar jag "ungefärlig sanning", eftersom varje vetenskaplig lag är föremål för någon ändring.)

Sannolikhet är något som ligger mellan det vi är säkra på och det vi mer eller mindre är benägna att erkänna, om detta ord förstås i betydelsen av den matematiska sannolikhetsteorin.

Det vore mer korrekt att tala om grader av säkerhet eller grader av tillförlitlighet . Detta är ett bredare koncept av vad jag kallade "viss sannolikhet", vilket också är viktigare.

Bertrand Russell, The Art of Drawing Conclusions / The Art of Thinking, M., "House of Intellectual Books", 1999, sid. 50-51.