Hej alla! Jag heter Ribenek Valeria, Ulyanovsk och idag kommer jag att lägga upp flera av mina vetenskapliga artiklar på LCI:s hemsida.

Min första vetenskapliga artikel i denna blogg kommer att ägnas åt fraktaler. Jag kommer genast att säga att mina artiklar är designade för nästan vilken publik som helst. Dessa. Jag hoppas att de kommer att vara intressanta för både skolbarn och elever.

Nyligen lärde jag mig om så intressanta föremål i den matematiska världen som fraktaler. Men de finns inte bara inom matematiken. De omger oss överallt. Fraktaler är naturliga. Jag kommer att prata om vad fraktaler är, om typerna av fraktaler, om exempel på dessa objekt och deras tillämpningar i den här artikeln. Till att börja med ska jag kort berätta vad en fraktal är.

Fraktal(Latin fractus - krossad, bruten, trasig) är en komplex geometrisk figur som har egenskapen självlikhet, det vill säga sammansatt av flera delar, som var och en liknar hela figuren. I en vidare mening förstås fraktaler som uppsättningar av punkter i det euklidiska rummet som har en bråkdelmetrisk dimension (i betydelsen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimension som skiljer sig från den topologiska. Som ett exempel kommer jag att infoga en bild som visar fyra olika fraktaler.

Jag ska berätta lite om fraktalernas historia. Begreppen fraktal och fraktal geometri, som dök upp i slutet av 70-talet, har blivit fast etablerade bland matematiker och programmerare sedan mitten av 80-talet. Ordet "fractal" myntades av Benoit Mandelbrot 1975 för att hänvisa till de oregelbundna men självliknande strukturer som han var bekymrad över. Födelsen av fraktal geometri förknippas vanligtvis med publiceringen av Mandelbrots bok The Fractal Geometry of Nature 1977. Hans verk använde de vetenskapliga resultaten från andra vetenskapsmän som arbetade under perioden 1875-1925 inom samma område (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Men bara i vår tid har det varit möjligt att kombinera deras arbete till ett enda system.

Det finns många exempel på fraktaler, eftersom de som sagt omger oss överallt. Enligt min åsikt är till och med hela vårt universum en enorm fraktal. När allt kommer omkring, allt i den, från atomens struktur till själva universums struktur, upprepar varandra exakt. Men det finns förstås mer specifika exempel fraktaler från olika områden. Fraktaler, till exempel, finns i komplex dynamik. Där dyker de naturligtvis upp i studien av icke-linjära dynamiska system. Det mest studerade fallet är när det dynamiska systemet specificeras av iterationer polynom eller holomorf funktion av ett komplex av variabler på ett plan. Några av de mest kända fraktalerna av denna typ är Julia set, Mandelbrot set och Newton pooler. Nedan, i ordning, visar bilderna var och en av ovanstående fraktaler.

Ett annat exempel på fraktaler är fraktala kurvor. Det är bäst att förklara hur man konstruerar en fraktal med hjälp av exemplet med fraktala kurvor. En av dessa kurvor är den så kallade Koch Snowflake. Det finns en enkel procedur för att få fraktalkurvor på ett plan. Låt oss definiera en godtycklig streckad linje med ett ändligt antal länkar, kallad en generator. Därefter ersätter vi varje segment i det med en generator (mer exakt, en bruten linje som liknar en generator). I den resulterande brutna linjen ersätter vi igen varje segment med en generator. Fortsätter vi till oändligheten, i gränsen får vi en fraktalkurva. Nedan är Koch Snowflake (eller Curve).

Det finns också ett stort utbud av fraktala kurvor. De mest kända av dem är den redan nämnda Koch Snowflake, liksom Levy-kurvan, Minkowski-kurvan, Drakens brutna linje, Pianokurvan och Pythagoras träd. Jag tror att du lätt kan hitta en bild av dessa fraktaler och deras historia på Wikipedia om du vill.

Det tredje exemplet eller typen av fraktaler är stokastiska fraktaler. Sådana fraktaler inkluderar banan för Brownsk rörelse på ett plan och i rymden, Schramm-Löwner-evolutionen, olika typer randomiserade fraktaler, det vill säga fraktaler erhållna med hjälp av en rekursiv procedur i vilken en slumpmässig parameter införs vid varje steg.

Det finns också rent matematiska fraktaler. Dessa är till exempel Cantor-setet, Menger-svampen, Sierpinski-triangeln och andra.

Men de kanske mest intressanta fraktalerna är naturliga. Naturliga fraktaler är föremål i naturen som har fraktala egenskaper. Och här är listan redan stor. Jag kommer inte att lista allt, för det är förmodligen omöjligt att lista dem alla, men jag ska berätta om några. Till exempel i levande natur inkluderar sådana fraktaler vår cirkulationssystemet och lungor. Och även kronor och löv på träd. Detta inkluderar även sjöstjärnor, sjöborrar, koraller, snäckskal, vissa växter som kål eller broccoli. Flera sådana naturliga fraktaler från levande natur visas tydligt nedan.

Om vi ​​betraktar den livlösa naturen, så där intressanta exempel mycket mer än i verkliga livet. Blixtar, snöflingor, moln, välkända för alla, mönster på fönster på frostiga dagar, kristaller, bergskedjor - alla dessa är exempel på naturliga fraktaler från livlös natur.

Vi tittade på exempel och typer av fraktaler. När det gäller användningen av fraktaler används de inom en mängd olika kunskapsområden. Inom fysiken uppstår fraktaler naturligt när man modellerar olinjära processer som turbulent vätskeflöde, komplexa processer diffusion-adsorption, flamma, moln etc. Fraktaler används i modellering porösa material t.ex. inom petrokemi. Inom biologin används de för att modellera populationer och för att beskriva system. inre organ(blodkärlssystemet). Efter skapandet av Koch-kurvan föreslogs det att använda den för att beräkna längden på kustlinjen. Fraktaler används också aktivt inom radioteknik, informationsvetenskap och datateknik, telekommunikation och till och med ekonomi. Och, naturligtvis, fraktal vision används aktivt i modern konst och arkitektur. Här är ett exempel på fraktala mönster:

Och så, med det här tänker jag komplettera min berättelse om ett så ovanligt matematiskt fenomen som en fraktal. Idag lärde vi oss om vad en fraktal är, hur den såg ut, om typerna och exemplen på fraktaler. Jag pratade också om deras användning och demonstrerade några av fraktalerna visuellt. Jag hoppas att du gillade denna lilla utflykt till världen av fantastiska och fascinerande fraktala föremål.

Fraktalteori

Konstiga atttraktorer har alltid en fraktal dimension. Därför, för att beskriva kaotiska attraktioner, används apparaten för fraktal geometri, som beskriver "kaosstrukturer."

Termen "fractal" tillhör Benoit Mandelbrot. I sina tre böcker ("Fractal Objects: Form, Chance and Dimension", 1975; "Fractals: Form, Chance and Dimension", 1977; "Fractal Geometry of Nature", 1977) föreslog Mandelbrot en icke-euklidisk geometri av icke-slät , grova, taggiga, korroderade hålor och hål, grova, etc. föremål. Det är "oregelbundna" föremål som utgör den stora majoriteten av föremålen i naturen. B. Mandelbrot beskrev själv den teori han skapade som det formlösas morfologi.

"The Fractal Geometry of Nature" av B. Mandelbrot inleds med följande ord: "Varför kallas geometri ofta för "kall" och "torr"? En anledning är dess oförmåga att beskriva formen av ett moln, berg, kustlinje eller träd. Moln är inte sfärer, berg är inte kottar, kustlinjer är inte cirklar, trädbark är inte slät, blixtar färdas inte i en rak linje. Mer generellt hävdar jag att många objekt i naturen är så oregelbundna och fragmenterade att jämfört med Euklid - en term som i detta arbete betyder all standardgeometri - har naturen inte bara mer komplexitet, utan komplexitet på en helt annan nivå. Antalet olika längdskalor av naturliga föremål är oändligt för alla praktiska ändamål.” Danilov Yu.A. Skönheten med fraktaler. Webb: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.

Euklid reducerade naturen till rena och symmetriska objekt: en punkt, en endimensionell linje, ett tvådimensionellt plan, en tredimensionell kropp. Inget av dessa föremål har hål eller yttre ojämnheter. Var och en har den korrekta släta formen. Naturliga föremål av grova former är inte varianter av rena euklidiska strukturer. De flesta naturliga former och tidsserier på bästa möjliga sätt beskrivs av fraktaler.

Mandelbrot myntade termen fraktal (från det latinska ordet "fractus" - fraktionerad, fragmenterad), baserad på Besicovich-Hausdorffs teori om fraktal (fraktionell) dimension, som föreslogs 1919.

Besicovitch-Hausdorff-dimensionen sammanfaller med den euklidiska dimensionen för vanliga geometriska objekt (för kurvor, ytor och fasta ämnen studerade i en modern euklidisk geometrilärobok). Besicovich-Hausdorff-dimensionen för den konstiga Lorentz-atttraktorn är större än 2, men mindre än 3: Lorentz-atttraktorn är inte längre slät yta, men ännu inte en volymetrisk kropp.

Vi tenderar att tro att varje platt föremål är tvådimensionellt. Men ur en matematisk synvinkel är detta inte sant. Det euklidiska planet är plan yta utan sprickor eller brott. Likaså antar vi att ett föremål som har djup är tredimensionellt. Men i euklidisk geometri är ett tredimensionellt föremål en solid kropp utan hål eller sprickor. De flesta verkliga föremål är inte solida - de har luckor och håligheter och är helt enkelt placerade i tredimensionellt utrymme. Till exempel har berg och moln dimensioner mellan två och tre. En av egenskaperna hos fraktala föremål är att de lämnar sin egen dimension när de placeras i ett utrymme av dimensioner som är större än deras fraktala. Slumpmässiga distributioner(vitt brus) har inte denna egenskap. Vitt brus fyller dess utrymme som en gas fyller en volym. Om ett visst belopp gas placeras i en behållare med större volym, kommer gasen helt enkelt att spridas ut i ett större utrymme, eftersom ingenting förbinder gasmolekylerna med varandra. På andra sidan, fast har molekyler kopplade till varandra. På liknande sätt, i en fraktal tidsserie, bestäms positionerna för punkter av korrelationer som inte finns i en slumpmässig serie. En tidsserie kommer bara att vara slumpmässig om den är resultatet av ett stort antal lika sannolika händelser. I statistiska termer - det har det stort antal frihetsgrader. En icke-slumpmässig tidsserie kommer att återspegla influensernas icke-slumpmässiga karaktär. Hopp i data kommer att motsvara hopp i påverkande faktorer, vilket återspeglar deras inneboende korrelation. Med andra ord kommer tidsserien att vara en fraktal. Fraktal dimension definieras av hur ett objekt eller en tidsserie fyller rymden. Ett fraktalt objekt fyller utrymmet ojämnt eftersom dess delar är beroende eller korrelerade. För att bestämma fraktal dimension måste vi bestämma hur ett objekt grupperas i en enda helhet i dess Peters-rymd. E. Kaos och ordning på kapitalmarknaderna. En ny analytisk titt på cykler, priser och marknadsvolatilitet. M.: Mir, 2000. S.80..

I euklidisk geometri, ju närmare vi ser ett föremål, desto enklare blir det. Ett tredimensionellt block blir ett tvådimensionellt plan, sedan en endimensionell linje, tills det blir en punkt. I fraktala (naturliga) objekt, när du zoomar in, avslöjas allt mer information. En utmärkande egenskap hos fraktala objekt är att var och en av detaljerna innehåller en gemensam struktur. En av definitionerna av en fraktal är: en fraktal är en självliknande struktur. Självlikhet (skalinvarians) är ett fenomen som består i att små delar av ett objekt är kvalitativt lika eller liknar hela objektet, med andra ord, denna egenskap ser ungefär likadan ut på vilken skala som helst, oavsett hur liten . I en fraktal tidsserie kommer små tidsintervall att vara statistiskt lika stora intervall. Fraktala former uppvisar rumslig självlikhet. Fraktala tidsserier har statistisk självlikhet över tid.

Så vi har redan stött på två definitioner av en fraktal (genom bråkdimensionen och genom egenskapen skalinvarians). Den slutliga definitionen av en fraktal har ännu inte hittats. Det är möjligt att detta aldrig kommer att hända, eftersom fraktal geometri är naturens geometri.

Som bekant bestämmer iterationsmetoden positionen för en punkt vid en viss tidpunkt genom dess position vid föregående tidpunkt, det vill säga återkoppling fungerar. I form av en algoritm kan detta visas på följande sätt: "initial states" + "generating steg för steg procedur" = "expanderad fraktalstruktur." Fraktalmängder definieras med hjälp av icke-linjära ekvationer som beskriver dynamiska system med återkoppling. En fraktal är gränsuppsättningen för en genererande regel. En fraktal är en självorganiserande struktur, och den genererande regeln kan uppfattas som en replikant, ett "subjekt" för självorganisering.

I princip är fraktalgeometri en helt oberoende vetenskap, men dess idéer har redan till stor del "assimilerats" av synergetik, och synergetik inspirerade en gång i tiden Benoit Mandelbrot i studiet av fraktala föremål. Därför kommer vi inte att dra strikta gränser mellan det synergetiska tillvägagångssättet och teorin om fraktaler.

Det finns två typer av fraktaler: deterministiska och slumpmässiga. Deterministiska fraktaler är i de flesta fall symmetriska. Men naturen avvisar symmetri, så naturliga objekt beskrivs med slumpmässiga fraktaler. Slumpmässiga fraktaler inkluderar inte alltid delar som liknar helheten. Delarna och helheten kan relateras kvalitativt. Slumpmässiga fraktaler är en kombination av genererande regler som väljs slumpmässigt i olika skalor.

Sida 1

Teorin om fraktaler gör det möjligt att från en enhetlig position lösa problemet med att beskriva hela hierarkin av strukturella nivåer i komplexa material. Dessa frågor behandlas närmare i 2 kap.  

Teorin om fraktaler tillåter en parameter att entydigt karakterisera strukturen hos en cellulär komposit på mikronivå.  

Fraktalteori befintlig formär huvudsakligen avsedd att beskriva processerna för strukturbildning i den mest allmänna meningen. De tillgängliga individuella arbetena om användningen av dess metoder inom sprickmekanik ägnas åt problemen med sprickmotstånd och sprickkinetik och är förknippade med konceptet med aggregering av ett system av växande sprickor till fraktala kluster. I detta fall övervägs huvudsakligen homogena medier och material. Användningen av detta tillvägagångssätt för att beskriva styrkan hos porösa slumpmässigt inhomogena kompositmaterial är för närvarande mycket problematisk.  

Fraktalteori använder begreppet ett kluster för att beskriva ett objekt som består av stort antal fasta partiklar, styvt sammankopplade och med en lös och grenad struktur. Ett fraktalt kluster skiljer sig från ett icke-fraktalt kluster genom att det har egenskapen självlikhet. Konceptet med ett fraktalt kluster är universellt och kan därför tillämpas på system av olika karaktär. Omfattande information om egenskaperna hos fraktala kluster erhölls genom att studera deras beteende genom datormodellering med hjälp av olika modeller för klusterbildning.  

Metoder för teorin om fraktaler används som regel i de mest komplexa delarna av teoretisk fysik - kvantfältteori, statistisk fysik, teorin om fasövergångar och kritiska fenomen. Syftet med monografin är att visa att fraktalteorins idéer och metoder effektivt kan användas inom den traditionella, klassiska grenen av mekanik - materialmekanik. Utbudet av material som beaktas är ganska brett: dispergerade material från metallpulver till oxidkeramik, polymerer, kompositmaterial med olika matriser och fyllmedel, tryckmaterial. En statistisk teori om struktur och elasticitet har konstruerats hållfasthetsegenskaper fraktala spridningssystem. En fraktal metod för att beskriva processerna för konsolidering av spridda system har utvecklats. En självständig teori om den effektiva elasticitetsmodulen för dispergerade förstärkta kompositer med en stokastisk struktur har utvecklats inom hela intervallet av förändringar i volymfraktionen av fyllmedlet. Teorin är generaliserad till kompositer med bimodal packning av fyllmedel, samt till kompositmaterial med förstärkning enligt komplex kombinerade system. Tillämpningen av teorin om fraktaler för att studera mikrostrukturen och fysikaliska och mekaniska egenskaper hos tryckmaterial och teknik övervägs. tryckprocesser.  

Denna egenskap hos teorin om fraktaler nödvändiggör utvecklingen av ett tillvägagångssätt baserat på dess syntes som en teori som ger effektiv beskrivning strukturer, och en av de klassiska teorierna om styrka, för att beskriva deras hållfasthetsegenskaper. Användningen av strukturteorier för dessa ändamål, som utgår från antagandet att styrkan hos en dispergerad struktur additivt är sammansatt av styrkan hos individuella kontakter, är inte helt korrekt för de strukturer som observeras i porösa slumpmässigt inhomogena kompositer, särskilt i den närliggande regionen till maximal densitet.  

Möjligheterna med fraktala teorimetoder i relation till tryckmaterialens mekanik och tryckprocessteknik demonstreras i kapitel.  

I tillämpningar av fraktal teori på fysiska problem viktig roll spelar in i idén om fraktalernas självlikhet. En mängd G kallas självliknande om mängden G som erhålls från den genom att ändra längderna med 1 gånger täcker den ursprungliga mängden G utan skärningar. Värdet på r kallas i detta fall likhetskoefficienten. I enkla fall självlikhet är uppenbart.  

Matematiska grunder fraktala teorier grundades i början av 1900-talet.  

Det metodologiska värdet av teorin om fraktaler ligger i existensen inte bara av en matematisk apparat, utan också i möjligheten till filosofisk förståelse och systematisering av empiriska data vid bildandet av matematiska fraktalmodeller och tolkningen av information som erhålls med deras hjälp.  

Fraktal

Fraktal (lat. fraktus- krossad, bruten, bruten) är en geometrisk figur som har egenskapen självlikhet, det vill säga sammansatt av flera delar, som var och en liknar hela figuren I matematik förstås fraktaler som uppsättningar av punkter i euklidisk utrymme som har en bråkdelsmetrisk dimension (i betydelsen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimension som skiljer sig från den topologiska. Fractasm är en oberoende exakt vetenskap för att studera och komponera fraktaler.

Med andra ord, fraktaler är geometriska objekt med en bråkdimension. Till exempel är dimensionen på en linje 1, arean är 2 och volymen är 3. För en fraktal kan dimensionsvärdet vara mellan 1 och 2 eller mellan 2 och 3. Till exempel fraktaldimensionen för en skrynklig papperskulan är cirka 2,5. I matematik finns det en speciell komplex formel för att beräkna fraktalernas dimension. Grenarna av luftrörsrör, löv på träd, vener i handen, en flod - dessa är fraktaler. Enkelt uttryckt är en fraktal en geometrisk figur, av vilken en viss del upprepas om och om igen, ändras i storlek - detta är principen om självlikhet. Fraktaler liknar sig själva, de liknar sig själva på alla nivåer (dvs i vilken skala som helst). Det finns många olika typer av fraktaler. I princip kan man hävda att allt som finns i den verkliga världen är en fraktal, vare sig det är ett moln eller en syremolekyl.

Ordet "kaos" får en att tänka på något oförutsägbart, men i själva verket är kaos ganska ordnat och lyder vissa lagar. Målet med att studera kaos och fraktaler är att förutsäga mönster som vid en första anblick kan verka oförutsägbara och helt kaotiska.

Pionjären inom detta kunskapsområde var den fransk-amerikanske matematikern, professor Benoit B. Mandelbrot. I mitten av 1960-talet utvecklade han fraktal geometri, vars syfte var att analysera trasiga, skrynkliga och luddiga former. Mandelbrot-uppsättningen (visas i figuren) är den första associationen som uppstår hos en person när han hör ordet "fractal". Mandelbrot bestämde förresten att den engelska kustlinjens fraktala dimension är 1,25.

Fraktaler används alltmer inom vetenskapen. De beskriver den verkliga världen ännu bättre än traditionell fysik eller matematik. Brownsk rörelse är till exempel den slumpmässiga och kaotiska rörelsen av dammpartiklar suspenderade i vatten. Denna typ av rörelse är kanske den aspekt av fraktal geometri som har mest praktisk användning. Slumpmässig Brownsk rörelse har ett frekvenssvar som kan användas för att förutsäga fenomen som involverar stora mängder data och statistik. Till exempel förutspådde Mandelbrot förändringar i ullpriserna med hjälp av Brownsk rörelse.

Ordet "fraktal" kan användas inte bara som en matematisk term. I pressen och populärvetenskaplig litteratur kan en fraktal kallas en figur som har någon av följande egenskaper:

Den har en icke-trivial struktur på alla skalor. Detta i motsats till vanliga figurer (som en cirkel, ellips, graf av en jämn funktion): om vi betraktar ett litet fragment av en vanlig figur i mycket stor skala, kommer det att se ut som ett fragment av en rät linje. För en fraktal leder ökning av skalan inte till en förenkling av strukturen på alla skalor kommer vi att se en lika komplex bild.

Är sig själv lik eller ungefär sig själv lik.

Den har en metrisk bråkdimension eller en metrisk dimension som överstiger den topologiska.

Den mest användbara användningen av fraktaler inom datorteknik är fraktal datakomprimering. Samtidigt komprimeras bilder mycket bättre än vad som görs med konventionella metoder – upp till 600:1. En annan fördel med fraktal komprimering är att när den förstoras finns det ingen pixeleringseffekt, vilket dramatiskt försämrar bilden. Dessutom ser en fraktalt komprimerad bild ofta ännu bättre ut efter förstoring än tidigare. Datavetare vet också att fraktaler av oändlig komplexitet och skönhet kan genereras med enkla formler. Filmindustrin använder i stor utsträckning fraktal grafikteknik för att skapa realistiska landskapselement (moln, stenar och skuggor).

Studiet av turbulens i flöden anpassar sig mycket väl till fraktaler. Detta gör att vi bättre kan förstå dynamiken i komplexa flöden. Med hjälp av fraktaler kan du också simulera lågor. Porösa material är väl representerade i fraktal form på grund av att de har en mycket komplex geometri. För att överföra data över avstånd används antenner med fraktalformer, vilket kraftigt minskar deras storlek och vikt. Fraktaler används för att beskriva krökningen av ytor. En ojämn yta kännetecknas av en kombination av två olika fraktaler.

Många föremål i naturen har fraktala egenskaper, till exempel kuster, moln, trädkronor, snöflingor, cirkulationssystemet och alveolsystemet hos människor eller djur.

Fraktaler, särskilt på ett plan, är populära på grund av kombinationen av skönhet med enkel konstruktion med hjälp av en dator.

De första exemplen på självliknande uppsättningar med ovanliga egenskaper dök upp på 1800-talet (till exempel Bolzano-funktionen, Weierstrass-funktionen, Cantor-uppsättningen). Termen "fractal" myntades av Benoit Mandelbrot 1975 och fick stor popularitet med publiceringen av hans bok "Fractal Geometry of Nature" 1977.

Bilden till vänster visar ett enkelt exempel på Darer Pentagon-fraktalen, som ser ut som ett gäng pentagoner som kläms ihop. Faktum är att den bildas genom att använda en femhörning som initiator och likbenta trianglar, där förhållandet mellan den större sidan och den mindre är exakt lika med det så kallade gyllene snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72°)) som en generator. Dessa trianglar skärs från mitten av varje femhörning, vilket resulterar i en form som ser ut som 5 små femhörningar limmade på en stor.

Kaosteorin säger att komplexa olinjära system är ärftligt oförutsägbara, men hävdar samtidigt att sättet att uttrycka sådana oförutsägbara system visar sig vara korrekt, inte i exakta likheter, utan i representationer av systemets beteende - i grafer av konstiga attraktioner , som har formen av fraktaler. Kaosteorin, som många människor tänker på som oförutsägbarhet, visar sig alltså vara vetenskapen om förutsägbarhet även i de mest instabila systemen. Studiet av dynamiska system visar att enkla ekvationer kan ge upphov till kaotiskt beteende där systemet aldrig återgår till ett stabilt tillstånd och inget mönster uppstår. Ofta beter sig sådana system helt normalt upp till ett visst värde av en nyckelparameter, för att sedan uppleva en övergång där det finns två möjligheter för vidareutveckling, sedan fyra, och slutligen en kaotisk uppsättning möjligheter.

Schema av processer som förekommer i tekniska objekt har en tydligt definierad fraktal struktur. Minimistruktur tekniskt system(TS) innebär förekomsten inom TS av två typer av processer - den huvudsakliga och de stödjande, och denna uppdelning är villkorad och relativ. Vilken som helst process kan vara den huvudsakliga i förhållande till de stödjande processerna, och vilken som helst av de stödjande processerna kan betraktas som den huvudsakliga i förhållande till "dess" stödjande processer. Cirklarna i diagrammet indikerar fysiska effekter som säkerställer förekomsten av de processer för vilka det inte är nödvändigt att speciellt skapa "dina egna" fordon. Dessa processer är resultatet av interaktioner mellan ämnen, fält, ämnen och fält. För att vara exakt är en fysisk effekt ett fordon vars funktionsprincip vi inte kan påverka och vi inte vill eller har möjlighet att störa dess design.

Flödet av huvudprocessen som visas i diagrammet säkerställs genom att det finns tre stödjande processer, som är de viktigaste för TS som genererar dem. För att vara rättvis noterar vi att för att fungera även för en minimal TS är tre processer uppenbarligen inte tillräckligt, dvs. Upplägget är väldigt, väldigt överdrivet.

Allt är långt ifrån så enkelt som visas i diagrammet. Användbar ( nödvändigt för en person) processen kan inte utföras med 100 % effektivitet. Den förbrukade energin går åt till att skapa skadliga processer - uppvärmning, vibrationer, etc. Som ett resultat uppstår skadliga sådana parallellt med den fördelaktiga processen. Det är inte alltid möjligt att ersätta en "dålig" process med en "bra", så det är nödvändigt att organisera nya processer som syftar till att kompensera för de konsekvenser som är skadliga för systemet. Ett typiskt exempel är behovet av att bekämpa friktion, vilket tvingar en att organisera geniala smörjsystem, använda dyra antifriktionsmaterial eller lägga tid på smörjning av komponenter och delar eller dess periodiska utbyte.

På grund av förekomsten av det oundvikliga inflytandet från en föränderlig miljö, kan en användbar process behöva hanteras. Styrningen kan utföras antingen med hjälp av automatiska enheter eller direkt av en person. Processdiagrammet är egentligen en uppsättning specialkommandon, d.v.s. algoritm. Kärnan (beskrivningen) av varje kommando är individens helhet användbar process, åtföljande skadliga processer och en uppsättning nödvändiga kontrollprocesser. I en sådan algoritm är uppsättningen av stödjande processer en vanlig subrutin - och här upptäcker vi också en fraktal. R. Kollers metod skapades för ett kvarts sekel sedan och gör det möjligt att skapa system med en ganska begränsad uppsättning av endast 12 par funktioner (processer).

Självliknande uppsättningar med ovanliga egenskaper i matematik

Från och med sent XIXårhundradet förekommer exempel på självliknande föremål med egenskaper som är patologiska ur klassisk analyssynpunkt i matematiken. Dessa inkluderar följande:

Cantor-setet är en ingenstans tät oräknelig perfekt uppsättning. Genom att modifiera proceduren kan man också få en ingenstans tät uppsättning av positiv längd.

Sierpinski-triangeln ("bordsduk") och Sierpinski-mattan är analoger till Cantor-uppsättningen på planet.

Mengers svamp är en analog till Cantor som utspelar sig i tredimensionellt rum;

exempel på Weierstrass och Van der Waerden på en ingenstans differentierbar kontinuerlig funktion.

Koch-kurvan är en icke-självkorsande kontinuerlig kurva av oändlig längd som inte har en tangent vid någon punkt;

Peanokurva är en kontinuerlig kurva som går genom alla punkter på torget.

banan för en Brownsk partikel är inte heller någonstans differentierbar med sannolikhet 1.

Dess Hausdorff-dimension är två

Rekursiv procedur för att erhålla fraktala kurvor

Det finns en enkel rekursiv procedur för att erhålla fraktala kurvor på ett plan. Låt oss definiera en godtycklig streckad linje med ett ändligt antal länkar, kallad en generator. Låt oss sedan ersätta varje segment i det med en generator (mer exakt, en bruten linje som liknar en generator). I den resulterande brutna linjen ersätter vi igen varje segment med en generator. Fortsätter vi till oändligheten, i gränsen får vi en fraktalkurva. Bilden till höger visar de fyra första stegen i denna procedur för Koch-kurvan.

Exempel på sådana kurvor är:

Dragon Curve,

Koch kurva (Koch snöflinga),

Lewy Curve,

Minkowski kurva,

Hilbert kurva,

Trasig (kurva) av en drake (Harter-Haithway Fractal),

Peano kurva.

Med hjälp av en liknande procedur erhålls Pythagoras träd.

Fraktaler som fasta punkter för kompressionsavbildningar

Egenskapen för självlikhet kan uttryckas matematiskt strikt enligt följande. Låt vara kontraktiva avbildningar av planet. Betrakta följande mappning på uppsättningen av alla kompakta (slutna och avgränsade) delmängder av planet:

Det kan visas att kartläggningen är en sammandragningsmappning på uppsättningen av compacta med Hausdorff-metriken. Därför, enligt Banachs teorem, har denna kartläggning en unik fixpunkt. Denna fasta punkt kommer att vara vår fraktal.

Den rekursiva proceduren för att erhålla fraktala kurvor som beskrivs ovan är ett specialfall av denna konstruktion. I den är alla mappningar likhetskartläggningar, och - antalet generatorlänkar.

För Sierpinski-triangeln och kartan är , , homoter med centra vid hörn av en vanlig triangel och koefficient 1/2. Det är lätt att se att Sierpinski-triangeln förvandlas till sig själv när den kartläggs.

I det fall där mappningarna är likhetstransformationer med koefficienter kan fraktalens dimension (under vissa ytterligare tekniska förhållanden) beräknas som en lösning på ekvationen. För Sierpinski-triangeln får vi alltså .

Genom samma Banach-sats, som börjar med vilken kompakt mängd som helst och applicerar iterationer av kartan på den, får vi en sekvens av kompakta mängder som konvergerar (i betydelsen av Hausdorff-metriken) till vår fraktal.

Fraktaler i komplex dynamik

Julia set

Ännu ett Julia-set

Fraktaler uppstår naturligt när man studerar icke-linjära dynamiska system. Det mest studerade fallet är när ett dynamiskt system definieras av iterationer av ett polynom eller en holomorf funktion av en komplex variabel på planet. De första studierna på detta område går tillbaka till början av 1900-talet och är förknippade med namnen Fatou och Julia.

Låta F(z) - polynom, z 0 är ett komplext tal. Tänk på följande sekvens: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Vi är intresserade av beteendet hos denna sekvens som den tenderar n till oändligheten. Denna sekvens kan:

sträva mot oändligheten,

sträva efter den yttersta gränsen

uppvisa cykliskt beteende i gränsen, till exempel: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

bete sig kaotiskt, det vill säga inte uppvisa någon av de tre nämnda typerna av beteende.

Uppsättningar av värden z 0, för vilken sekvensen uppvisar en specifik typ av beteende, såväl som flera bifurkationspunkter mellan olika typer, har ofta fraktala egenskaper.

Således är Julia-uppsättningen uppsättningen av bifurkationspunkter för polynomet F(z)=z 2 +c(eller annan liknande funktion), det vill säga dessa värden z 0 för vilken sekvensens beteende ( z n) kan förändras dramatiskt med godtyckligt små ändringar z 0 .

Ett annat alternativ för att erhålla fraktalmängder är att införa en parameter i polynomet F(z) och beaktande av uppsättningen av de parametervärden för vilka sekvensen ( z n) uppvisar ett visst beteende vid ett fastställt z 0 . Således är Mandelbrot-uppsättningen mängden av alla , för vilka ( z n) För F(z)=z 2 +c Och z 0 går inte till oändlighet.

Ett annat känt exempel av detta slag är Newtons pooler.

Det är populärt att skapa vackra grafiska bilder baserade på komplex dynamik genom att färglägga planpunkter beroende på beteendet hos motsvarande dynamiska system. Till exempel, för att slutföra Mandelbrot-setet kan du färglägga punkterna beroende på aspirationshastigheten ( z n) till oändlighet (definieras, säg, som det minsta talet n, vid vilken | z n| kommer att överstiga ett fast stort värde A.

Biomorfer är fraktaler byggda på grundval av komplex dynamik och påminner om levande organismer.

Stokastiska fraktaler

Randomiserad fraktal baserad på Julia set

Naturföremål har ofta en fraktal form. Stokastiska (slumpmässiga) fraktaler kan användas för att modellera dem. Exempel på stokastiska fraktaler:

bana för Brownsk rörelse på planet och i rymden;

gränsen för banan för Brownsk rörelse på ett plan. 2001 bevisade Lawler, Schramm och Werner Mandelbrots hypotes att dess dimension är 4/3.

Schramm-Löwner-evolutioner är konformt invarianta fraktala kurvor som uppstår i kritiska tvådimensionella modeller av statistisk mekanik, till exempel i Ising-modellen och perkolation.

olika typer av randomiserade fraktaler, det vill säga fraktaler som erhålls med hjälp av en rekursiv procedur i vilken en slumpmässig parameter införs vid varje steg. Plasma är ett exempel på användningen av en sådan fraktal i datorgrafik.

I naturen

Framifrån av luftstrupen och bronkerna

Bronkialträd

Nätverk av blodkärl

Ansökan

Naturvetenskap

Inom fysiken uppstår fraktaler naturligt vid modellering av icke-linjära processer, såsom turbulent vätskeflöde, komplexa diffusions-adsorptionsprocesser, flammor, moln etc. Fraktaler används vid modellering av porösa material, till exempel inom petrokemi. Inom biologin används de för att modellera populationer och för att beskriva inre organsystem (blodkärlssystemet).

Radioteknik

Fraktalantenner

Användningen av fraktal geometri i designen av antennenheter användes först av den amerikanske ingenjören Nathan Cohen, som då bodde i centrala Boston, där installation av externa antenner på byggnader var förbjuden. Nathan klippte ut en Koch-kurvform från aluminiumfolie och limmade den på ett papper och fäste den sedan på mottagaren. Cohen grundade sitt eget företag och startade deras serieproduktion.

Informatik

Bildkomprimering

Huvudartikel: Fraktal komprimeringsalgoritm

Fraktalträd

Det finns bildkomprimeringsalgoritmer som använder fraktaler. De bygger på tanken att man istället för själva bilden kan lagra en komprimeringskarta för vilken denna bild (eller något nära den) är en fixpunkt. En av varianterna av denna algoritm användes [ källa ej angiven 895 dagar] av Microsoft när de publicerade sitt uppslagsverk, men dessa algoritmer användes inte i stor utsträckning.

Datorgrafik

Ännu ett fraktalträd

Fraktaler används ofta i datorgrafik för att konstruera bilder av naturliga föremål, såsom träd, buskar, bergslandskap, havsytor och så vidare. Det finns många program som används för att generera fraktala bilder, se Fractal Generator (program).

Decentraliserade nätverk

IP-adresstilldelningssystemet i Netsukuku-nätverket använder principen om fraktal informationskomprimering för att kompakt lagra information om nätverksnoder. Varje nod i Netsukuku-nätverket lagrar endast 4 KB information om tillståndet för angränsande noder, medan varje ny nod ansluter till det gemensamma nätverket utan behov av central reglering av distributionen av IP-adresser, vilket till exempel är typiskt för Internet. Således garanterar principen om fraktal informationskomprimering helt decentraliserad och därför den mest stabila driften av hela nätverket.

Vad har ett träd, en havsstrand, ett moln eller blodkärlen i vår hand gemensamt? Vid första anblicken kan det verka som att alla dessa föremål inte har något gemensamt. Men i själva verket finns det en egenskap hos strukturen som är inneboende i alla de listade objekten: de är sig själva. Från en gren, som från en trädstam, sträcker sig mindre skott, från dem ännu mindre etc., det vill säga en gren liknar hela trädet. Cirkulationssystemet är strukturerat på ett liknande sätt: arterioler avgår från artärerna, och från dem de minsta kapillärerna genom vilka syre kommer in i organ och vävnader. Låt oss titta på satellitbilder av havets kust: vi kommer att se vikar och halvöar; Låt oss titta på det, men från fågelperspektiv: vi kommer att se vikar och uddar; Föreställ dig nu att vi står på stranden och tittar på våra fötter: det kommer alltid att finnas småsten som sticker längre ner i vattnet än resten. Det vill säga att kustlinjen, när den zoomas in, förblir lik sig själv. Den amerikanske (även om han växte upp i Frankrike) matematiker Benoit Mandelbrot kallade denna egenskap hos föremål fraktalitet, och sådana föremål själva - fraktaler (från latinets fractus - trasiga).

Detta begrepp har ingen strikt definition. Därför är ordet "fraktal" inte en matematisk term. Vanligtvis är en fraktal en geometrisk figur som uppfyller en eller flera av följande egenskaper: Har komplex struktur vid varje skalökning (till skillnad från till exempel en rak linje, vars alla delar är den enklaste geometriska figuren - ett segment). Är (ungefär) sig själv lik. Den har en fraktionerad Hausdorff (fraktal) dimension, som är större än den topologiska. Kan konstrueras med hjälp av rekursiva procedurer.

Geometri och algebra

Studiet av fraktaler vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet var mer episodiskt än systematiskt, eftersom tidigare matematiker främst studerade "bra" föremål som kunde studeras med hjälp av vanliga metoder och teorier. 1872 konstruerade den tyske matematikern Karl Weierstrass ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte går att särskilja någonstans. Men dess konstruktion var helt abstrakt och svår att förstå. Därför kom svensken Helge von Koch 1904 på en kontinuerlig kurva som inte har någon tangent någonstans, och som är ganska lätt att rita. Det visade sig att det har egenskaperna hos en fraktal. En variant av denna kurva kallas "Koch-snöflingan".

Idén om figurernas självlikhet plockades upp av fransmannen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrots framtida mentor. 1938 publicerades hans artikel "Plane och rumsliga kurvor och ytor som består av delar som liknar helheten", som beskrev en annan fraktal - Levy C-kurvan. Alla dessa fraktaler som listas ovan kan villkorligt klassificeras som en klass av konstruktiva (geometriska) fraktaler.

En annan klass är dynamiska (algebraiska) fraktaler, som inkluderar Mandelbrot-mängden. Den första forskningen i denna riktning började i början av 1900-talet och förknippas med namnen på de franska matematikerna Gaston Julia och Pierre Fatou. År 1918 publicerade Julia en nästan tvåhundra sidor lång memoarbok om iterationer av komplexa rationella funktioner, som beskrev Julia-uppsättningar, en hel familj av fraktaler nära besläktad med Mandelbrot-uppsättningen. Detta verk belönades med ett pris av den franska akademin, men det innehöll inte en enda illustration, så det var omöjligt att uppskatta skönheten i de öppna föremålen. Trots att detta arbete gjorde Julia känd bland den tidens matematiker, glömdes det snabbt bort. Uppmärksamheten vände sig åter till det bara ett halvt sekel senare med tillkomsten av datorer: det var de som synliggjorde rikedomen och skönheten i fraktalvärlden.

Fraktaldimensioner

Som bekant är dimensionen (antalet dimensioner) för en geometrisk figur antalet koordinater som krävs för att bestämma positionen för en punkt som ligger på denna figur.
Till exempel bestäms positionen för en punkt på en kurva av en koordinat, på en yta (inte nödvändigtvis ett plan) av två koordinater och i det tredimensionella rummet av tre koordinater.
Ur en mer generell matematisk synvinkel kan man definiera dimensionen på detta sätt: en ökning av linjära dimensioner, säg med en faktor två, för endimensionella (ur topologisk synvinkel) objekt (segment) leder till att en ökning i storlek (längd) med en faktor två, för tvådimensionella (en kvadrat ) leder samma ökning av linjära dimensioner till en ökning av storlek (area) med 4 gånger, för tredimensionell (kub) - med 8 gånger. Det vill säga att den "verkliga" (så kallade Hausdorff) dimensionen kan beräknas som förhållandet mellan logaritmen för ökningen av "storleken" på ett objekt och logaritmen för ökningen av dess linjära storlek. Det vill säga för ett segment D=log (2)/log (2)=1, för ett plan D=log (4)/log (2)=2, för en volym D=log (8)/log (2) )=3.
Låt oss nu beräkna dimensionen av Koch-kurvan, för att konstruera vilket ett enhetssegment är uppdelat i tre lika delar och mittintervallet ersätts av en liksidig triangel utan detta segment. När de linjära dimensionerna för minimisegmentet ökar tre gånger, ökar längden på Koch-kurvan med log (4)/log (3) ~ 1,26. Det vill säga dimensionen på Koch-kurvan är bråkdel!

Vetenskap och konst

1982 publicerades Mandelbrots bok "Fractal Geometry of Nature", där författaren samlade och systematiserade nästan all information om fraktaler som fanns tillgänglig på den tiden och presenterade den på ett enkelt och lättillgängligt sätt. Mandelbrot lade huvudvikten i sin presentation inte på tunga formler och matematiska konstruktioner, utan på läsarnas geometriska intuition. Tack vare illustrationer som erhållits med hjälp av en dator och historiska berättelser, med vilka författaren skickligt spädde ut den vetenskapliga komponenten i monografin, blev boken en bästsäljare och fraktaler blev känd för allmänheten. Deras framgång bland icke-matematiker beror till stor del på att man med hjälp av mycket enkla mönster och formler som även en gymnasieelev kan förstå, de resulterande bilderna är fantastiska i komplexitet och skönhet. När persondatorer blev tillräckligt kraftfulla dök till och med en hel riktning inom konsten upp - fraktalmålning, och nästan vilken datorägare som helst kunde göra det. Nu på Internet kan du enkelt hitta många webbplatser som ägnas åt detta ämne.

Schema för att erhålla Koch-kurvan

Krig och fred

Som nämnts ovan är ett av de naturliga föremålen som har fraktala egenskaper kustlinjen. Det finns en sak i samband med det, eller mer exakt, med försöket att mäta dess längd. intressant historia, som låg till grund för Mandelbrots vetenskapliga artikel, och som också beskrivs i hans bok "Naturens Fractal Geometry". Vi pratar om ett experiment utfört av Lewis Richardson, en mycket begåvad och excentrisk matematiker, fysiker och meteorolog. En av inriktningarna för hans forskning var ett försök att hitta en matematisk beskrivning av orsakerna och sannolikheten för en väpnad konflikt mellan två länder. Bland parametrarna som han tog hänsyn till var längden på den gemensamma gränsen för de två krigförande länderna. När han samlade in data för numeriska experiment upptäckte han det olika källor Uppgifterna om den gemensamma gränsen mellan Spanien och Portugal skiljer sig mycket åt. Detta fick honom till följande upptäckt: längden på ett lands gränser beror på med vilken linjal vi mäter dem. Ju mindre skala, desto längre bård. Detta beror på att det med större förstoring blir möjligt att ta hänsyn till fler och fler nya krökar av kusten, som tidigare ignorerades på grund av mätningarnas grovhet. Och om det med varje skalökning avslöjas tidigare okända böjningar av linjer, visar det sig att längden på gränserna är oändlig! Det är sant, detta händer faktiskt inte - noggrannheten i våra mätningar har en ändlig gräns. Denna paradox kallas Richardson-effekten.

Konstruktiva (geometriska) fraktaler

Algoritmen för att konstruera en konstruktiv fraktal i det allmänna fallet är som följer. Först och främst behöver vi två lämpliga geometriska former, låt oss kalla dem basen och fragmentet. I det första skedet avbildas grunden för den framtida fraktalen. Sedan ersätts några av dess delar med ett fragment taget i lämplig skala - detta är den första iterationen av konstruktionen. Sedan ändrar den resulterande figuren igen vissa delar till figurer som liknar fragmentet, etc. Om vi ​​fortsätter denna process i oändlighet, kommer vi i gränsen att få en fraktal.

Låt oss titta på denna process med hjälp av Koch-kurvan som exempel (se sidofältet på föregående sida). Du kan ta vilken kurva som helst som grund för Koch-kurvan (för "Koch-snöflingan" är det en triangel). Men vi kommer att begränsa oss till det enklaste fallet - ett segment. Fragmentet är en streckad linje, som visas överst i figuren. Efter den första iterationen av algoritmen kommer i det här fallet det ursprungliga segmentet att sammanfalla med fragmentet, sedan kommer vart och ett av dess ingående segment att ersättas av en streckad linje som liknar fragmentet, etc. Figuren visar de första fyra stegen i detta behandla.

På matematikens språk: dynamiska (algebraiska) fraktaler

Fraktaler av denna typ uppstår när man studerar olinjära dynamiska system (därav namnet). Beteendet hos ett sådant system kan beskrivas av en komplex olinjär funktion (polynom) f (z). Låt oss ta en inledande punkt z0 på det komplexa planet (se sidofältet). Betrakta nu en sådan oändlig talföljd på det komplexa planet, som var och en av dem erhålls från den föregående: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Beroende på startpunkten z0 kan en sådan sekvens bete sig annorlunda: tenderar till oändlighet som n -> ∞; konvergera till någon slutpunkt; cykliskt ta en serie fasta värden; Mer komplexa alternativ är också möjliga.

Komplexa siffror

Ett komplext tal är ett tal som består av två delar - reella och imaginära, det vill säga den formella summan x + iy (x och y här är reella tal). jag är den så kallade imaginär enhet, det vill säga ett tal som uppfyller ekvationen i^ 2 = -1. De grundläggande matematiska operationerna på komplexa tal är definierade: addition, multiplikation, division, subtraktion (endast jämförelseoperationen är inte definierad). För att visa komplexa tal används ofta en geometrisk representation - på planet (det kallas komplex), den reella delen plottas längs abskissaxeln, och den imaginära delen plottas längs ordinataaxeln, och det komplexa talet kommer att motsvara en punkt med kartesiska koordinater x och y.

Således har varje punkt z i det komplexa planet sitt eget beteende under iterationer av funktionen f (z), och hela planet är uppdelat i delar. Dessutom har punkterna som ligger på gränserna för dessa delar följande egenskap: med en godtyckligt liten förskjutning förändras deras beteende kraftigt (sådana punkter kallas bifurkationspunkter). Så det visar sig att uppsättningar av punkter som har en specifik typ av beteende, såväl som uppsättningar av bifurkationspunkter, ofta har fraktala egenskaper. Dessa är Julia-mängderna för funktionen f (z).

Dragon familj

Genom att variera basen och fragmentet kan du få en fantastisk variation av konstruktiva fraktaler.
Dessutom kan liknande operationer utföras i tredimensionellt utrymme. Exempel på volumetriska fraktaler inkluderar "Menger-svampen", "Sierpinski-pyramiden" och andra.
Drakfamiljen anses också vara en konstruktiv fraktal. Ibland kallas de vid namnet på sina upptäckare "Heavey-Harter-drakar" (i sin form liknar de kinesiska drakar). Det finns flera sätt att konstruera denna kurva. Den enklaste och mest visuella av dem är detta: du måste ta en ganska lång pappersremsa (ju tunnare papper, desto bättre) och böja den på mitten. Böj den sedan på mitten igen i samma riktning som första gången. Efter flera upprepningar (vanligtvis efter fem eller sex veck blir remsan för tjock för att försiktigt böjas ytterligare), måste du böja remsan bakåt och försöka skapa 90˚ vinklar vid vecken. Sedan i profil får du kurvan för en drake. Naturligtvis kommer detta bara att vara en approximation, som alla våra försök att avbilda fraktala föremål. Datorn låter många fler steg i denna process avbildas, och resultatet är en mycket vacker figur.

Mandelbrot-setet är konstruerat något annorlunda. Betrakta funktionen fc (z) = z 2 +c, där c är ett komplext tal. Låt oss konstruera en sekvens av denna funktion med z0=0 beroende på parametern c, den kan divergera till oändlighet eller förbli begränsad. Dessutom bildar alla värden på c för vilka denna sekvens är begränsad Mandelbrot-uppsättningen. Det studerades i detalj av Mandelbrot själv och andra matematiker, som upptäckte många intressanta egenskaper hos denna uppsättning.

Det kan ses att definitionerna av Julia- och Mandelbrot-uppsättningarna liknar varandra. Faktum är att dessa två uppsättningar är nära besläktade. Mandelbrot-mängden är nämligen alla värden av den komplexa parametern c som Julia-mängden fc (z) är kopplad till (en uppsättning kallas kopplad om den inte kan delas upp i två disjunkta delar, med några ytterligare villkor).

Fraktaler och liv

Nuförtiden används teorin om fraktaler i stor utsträckning inom olika områden av mänsklig aktivitet. Förutom ett rent vetenskapligt objekt för forskning och den redan nämnda fraktalmålningen, används fraktaler i informationsteori för att komprimera grafiska data (egenskapen för fraktalernas självlikhet används främst här - trots allt för att komma ihåg ett litet fragment av en bild och de transformationer med vilka du kan få de återstående delarna, mycket mindre krävs minne än för att lagra hela filen). Genom att lägga till slumpmässiga störningar till formlerna som definierar en fraktal, kan du få stokastiska fraktaler som mycket rimligt förmedlar några verkliga objekt - reliefelement, ytan av reservoarer, vissa växter, som framgångsrikt används inom fysik, geografi och datorgrafik för att uppnå större likhet mellan simulerade objekt och verkliga. Inom radioelektronik började det under det senaste decenniet produceras antenner med fraktalform. De tar lite plats och ger signalmottagning av hög kvalitet. Ekonomer använder fraktaler för att beskriva valutafluktuationskurvor (denna egenskap upptäcktes av Mandelbrot för mer än 30 år sedan). Detta avslutar denna korta utflykt till fraktalernas fantastiskt vackra och mångsidiga värld.