Ekvationer med parametrar anses med rätta vara ett av de svåraste problemen i skolmatematiken. Det är just sådana uppgifter som år efter år hamnar i listan över uppgifter av typ B och C på en enda statlig examen Unified State Exam. Emellertid bland stort antal ekvationer med parametrar är sådana som enkelt kan lösas grafiskt. Låt oss överväga denna metod med hjälp av exemplet att lösa flera problem.

Hitta summan av heltalsvärden för talet a för vilket ekvationen |x 2 – 2x – 3| = a har fyra rötter.

Lösning.

För att svara på frågan om problemet, låt oss bygga vidare på en koordinatplan funktionsdiagram

y = |x 2 – 2x – 3| och y = a.

Grafen för den första funktionen y = |x 2 – 2x – 3| kommer att erhållas från grafen för parabeln y = x 2 – 2x – 3 genom att symmetriskt visa den del av grafen som ligger under Ox-axeln i förhållande till x-axeln. Den del av grafen som ligger ovanför x-axeln förblir oförändrad.

Låt oss göra detta steg för steg. Grafen för funktionen y = x 2 – 2x – 3 är en parabel, vars grenar är riktade uppåt. För att bygga dess graf hittar vi koordinaterna för vertexet. Detta kan göras med formeln x 0 = -b/2a. Alltså, x 0 = 2/2 = 1. För att hitta koordinaten för parabelns vertex längs ordinataaxeln, ersätter vi det resulterande värdet för x 0 i ekvationen för funktionen i fråga. Vi får att y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Det betyder att parabelns vertex har koordinater (1; -4).

Därefter måste du hitta skärningspunkterna för parabelgrenarna med koordinataxlarna. Vid skärningspunkterna mellan parabelns grenar och abskissaxeln är värdet på funktionen noll. Därför kommer vi att bestämma oss andragradsekvation x 2 – 2x – 3 = 0. Dess rötter kommer att vara de nödvändiga punkterna. Enligt Vietas sats har vi x 1 = -1, x 2 = 3.

Vid skärningspunkterna för parabelgrenarna med ordinataaxeln är värdet på argumentet noll. Således är punkten y = -3 skärningspunkten för parabelns grenar med y-axeln. Den resulterande grafen visas i figur 1.

För att få en graf av funktionen y = |x 2 – 2x – 3|, låt oss visa den del av grafen som ligger under abskissan symmetriskt relativt x-axeln. Den resulterande grafen visas i figur 2.

Grafen för funktionen y = a är en rät linje parallell med abskissaxeln. Det avbildas i figur 3. Med hjälp av figuren finner vi att graferna har fyra gemensamma punkter (och ekvationen har fyra rötter) om a hör till intervallet (0; 4).

Heltalsvärden för nummer a från det resulterande intervallet: 1; 2; 3. För att svara på frågan om problemet, låt oss hitta summan av dessa siffror: 1 + 2 + 3 = 6.

Svar: 6.

Hitta det aritmetiska medelvärdet av heltalsvärden för talet a för vilket ekvationen |x 2 – 4|x| – 1| = a har sex rötter.

Låt oss börja med att plotta funktionen y = |x 2 – 4|x| – 1|. För att göra detta använder vi likheten a 2 = |a| 2 och välj hela kvadraten i det submodulära uttrycket skrivet på höger sida av funktionen:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Då kommer den ursprungliga funktionen att ha formen y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

För att konstruera en graf av denna funktion, konstruerar vi sekventiella grafer av funktioner:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabel med vertex i punkt med koordinater (2; -5); (Fig. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – en del av parabeln konstruerad i steg 1, som är placerad till höger om ordinataaxeln, visas symmetriskt till vänster om Oy-axeln; (Fig. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – den del av grafen som är konstruerad i punkt 2, som är placerad under x-axeln, visas symmetriskt i förhållande till x-axeln uppåt. (Fig. 3).

Låt oss titta på de resulterande ritningarna:

Grafen för funktionen y = a är en rät linje parallell med abskissaxeln.

Med hjälp av figuren drar vi slutsatsen att graferna för funktioner har sex gemensamma punkter (ekvationen har sex rötter) om a hör till intervallet (1; 5).

Detta kan ses i följande bild:

Låt oss hitta det aritmetiska medelvärdet av heltalsvärdena för parameter a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Svar: 3.

blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.

TILL uppgifter med parameter kan inkludera till exempel sökandet efter lösningar på linjära och andragradsekvationer i allmän syn, studie av ekvationen för antalet tillgängliga rötter beroende på parameterns värde.

Utan att ge detaljerade definitioner, betrakta följande ekvationer som exempel:

y = kx, där x, y är variabler, k är en parameter;

y = kx + b, där x, y är variabler, k och b är parametrar;

ax 2 + bx + c = 0, där x är variabler, a, b och c är en parameter.

Att lösa en ekvation (olikhet, system) med en parameter innebär som regel att lösa en oändlig uppsättning ekvationer (olikheter, system).

Uppgifter med en parameter kan delas in i två typer:

A) villkoret säger: lös ekvationen (olikhet, system) - detta innebär att för alla värden på parametern hitta alla lösningar. Om åtminstone ett fall förblir outrett kan en sådan lösning inte anses vara tillfredsställande.

b) det är nödvändigt att indikera de möjliga värdena för parametern som ekvationen (olikhet, system) har vissa fastigheter. Till exempel har den en lösning, har inga lösningar, har lösningar som hör till intervallet etc. I sådana uppgifter är det nödvändigt att tydligt ange vid vilket parametervärde det erforderliga villkoret är uppfyllt.

Parametern, som är ett okänt fast nummer, har en slags speciell dualitet. Först och främst är det nödvändigt att ta hänsyn till att den antagna berömmelsen indikerar att parametern måste uppfattas som ett nummer. För det andra är friheten att manipulera parametern begränsad av dess oklarhet. Operationer att dividera med ett uttryck som innehåller en parameter eller extrahera roten till en jämn grad från ett sådant uttryck kräver till exempel förundersökning. Därför krävs försiktighet vid hantering av parametern.

Till exempel, för att jämföra två siffror -6a och 3a, måste du överväga tre fall:

1) -6a kommer att vara större än 3a om a är ett negativt tal;

2) -6a = 3a i fallet när a = 0;

3) -6a kommer att vara mindre än 3a om a är ett positivt tal 0.

Lösningen blir svaret.

Låt ekvationen kx = b ges. Denna ekvation är en kort form för ett oändligt antal ekvationer med en variabel.

När man löser sådana ekvationer kan det finnas fall:

1. Låt k vara valfritt reellt tal som inte är lika med noll och b vara valfritt tal från R, då x = b/k.

2. Låt k = 0 och b ≠ 0, den ursprungliga ekvationen kommer att ha formen 0 x = b. Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar.

3. Låt k och b vara tal lika med noll, då har vi likheten 0 x = 0. Dess lösning är vilket reellt tal som helst.

En algoritm för att lösa denna typ av ekvation:

1. Bestäm "kontroll"-värdena för parametern.

2. Lös den ursprungliga ekvationen för x för parametervärdena som bestämdes i första stycket.

3. Lös den ursprungliga ekvationen för x för parametervärden som skiljer sig från de som valts i första stycket.

4. Du kan skriva ditt svar i följande formulär:

1) för ... (parametervärden) har ekvationen rötter ...;

2) för ... (parametervärden) finns det inga rötter i ekvationen.

Exempel 1.

Lös ekvationen med parametern |6 – x| = a.

Lösning.

Det är lätt att se att en ≥ 0 här.

Enligt regeln för modul 6 – x = ±a, uttrycker vi x:

Svar: x = 6 ± a, där a ≥ 0.

Exempel 2.

Lös ekvationen a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 med avseende på variabeln x.

Lösning.

Låt oss öppna parenteserna: aх – а + 2х – 2 = 0

Låt oss skriva in ekvationen standardformulär: x(a + 2) = a + 2.

Om uttrycket a + 2 inte är noll, dvs om a ≠ -2, har vi lösningen x = (a + 2) / (a ​​+ 2), dvs. x = 1.

Om a + 2 är lika med noll, dvs. a = -2, då har vi den korrekta likheten 0 x = 0, så x är vilket reellt tal som helst.

Svar: x = 1 för a ≠ -2 och x € R för a = -2.

Exempel 3.

Lös ekvationen x/a + 1 = a + x med avseende på variabeln x.

Lösning.

Om a = 0, så transformerar vi ekvationen till formen a + x = a 2 + ax eller (a – 1)x = -a(a – 1). Den sista ekvationen för a = 1 har formen 0 x = 0, därför är x vilket tal som helst.

Om a ≠ 1, kommer den sista ekvationen att ha formen x = -a.

Denna lösning kan illustreras på koordinatlinjen (Fig. 1)

Svar: det finns inga lösningar för a = 0; x – vilket tal som helst med a = 1; x = -a för a ≠ 0 och a ≠ 1.

Grafisk metod

Låt oss överväga ett annat sätt att lösa ekvationer med en parameter - grafiskt. Denna metod används ganska ofta.

Exempel 4.

Beroende på parametern a, hur många rötter har ekvationen ||x| – 2| = a?

Lösning.

För att lösa med den grafiska metoden konstruerar vi grafer för funktionerna y = ||x| – 2| och y = a (Fig. 2).

Ritningen visar tydligt möjliga fall placeringen av den räta linjen y = a och antalet rötter i var och en av dem.

Svar: ekvationen kommer inte att ha rötter om a< 0; два корня будет в случае, если a >2 och a = 0; ekvationen kommer att ha tre rötter i fallet a = 2; fyra rötter – vid 0< a < 2.

Exempel 5.

Vid vad a ekvationen 2|x| + |x – 1| = a har en enda rot?

Lösning.

Låt oss avbilda graferna för funktionerna y = 2|x| + |x – 1| och y = a. För y = 2|x| + |x – 1|, expanderar modulerna med intervallmetoden, får vi:

(-3x + 1, vid x< 0,

y = (x + 1, för 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, för x > 1.

På Figur 3 Det är tydligt att ekvationen kommer att ha en enda rot endast när a = 1.

Svar: a = 1.

Exempel 6.

Bestäm antalet lösningar till ekvationen |x + 1| + |x + 2| = a beroende på parametern a?

Lösning.

Graf för funktionen y = |x + 1| + |x + 2| kommer att vara en bruten linje. Dess hörn kommer att vara placerade vid punkterna (-2; 1) och (-1; 1) (Figur 4).

Svar: om parametern a är mindre än ett, kommer ekvationen inte att ha rötter; om a = 1, så är lösningen till ekvationen en oändlig uppsättning tal från intervallet [-2; -1]; om värdena för parameter a är större än ett, kommer ekvationen att ha två rötter.

Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man löser ekvationer med en parameter?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.

För att helt avslöja kapaciteten hos denna metod kommer vi att överväga huvudtyperna av problem.

Exempeluppgifter för att testa kunskaper och färdigheter vid lösning av problem med parametrar med hjälp av den grafiska metoden (koordinatplan)

Uppgift 1.

Till vilka värdenahar ekvationen = två rötter?

Lösning.

Låt oss gå vidare till ett likvärdigt system:

Detta system på koordinatplanet (;) definierar en kurva. Det är tydligt att alla punkter i denna parabolbåge (och bara de) har koordinater som uppfyller den ursprungliga ekvationen. Därför antalet lösningar till ekvationen för varje fast värde på parametern, lika med antalet skärningspunkter för kurvan med den horisontella linjen som motsvarar detta parametervärde.

Uppenbarligen, när de angivna linjerna skär grafen vid två punkter, vilket motsvarar att den ursprungliga ekvationen har två rötter.

Svar: på.

Uppgift 2.

Hitta alla värden för ett som systemet har en unik lösning.

Lösning.

Låt oss skriva om det ursprungliga systemet i denna form:

Alla lösningar av detta system (formpar) bildar området som visas i figuren genom att kläckas. Kravet på en unik lösning för ett givet system översätts till grafiskt språk enligt följande: horisontella linjer får endast ha en gemensam punkt med den resulterande regionen. Det är lätt att se det bara raktoch uppfyller det angivna kravet.

Svar: eller.

De två uppgifterna som just diskuterats tillåter oss att ge mer specifika rekommendationer jämfört med de som gavs tidigare:

försök att uttrycka parametern genom en variabel, d.v.s. få formens likheter, då

rita en graf över en funktion på ett plan.

Uppgift 3.

Till vilka värdenA har ekvationen exakt tre rötter?

Lösning.

Det har vi

Grafen för denna uppsättning är föreningen av ett "hörn" och en parabel. Uppenbarligen skär endast en rak linje den resulterande föreningen vid tre punkter.

Svar: .

Kommentar: Parametern beaktas vanligtvis som ett fast men okänt nummer. Under tiden, från en formell synvinkel, är en parameter en variabel och "likvärdig" med andra som finns i problemet. Med denna vy av formulärparametern definieras funktioner inte med en, utan med två variabler.

Uppgift 4.

Hitta alla parametervärden, för vilken ekvationen har en lösning.

Lösning.

Ett bråktal är lika med noll om och endast om bråkets täljare är noll och nämnaren inte är noll.

Att hitta rötterna kvadratisk trinomial:

Med hjälp av det resulterande systemet är det lätt att konstruera en graf av den ursprungliga ekvationen. Det är närvaron av "punkteringar" i denna graf som gör att ekvationen får en unik lösning när och =. Detta är den avgörande faktorn i beslutet.

Svar: Och.

Uppgift 5.

Vid vilka parametervärden,A ekvationen har en unik lösning.

Lösning.

Låt oss skriva ett system som motsvarar den ursprungliga ekvationen

Härifrån får vi

Låt oss bygga en graf och rita raka linjer vinkelräta mot axlarnaA .

De två första olikheterna i systemet definierar en uppsättning punkter, som visas med skuggning, och denna uppsättning inkluderar inte hyperboler och.

Sedan segmentet och strålen, segmentet och strålen som ligger respektive på linjerna och , är grafen för den ursprungliga ekvationen. En lösning blir om 2< < или < или = .

Svar : 2 < < или < или = .

Uppgift 6.

Hitta alla parametervärdenA , för vilken ekvationen

har exakt två olika lösningar

Lösning.

Tänk på en uppsättning av två system

Om , Att.

Om < , Att.

Härifrån

eller

Paraboler och en rät linje har två gemensamma punkter:A (-2; - 2), I(-1; -1), och, I – spetsen på den första parabeln,D - toppen av tvåan. Så, grafen för den ursprungliga ekvationen visas i figuren.

Det måste finnas exakt två olika lösningar. Detta görs med eller.

Svar: eller.

Uppgift 7.

Hitta mängden av alla tal för var och en av vilka ekvationen

har bara två olika rötter.

Lösning.

Låt oss skriva om given ekvation i formen

Ekvationens rötter, förutsatt att.

Låt oss bygga en graf av denna ekvation. I det här fallet är det bekvämt att konstruera en graf genom att tilldela ordinataaxeln till variabeln. Här "läser" vi svaret med vertikala räta linjer, vi finner att denna ekvation bara har två olika rötter vid = -1 eller eller.

De streckade linjerna indikerar det.

Svar: vid = -1 eller eller.

Uppgift 8.

För vilken uppsättningen av lösningar på ojämlikheten innehåller ett intervall.

Lösning.

Låt oss skriva ner en uppsättning av två system som motsvarar den ursprungliga ekvationen:

eller

Eftersom lösningen på det första systemet inte gör detA inte kan inkluderas i segmentet, då kommer vi att utföra nödvändig forskning för det andra systemet.

Det har vi

Låt oss beteckna . Sedan tar den andra ojämlikheten i systemet formen< - och på koordinatplanet definierar den mängd som visas i figuren.

Med hjälp av figuren fastställer vi att när den resulterande uppsättningen innehåller alla punkter vars abskiss löper genom alla värden i intervallet

Sedan, härifrån.

Svar : .

Uppgift 9.

Hitta alla icke-negativa tal som det finns för singularis, som uppfyller systemet

Lösning.

Det har vi

Den första ekvationen på koordinatplanet anger en familj av vertikala linjer. Raka linjer och dela upp planen i fyra områden. Några av dem är lösningar på ojämlikhetssystemet. Exakt vilka kan avgöras genom att ta en testpunkt från varje region. Den region vars punkt uppfyller ojämlikheten är dess lösning (denna teknik är associerad med metoden för intervaller när man löser ojämlikheter med en variabel). Bygger raka linjer

Till exempel tar vi en punkt och ersätter den i koordinaterna för de punkter som uppfyller ojämlikheten.

Vi får två områden (jag) Och ( II), men med tanke på att villkoret tar vi bara området (jag). Bygger raka linjer , k .

Så, originalsystem tillfredsställ alla punkter (och bara de) som ligger på strålarna och markerade på ritningen med feta linjer (dvs. vi konstruerar punkter i ett givet område).

Nu måste vi hitta den unika när den är fixad. Vi bygger parallella linjer som skär axeln. och hitta var det kommer att finnas en skärningspunkt med linjen.

Vi finner från figuren att kravet på unikhet hos lösningen uppnås om (för redan 2 poäng),

var är ordinatan för linjernas skärningspunkt och,

var är ordinatan för linjernas skärningspunkt och.

Så vi får< .

Svar: < .

Uppgift 10.

Vid vilka värden på parametern har systemet lösningar?

Lösning.

Låt oss faktorisera den vänstra sidan av systemets ojämlikhet, vi har

Vi bygger raka linjer och... Vi visar i figuren genom att skugga uppsättningen av punkter i planet som uppfyller systemets ojämlikhet.

Vi bygger en hyperbel = .

Då är abskissorna för de valda bågarna av hyperbeln lösningar av det ursprungliga systemet.M , P , N , F – knutpunkter. Låt oss hitta deras abskissar.

För poäng P , F vi har

Det återstår att skriva ner svaret: eller.

Svar: eller.

Uppgift 11.

Hitta alla värden för vilka någon lösning på olikheten i modul inte överstiger två ().

Lösning .

Låt oss skriva om denna ojämlikhet i denna form. Låt oss bygga grafer av ekvationerna och =.

Med hjälp av "intervallmetoden" slår vi fast att lösningen på den ursprungliga ojämlikheten kommer att vara de skuggade områdena.

Låt oss nu bygga området och se vilken del av det som faller i det skuggade området.

Dessa. nu, om för något fast värde den räta linjen vid skärningen med det resulterande området endast ger punkter vars abskissar uppfyller villkoret < 2, då är ett av de önskade parametervärdena.

Så det ser vi.

Svar: .

Uppgift 12.

För vilka värden av parametern innehåller uppsättningen av lösningar på ojämlikheten inte mer än fyra heltalsvärden?

Lösning.

Låt oss omvandla denna ojämlikhet till form. Denna ojämlikhet motsvarar kombinationen av två system

eller

Med denna uppsättning skildrar vi lösningen på den ursprungliga ojämlikheten.

Låt oss rita raka linjer var. Då kommer värdet för vilket linjen skär linjerna vid högst fyra punkter från den markerade uppsättningen att vara det önskade. Så vi ser att det är antingen eller.

Svar: eller eller.

Uppgift 13.

Vid vilka parametervärdenA har ett lösningssystem

Lösning.

Rötter till ett kvadratiskt trinomium och.

Sedan

Vi bygger raka linjer och...

Med hjälp av "intervall"-metoden hittar vi en lösning på systemojämlikheten (skuggat område).

Den del av cirkeln med centrum vid origo och radie 2 som faller inom det skuggade området kommer att vara lösningen på detta system. .

Vi hittar värdena från systemet

Innebörden av och är från systemet.

Svar:

Uppgift 14.

Beroende på parametervärdenaA lösa ojämlikheten > .

Lösning.

Låt oss skriva om denna ojämlikhet i formen och överväga funktionen, vilket, för att utöka modulerna, skriver vi så här:

Vi bygger ett schema. Grafen delar koordinatplanet i två regioner. Genom att ta t (0;0) och ersätta och in i den ursprungliga olikheten, får vi den 0 > 1, och därför är den ursprungliga olikheten uppfylld i området för grafen som ligger ovan.

Direkt från figuren får vi:

det finns inga lösningar;

på ;

på.

Svar: det finns inga lösningar;

på ;

på.

Uppgift 15.

Hitta alla värden för parametern för vilken systemet av ojämlikheter

är nöjd med endast en.

Lösning.

Låt oss skriva om detta system i denna form:

Låt oss konstruera regionen som definieras av detta system.

1) , är parabelns spets.

2) - en rak linje som går genom punkter och.

Kravet på lösningens unikhet översätts till grafiskt språk enligt följande: horisontella linjer med det resulterande området måste bara ha en gemensam punkt. Det angivna kravet uppfylls av de räta linjerna och var är ordinatan för skärningspunkten mellan parabeln och den räta linjen.

Låt oss hitta värdet:

= (inte lämplig för syftet med problemet),

Hitta ordinatan:

Svar: ,

Uppgift 16.

Hitta alla parametervärdenA, under vilket systemet av ojämlikheter

uppfyller endast för ett x.

Lösning .

Låt oss konstruera paraboler och visa genom att skugga lösningen av det sista systemet.

1) , .

2) , .

Figuren visar att tillståndet för problemet är uppfyllt när eller.

Svar: eller.

Uppgift 17.

För vilka värden har ekvationen exakt tre rötter?

Lösning.

Denna ekvation är ekvivalent med mängden

Populationsgraf är en kombination av parabel- och vinkelgrafer.

Linjerna skär den resulterande föreningen på tre punkter.

Svar: på.

Uppgift 18.

För vilka värden har ekvationen exakt tre lösningar?

Lösning.

Låt oss omvandla den vänstra sidan av denna ekvation. Vi får en andragradsekvation i förhållande till.

Vi får ekvationen

Vilket motsvarar helheten

Föreningen av parabolernas grafer är lösningen för befolkningen.

Hitta ordinatans skärningspunkter för paraboler:

Vi läser den nödvändiga informationen från figuren: denna ekvation har tre lösningar vid eller

Svar: vid eller

Uppgift 19.

Beroende på parametern, bestäm antalet rötter i ekvationen

Lösning .

Betrakta denna ekvation som kvadratisk med avseende på a.

,

.

Vi får helheten

Vi bygger grafer över populationsekvationer och svarar på frågan som ställs i problemet.

Svar:: inga lösningar;

: en lösning;

: två lösningar;

eller: tre lösningar;

eller: fyra lösningar.

Uppgift 20.

Hur många lösningar har systemet?

Lösning.

Det är tydligt att antalet rötter i systemets andra ekvation är lika med antalet lösningar för själva systemet.

Vi har,.

Om vi ​​betraktar denna ekvation som en andragradsekvation får vi mängden.

Att nu komma åt koordinatplanet gör uppgiften enkel. Vi hittar koordinaterna för skärningspunkterna genom att lösa ekvationen

Härifrån

Vertices av paraboler och.

Svar:: fyra lösningar;

: två lösningar;

: en lösning;

: inga lösningar.

Uppgift 21.

Hitta alla verkliga värden för parametern för vilken ekvationen bara har två distinkta rötter. Skriv ner dessa rötter.

Lösning .

Låt oss hitta rötterna till det kvadratiska trinomiet inom parentes:

Låt oss skildra uppsättningen av lösningar till denna ekvation i koordinatplanet genom att konstruera grafer under förutsättning att

Vi läser den nödvändiga informationen från bilden. Så den här ekvationen har två olika rötter vid (och) och vid (och)

Svar: vid (och) och

vid (och).

Uppgift 2 2 .

Lös ojämlikhetssystem:

Lösning.

Vi konstruerar grafer av paraboler och räta linjer i planet.

Alla punkter i det skuggade området är en lösning på systemet. Låt oss dela upp det konstruerade området i två delar.

I så fall finns det inga lösningar.

Om, då kommer abskissan för punkterna i det skuggade området att vara större än abskissan för punkterna på den räta linjen, men mindre än abskissan (större roten av ekvationen) av parabeln.

Låt oss uttrycka det genom den raka linjeekvationen:

Låt oss hitta rötterna till ekvationen:

Sedan.

Om så är fallet, då.

Svar: för och 1 finns det inga lösningar;

på;

på.

Uppgift 23.

Lös systemet med ojämlikheter

Lösning.

– toppen av parabeln.

Toppen av parabeln.

Hitta abskissan för parabolernas skärningspunkter:

Det skuggade området är lösningen på systemet. Låt oss dela upp det i två delar.

I parabolernas ekvationer uttrycker vi dem genom:

Inspelning svar:

om och, så finns det inga lösningar;

om då< ;

om då.

Uppgift 24.

Vid vilka värden, och ekvationen har inga lösningar?

Lösning.

Ekvationen är ekvivalent med systemet

Låt oss konstruera många lösningar av systemet.

Tre stycken av en parabel är lösningen på denna ekvation.

Låt oss ta reda på vilken och utesluta den.

Så, för det finns inga lösningar;

när det inte finns några lösningar;

(obs: för restenAdet finns en eller två lösningar).

Svar: ; .

Uppgift 25.

För vilka verkliga värden på parametern finns det åtminstone en som uppfyller villkoren:

Lösning.

Låt oss lösa ojämlikheten i grafiskt med hjälp av "intervallmetoden" och konstruera en graf. Låt oss se vilken del av grafen som faller inom det konstruerade området för att lösa ojämlikheten, och hitta motsvarande värdenA.

Vi bygger grafer av raka linjer och

De delar upp koordinatplanet i 4 regioner.

Vi kommer att lösa den sista ojämlikheten grafiskt med hjälp av intervallmetoden.

Det skuggade området är dess lösning. En del av parabeldiagrammet faller inom detta område. På intervallet; (efter villkor är ojämlikheten i systemet strikt) existerar som uppfyller villkoren för det givna systemet.

Svar:

Uppgift 26.

Hitta alla värden för parametern för var och en av vilka uppsättningen av lösningar på ojämlikheten inte innehåller en enda lösning på ojämlikheten.

Lösning.

Låt oss konstruera en uppsättning lösningar på ojämlikheten ("med intervallmetoden"). Sedan kommer vi att konstruera en "remsa" av de nödvändiga parametervärdenaq de där ingen av punkterna i de angivna områdena hör till "remsan"

Svar: eller.

Uppgift 27.

För vilka värden på parametern har ekvationen en unik lösning?

Lösning.

Låt oss faktorisera bråkets täljare.

Denna ekvation är ekvivalent med systemet:

Låt oss bygga en graf över populationen i koordinatplanet.

eller

– skärningspunkt för linjer och. En befolkningsgraf är en förening av räta linjer.

"Punch ut" grafpunkterna med abskissar.

Vi ritar raka linjer och ser var det finns en skärningspunkt med grafen.

Det är uppenbart att endast för eller har denna ekvation en unik lösning.

Svar: eller.

Uppgift 28.

För vilka verkliga värden på parametern har ojämlikhetssystemet inga lösningar?

Lösning.

Uppsättningen av plana punkter i det skuggade området uppfyller detta system av ojämlikheter.

Vi bygger raka linjer. Från figuren bestämmer vi att när ( är abskissan för skärningspunkten för hyperbeln och den räta linjen), skär de räta linjerna inte det skuggade området.

Svar: på.

Uppgift 29.

Vid vilka parametervärdenA systemet har en unik lösning.

Lösning.

Låt oss gå vidare till ett system som motsvarar detta.

I koordinatplanet kommer vi att konstruera grafer av paraboler och Vertices av paraboler, respektive punkter och.

Låt oss beräkna abskissorna för parabolernas skärningspunkter genom att lösa ekvationen

Det skuggade området är lösningen på systemet av ojämlikheter. Direkt och

har en gemensam punkt med det skuggade området.

Svar: vid i.

Uppgift 30.

Lös ojämlikheten:

Lösning.

Beroende på parametern hittar vi värdet.

Vi kommer att lösa ojämlikheten med hjälp av "intervallmetoden".

Låt oss bygga paraboler

: .

Låt oss beräkna koordinaterna för parabolernas skärningspunkt:

Punkterna i det skuggade området uppfyller denna ojämlikhet. Genom att rita en rak linje delar vi detta område i tre delar.

1) Om, så finns det inga lösningar.

2) Om, så uttrycker vi det i ekvationen genom:

Alltså i områdetjag vi har.

Om så är fallet, titta då:

a) region II .

Låt oss uttrycka det i ekvationen igenom.

Mindre rot

Större rot.

Alltså i området II vi har.

b) region III : .

Svar: när det inte finns några lösningar;

på

vid, .

Litteratur:

Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Samling av algebraproblem för årskurs 8 – 9: Handledning för elever i skolor och klasser med avancerade studier i matematik - 2:a uppl. – M.: Utbildning, 1994.

P. I. Gornshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Problem med parametrar. 3:e upplagan, utökad och reviderad. – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 2003.

Faddeev D.K. Algebra 6 – 8. – M.: Education, 1983 (b – ka matematiklärare).

A.H. Shakhmeister. Ekvationer och olikheter med parametrar. Redigerad av B. G. Ziv. S – Petersburg. Moskva. 2004.

V.V. Amelkin, V.L. Rabtsevich. Problem med parametrar Minsk "Asar", 2002.

A.H. Shakhmeister. Problem med parametrar i Unified State Exam. Moscow University Publishing House, CheRo på Neva MTsNMO.