Bland de olika uttryck som beaktas i algebra intar summor av monomialer en viktig plats. Här är exempel på sådana uttryck:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Summan av monomer kallas ett polynom. Termerna i ett polynom kallas termer för polynomet. Monomial klassificeras också som polynom, och betraktar ett monom som ett polynom som består av en medlem.
Till exempel ett polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan förenklas.
Låt oss representera alla termer i form av monomialer standardvy:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Låt oss presentera liknande termer i det resulterande polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet är ett polynom, vars alla termer är monomer av standardformen, och bland dem finns det inga liknande. Sådana polynom kallas polynom av standardform.
För grad av polynom av en standardform ta den högsta av medlemmarnas befogenheter. Således har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje graden, och trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andra.
Vanligtvis är termerna för polynom av standardform som innehåller en variabel ordnade i fallande exponentordning. Till exempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Summan av flera polynom kan omvandlas (förenklas) till ett polynom av standardform.
Ibland behöver termerna för ett polynom delas in i grupper, och omsluta varje grupp inom parentes. Eftersom bracketing är den omvända transformationen av öppningsparenteser är det lätt att formulera regler för att öppna parenteser:
Om ett "+"-tecken placeras före parenteserna, skrivs termerna inom parentes med samma tecken.
Om ett "-"-tecken placeras före hakparenteserna, skrivs termerna inom hakparenteserna med motsatta tecken.
Transformation (förenkling) av produkten av ett monom och ett polynom
Med hjälp av den fördelande egenskapen för multiplikation kan du transformera (förenkla) produkten av ett monom och ett polynom till ett polynom. Till exempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produkten av ett monom och ett polynom är identiskt lika med summan av produkterna av detta monom och var och en av termerna för polynomet.
Detta resultat formuleras vanligtvis som en regel.
För att multiplicera ett monomer med ett polynom måste du multiplicera det monomet med var och en av termerna i polynomet.
Vi har redan använt denna regel flera gånger för att multiplicera med en summa.
Produkt av polynom. Transformation (förenkling) av produkten av två polynom
I allmänhet är produkten av två polynom identiskt lika med summan av produkten av varje term av ett polynom och varje term av den andra.
Vanligtvis används följande regel.
För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i den andra och addera de resulterande produkterna.
Förkortade multiplikationsformler. Summa kvadrater, skillnader och skillnader av kvadrater
Du måste hantera vissa uttryck i algebraiska transformationer oftare än andra. De kanske vanligaste uttrycken är \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) och \(a^2 - b^2 \), det vill säga kvadraten på summan, kvadraten på skillnaden och skillnaden mellan rutor. Har du märkt att namnen angivna uttryck som om den inte är färdig, till exempel, är \((a + b)^2 \) naturligtvis inte bara kvadraten på summan, utan kvadraten på summan av a och b. Kvadraten på summan av a och b förekommer dock inte särskilt ofta, istället för bokstäverna a och b, innehåller den olika, ibland ganska komplexa, uttryck.
Uttrycken \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteras (förenklas) till polynom av standardformen, faktiskt, du har redan stött på en sådan uppgift när du multiplicerar polynom :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Det är användbart att komma ihåg de resulterande identiteterna och tillämpa dem utan mellanliggande beräkningar. Korta verbala formuleringar hjälper detta.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadraten på summan lika med summan rutor och dubbla produkten.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadraten på skillnaden är lika med summan av kvadrater utan dubbelprodukten.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - skillnaden mellan kvadrater är lika med produkten av skillnaden och summan.
Dessa tre identiteter tillåter transformationer att byta ut sina vänstra delar med höger och vice versa - höger delar med vänstra. Det svåraste är att se motsvarande uttryck och förstå hur variablerna a och b ersätts i dem. Låt oss titta på flera exempel på att använda förkortade multiplikationsformler.
Matematisk-Kalkylator-Online v.1.0
Kalkylatorn utför följande operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division, arbete med decimaler, rotextraktion, exponentiering, procentberäkning och andra operationer.
Lösning:
Hur man använder en matematikkalkylator
| Nyckel | Beteckning | Förklaring |
|---|---|---|
| 5 | nummer 0-9 | Arabiska siffror. Ange naturliga heltal, noll. För att få ett negativt heltal måste du trycka på +/- tangenten |
| . | punkt (komma) | Separator för beteckning decimal. Om det inte finns något tal före punkten (komma), kommer räknaren automatiskt att ersätta en nolla före punkten. Till exempel: .5 - 0.5 kommer att skrivas |
| + | plustecken | Lägga till tal (heltal, decimaler) |
| - | minustecken | Subtrahera tal (heltal, decimaler) |
| ÷ | division tecken | Dividerande tal (heltal, decimaler) |
| X | multiplikationstecken | Multiplicera tal (heltal, decimaler) |
| √ | rot | Extrahera roten till ett tal. När du trycker på "root"-knappen igen, beräknas roten från resultatet. Till exempel: roten av 16 = 4; roten av 4 = 2 |
| x 2 | kvadrera | Kvadratera ett nummer. När du trycker på "kvadrat"-knappen igen, kvadreras resultatet till exempel: ruta 2 = 4; ruta 4 = 16 |
| 1/x | fraktion | Utdata i decimalbråk. Täljaren är 1, nämnaren är det inmatade talet |
| % | procent | Få en procentandel av ett tal. För att arbeta måste du ange: talet från vilket procenten kommer att beräknas, tecknet (plus, minus, dividera, multiplicera), hur många procent i numerisk form, knappen "%" |
| ( | öppen parentes | En öppen parentes för att ange beräkningsprioritet. En stängd parentes krävs. Exempel: (2+3)*2=10 |
| ) | stängd parentes | En sluten parentes för att ange beräkningsprioritet. En öppen parentes krävs |
| ± | plus minus | Vänder om tecken |
| = | lika | Visar resultatet av lösningen. Också ovanför räknaren, i fältet "Lösning", visas mellanliggande beräkningar och resultatet. |
| ← | radera ett tecken | Tar bort det sista tecknet |
| MED | återställa | Återställ-knapp. Återställer räknaren helt till position "0" |
Algoritm för online-kalkylatorn med hjälp av exempel
Tillägg.
Addering av heltal naturliga tal { 5 + 7 = 12 }
Tillägg av hel naturlig och negativa tal { 5 + (-2) = 3 }
Lägga till decimalbråk (0,3 + 5,2 = 5,5)
Subtraktion.
Subtrahera naturliga heltal (7-5 = 2)
Subtrahera naturliga och negativa heltal ( 5 - (-2) = 7 )
Subtrahera decimalbråk ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplikation.
Produkt av naturliga heltal (3 * 7 = 21)
Produkt av naturliga och negativa heltal ( 5 * (-3) = -15 )
Produkt av decimalbråk ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division av naturliga heltal (27/3 = 9)
Division av naturliga och negativa heltal (15 / (-3) = -5)
Division av decimalbråk (6,2 / 2 = 3,1)
Extrahera roten till ett tal.
Extrahera roten av ett heltal (rot(9) = 3)
Extrahera roten av decimalbråk (rot(2,5) = 1,58)
Extrahera roten av en summa av tal (rot(56 + 25) = 9)
Extrahera roten till skillnaden mellan tal (rot (32 – 7) = 5)
Kvadratera ett nummer.
Kvadratera ett heltal ( (3) 2 = 9 )
Kvadrat decimaler ((2,2)2 = 4,84)
Omvandling till decimalbråk.
Beräkna procentsatser av ett tal
Öka antalet 230 med 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Minska antalet 510 med 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
18 % av siffran 140 är (140 * 0,18 = 25,2)
Att höja sig till en negativ makt är en av matematikens grundläggande beståndsdelar och förekommer ofta när man löser algebraiska problem. Nedan finns detaljerade instruktioner.
Hur man höjer till en negativ makt - teori
När vi höjer ett tal till en vanlig potens multiplicerar vi dess värde flera gånger. Till exempel, 3 3 = 3×3×3 = 27. Med en negativ bråkdel är det motsatta. Allmän vy enligt formeln kommer att ha nästa vy: a -n = 1/a n . För att höja ett tal till en negativ potens måste du alltså dividera ett med det givna talet, men till en positiv potens.
Hur man höjer till en negativ effekt - exempel på vanliga siffror
Med tanke på ovanstående regel, låt oss lösa några exempel.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Svar: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Svar -4 -2 = 1/16.
Men varför är svaren i det första och andra exemplet desamma? Faktum är att när ett negativt tal höjs till en jämn potens (2, 4, 6, etc.) blir tecknet positivt. Om graden var jämn skulle minuset kvarstå:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Hur man höjer siffror från 0 till 1 till en negativ potens
Kom ihåg att när ett tal mellan 0 och 1 höjs till en positiv potens, minskar värdet när potensen ökar. Så till exempel, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Exempel 3: Beräkna 0,5 -2
Lösning: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Svar: 0,5 -2 = 4
Analys (åtgärdssekvens):
- Konvertera decimalbråket 0,5 till bråktalet 1/2. Det är lättare så.
Höj 1/2 till en negativ effekt. 1/(2) -2. Dividera 1 med 1/(2) 2, vi får 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Exempel 4: Beräkna 0,5 -3
Lösning: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Exempel 5: Beräkna -0,5 -3
Lösning: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Svar: -0,5 -3 = -8
Baserat på det fjärde och femte exemplet kan vi dra flera slutsatser:
- För ett positivt tal i intervallet från 0 till 1 (exempel 4), upphöjt till en negativ potens, om potensen är jämn eller udda är inte viktigt, kommer uttryckets värde att vara positivt. Dessutom, ju högre grad, desto större värde.
- För ett negativt tal i intervallet från 0 till 1 (exempel 5), upphöjt till en negativ potens, om potensen är jämn eller udda är inte viktigt, kommer uttryckets värde att vara negativt. I detta fall, ju högre grad, desto lägre värde.
Hur man höjer till en negativ potens - en potens i form av ett bråktal
Uttryck av denna typ ha följande form: a -m/n, där a är ett regelbundet tal, m är gradens täljare, n är gradens nämnare.
Låt oss titta på ett exempel:
Beräkna: 8 -1/3
Lösning (åtgärdssekvens):
- Låt oss komma ihåg regeln för att höja ett nummer till en negativ potens. Vi får: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Lägg märke till att nämnaren har talet 8 i en bråkpotens. Den allmänna formen för att beräkna en bråkpotens är följande: a m/n = n √8 m.
- Således, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Vi får kubroten av åtta, vilket är lika med 2. Härifrån är 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Svar: 8 -1/3 = 2
Kalkylatorn hjälper dig att snabbt höja en siffra till en makt online. Gradens bas kan vara vilket tal som helst (både heltal och reella tal). Exponenten kan också vara ett heltal eller reellt, och kan också vara positivt eller negativt. Kom ihåg att för negativa tal är det odefinierat att höja till en icke-heltalspotens och därför kommer räknaren att rapportera ett fel om du försöker det.
Gradkalkylator
Höj till makten
Exponentieringar: 20880
Vad är en naturlig kraft för ett tal?
Talet p kallas n:te potensen av ett tal om p är lika med talet a multiplicerat med sig själv n gånger: p = a n = a·...·a
n - kallas exponent, och siffran a är examensbasis.
Hur höjer man ett nummer till en naturlig kraft?
För att förstå hur man höjer olika siffror till naturliga krafter, överväg några exempel:
Exempel 1. Höj siffran tre till fjärde potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 3 4
Lösning: som nämnts ovan, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Svar: 3 4 = 81 .
Exempel 2. Höj siffran fem till femte potensen. Det vill säga, det är nödvändigt att beräkna 5 5
Lösning: på liknande sätt, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Svar: 5 5 = 3125 .
Alltså att höja ett antal till naturlig grad, du behöver bara multiplicera den med sig själv n gånger.
Vad är en negativ potens av ett tal?
Den negativa potensen -n av a är en dividerad med a till potensen av n: a -n = .I det här fallet finns en negativ potens endast för tal som inte är noll, eftersom division med noll annars skulle inträffa.
Hur höjer man ett tal till en negativ heltalspotens?
För att höja ett tal som inte är noll till en negativ potens, måste du beräkna värdet av detta tal till samma positiva potens och dividera ett med resultatet.
Exempel 1. Höj siffran två till negativ fjärde potens. Det vill säga, du måste beräkna 2 -4
Lösning: som nämnts ovan, 2 -4 = = = 0,0625.Svar: 2 -4 = 0.0625 .
Fortsätter samtalet om kraften i ett tal, är det logiskt att ta reda på hur man hittar värdet av makten. Denna process kallas exponentiering. I den här artikeln kommer vi att studera hur exponentiering utförs, medan vi kommer att beröra alla möjliga exponenter - naturliga, heltals, rationella och irrationella. Och enligt traditionen kommer vi att överväga i detalj lösningar på exempel på att höja siffror till olika makter.
Sidnavigering.
Vad betyder "exponentiering"?
Låt oss börja med att förklara vad som kallas exponentiering. Här är den relevanta definitionen.
Definition.
Exponentiering- det här är att hitta värdet av potensen av ett tal.
Att hitta värdet av potensen av ett tal a med exponent r och höja talet a till potensen r är alltså samma sak. Till exempel, om uppgiften är "beräkna värdet av potensen (0,5) 5", kan den omformuleras enligt följande: "Höj talet 0,5 till potensen 5."
Nu kan du gå direkt till reglerna för exponentiering.
Att höja ett nummer till en naturlig kraft
I praktiken tillämpas oftast jämställdhet utifrån i formen . Det vill säga, när man höjer ett tal a till en bråkpotens m/n, tas först den n:te roten av talet a, varefter det resulterande resultatet höjs till en heltalspotens m.
Låt oss titta på lösningar på exempel på att höja till en bråkdel.
Exempel.
Beräkna värdet på graden.
Lösning.
Vi kommer att visa två lösningar.
Första sättet. Per definition av en grad med bråkexponent. Vi beräknar värdet på graden under rottecknet och extraherar sedan kubroten: 
.
Andra sättet. Genom definitionen av en grad med en bråkdelsexponent och baserat på egenskaperna hos rötterna är följande likheter sanna: 
. Nu extraherar vi roten 
, slutligen höjer vi det till en heltalspotens 
.
Uppenbarligen sammanfaller de erhållna resultaten av att höja till en bråkdel.
Svar:
Observera att bråkexponenten kan skrivas som ett decimalbråk eller blandat antal, i dessa fall bör den ersättas med motsvarande ordinarie bråkdel och sedan höjas till en potens.
Exempel.
Beräkna (44,89) 2,5.
Lösning.
Låt oss skriva exponenten i formuläret vanlig bråkdel(om nödvändigt, se artikeln): 
. Nu utför vi höjningen till en bråkdel: 
Svar:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Det bör också sägas att höjning av siffror till rationella potenser är en ganska arbetskrävande process (särskilt när täljaren och nämnaren för bråkexponenten innehåller tillräckligt stora tal), som vanligtvis utförs med hjälp av datorteknik.
För att avsluta denna punkt, låt oss uppehålla oss vid att höja siffran noll till en bråkpotens. Vi gav följande betydelse till bråkpotensen noll i formen: när vi har 
, och vid noll till m/n-effekten är inte definierad. Så, noll till en bråkdel positiv potens är noll, till exempel, 
. Och noll i en negativ bråkpotens är inte meningsfullt, till exempel är uttrycken 0 -4,3 inte meningsfulla.
Att höja sig till en irrationell makt
Ibland blir det nödvändigt att ta reda på värdet av potensen av ett tal med en irrationell exponent. I det här fallet är det för praktiska ändamål vanligtvis tillräckligt att erhålla värdet på graden exakt till ett visst tecken. Låt oss omedelbart notera att detta värde i praktiken beräknas med hjälp av elektroniska datorer, eftersom att höja det till en irrationell makt manuellt kräver stor mängd krångliga beräkningar. Men vi kommer ändå att beskriva i översikt handlingens kärna.
För att erhålla ett ungefärligt värde på potensen av ett tal a med en irrationell exponent tas en viss decimal approximation av exponenten och värdet på potensen beräknas. Detta värde är ett ungefärligt värde av potensen av talet a med en irrationell exponent. Ju mer exakt decimalapproximationen av ett tal tas initialt, desto mer exakt kommer gradens värde att erhållas i slutändan.
Som ett exempel, låt oss beräkna det ungefärliga värdet av potensen 2 1,174367... . Låt oss ta följande decimalapproximation av den irrationella exponenten: . Nu höjer vi 2 till den rationella makten 1,17 (vi beskrev kärnan i denna process i föregående stycke), vi får 2 1,17 ≈2,250116. Således, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Om vi till exempel tar en mer exakt decimal approximation av den irrationella exponenten, får vi ett mer exakt värde på den ursprungliga exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Referenser.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Lärobok i matematik för klass 5. utbildningsinstitutioner.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 7. utbildningsinstitutioner.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 8. utbildningsinstitutioner.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 9. utbildningsinstitutioner.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. och andra Algebra och början av analys: Lärobok för årskurserna 10 - 11 av allmänna läroanstalter.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för dig som går in på tekniska skolor).
Miniräknare för Unified State Exam - miniräknare för Unified State Exam och OGE. . Miniräknare för Unified State Exam och Unified State Exam, vilka miniräknare du kan ta med dig till Unified State Exam.