Modul av tal detta tal i sig kallas om det är icke-negativt, eller samma tal med motsatt tecken om det är negativt.

Till exempel är modulen för talet 6 6, och modulen för talet -6 är också 6.

Det vill säga, modulen för ett tal förstås som det absoluta värdet, det absoluta värdet av detta tal utan att ta hänsyn till dess tecken.

Den betecknas enligt följande: |6|, | X|, |A| etc.

(Mer information i avsnittet "Nummermodul").

Ekvationer med modul.

Exempel 1 . Lös ekvationen|10 X - 5| = 15.

Lösning.

Enligt regeln är ekvationen ekvivalent med kombinationen av två ekvationer:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Vi bestämmer:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Svar: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exempel 2 . Lös ekvationen|2 X + 1| = X + 2.

Lösning.

Eftersom modulen är ett icke-negativt tal, alltså X+ 2 ≥ 0. Följaktligen:

X ≥ -2.

Låt oss göra två ekvationer:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Vi bestämmer:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Båda siffrorna är större än -2. Så båda är rötter till ekvationen.

Svar: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exempel 3 . Lös ekvationen

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Lösning.

Ekvationen är vettig om nämnaren inte är noll - det betyder om X≠ 1. Låt oss ta hänsyn till detta villkor. Vår första åtgärd är enkel - vi blir inte bara av med bråkdelen, utan transformerar den så att vi får modulen i dess rena form:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Nu har vi bara ett uttryck under modulen på vänster sida av ekvationen. Låt oss gå vidare.
Modulen för ett tal är ett icke-negativt tal - det vill säga den måste vara större än noll eller lika med noll. Följaktligen löser vi ojämlikheten:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Således har vi ett andra villkor: roten till ekvationen måste vara minst 3/4.

I enlighet med regeln komponerar vi en uppsättning av två ekvationer och löser dem:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Vi fick två svar. Låt oss kontrollera om de är rötter till den ursprungliga ekvationen.

Vi hade två villkor: roten till ekvationen kan inte vara lika med 1, och den måste vara minst 3/4. Som är X ≠ 1, X≥ 3/4. Endast ett av de två erhållna svaren motsvarar båda dessa villkor - talet 2. Det betyder att endast detta är roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar: X = 2.

Ojämlikheter med modul.

Exempel 1 . Lös ojämlikhet| X - 3| < 4

Lösning.

Modulregeln säger:

|A| = A, Om A ≥ 0.

|A| = -A, Om A < 0.

Modulen kan ha både icke-negativa och negativa tal. Så vi måste överväga båda fallen: X- 3 ≥ 0 och X - 3 < 0.

1) När X- 3 ≥ 0 vår ursprungliga olikhet förblir som den är, bara utan modultecknet:
X - 3 < 4.

2) När X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

När vi öppnar fästena får vi:

-X + 3 < 4.

Från dessa två förhållanden kom vi alltså till enandet av två system av ojämlikheter:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Låt oss lösa dem:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Så vårt svar är en förening av två uppsättningar:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Bestäm de minsta och största värdena. Dessa är -1 och 7. Dessutom X större än -1 men mindre än 7.
Dessutom, X≥ 3. Det betyder att lösningen på ojämlikheten är hela uppsättningen av tal från -1 till 7, exklusive dessa extrema tal.

Svar: -1 < X < 7.

Eller: X ∈ (-1; 7).

Tillägg.

1) Det finns ett enklare och kortare sätt att lösa vår ojämlikhet – grafiskt. För att göra detta måste du rita en horisontell axel (Fig. 1).

Uttryck | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X till punkt 3 är mindre än fyra enheter. Vi markerar siffran 3 på axeln och räknar 4 divisioner till vänster och till höger om den. Till vänster kommer vi till punkt -1, till höger - till punkt 7. Alltså punkterna X vi såg dem bara utan att beräkna dem.

Dessutom, enligt ojämlikhetsvillkoret, ingår inte -1 och 7 själva i uppsättningen av lösningar. Därmed får vi svaret:

1 < X < 7.

2) Men det finns en annan lösning som är enklare till och med än den grafiska metoden. För att göra detta måste vår ojämlikhet presenteras i följande form:

4 < X - 3 < 4.

Det är trots allt så här enligt modulregeln. Det icke-negativa talet 4 och det liknande negativa talet -4 är gränserna för att lösa ojämlikheten.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exempel 2 . Lös ojämlikhet| X - 2| ≥ 5

Lösning.

Detta exempel skiljer sig markant från det föregående. Den vänstra sidan är större än 5 eller lika med 5. Ur geometrisk synvinkel är lösningen på ojämlikheten alla tal som ligger på ett avstånd av 5 enheter eller mer från punkt 2 (Fig. 2). Grafen visar att alla dessa är tal som är mindre än eller lika med -3 och större än eller lika med 7. Det betyder att vi redan har fått svaret.

Svar: -3 ≥ X ≥ 7.

På vägen löser vi samma ojämlikhet genom att ordna om den fria termen till vänster och till höger med motsatt tecken:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Svaret är detsamma: -3 ≥ X ≥ 7.

Eller: X ∈ [-3; 7]

Exemplet är löst.

Exempel 3 . Lös ojämlikhet 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Lösning.

Antal X kan vara ett positivt tal, negativt tal eller noll. Därför måste vi ta hänsyn till alla tre omständigheterna. Som ni vet beaktas de i två ojämlikheter: X≥ 0 och X < 0. При X≥ 0 skriver vi helt enkelt om vår ursprungliga olikhet som den är, bara utan modultecknet:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Nu om det andra fallet: if X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Utöka parenteserna:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Således fick vi två ekvationssystem:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Vi måste lösa ojämlikheter i system – och det betyder att vi måste hitta rötterna till två andragradsekvationer. För att göra detta likställer vi de vänstra sidorna av ojämlikheterna med noll.

Låt oss börja med den första:

6X 2 - X - 2 = 0.

Hur man löser andragradsekvation- se avsnittet "Av andragradsekvation". Vi kommer omedelbart att namnge svaret:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Från det första systemet av ojämlikheter får vi att lösningen på den ursprungliga ojämlikheten är hela uppsättningen av tal från -1/2 till 2/3. Vi skriver lösningarnas förbund på X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Låt oss nu lösa den andra andragradsekvationen:

6X 2 + X - 2 = 0.

Dess rötter:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Slutsats: när X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Låt oss kombinera de två svaren och få det slutliga svaret: lösningen är hela uppsättningen siffror från -2/3 till 2/3, inklusive dessa extrema tal.

Svar: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Eller: X ∈ [-2/3; 2/3].

Idag, vänner, kommer det inte att finnas någon snor eller sentimentalitet. Istället kommer jag att skicka dig, inga frågor ställda, i strid med en av de mest formidabla motståndarna i algebrakursen 8-9.

Ja, du förstod allt rätt: vi pratar om ojämlikheter med modul. Vi kommer att titta på fyra grundläggande tekniker med vilka du lär dig att lösa cirka 90 % av sådana problem. Hur är det med de återstående 10%? Tja, vi ska prata om dem i en separat lektion. :)

Men innan jag analyserar någon av teknikerna vill jag påminna dig om två fakta som du redan behöver veta. Annars riskerar du att inte förstå materialet i dagens lektion alls.

Vad du redan behöver veta

Captain Obviousness verkar antyda att för att lösa ojämlikheter med modul behöver du veta två saker:

1. Hur ojämlikheter löses;
2. Vad är en modul?

Låt oss börja med den andra punkten.

Moduldefinition

Allt är enkelt här. Det finns två definitioner: algebraisk och grafisk. Till att börja med - algebraisk:

Definition. Modulen för ett tal $x$ är antingen själva talet, om det är icke-negativt, eller talet mitt emot det, om den ursprungliga $x$ fortfarande är negativ.

Det är skrivet så här:

\[\vänster| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Tal på ett enkelt språk, är modulen "ett tal utan minus". Och det är just i denna dualitet (på vissa ställen behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men på andra måste du ta bort någon form av minus) som är där hela svårigheten ligger för nybörjarelever.

Det finns fler geometrisk definition. Det är också användbart att veta, men vi kommer bara att vända oss till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).

Definition. Låt punkten $a$ markeras på talraden. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkt $x$ till punkt $a$ på denna linje.

Om du ritar en bild får du något sånt här:

Grafisk moduldefinition

På ett eller annat sätt, från definitionen av en modul följer dess nyckelegenskap omedelbart: modulen för ett tal är alltid en icke-negativ storhet. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.

Att lösa ojämlikheter. Intervallmetod

Låt oss nu titta på ojämlikheterna. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som kommer ner till linjära ojämlikheter, samt till intervallmetoden.

Jag har två stora lektioner om detta ämne (förresten, väldigt, MYCKET användbara - jag rekommenderar att du studerar dem):

1. Intervallmetod för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
2. Fraktionella rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor alls.

Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att ha en vag önskan att slå dig själv i väggen, så är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne :)

1. Ojämlikheter i formen "Modul är mindre än funktion"

Detta är ett av de vanligaste problemen med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:

\[\vänster| f\höger| \ltg\]

Funktionerna $f$ och $g$ kan vara vad som helst, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \höger| \lt x+7; \\ & \vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0; \\ & \vänster| ((x)^(2))-2\vänster| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alla kan lösas bokstavligen på en rad enligt följande schema:

\[\vänster| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g\quad \left(\Högerpil \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \höger.\höger)\]

Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men i gengäld får vi en dubbel ojämlikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut allt eventuella problem: om talet under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.

Naturligtvis uppstår frågan: kunde det inte vara enklare? Tyvärr är det inte möjligt. Detta är hela poängen med modulen.

Dock nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\]

Lösning. Så vi har framför oss en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre" - det finns inte ens något att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Skynda dig inte för att öppna parentesen som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du på grund av din brådska kommer att göra ett stötande misstag.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet reducerades till två elementära ojämlikheter. Låt oss notera deras lösningar på parallella tallinjer:

Skärning av uppsättningar

Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]

Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Låt oss först isolera modulen genom att flytta den andra termen till höger:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen med den redan kända algoritmen:

\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]

Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men låt mig återigen påminna er om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen perfekt, kan du pervertera det själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.

Till att börja med tar vi helt enkelt bort det dubbla minuset till vänster:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vänster(x+1 \höger)\]

Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:

Låt oss gå vidare till den dubbla ojämlikheten. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:

\[\vänster\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( justera)\höger.\]

Båda ojämlikheterna är kvadratiska och kan lösas med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad detta är, är det bättre att inte ta på sig moduler ännu). Låt oss gå vidare till ekvationen i den första ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se är utdata en ofullständig kvadratisk ekvation, som kan lösas på ett elementärt sätt. Låt oss nu titta på den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerar de resulterande talen på två parallella linjer (separera för den första olikheten och separera för den andra):

Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jag tror att efter dessa exempel är lösningsschemat extremt tydligt:

1. Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
2. Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt schemat som beskrivs ovan. Vid något tillfälle kommer det att bli nödvändigt att gå från dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som vart och ett redan kan lösas separat.
3. Slutligen, allt som återstår är att skära lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutliga svaret.

En liknande algoritm finns för ojämlikheter nästa typ, när modulen är större än funktionen. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi ska prata om dessa "men" nu.

2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"

De ser ut så här:

\[\vänster| f\höger| \gtg\]

Liknar den förra? Det verkar. Och ändå löses sådana problem på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:

\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Med andra ord, vi överväger två fall:

1. Först ignorerar vi helt enkelt modulen och löser den vanliga ojämlikheten;
2. Sedan utökar vi i huvudsak modulen med minustecknet och multiplicerar sedan båda sidor av olikheten med −1, medan jag har tecknet.

I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har framför oss en kombination av två krav.

Observera igen: detta är inte ett system, utan en helhet, därför i svaret kombineras mängderna snarare än korsar varandra. Detta grundläggande skillnad från föregående punkt!

I allmänhet är många studenter helt förvirrade med fackföreningar och korsningar, så låt oss reda ut denna fråga en gång för alla:

• "∪" är ett fackligt tecken. I huvudsak är detta en stiliserad bokstav "U" som kom till oss från engelska språket och är en förkortning för "Union", dvs. "Föreningar".
• "∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte från någonstans, utan framstod helt enkelt som en motpol till "∪".

För att göra det ännu lättare att komma ihåg, dra bara benen till dessa tecken för att göra glasögon (bara nu inte anklaga mig för att främja drogberoende och alkoholism: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):

Skillnad mellan korsning och förening av uppsättningar

Översatt till ryska betyder detta följande: unionen (totaliteten) inkluderar element från båda uppsättningarna, därför är det inte på något sätt mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som är samtidigt i både den första uppsättningen och den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.

Så det blev tydligare? Det är jättebra. Låt oss gå vidare till praktiken.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösning. Vi fortsätter enligt schemat:

\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ rätt.\]

Vi löser varje ojämlikhet i befolkningen:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:

Union av uppsättningar

Det är ganska uppenbart att svaret blir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösning. Väl? Ingenting - allt är sig likt. Vi går från en ojämlikhet med en modul till en uppsättning av två olikheter:

\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi löser alla ojämlikheter. Tyvärr kommer rötterna där inte att vara särskilt bra:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andra ojämlikheten är också lite vild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nu måste du markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Dock måste poäng markeras i rätt ordning: Ju högre nummer, desto längre flyttas punkten åt höger.

Och här väntar ett upplägg på oss. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för den första bråk är mindre än termerna i täljaren för den andra , så summan är också mindre), med talen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ det kommer inte heller att finnas några svårigheter ( positivt tal uppenbarligen mer negativt), sedan med det sista paret är allt inte så klart. Vilket är störst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Placeringen av punkter på tallinjerna och faktiskt svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.

Så låt oss jämföra:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, de sista punkterna på axlarna kommer att placeras så här:

Ett fall av fula rötter

Låt mig påminna dig om att vi löser en samling, så svaret blir en förening, inte en korsning av skuggade uppsättningar.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se fungerar vårt schema utmärkt för både enkla och mycket svåra problem. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra irrationella tal korrekt (och tro mig: det här är inte bara rötter). Men en separat (och mycket allvarlig) lektion kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.

3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"

Nu kommer vi till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:

\[\vänster| f\höger| \gt \left| g\right|\]

Generellt sett är algoritmen som vi kommer att prata om nu endast korrekt för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:

Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:

I ojämlikheter med icke-negativa "svansar", kan båda sidor höjas till vilken som helst naturlig grad. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.

Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Förväxla inte detta med att ta roten från en kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]

Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det är en helt annan historia (det är som irrationella ekvationer), så vi går inte in på detta nu. Låt oss lösa ett par problem bättre:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lösning. Låt oss omedelbart lägga märke till två saker:

1. Detta är inte en strikt ojämlikhet. Punkter på tallinjen kommer att punkteras.
2. Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

På sista steget Jag fuskade lite: jag ändrade sekvensen av termer och utnyttjade modulens jämnhet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ höger)\höger)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!

Att bli av med modultecknet

Låt mig påminna er för de som är särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Tja, det är allt. Problemet är löst.

Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]

Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.

Kvadra den:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \höger|. \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \ höger))^(2))\le 0; \\ & \vänster(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \ gånger \vänster(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetod:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det finns bara en rot på tallinjen:

Svaret är ett helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submodulära uttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.

Men det här är en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om det - i en separat lektion. Låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och titta på en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa :)

4. Metod för uppräkning av alternativ

Vad händer om alla dessa tekniker inte hjälper? Om ojämlikheten inte kan reduceras till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om det i allmänhet finns smärta, sorg, melankoli?

Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik upp på scenen - brute force-metoden. I förhållande till ojämlikheter med modul ser det ut så här:

1. Skriv ut alla submodulära uttryck och sätt dem lika med noll;
2. Lös de resulterande ekvationerna och markera rötterna som finns på en tallinje;
3. Den raka linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför är unikt avslöjat;
4. Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga rötterna-gränser som erhölls i steg 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - detta kommer att vara svaret :)

Så hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:

Uppgift. Lös ojämlikheten:

\[\vänster| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt \left| g \right|$, så vi agerar framåt.

Vi skriver ut submodulära uttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:

\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:

Partitionering av tallinjen med nollor av submodulära funktioner

Låt oss titta på varje avsnitt separat.

1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submodulära uttryck negativa, och den ursprungliga olikheten kommer att skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det initiala antagandet att $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 och större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.

1.1. Låt oss överväga separat gränsfall: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: är det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

Det är uppenbart att beräkningskedjan har lett oss till en felaktig ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.

2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen öppnas redan med ett "plus", men den högra öppnas fortfarande med ett "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Och återigen, uppsättningen av lösningar är tom, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.

2.1. Och igen specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \vänster| 3\höger| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det tidigare "specialfallet" är talet $x=1$ uppenbarligen inte inkluderat i svaret.

3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här öppnas alla moduler med ett plustecken:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Nåväl, äntligen! Vi har hittat ett intervall som blir svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Slutligen, en anteckning som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:

Lösningar på ojämlikheter med moduler representerar vanligtvis kontinuerliga mängder på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket mindre vanliga. Och ännu mindre ofta händer det att lösningens gräns (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella området.

Följaktligen, om gränser (samma "särskilda fall") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster och höger om dessa gränser nästan säkert inte att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in i svaret, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.

Tänk på detta när du granskar dina lösningar.

Matematik är en symbol för vetenskapens visdom,

en modell av vetenskaplig stringens och enkelhet,

standarden för excellens och skönhet inom vetenskap.

Rysk filosof, professor A.V. Voloshinov

Ojämlikheter med modul

De svåraste problemen att lösa i skolmatematiken är ojämlikheter, som innehåller variabler under modultecknet. För att framgångsrikt lösa sådana ojämlikheter måste du ha goda kunskaper om modulens egenskaper och ha förmågan att använda dem.

Grundläggande begrepp och egenskaper

Modul (absolut värde) för ett reellt tal betecknas med och definieras enligt följande:

TILL enkla egenskaper modulen inkluderar följande relationer:

OCH .

Notera, att de två sista egenskaperna är giltiga för vilken jämn grad som helst.

Dessutom, om, var, då och

Mer komplexa modulegenskaper, som effektivt kan användas vid lösning av ekvationer och olikheter med moduler, formuleras genom följande satser:

Sats 1.För alla analytiska funktioner Och ojämlikhet är sant.

Sats 2. Jämställdhet liktydigt med ojämlikhet.

Sats 3. Jämställdhet liktydigt med ojämlikhet.

De vanligaste ojämlikheterna i skolmatematiken, som innehåller okända variabler under modultecknet, är formens ojämlikheter och , var någon positiv konstant.

Sats 4. Olikhet motsvarar dubbel ojämlikhet, och lösningen på ojämlikhetenreducerar till att lösa en uppsättning ojämlikheter Och .

Denna sats är ett specialfall av satser 6 och 7.

Mer komplexa ojämlikheter, som innehåller en modul är ojämlikheter i formen, Och .

Metoder för att lösa sådana ojämlikheter kan formuleras med hjälp av följande tre satser.

Sats 5. Olikhet är ekvivalent med kombinationen av två system av ojämlikheter

jag (1)

Bevis. Sedan dess

Detta antyder giltigheten av (1).

Sats 6. Olikhet är likvärdigt med systemet med ojämlikheter

Bevis. eftersom, då från ojämlikhet det följer att . Under detta villkor, ojämlikhetenoch i detta fall kommer det andra systemet av ojämlikheter (1) att visa sig vara inkonsekvent.

Teoremet har bevisats.

Sats 7. Olikhet är ekvivalent med kombinationen av en ojämlikhet och två system av ojämlikhet

jag (3)

Bevis. Sedan , då ojämlikheten alltid avrättas, Om .

Låta sedan ojämlikhetkommer att motsvara ojämlikhet, från vilken följer en uppsättning av två ojämlikheter Och .

Teoremet har bevisats.

Låt oss titta på typiska exempel på problemlösning i ämnet "Ojämlikheter, som innehåller variabler under modultecknet."

Lösa ojämlikheter med modul

Mest enkel metod att lösa ojämlikheter med modul är metoden, baserat på modulexpansion. Denna metod är universell, Men i det allmänna fallet kan användningen leda till mycket besvärliga beräkningar. Därför bör eleverna känna till andra (mer effektiva) metoder och tekniker för att lösa sådana ojämlikheter. Särskilt, det är nödvändigt att ha färdigheter i att tillämpa satser, ges i den här artikeln.

Exempel 1.Lös ojämlikhet

. (4)

Lösning.Vi kommer att lösa ojämlikhet (4) med den "klassiska" metoden - metoden att avslöja moduler. För detta ändamål delar vi talaxeln prickar och i intervaller och överväg tre fall.

1. Om , då , , , och ojämlikhet (4) tar formen eller .

Eftersom fallet behandlas här är det en lösning på ojämlikhet (4).

2. Om, då erhåller vi av ojämlikhet (4). eller . Sedan skärningspunkten av intervaller Och är tom, då finns det ingen olikhet på det övervägda lösningsintervallet (4).

3. Om, då tar olikhet (4) formen eller . Det är uppenbart att är också en lösning på ojämlikhet (4).

Svar: , .

Exempel 2. Lös ojämlikhet.

Lösning. Låt oss anta det. eftersom, då tar den givna ojämlikheten formen eller . Sedan dess och härifrån följer det eller .

Emellertid därför eller.

Exempel 3. Lös ojämlikhet

. (5)

Lösning. eftersom, då är ojämlikhet (5) ekvivalent med ojämlikheterna eller . Härifrån, enligt sats 4, vi har en uppsättning ojämlikheter Och .

Svar: , .

Exempel 4.Lös ojämlikhet

. (6)

Lösning. Låt oss beteckna . Sedan får vi från ojämlikhet (6) ojämlikheterna , , eller .

Härifrån, med intervallmetoden, vi får . eftersom, då har vi här ett system av ojämlikheter

Lösningen på den första olikheten i systemet (7) är föreningen av två intervall och , och lösningen på den andra ojämlikheten är den dubbla ojämlikheten. Det följer av detta, att lösningen på systemet av ojämlikheter (7) är föreningen av två intervall Och .

Svar: ,

Exempel 5.Lös ojämlikhet

. (8)

Lösning. Låt oss omvandla ojämlikhet (8) enligt följande:

Eller .

Använder intervallmetoden, vi får en lösning på ojämlikhet (8).

Svar: .

Notera. Om vi ​​sätter och i villkoren för sats 5, får vi .

Exempel 6. Lös ojämlikhet

. (9)

Lösning. Av ojämlikhet (9) följer. Låt oss omvandla ojämlikhet (9) enligt följande:

Eller

Sedan , då eller .

Svar: .

Exempel 7.Lös ojämlikhet

. (10)

Lösning. Sedan och , då eller .

I detta avseende och ojämlikhet (10) tar formen

Eller

. (11)

Det följer att eller . Eftersom ojämlikhet (11) innebär också eller .

Svar: .

Notera. Om vi ​​tillämpar sats 1 på den vänstra sidan av ojämlikhet (10), då får vi . Av detta och ojämlikhet (10) följer, vad eller . eftersom, då tar olikhet (10) formen eller .

Exempel 8. Lös ojämlikhet

. (12)

Lösning. Sedan dess och av ojämlikhet (12) följer det eller . Emellertid därför eller. Härifrån får vi eller .

Svar: .

Exempel 9. Lös ojämlikhet

. (13)

Lösning. Enligt sats 7 är lösningen på ojämlikhet (13) eller .

Låt det vara nu. I så fall och ojämlikhet (13) tar formen eller .

Om man slår ihop intervallerna och , då får vi en lösning på formens ojämlikhet (13)..

Exempel 10. Lös ojämlikhet

. (14)

Lösning. Låt oss skriva om ojämlikhet (14) i en likvärdig form: . Om vi ​​tillämpar sats 1 på den vänstra sidan av denna ojämlikhet får vi olikheten .

Härifrån och från sats 1 följer det, att ojämlikhet (14) är uppfylld för alla värden.

Svar: valfritt nummer.

Exempel 11. Lös ojämlikhet

. (15)

Lösning. Tillämpa sats 1 på den vänstra sidan av ojämlikhet (15), vi får . Detta och olikhet (15) ger ekvationen, som har formen.

Enligt sats 3, ekvation liktydigt med ojämlikhet. Härifrån får vi.

Exempel 12.Lös ojämlikhet

. (16)

Lösning. Från ojämlikhet (16) får vi enligt sats 4 ett system av ojämlikheter

När man löser ojämlikhetenLåt oss använda sats 6 och få ett system av ojämlikhetervarav det följer.

Tänk på ojämlikheten. Enligt sats 7, vi får en uppsättning ojämlikheter Och . Den andra ojämlikheten i befolkningen är giltig för alla verkliga.

Därför lösningen på ojämlikhet (16) är.

Exempel 13.Lös ojämlikhet

. (17)

Lösning. Enligt sats 1 kan vi skriva

(18)

Med hänsyn till ojämlikhet (17) drar vi slutsatsen att båda ojämlikheterna (18) övergår i jämlikheter, dvs. det finns ett ekvationssystem

Genom sats 3 detta system ekvationer är ekvivalent med ojämlikhetssystem

eller

Exempel 14.Lös ojämlikhet

. (19)

Lösning. Sedan dess. Låt oss multiplicera båda sidor av ojämlikhet (19) med uttrycket, som för alla värden bara tar positiva värden. Då får vi en olikhet som är likvärdig med olikhet (19), av formen

Härifrån får vi eller , var . Sedan och då är lösningen på ojämlikhet (19). Och .

Svar: , .

För en mer djupgående studie av metoder för att lösa ojämlikheter med en modul rekommenderar vi att du vänder dig till läroböcker, anges i listan över rekommenderad litteratur.

1. Samling av problem i matematik för sökande till högskolor / Ed. MI. Scanavi. – M.: Fred och utbildning, 2013. – 608 sid.

2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: metoder för att lösa och bevisa ojämlikheter. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 sid.

3. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: icke-standardiserade metoder för att lösa problem. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 sid.

Har du fortfarande frågor?

För att få hjälp av en handledare, registrera dig.

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.