Eksponentinės lygtys ir nelygybės yra tos lygtys ir nelygybės, kurių eksponente yra nežinomasis.
Eksponentinių lygčių sprendimas dažnai yra lygtis a x \u003d a b, kur a > 0, a ≠ 1, x yra nežinomas. Ši lygtis turi vieną šaknį x \u003d b, nes teisinga ši teorema:
Teorema. Jei a > 0, a ≠ 1 ir a x 1 = a x 2, tai x 1 = x 2.
Pagrįskime apgalvotą teiginį.
Tarkime, kad lygybė x 1 = x 2 netenkinama, t.y. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponentinė funkcija y \u003d a x padidėja ir todėl nelygybė a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abiem atvejais gavome prieštaravimą sąlygai a x 1 = a x 2 .
Panagrinėkime keletą užduočių.
Išspręskite lygtį 4 ∙ 2 x = 1.
Sprendimas.
Lygtį rašome tokia forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Atsakymas. x = -2.
Išspręskite lygtį 2 3x ∙ 3 x = 576.
Sprendimas.
Kadangi 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, lygtis gali būti parašyta forma 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 arba 24 x \u003d 2.
Iš čia gauname x = 2.
Atsakymas. x = 2.
Išspręskite lygtį 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Sprendimas.
Kairėje pusėje suskaidę bendrą koeficientą 3 x - 2, gauname 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
iš kur 3 x - 2 = 1, t.y. x - 2 = 0, x = 2.
Atsakymas. x = 2.
Išspręskite lygtį 3 x = 7 x.
Sprendimas.
Kadangi 7 x ≠ 0, lygtį galima parašyti kaip 3 x / 7 x = 1, taigi (3/7) x = 1, x = 0.
Atsakymas. x = 0.
Išspręskite lygtį 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Sprendimas.
3 x = a pakeitimas duota lygtis redukuoja į kvadratinę lygtį a 2 - 4a - 45 = 0.
Išspręsdami šią lygtį, randame jos šaknis: a 1 \u003d 9 ir 2 \u003d -5, iš kur 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
Lygtis 3 x \u003d 9 turi šaknį 2, o lygtis 3 x \u003d -5 neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija negali priimti neigiamų verčių.
Atsakymas. x = 2.
Sprendžiant eksponentines nelygybes dažnai reikia išspręsti nelygybes a x > a b arba a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Panagrinėkime kai kurias užduotis.
Išspręskite 3 x nelygybę< 81.
Sprendimas.
Nelygybę rašome forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y \u003d 3 x didėja.
Todėl už x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Taigi, už x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Atsakymas. X< 4.
Išspręskite nelygybę 16 x +4 x - 2 > 0.
Sprendimas.
Pažymėkite 4 x \u003d t, tada gauname kvadratinė nelygybė t2 + t-2 > 0.
Ši nelygybė galioja t< -2 и при t > 1.
Kadangi t = 4 x, gauname dvi nelygybes 4 x< -2, 4 х > 1.
Pirmoji nelygybė neturi sprendimo, nes 4 x > 0 visiems x ∈ R.
Antrąją nelygybę įrašome forma 4 x > 4 0 , iš kur x > 0.
Atsakymas. x > 0.
Grafiškai išspręskite lygtį (1/3) x = x - 2/3.
Sprendimas.
1) Nubraižykime funkcijų y \u003d (1/3) x ir y \u003d x - 2/3 grafikus.
2) Remdamiesi savo paveikslu, galime daryti išvadą, kad nagrinėjamų funkcijų grafikai susikerta taške, kurio abscisė x ≈ 1. Patikrinimas įrodo, kad
x \u003d 1 - šios lygties šaknis:
(1/3) 1 = 1/3 ir 1 - 2/3 = 1/3.
Kitaip tariant, mes radome vieną iš lygties šaknų. 
3) Raskite kitas šaknis arba įrodykite, kad jų nėra. Funkcija (1/3) x mažėja, o funkcija y \u003d x - 2/3 didėja. Todėl, kai x > 1, pirmosios funkcijos reikšmės yra mažesnės nei 1/3, o antrosios yra didesnės nei 1/3; ties x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ir x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Atsakymas. x = 1.
Atkreipkite dėmesį, kad iš šios problemos sprendimo išplaukia, kad nelygybė (1/3) x > x – 2/3 tenkinama x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Ant šią pamoką nagrinėsime sudėtingesnių eksponentinių lygčių sprendimą, priminsime pagrindines teorines nuostatas dėl eksponentinės funkcijos.
1. Eksponentinės funkcijos apibrėžimas ir savybės, paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimo technika
Prisiminkite eksponentinės funkcijos apibrėžimą ir pagrindines savybes. Visų eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas yra pagrįstas savybėmis.
Eksponentinė funkcija yra formos funkcija , kur bazė yra laipsnis, o čia x yra nepriklausomas kintamasis, argumentas; y – priklausomas kintamasis, funkcija.
Ryžiai. 1. Eksponentinės funkcijos grafikas
Grafike rodomas didėjantis ir mažėjantis eksponentas, iliustruojantis eksponentinę funkciją, kai bazė yra didesnė už vieną ir mažesnė už vieną, bet didesnė už nulį.
Abi kreivės eina per tašką (0;1)
Eksponentinės funkcijos savybės:
Domenas: ;
Vertybių diapazonas: ;
Funkcija yra monotoniška, didėja kaip , mažėja kaip .
Monotoninė funkcija kiekvieną jos reikšmę įgauna su viena argumento verte.
Kai argumentas padidėja nuo minuso iki pliuso begalybės, funkcija didėja nuo nulio imtinai iki pliusinės begalybės. Priešingai, kai argumentas didėja nuo minuso iki pliuso begalybės, funkcija sumažėja nuo begalybės iki nulio, imtinai.
2. Tipinių eksponentinių lygčių sprendimas
Prisiminkite, kaip išspręsti paprasčiausias eksponentines lygtis. Jų sprendimas pagrįstas eksponentinės funkcijos monotoniškumu. Beveik visos sudėtingos eksponentinės lygtys yra redukuojamos į tokias lygtis.
Rodiklių lygybė su lygiomis bazėmis atsiranda dėl eksponentinės funkcijos savybės, būtent dėl jos monotoniškumo.
Sprendimo metodas:
Išlyginti laipsnių pagrindus;
Sulyginkite eksponentus.
Pereikime prie sudėtingesnių eksponentinių lygčių, mūsų tikslas yra sumažinti kiekvieną iš jų iki paprasčiausių.
Atsikratykime šaknies kairėje pusėje ir sumažinkime laipsnius iki to paties pagrindo:
Norint sumažinti sudėtingą eksponentinę lygtį į paprastą, dažnai naudojamas kintamųjų keitimas.
Naudokime laipsnio savybę:
Pristatome pakaitalą. Leisk tada 
Gautą lygtį padauginame iš dviejų ir visus terminus perkeliame į kairę pusę:
Pirmoji šaknis netenkina y reikšmių intervalo, ją atmetame. Mes gauname:
Suveskime laipsnius į tą patį rodiklį:
Pristatome pakaitalą:
Leisk tada 
. Su tokiu pakeitimu akivaizdu, kad y laikosi griežtai teigiamas vertes. Mes gauname:
Mes žinome, kaip išspręsti panašias kvadratines lygtis, rašome atsakymą:
Kad įsitikintumėte, ar šaknys rastos teisingai, galite patikrinti pagal Vietos teoremą, tai yra rasti šaknų ir jų sandaugos sumą ir patikrinti atitinkamais lygties koeficientais.
Mes gauname:
3. Antrojo laipsnio vienarūšių eksponentinių lygčių sprendimo technika
Išstudijuokime šiuos svarbius eksponentinių lygčių tipus:
Šio tipo lygtys yra vadinamos antrojo laipsnio vienarūšėmis funkcijų f ir g atžvilgiu. Kairėje jo pusėje yra kvadratinis trinaris f atžvilgiu su parametru g arba kvadratinis trinaris g atžvilgiu su parametru f.
Sprendimo metodas:
Šią lygtį galima išspręsti kaip kvadratinę, bet lengviau tai padaryti atvirkščiai. Reikėtų atsižvelgti į du atvejus:
Pirmuoju atveju gauname
Antruoju atveju turime teisę padalyti iš aukščiausio laipsnio ir gauname:
Turėtumėte įvesti kintamųjų pakeitimą, gausime kvadratinę lygtį y:
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos f ir g gali būti savavališkos, tačiau mus domina atvejis, kai tai yra eksponentinės funkcijos.
4. Vienarūšių lygčių sprendimo pavyzdžiai
Perkelkime visus terminus į kairę lygties pusę:
Kadangi eksponentinės funkcijos įgyja griežtai teigiamas reikšmes, mes turime teisę iš karto padalyti lygtį iš , neatsižvelgdami į atvejį, kai:
Mes gauname:
Pristatome pakaitalą: 
(pagal eksponentinės funkcijos savybes)
Gavome kvadratinę lygtį:
Šaknis nustatome pagal Vieta teoremą:
Pirmoji šaknis netenkina y reikšmių intervalo, ją atmetame, gauname:
Panaudokime laipsnio savybes ir sumažinkime visus laipsnius iki paprastų bazių:
Nesunku pastebėti f ir g funkcijas:
Kadangi eksponentinės funkcijos įgyja griežtai teigiamas reikšmes, mes turime teisę iš karto padalyti lygtį iš , neatsižvelgdami į atvejį, kai .
ir x = b yra paprasčiausia eksponentinė lygtis. Jame a didesnis už nulį ir a neprilygsta vienam.
Eksponentinių lygčių sprendimas
Iš eksponentinės funkcijos savybių žinome, kad jos reikšmių diapazonas apsiriboja teigiamais realiaisiais skaičiais. Tada, jei b = 0, lygtis neturi sprendinių. Ta pati situacija vyksta lygtyje, kur b
Dabar tarkime, kad b>0. Jei eksponentinėje funkcijoje bazė a didesnis nei vienas, tada funkcija didės visoje apibrėžimo srityje. Jei bazės eksponentinė funkcija a tenkinama ši sąlyga 0 Remdamiesi tuo ir pritaikę šaknies teoremą, gauname, kad lygtis a x = b turi vieną šaknį, kai b>0 ir teigiama a nelygu vienam. Norėdami jį rasti, turite pavaizduoti b formoje b = a c . Apsvarstykite šį pavyzdį: išspręskite 5 lygtį (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Pavaizduokime 25 kaip 5 2 , gauname: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . Arba kas yra lygiavertė: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Gautą kvadratinę lygtį išsprendžiame bet kuriuo iš žinomų metodų. Gauname dvi šaknis x = 3 ir x = -1. Atsakymas: 3;-1. Išspręskime lygtį 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Pakeiskime: t=2 x ir gaukime tokią kvadratinę lygtį: t 2 – 5*t + 4 = 0. Dabar išsprendžiame lygtis 2 x = 1 ir 2 x = 4. Atsakymas: 0;2. Paprasčiausių eksponentinių nelygybių sprendimas taip pat pagrįstas didėjančių ir mažėjančių funkcijų savybėmis. Jei eksponentinėje funkcijoje bazė a yra didesnė už vienetą, tada funkcija didės visoje apibrėžimo srityje. Jei bazės eksponentinė funkcija a tenkinama ši sąlyga 0 Apsvarstykite pavyzdį: išspręskite nelygybę (0,5) (7 - 3*x)< 4. Atkreipkite dėmesį, kad 4 = (0,5) 2 . Tada nelygybė įgauna formą (0,5) (7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Gauname: 7 - 3*x>-2. Iš čia: x<3. Atsakymas: x<3. Jei nelygybėje bazė būtų didesnė už vienetą, tai atsikratant pagrindo nelygybės ženklo keisti nereikėtų. Daugumos matematinių problemų sprendimas yra kažkaip susijęs su skaitmeninių, algebrinių ar funkcinių išraiškų transformavimu. Tai ypač pasakytina apie sprendimą. Matematikos USE variantuose šio tipo užduotys visų pirma apima C3 užduotį. Išmokti spręsti C3 užduotis svarbu ne tik norint sėkmingai išlaikyti egzaminą, bet ir dėl to, kad šis įgūdis pravers studijuojant matematikos kursą aukštojoje mokykloje. Atlikdami užduotis C3, turite išspręsti įvairių tipų lygtis ir nelygybes. Tarp jų yra racionalūs, neracionalūs, eksponentiniai, logaritminiai, trigonometriniai, turintys modulius (absoliučiąsias reikšmes), taip pat kombinuotus. Šiame straipsnyje aptariami pagrindiniai eksponentinių lygčių ir nelygybių tipai bei įvairūs jų sprendimo būdai. Skaitykite apie kitų tipų lygčių ir nelygybių sprendimą antraštėje "" straipsniuose, skirtuose C3 uždavinių sprendimo būdams iš USE variantų matematikoje. Prieš pradedant analizuoti konkrečius eksponentinės lygtys ir nelygybės, kaip matematikos dėstytojas, siūlau jums pasisemti šiek tiek teorinės medžiagos, kurios mums prireiks. Žiūrėti funkciją y = a x, kur a> 0 ir a≠ 1, paskambino eksponentinė funkcija. Pagrindinis eksponentinės funkcijos savybės y = a x: Eksponentinės funkcijos grafikas yra parodos dalyvis: Eksponentinių funkcijų grafikai (rodikliai) orientacinis vadinamos lygtimis, kuriose nežinomas kintamasis randamas tik bet kokių laipsnių rodikliuose. Dėl sprendimų eksponentinės lygtys turite žinoti ir mokėti naudoti šią paprastą teoremą: 1 teorema. eksponentinė lygtis a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) atitinka lygtį f(x) = g(x). Be to, naudinga atsiminti pagrindines formules ir veiksmus su laipsniais: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} 1 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: naudokite aukščiau pateiktas formules ir pakeiskite: Tada lygtis tampa tokia: Gautos kvadratinės lygties diskriminantas yra teigiamas: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Tai reiškia, kad ši lygtis turi dvi šaknis. Mes juos randame: Grįžtant prie pakeitimo, gauname: Antroji lygtis neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama visoje apibrėžimo srityje. Išspręskime antrąjį: Atsižvelgdami į tai, kas buvo pasakyta 1 teoremoje, pereiname prie lygiavertės lygties: x= 3. Tai bus užduoties atsakymas. Atsakymas: x = 3. 2 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: lygtis neturi jokių apribojimų leistinų verčių sričiai, nes radikali išraiška turi prasmę bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija y = 9 4 -x teigiamas ir nelygus nuliui). Lygtį išsprendžiame lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo taisyklėmis: Paskutinis perėjimas buvo atliktas pagal 1 teoremą. Atsakymas:x= 6.
3 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: abi pradinės lygties pusės gali būti padalytos iš 0,2 x. Šis perėjimas bus lygiavertis, nes ši išraiška yra didesnė už nulį bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama savo srityje). Tada lygtis įgauna tokią formą: Atsakymas: x = 0. 4 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: lygtį supaprastiname iki elementariosios lygiaverčiais transformacijomis, naudodamiesi straipsnio pradžioje pateiktomis galių dalybos ir daugybos taisyklėmis: Abi lygties puses padalijus iš 4 x, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, yra lygiavertė transformacija, nes ši išraiška nėra lygi nuliui jokioms reikšmėms x. Atsakymas: x = 0. 5 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: funkcija y = 3x, stovintis kairėje lygties pusėje, didėja. Funkcija y = —x-2/3, stovintis dešinėje lygties pusėje, mažėja. Tai reiškia, kad jei šių funkcijų grafikai susikerta, tai daugiausia viename taške. Šiuo atveju nesunku atspėti, kad grafikai taške susikerta x= -1. Kitų šaknų nebus. Atsakymas: x = -1. 6 pavyzdys Išspręskite lygtį: Sprendimas: lygtį supaprastiname lygiavertėmis transformacijomis, visur turėdami omenyje, kad eksponentinė funkcija yra griežtai didesnė už nulį bet kuriai reikšmei x ir naudojantis straipsnio pradžioje pateiktomis sandaugos ir dalinių galių apskaičiavimo taisyklėmis: Atsakymas: x = 2. orientacinis vadinamos nelygybėmis, kuriose nežinomas kintamasis yra tik kai kurių laipsnių eksponentuose. Dėl sprendimų eksponentinės nelygybės būtina žinoti šią teoremą: 2 teorema. Jeigu a> 1, tada nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis tos pačios reikšmės nelygybei: f(x) > g(x). Jei 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) yra lygiavertis priešingos reikšmės nelygybei: f(x) < g(x). 7 pavyzdys Išspręskite nelygybę: Sprendimas: pavaizduokite pradinę nelygybę formoje: Abi šios nelygybės puses padalinkite iš 3 2 x, ir (dėl funkcijos teigiamo y= 3 2x) nelygybės ženklas nepasikeis: Naudokime pakaitalą: Tada nelygybė įgauna tokią formą: Taigi, nelygybės sprendimas yra intervalas: pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, gauname: Kairioji nelygybė dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo išsipildo automatiškai. Naudodami gerai žinomą logaritmo savybę pereiname prie ekvivalentinės nelygybės: Kadangi laipsnio pagrindas yra skaičius, didesnis už vieną, ekvivalentas (pagal 2 teoremą) bus perėjimas prie šios nelygybės: Taigi pagaliau gauname atsakymas: 8 pavyzdys Išspręskite nelygybę: Sprendimas: naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo savybėmis, nelygybę perrašome į formą: Pristatykime naują kintamąjį: Šiuo pakeitimu nelygybė įgauna tokią formą: Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gausime tokią ekvivalentinę nelygybę: Taigi, nelygybę tenkina šios kintamojo reikšmės t: Tada, grįždami prie pakeitimo, gauname: Kadangi laipsnio bazė čia yra didesnė už vienetą, tai ekvivalentiška (pagal 2 teoremą) pereiti į nelygybę: Pagaliau gauname atsakymas: 9 pavyzdys Išspręskite nelygybę: Sprendimas: Abi nelygybės puses padalijame iš išraiškos: Jis visada didesnis už nulį (nes eksponentinė funkcija yra teigiama), todėl nelygybės ženklo keisti nereikia. Mes gauname: t , kurie yra intervale: Pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, matome, kad pradinė nelygybė skyla į du atvejus: Pirmoji nelygybė neturi sprendinių dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo. Išspręskime antrąjį: 10 pavyzdys Išspręskite nelygybę: Sprendimas: Parabolės šakos y = 2x+2-x 2 yra nukreipti žemyn, todėl iš viršaus ribojama vertės, kurią pasiekia savo viršūnėje: Parabolės šakos y = x 2 -2x Rodiklyje esantys +2 yra nukreipti į viršų, o tai reiškia, kad iš apačios jį riboja vertė, kurią jis pasiekia viršuje: Tuo pačiu metu pasirodo, kad funkcija yra apribota iš apačios y = 3 x 2 -2x+2 dešinėje lygties pusėje. Ji pasiekia mažiausią reikšmę tame pačiame taške kaip ir parabolė indekse, ir ši reikšmė lygi 3 1 = 3. Taigi pradinė nelygybė gali būti teisinga tik tuo atveju, jei funkcija kairėje ir funkcija dešinėje atitinka reikšmė , lygi 3 (šių funkcijų diapazonų sankirta yra tik šis skaičius). Ši sąlyga tenkinama vienu tašku x = 1. Atsakymas: x= 1. Norėdami išmokti išspręsti eksponentinės lygtys ir nelygybės, jums reikia nuolat mokytis jų sprendimo. Įvairios mokymo priemonės, pradinės matematikos uždavininės knygos, konkursinių uždavinių rinkiniai, matematikos pamokos mokykloje, taip pat individualios pamokos su profesionaliu dėstytoju gali padėti atlikti šią nelengvą užduotį. Nuoširdžiai linkiu sėkmės ruošiantis egzaminui ir puikių rezultatų. P.S. Mieli svečiai! Prašome komentaruose nerašyti prašymų išspręsti savo lygtis. Deja, aš tam visai neturiu laiko. Tokie pranešimai bus ištrinti. Prašome perskaityti straipsnį. Galbūt jame rasite atsakymus į klausimus, kurie neleido jums savarankiškai išspręsti užduoties. Papildomos medžiagos Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 11 klasei Apibrėžimas. Formos lygtys: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kur $a>0$, $a≠1$ vadinamos eksponentinėmis lygtimis. Prisimindami teoremas, kurias studijavome temoje „Eksponentinė funkcija“, galime pristatyti naują teoremą: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Pradinė lygtis atitinka lygtį: $x^2-6x=-3x+18$. Pavyzdys. Pavyzdys. Parašykime eksponentinių lygčių sprendimo būdus: Pavyzdys. Teorema. Jei $a>1 $, tada eksponentinė nelygybė$a^(f(x))>a^(g(x))$ atitinka $f(x)>g(x)$. Pavyzdys. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Mūsų lygtyje bazė su laipsniu mažesnė nei 1, tada pakeičiant nelygybę lygiaverte, reikia pakeisti ženklą. C) Mūsų nelygybė yra lygiavertė nelygybei:
Tada aišku, kad Su bus lygties a x = a c sprendimas.
Šią lygtį išsprendžiame bet kuriuo iš žinomų metodų. Gauname šaknis t1 = 1 t2 = 4Eksponentinių nelygybių sprendimas
Eksponentinė funkcija
Kas yra eksponentinė funkcija?
Eksponentinės funkcijos grafikas
Eksponentinių lygčių sprendimas
Eksponentinių nelygybių sprendimas
Sergejus ValerjevičiusPamoka ir pranešimas tema: „Eksponentinės lygtys ir eksponentinės nelygybės“
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.
Interaktyvus vadovas 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10-11 klasėms „Logaritmai“Eksponentinių lygčių apibrėžimas
Vaikinai, mes studijavome eksponentines funkcijas, mokėmės jų savybių ir kūrėme grafikus, analizavome lygčių, kuriose buvo susiduriama su eksponeninėmis funkcijomis, pavyzdžius. Šiandien mes tyrinėsime eksponenlines lygtis ir nelygybes.
Teorema. eksponentinė lygtis$a^(f(x))=a^(g(x))$, kur $a>0$, $a≠1$ atitinka lygtį $f(x)=g(x)$.Eksponentinių lygčių pavyzdžiai
Pavyzdys.
Išspręskite lygtis:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Sprendimas.
a) Gerai žinome, kad $27=3^3$.
Perrašykime savo lygtį: $3^(3x-3)=3^3$.
Naudodami aukščiau pateiktą teoremą, gauname, kad mūsų lygtis redukuojama į lygtį $3x-3=3$, išsprendę šią lygtį, gauname $x=2$.
Atsakymas: $x=2$.
Tada mūsų lygtis gali būti perrašyta: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 x + 0,2 = 0,2 USD.
$x = 0 $.
Atsakymas: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ir $x_2=-3$.
Atsakymas: $x_1=6$ ir $x_2=-3$.
Išspręskite lygtį: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Sprendimas:
Mes paeiliui atliksime veiksmų seriją ir sujungsime abi lygties dalis į tuos pačius pagrindus.
Kairėje pusėje atlikime keletą operacijų:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pereikime į dešinę pusę:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Pradinė lygtis yra lygiavertė lygčiai:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x = 0 $.
Atsakymas: $x=0$.
Išspręskite lygtį: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Sprendimas:
Perrašykime savo lygtį: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Pakeiskime kintamuosius, tegul $a=3^x$.
Naujuose kintamoji lygtisįgauna formą: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ir $a_2=3$.
Atlikime atvirkštinį kintamųjų keitimą: $3^x=-12$ ir $3^x=3$.
Paskutinėje pamokoje mes to išmokome eksponentinės išraiškos gali priimti tik teigiamas reikšmes, atsiminkite grafiką. Tai reiškia, kad pirmoji lygtis neturi sprendinių, antroji lygtis turi vieną sprendinį: $x=1$.
Atsakymas: $x=1$.
1. Grafinis metodas. Abi lygties dalis pavaizduojame kaip funkcijas ir sudarome jų grafikus, randame grafikų susikirtimo taškus. (Šį metodą naudojome paskutinėje pamokoje).
2. Rodiklių lygybės principas. Principas grindžiamas tuo, kad dvi išraiškos su vienodomis bazėmis yra lygios tada ir tik tada, kai šių bazių laipsniai (rodikliai) yra lygūs. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Kintamųjų metodo keitimas.Šis metodas turėtų būti naudojamas, jei lygtis, keičiant kintamuosius, supaprastina savo formą ir yra daug lengviau išsprendžiama.
Išspręskite lygčių sistemą: $\begin (atvejai) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(atvejai)$.
Sprendimas.
Apsvarstykite abi sistemos lygtis atskirai:
27 USD^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Apsvarstykite antrąją lygtį:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Naudokime kintamųjų keitimo metodą, tegul $y=2^(x+y)$.
Tada lygtis bus tokia:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ir $y_2=-3$.
Pereikime prie pradinių kintamųjų, iš pirmosios lygties gauname $x+y=2$. Antroji lygtis neturi sprendinių. Tada mūsų pradinė lygčių sistema yra lygiavertė sistemai: $\begin (atvejai) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(atvejai)$.
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją lygtį, gausime: $\begin (atvejai) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(atvejai)$.
$\begin (atvejai) y=-1, \\ x=3. \end(atvejai)$.
Atsakymas: $(3;-1)$.eksponentinės nelygybės
Pereikime prie nelygybės. Sprendžiant nelygybes, būtina atkreipti dėmesį į laipsnio bazę. Sprendžiant nelygybes, galimi du įvykių raidos scenarijai.
Jei 0 USD
Išspręskite nelygybes:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Sprendimas.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Mūsų nelygybė yra lygiavertė nelygybei:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.
$2x-4>2$.
$x>3 $.
x^2+6x≥4x+15$.
x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0 $.
Naudokime intervalo sprendimo metodą:
Atsakymas: $(-∞;-5]U)