Министерството на общите и професионално образование RF

Общинско учебно заведение

Гимназия No12

състав

на тема: Уравнения и методи за решаването им

Изпълнил: ученик от 10 "А" клас

Крутко Евгений

Проверява: учителят по математика Исхакова Гулсум Акрамовна

Тюмен 2001 г

План................................................. ................................................. ...... ................................ 1

Въведение................................................. ......................................................... ............. ........................ 2

Основна част................................................ ... ................................................ ......... ............... 3

Заключение..................................................... ................................................. ...... 25

Приложение.................................................. ................................................. ...... 26

Списък на използваната литература ............................................. .......... 29

Планирайте.

Въведение.

Историческа информация.

Уравнения. Алгебрични уравнения.

а) Основни определения.

б) Линейно уравнение и метод за решаването му.

в) Квадратни уравнения и методи за решаването им.

г) Биномни уравнения и как да ги решаваме.

д) Кубични уравнения и методи за решаването им.

д) Bi квадратно уравнениеи начин за решаването му.

ж) Уравнения от четвърта степен и методи за решаването им.

ж) Уравнения от високи степени и методи за решаването им.

з) Рационално алгебрично уравнение и неговия метод

и) Ирационални уравнения и методи за решаването им.

к) Уравнения, съдържащи неизвестно под знак.

абсолютна стойност и метод за нейното решаване.

Трансцендентни уравнения.

а) Експоненциални уравненияи начин за разрешаването им.

б) Логаритмични уравненияи начин за разрешаването им.

Въведение

Математическо образование, получено през средно училище, е най-важният компонент общо образованиеи обща култура модерен човек. Почти всичко, което заобикаля съвременния човек, по някакъв начин е свързано с математиката. А последните постижения във физиката, инженерството и информационните технологии не оставят никакво съмнение, че в бъдеще състоянието на нещата ще остане същото. Следователно решаването на много практически проблеми се свежда до решаване различни видовеуравнения, които трябва да се научите да решавате.

Настоящата работа е опит да се обобщи и систематизира изученият материал по горната тема. Подредих материала по трудност, като започнах с най-простия. Той включва както видовете уравнения, познати ни от училищния курс по алгебра, така и допълнителен материал. В същото време се опитах да покажа видовете уравнения, които не се изучават в училищния курс, но чието знание може да е необходимо при влизане във висшето училище учебно заведение. В моята работа, когато решавах уравнения, не се ограничавах само до реалното решение, но посочих и сложното решение, тъй като смятам, че в противен случай уравнението е просто нерешено. В крайна сметка, ако едно уравнение няма реални корени, това не означава, че то няма решения. За съжаление, поради липса на време, не успях да представя целия материал, с който разполагам, но дори и с представения тук материал могат да възникнат много въпроси. Надявам се, че знанията ми са достатъчни, за да отговоря на повечето въпроси. И така, започвам да представям материала.

Математиката... разкрива реда,

симетрия и сигурност,

и това са най-важните видове красота.

Аристотел.

Исторически фон

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно не е имало монети или портфейли. Но имаше купища, както и саксии и кошници, които бяха идеални за ролята на тайници за съхранение, които можеха да поберат неизвестен брой предмети. „Търсим купчина, която заедно с две трети, половината и една седма от нея прави 37...”, учено през 2-ро хилядолетие пр.н.е. нова ераЕгипетски писар Ахмес. В древните математически задачиМесопотамия, Индия, Китай, Гърция, неизвестни количества изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото, съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на имуществото. Писари, служители и посветени, добре обучени в науката за сметките тайно знаниеСвещениците се справиха с подобни задачи доста успешно.

Достигналите до нас източници показват, че древните учени са притежавали някои общи техникирешаване на задачи с неизвестни величини. Въпреки това нито един папирус или глинена плочка не съдържа описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяваха числените си изчисления с оскъдни коментари като: „Вижте!“, „Направете това!“, „Намерихте правилния“. В този смисъл изключение прави „Аритметиката” на гръцкия математик Диофант от Александрия (III в.) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Но първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно, беше дело на багдадския учен от 9 век. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "ал-джабр" от арабското име на този трактат - "Китаб ал-джабер уол-мукабала" ("Книга на възстановяването и противопоставянето") - с течение на времето се превърна в добре познатата дума "алгебра" и работата на ал-Хорезми самата послужи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

уравнения Алгебрични уравнения

Основни определения

В алгебрата се разглеждат два вида равенства – тъждества и уравнения.

Идентичносте равенство, което е в сила за всички (допустими) стойности на включените в него букви). За записване на самоличност заедно със знак

използва се и знакът.

Уравнениее равенство, което е валидно само за определени стойности на включените в него букви. Буквите, включени в уравнението, според условията на проблема могат да бъдат неравни: някои могат да приемат всичките си допустими стойности (те се наричат параметриили коефициентиуравнения и обикновено се означават с първите букви от латинската азбука:

, , ... - или същите букви с индекси: , , ... или , , ...); други, чиито стойности трябва да бъдат намерени, се наричат неизвестен(обикновено се обозначават с последните букви от латинската азбука: , , , ... - или същите букви с индекси: , , ... или , , ...).

Най-общо уравнението може да се напише по следния начин:

(, , ..., ).

В зависимост от броя на неизвестните уравнението се нарича уравнение с едно, две и т.н. неизвестни.

Уравнението, представляващо квадратен тричлен, обикновено се нарича квадратно уравнение. От алгебрична гледна точка се описва с формулата a*x^2+b*x+c=0. В тази формула x е неизвестното, което трябва да се намери (нарича се свободна променлива); a, b и c са числени коефициенти. Има редица ограничения по отношение на посочените компоненти: например коефициентът a не трябва да бъде равен на 0.

Решаване на уравнение: понятието дискриминант

Стойността на неизвестното x, при което квадратното уравнение се превръща в истинско равенство, се нарича корен на такова уравнение. За да решите квадратно уравнение, първо трябва да намерите стойността на специален коефициент - дискриминанта, който ще покаже броя на корените на въпросното равенство. Дискриминантът се изчислява по формулата D=b^2-4ac. В този случай резултатът от изчислението може да бъде положителен, отрицателен или равен на нула.

Трябва да се има предвид, че концепцията изисква само коефициентът a да бъде строго различен от 0. Следователно коефициентът b може да бъде равен на 0, а самото уравнение в този случай е във формата a*x^2+c =0. В такава ситуация във формулите за изчисляване на дискриминанта и корените трябва да се използва стойност на коефициент 0. Така че дискриминантът в този случай ще бъде изчислен като D=-4ac.

Решаване на уравнението с положителен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратното уравнение се окаже положителен, можем да заключим от това, че дадено равенствоима два корена. Тези корени могат да бъдат изчислени по следната формула: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. По този начин, за да се изчисли стойността на корените на квадратното уравнение при положителна стойностсе използват дискриминанти известни стойностиналични коефициенти в . Използвайки сумата и разликата във формулата за изчисляване на корените, резултатът от изчисленията ще бъдат две стойности, които правят въпросното равенство вярно.

Решаване на уравнение с нула и отрицателен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратно уравнение е равен на 0, можем да заключим, че посоченото уравнение има един корен. Строго погледнато, в тази ситуация уравнението все още има два корена, но поради нулевия дискриминант те ще бъдат равни един на друг. В този случай x=-b/2a. Ако по време на процеса на изчисление стойността на дискриминанта се окаже отрицателна, трябва да се заключи, че въпросното квадратно уравнение няма корени, тоест такива стойности на x, при които то се превръща в истинско равенство .

Математическите уравнения са не само полезни – те могат да бъдат и красиви. И много учени признават, че често обичат определени формулине само за тяхната функционалност, но и за тяхната форма, определена специална поезия. Има онези уравнения, които са известни по целия свят, като E = mc^2. Други не са толкова разпространени, но красотата на уравнението не зависи от неговата популярност.

Обща теория на относителността

Уравнението, описано по-горе, е формулирано от Алберт Айнщайн през 1915 г. като част от неговата новаторска обща теория на относителността. Теорията всъщност революционизира света на науката. Удивително е как едно уравнение може да опише абсолютно всичко, което е наоколо, включително пространството и времето. Целият истински гений на Айнщайн е въплътен в него. Това е много елегантно уравнение, което накратко описва как всичко около вас е свързано - например как присъствието на Слънцето в галактиката огъва пространството и времето, така че Земята да се върти около него.

Стандартен модел

Стандартният модел е друга от най-важните теории на физиката; той описва всички елементарни частици, които изграждат Вселената. Има различни уравнения, които могат да опишат тази теория, но най-често използваното уравнение е на Лагранж, френски математик и астроном от 18 век. Той описа успешно абсолютно всички частици и силите, които действат върху тях, с изключение на гравитацията. Това включва и наскоро открития Хигс бозон. Той е напълно съвместим с квантова механикаи общата теория на относителността.

Математически анализ

Докато първите две уравнения описват специфични аспекти на Вселената, това уравнение може да се използва във всички възможни ситуации. Фундаменталната теорема на смятането формира основата на математическия метод, известен като смятане, и свързва двете му основни идеи - концепцията за интеграла и концепцията за производната. Математическият анализ възниква в древността, но всички теории са събрани от Исак Нютон през 17 век - той ги използва, за да изчисли и опише движението на планетите около Слънцето.

Питагорова теорема

Доброто старо уравнение, известно на всички, изразява известната теорема на Питагор, която всички ученици учат в уроците по геометрия. Тази формула описва, че във всеки правоъгълен триъгълникквадрат на дължината на хипотенузата, най-дългата от всички страни (c), равно на суматаквадрати на другите две страни, крака (a и b). В резултат на това уравнението изглежда така: a^2 + b^2 = c^2. Тази теорема изненадва много начинаещи математици и физици, когато току-що учат в училище и все още не знаят какво ги очаква от новия свят.

1 = 0.999999999….

Това просто уравнение показва, че числото 0,999 с безкраен брой деветки след десетичната запетая всъщност е равно на едно. Това уравнение е забележително, защото е изключително просто, невероятно визуално, но въпреки това успява да изненада и удиви мнозина. Някои хора не могат да повярват, че това наистина е вярно. Освен това самото уравнение е красиво – лявата му страна представлява най-простата основа на математиката, а дясната страна крие тайните и мистериите на безкрайността.

Специална теория на относителността

Алберт Айнщайн отново влиза в списъка, този път със своята специална теория на относителността, която описва как времето и пространството не са абсолютни понятия, а относителни към скоростта на наблюдателя. Това уравнение показва как времето се "разширява", забавяйки се все повече и повече с течение на времето. по-бърз човексе движи. Всъщност уравнението не е толкова сложно, прости производни, линейна алгебра. Това, което обаче олицетворява, е абсолютно нов начинпогледнете света.

Уравнение на Ойлер

Тази проста формула включва основни познания за природата на сферите. Казва, че ако изрежете сфера и получите лица, ръбове и върхове, тогава ако вземете F като брой лица, E като брой ръбове и V като брой върхове, тогава винаги ще получавате едно и също нещо : V - E + F = 2. Точно така изглежда това уравнение. Удивителното е, че каквато и сферична форма да вземете - било то тетраедър, пирамида или друга комбинация от лица, ръбове и върхове, винаги ще получите същия резултат. Тази комбинаторика казва на хората нещо фундаментално за сферичните форми.

Уравнение на Ойлер-Лагранж и теорема на Ньотер

Тези концепции са доста абстрактни, но много силни. Най-интересното е, че този нов начин на мислене за физиката успя да преживее няколко революции в тази наука, като откритието квантова механика, теория на относителността и др. Тук L означава уравнението на Лагранж, което е мярка за енергия във физическа система. И решаването на това уравнение ще ви покаже как определена система ще се развие с течение на времето. Разновидност на уравнението на Лагранж е теоремата на Ньотер, която е фундаментална за физиката и ролята на симетрията. Същността на теоремата е, че ако вашата система е симетрична, тогава се прилага съответният закон за запазване. В интерес на истината, основна идеяТази теорема е, че законите на физиката важат навсякъде.

Уравнение на ренормализираща група

Това уравнение се нарича още уравнение на Калан-Симанчик на името на създателите му. Това е жизненоважно основно уравнение, написано през 1970 г. Той служи, за да демонстрира как наивните очаквания се разбиват в квантовия свят. Уравнението също има много приложения за оценка на масата и размера на протона и неутрона, които изграждат ядрото на атома.

Уравнение на минималната повърхност

Това уравнениеневероятно изчислява и кодира онези красиви сапунени филми, които се образуват върху телта, когато се потопи в сапунена вода. Това уравнение обаче е много различно от обикновеното линейни уравненияот същата област, например, уравненията на топлината, образуването на вълни и т.н. Това уравнение е нелинейно; включва влиянието на външни сили и производни продукти.

Линията на Ойлер

Вземете произволен триъгълник, начертайте най-малкия кръг, който може да включва триъгълника, и намерете неговия център. Намерете центъра на масата на триъгълника - точката, която би позволила на триъгълника да се балансира, например върху върха на молив, ако можеше да бъде изрязан от хартия. Начертайте три височини на този триъгълник (линии, които биха били перпендикулярни на страните на триъгълника, от който са начертани) и намерете тяхната пресечна точка. Същността на теоремата е, че и трите точки ще бъдат на една и съща права линия, която е точно правата на Ойлер. Теоремата съдържа цялата красота и сила на математиката, разкривайки удивителни закономерности в най-простите неща.

Линейни уравнения. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)

Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:

брадва + b = 0 Къде а и б– всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:

Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,А b=5,Това се оказва нещо напълно абсурдно:

Което е досадно и подкопава доверието в математиката, да...) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази трябва да намерите и X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение по външния му вид? Зависи какво външен вид.) Номерът е, че не само уравненията от формата се наричат ​​линейни уравнения брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , това е важно! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. не деление на х. И ето уравнението

не може да се нарече линеен. Тук Х-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме прави щастлив.)

Решаване на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.

Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, и - 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравненията.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Ето подобни, считаме:

Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Да се ​​отървете от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? добре Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.

Например, ето уравнението:

Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Това е възможно. Малки стъпки по дълъг път. Или можете да го направите веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.

Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?

95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. С какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Обърнете внимание! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:

Разгънете останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега нека си спомним едно заклинание от началното училище: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои подобни:

И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е. отговор: X=0,16

Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод наляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо продължавам да повтарям досадно за тези идентични трансформации.)

Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме, като използваме идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви вкарат в силен ступор...) За щастие, може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първа изненада.

Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени го местим с X наляво, без X - надясно... Със смяна на знака всичко е перфектно... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Броим, и... опа!!! Получаваме:

Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?Иначе решението не се брои, нали...) Deadlock?

Спокойно! В такива съмнителни случаи ще ви спасят най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но имаме истинско равенство вечепроработи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?хайде?)

Да!!! X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.

Ето вашия отговор: x - произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Втора изненада.

Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

като това Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. От гледна точка на математиката, имаме фалшиво равенство.И говорене на прост език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решениеуравнения.)

Отново мислим въз основа на общи правила. Какво х ще ни дадат, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.

като това Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)

Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

И т.н., логично е да се запознаете с уравнения от други видове. Следващите по ред са линейни уравнения, чието целенасочено изучаване започва в часовете по алгебра в 7. клас.

Ясно е, че първо трябва да обясните какво е линейно уравнение, да дадете дефиниция на линейно уравнение, неговите коефициенти, да го покажете общ изглед. След това можете да разберете колко решения има едно линейно уравнение в зависимост от стойностите на коефициентите и как се намират корените. Това ще ви позволи да преминете към решаване на примери и по този начин да консолидирате научената теория. В тази статия ще направим това: ще се спрем подробно на всички теоретични и практически точки, свързани с линейните уравнения и техните решения.

Да кажем веднага, че тук ще разгледаме само линейни уравнения с една променлива, а в отделна статия ще проучим принципите на решение линейни уравнения с две променливи.

Навигация в страницата.

Какво е линейно уравнение?

Дефиницията на линейно уравнение се дава от начина, по който е написана. Освен това в различни учебници по математика и алгебра формулировките на дефинициите на линейните уравнения имат някои разлики, които не засягат същността на въпроса.

Например в учебника по алгебра за 7 клас на Ю. Н. Макаричев и др. линейното уравнение е дефинирано по следния начин:

Определение.

Уравнение на формата a x=b, където x е променлива, a и b са някои числа, се извиква линейно уравнение с една променлива.

Нека дадем примери за линейни уравнения, които отговарят на дадената дефиниция. Например 5 x = 10 е линейно уравнение с една променлива x, тук коефициентът a е 5, а числото b е 10. Друг пример: −2,3·y=0 също е линейно уравнение, но с променлива y, в която a=−2,3 и b=0. А в линейните уравнения x=−2 и −x=3.33 a не присъстват явно и са равни съответно на 1 и −1, докато в първото уравнение b=−2, а във второто - b=3.33.

А година по-рано, в учебника по математика на Н. Я. Виленкин, линейните уравнения с едно неизвестно, в допълнение към уравненията под формата a x = b, също разглеждат уравнения, които могат да бъдат доведени до тази форма чрез прехвърляне на членове от една част. на уравнението към друго с противоположен знак, както и чрез редуциране на подобни членове. Според тази дефиниция уравнения от вида 5 x = 2 x + 6 и т.н. също линеен.

От своя страна в учебника по алгебра за 7 клас от А. Г. Мордкович е дадено следното определение:

Определение.

Линейно уравнение с една променлива xе уравнение във формата a·x+b=0, където a и b са някои числа, наречени коефициенти на линейното уравнение.

Например линейни уравнения от този тип са 2 x−12=0, тук коефициентът a е 2, а b е равен на −12, и 0,2 y+4,6=0 с коефициенти a=0,2 и b =4,6. Но в същото време има примери за линейни уравнения, които имат формата не a·x+b=0, а a·x=b, например 3·x=12.

Нека, за да нямаме несъответствия в бъдеще, под линейно уравнение с една променлива x и коефициенти a и b ще разбираме уравнение от вида a x + b = 0. Този тип линейно уравнение изглежда най-оправдано, тъй като линейните уравнения са алгебрични уравненияпърва степен. И всички останали уравнения, посочени по-горе, както и уравнения, които чрез еквивалентни трансформации се редуцират до формата a x + b = 0, ще наречем уравнения, които се свеждат до линейни уравнения. С този подход уравнението 2 x+6=0 е линейно уравнение и 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 и т.н. - Това са уравнения, които се свеждат до линейни.

Как се решават линейни уравнения?

Сега е време да разберем как се решават линейните уравнения a·x+b=0. С други думи, време е да разберете дали едно линейно уравнение има корени и ако има, колко от тях и как да ги намерите.

Наличието на корени на линейно уравнение зависи от стойностите на коефициентите a и b. В този случай линейното уравнение a x+b=0 има

• единственият корен за a≠0,
• няма корени за a=0 и b≠0,
• има безкрайно много корени за a=0 и b=0, в който случай всяко число е корен на линейно уравнение.

Нека обясним как са получени тези резултати.

Знаем, че за решаване на уравнения можем да преминем от оригиналното уравнение към еквивалентни уравнения, тоест към уравнения с еднакви корени или, като оригиналното, без корени. За да направите това, можете да използвате следните еквивалентни трансформации:

• прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак,
• както и умножаване или деление на двете страни на уравнение с едно и също ненулево число.

И така, в линейно уравнение с една променлива от формата a·x+b=0, можем да преместим члена b от лявата страна в дясната страна с противоположния знак. В този случай уравнението ще приеме формата a·x=−b.

И тогава възниква въпросът за разделянето на двете страни на уравнението на числото а. Но има едно нещо: числото a може да бъде равно на нула, в който случай такова деление е невъзможно. За да се справим с този проблем, първо ще приемем, че числото a е различно от нула и малко по-късно ще разгледаме отделно случая, когато a е равно на нула.

Така че, когато a не е равно на нула, тогава можем да разделим двете страни на уравнението a·x=−b на a, след което то ще се трансформира във формата x=(−b):a, този резултат може да бъде написан с помощта на дробната наклонена черта като.

Така за a≠0 линейното уравнение a·x+b=0 е еквивалентно на уравнението, от което се вижда коренът му.

Лесно е да се покаже, че този корен е единствен, т.е. линейното уравнение няма други корени. Това ви позволява да направите обратния метод.

Нека обозначим корена като x 1. Да приемем, че има друг корен на линейното уравнение, който означаваме като x 2 и x 2 ≠x 1, който поради определяне на равни числа чрез разликае еквивалентно на условието x 1 −x 2 ≠0. Тъй като x 1 и x 2 са корени на линейното уравнение a·x+b=0, то числените равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 са в сила. Можем да извадим съответните части от тези равенства, което свойствата на числовите равенства ни позволяват да направим, имаме a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, от което a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 и след това a·(x 1 −x 2)=0 . Но това равенство е невъзможно, тъй като както a≠0, така и x 1 − x 2 ≠0. Така стигнахме до противоречие, което доказва уникалността на корена на линейното уравнение a·x+b=0 за a≠0.

Така че решихме линейното уравнение a·x+b=0 за a≠0. Първият резултат, даден в началото на този параграф, е обоснован. Остават още две, които отговарят на условието a=0.

Когато a=0, линейното уравнение a·x+b=0 приема формата 0·x+b=0. От това уравнение и свойството за умножаване на числата по нула следва, че без значение какво число приемаме за x, когато то се замести в уравнението 0 x + b=0, ще се получи численото равенство b=0. Това равенство е вярно, когато b=0, а в други случаи, когато b≠0 това равенство е невярно.

Следователно, с a=0 и b=0, всяко число е корен на линейното уравнение a·x+b=0, тъй като при тези условия заместването на произволно число с x дава правилното числено равенство 0=0. И когато a=0 и b≠0, линейното уравнение a·x+b=0 няма корени, тъй като при тези условия заместването на което и да е число с x води до неправилно числено равенство b=0.

Дадените обосновки ни позволяват да формулираме последователност от действия, която ни позволява да решим всяко линейно уравнение. така че алгоритъм за решаване на линейно уравнениее:

• Първо, като напишем линейното уравнение, намираме стойностите на коефициентите a и b.
• Ако a=0 и b=0, тогава това уравнение има безкрайно много корени, а именно всяко число е корен на това линейно уравнение.
• Ако a е различно от нула, тогава
• коефициентът b се прехвърля от дясната страна с обратен знак и линейното уравнение се трансформира във формата a·x=−b,
• след което двете страни на полученото уравнение се разделят на ненулево число a, което дава желания корен на оригиналното линейно уравнение.

Написаният алгоритъм е изчерпателен отговор на въпроса как се решават линейни уравнения.

В заключение на тази точка си струва да се каже, че подобен алгоритъм се използва за решаване на уравнения от вида a·x=b. Разликата му е, че когато a≠0, двете страни на уравнението се делят веднага на това число; тук b вече е в необходимата част на уравнението и няма нужда да го прехвърляте.

За решаване на уравнения от вида a x = b се използва следният алгоритъм:

• Ако a=0 и b=0, тогава уравнението има безкрайно много корени, които са произволни числа.
• Ако a=0 и b≠0, тогава оригиналното уравнение няма корени.
• Ако a е различно от нула, тогава двете страни на уравнението се делят на различно от нула число a, от което се намира единственият корен на уравнението, равен на b/a.

Примери за решаване на линейни уравнения

Да преминем към практиката. Нека да разгледаме как се използва алгоритъмът за решаване на линейни уравнения. Нека дадем решения на типични примери, съответстващи на различни значениякоефициенти на линейни уравнения.

Пример.

Решете линейното уравнение 0·x−0=0.

Решение.

В това линейно уравнение a=0 и b=−0 , което е същото като b=0 . Следователно това уравнение има безкрайно много корени; всяко число е корен на това уравнение.

отговор:

x – произволно число.

Пример.

Линейното уравнение 0 x + 2,7 = 0 има ли решения?

Решение.

В този случай коефициентът a е равен на нула, а коефициентът b на това линейно уравнение е равен на 2,7, т.е. различен от нула. Следователно линейното уравнение няма корени.