Входно ниво

Преобразуване на изрази. Подробна теория (2019)

Преобразуване на изрази

Често чуваме тази неприятна фраза: „опростете израза“. Обикновено виждаме някакъв вид чудовище като това:

„Много по-просто е“, казваме ние, но такъв отговор обикновено не работи.

Сега ще ви науча да не се страхувате от подобни задачи. Освен това в края на урока вие сами ще опростите този пример до (само!) обикновено число (да, по дяволите с тези букви).

Но преди да започнете този урок, трябва да можете да боравите с дроби и множители на полиноми. Ето защо, първо, ако не сте правили това преди, не забравяйте да овладеете темите "" и "".

чел ли си го Ако да, значи вече сте готови.

Основни операции за опростяване

Сега нека да разгледаме основните техники, които се използват за опростяване на изрази.

Най-простият е

1. Привеждане на подобни

Кои са подобни? Взехте това в 7 клас, когато за първи път в математиката се появиха букви вместо цифри. Подобни са термини (мономи) с еднаква буквена част. Например в сумата подобни членове са и.

помниш ли

Да донесете подобни означава да добавите няколко подобни термина един към друг и да получите един термин.

Как можем да сглобим буквите? - питате вие.

Това е много лесно за разбиране, ако си представите, че буквите са някакви предмети. Например, писмото е стол. Тогава на какво е равен изразът? Два стола плюс три стола, колко ще бъдат? Точно така, столове: .

Сега опитайте този израз: .

За да избегнете объркване, нека различни буквипредставляват различни обекти. Например, - е (както обикновено) стол и - е маса. След това:

столове маси столове маси столове столове маси

Наричат ​​се числата, с които се умножават буквите в такива термини коефициенти. Например в монома коефициентът е равен. И в него е равен.

И така, правилото за довеждане на подобни е:

Примери:

Дайте подобни:

Отговори:

2. (и подобни, тъй като следователно тези термини имат една и съща буквена част).

2. Разлагане на множители

Обикновено това е най важна частпри опростяване на изрази. След като сте дали подобни, най-често полученият израз трябва да бъде факторизиран, тоест представен като продукт. Това е особено важно при дробите: за да можете да намалите дроб, числителят и знаменателят трябва да бъдат представени като произведение.

Прегледахте подробно методите за разлагане на изрази на множители в темата „”, така че тук просто трябва да запомните какво сте научили. За да направите това, решете няколко примери(трябва да се факторизира):

Решения:

3. Съкращаване на дроб.

Е, какво по-приятно от това да зачеркнеш част от числителя и знаменателя и да ги изхвърлиш от живота си?

Това е красотата на намаляването.

Това е просто:

Ако числителят и знаменателят съдържат едни и същи множители, те могат да бъдат намалени, тоест премахнати от дробта.

Това правило следва от основното свойство на дробта:

Тоест, същността на операцията по редукция е тази Разделяме числителя и знаменателя на дробта на едно и също число (или на един и същи израз).

За да намалите дроб, трябва:

1) числител и знаменател факторизирам

2) ако числителят и знаменателят съдържат общи фактори, те могат да бъдат зачеркнати.

Принципът, мисля, е ясен?

Искам да ви обърна внимание на едно нещо типична грешкапри договаряне. Въпреки че тази тема е проста, много хора правят всичко погрешно, без да разбират това намалявам- това означава разделямчислителят и знаменателят са едно и също число.

Без съкращения, ако числителят или знаменателят е сума.

Например: трябва да опростим.

Някои хора правят това: което е абсолютно погрешно.

Друг пример: намали.

„Най-умните“ ще направят това: .

Кажи ми какво не е наред тук? Изглежда: - това е множител, което означава, че може да бъде намален.

Но не: - това е множител само на един член в числителя, но самият числител като цяло не е факторизиран.

Ето още един пример: .

Този израз е факторизиран, което означава, че можете да го намалите, тоест да разделите числителя и знаменателя на и след това на:

Можете веднага да го разделите на:

За да избегнете подобни грешки, запомнете лесен начинкак да определите дали даден израз е факторизиран:

Аритметичната операция, която се изпълнява последна при изчисляване на стойността на израз, е „главната“ операция. Тоест, ако замените някои (произволни) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът е факторизиран). Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е факторизиран (и следователно не може да бъде намален).

За да консолидирате, решете няколко сами примери:

Отговори:

1. Надявам се, че не се втурнахте веднага да отрежете и? Все още не беше достатъчно да се „намалят“ единици по този начин:

Първата стъпка трябва да бъде факторизиране:

4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби към общ знаменател.

Събирането и изваждането на обикновени дроби е позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите. Да си припомним:

Отговори:

1. Знаменателите и са относително прости, т.е. нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на техния продукт. Това ще бъде общият знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Тук, на първо място, преобразуваме смесените дроби в неправилни, а след това според обичайната схема:

Съвсем друг е въпросът, ако дробите съдържат букви, например:

Да започнем с нещо просто:

а) Знаменателите не съдържат букви

Тук всичко е както при обикновените числови дроби: намираме общия знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите:

Сега в числителя можете да дадете подобни, ако има такива, и да ги разложите:

Опитайте сами:

б) Знаменателите съдържат букви

Нека си припомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:

· на първо място определяме общите фактори;

· след това изписваме всички общи множители един по един;

· и ги умножете по всички други необичайни множители.

За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разделяме на прости множители:

Нека подчертаем общите фактори:

Сега нека напишем общите фактори един по един и добавим към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:

Това е общият знаменател.

Да се ​​върнем на писмата. Знаменателите са дадени по абсолютно същия начин:

· множете знаменателите на множители;

· определяне на общи (еднакви) фактори;

· изпишете всички общи множители веднъж;

· умножете ги по всички други необичайни множители.

И така, по ред:

1) факторирайте знаменателите:

2) определяне на общи (идентични) фактори:

3) запишете всички общи множители веднъж и ги умножете по всички други (неподчертани) множители:

Така че тук има общ знаменател. Първата дроб трябва да се умножи по, втората по:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме същите фактори в знаменателите, само всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:

до известна степен

до известна степен

до известна степен

до известна степен.

Нека усложним задачата:

Как да накарам дробите да имат еднакъв знаменател?

Нека си припомним основното свойство на дробта:

Никъде не се казва, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото не е истина!

Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например, . какво научи

И така, още едно непоклатимо правило:

Когато привеждате дроби към общ знаменател, използвайте само операцията умножение!

Но по какво трябва да умножите, за да получите?

Така че умножете по. И умножете по:

Ще наричаме изрази, които не могат да бъдат факторизирани, „елементарни фактори“. Например, - това е елементарен фактор. - Същото. Но не: може да се факторизира.

Какво ще кажете за израза? Елементарно ли е?

Не, защото може да се разложи на фактори:

(вече прочетохте за факторизацията в темата “”).

И така, елементарните множители, на които разлагате израз с букви, са аналог на простите множители, на които разлагате числата. И ние ще се справим с тях по същия начин.

Виждаме, че и двата знаменателя имат множител. Ще отиде при общия знаменател на степен (помнете защо?).

Факторът е елементарен и те нямат общ фактор, което означава, че първата дроб просто ще трябва да бъде умножена по него:

Друг пример:

Решение:

Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разложите? И двамата представляват:

Страхотно! След това:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, нека разложим знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скоби; във втория - разликата на квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, те си приличат... И е вярно:

Така че нека напишем:

Тоест, получи се така: вътре в скобата сменихме условията и в същото време знакът пред дробта се промени на противоположния. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.

Сега нека го приведем към общ знаменател:

Разбра ли? Нека да го проверим сега.

Задачи за самостоятелно решаване:

Отговори:

Тук трябва да запомним още нещо - разликата на кубчетата:

Моля, обърнете внимание, че знаменателят на втората дроб не съдържа формулата „квадрат на сумата“! Квадратът на сумата би изглеждал така: .

А е така нареченият непълен квадрат на сбора: вторият член в него е произведението на първия и последния, а не техният двоен продукт. Частичният квадрат на сумата е един от факторите в разширяването на разликата на кубовете:

Какво да направите, ако вече има три фракции?

Да, същата работа! Първо, нека се уверим, че максимално количествофакторите в знаменателите бяха същите:

Моля, обърнете внимание: ако промените знаците в една скоба, знакът пред дробта се променя на противоположния. Когато променим знаците във втората скоба, знакът пред дробта отново се променя на противоположния. В резултат на това той (знакът пред дробта) не се е променил.

Записваме целия първи знаменател в общия знаменател и след това добавяме към него всички фактори, които все още не са записани, от втория, а след това от третия (и така нататък, ако има повече дроби). Тоест, оказва се така:

Хм... Ясно е какво да правим с дробите. Но какво да кажем за двамата?

Просто е: знаете как да събирате дроби, нали? И така, трябва да накараме две да станат дроб! Нека си припомним: дробта е операция за деление (числителят се дели на знаменателя, ако сте забравили). И няма нищо по-лесно от това да разделите число на. В този случай самото число няма да се промени, а ще се превърне в дроб:

Точно това, от което се нуждаете!

5. Умножение и деление на дроби.

Е, най-трудното вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време и най-важното:

Процедура

Каква е процедурата за изчисляване на числов израз? Запомнете, като изчислите значението на този израз:

броихте ли

Би трябвало да работи.

И така, нека ви напомня.

Първата стъпка е да се изчисли степента.

Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, те могат да се извършват в произволен ред.

И накрая, извършваме събиране и изваждане. Отново в произволен ред.

Но: изразът в скоби се оценява извънредно!

Ако няколко скоби се умножат или разделят една на друга, първо изчисляваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.

Ами ако има повече скоби вътре в скобите? Добре, нека помислим: в скобите е записан някакъв израз. Когато изчислявате израз, какво трябва да направите първо? Точно така, изчислете скобите. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.

И така, процедурата за израза по-горе е следната (текущото действие е маркирано в червено, т.е. действието, което извършвам в момента):

Добре, всичко е просто.

Но това не е същото като израз с букви?

Не, същото е! Само вместо аритметични операции, трябва да извършвате алгебрични, тоест действията, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, събиране на дроби, съкращаване на дроби и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на факторизиране на полиномите (често използваме това, когато работим с дроби). Най-често, за да разложите на множители, трябва да използвате I или просто да поставите общия множител извън скоби.

Обикновено нашата цел е да представим израза като произведение или частно.

Например:

Нека опростим израза.

1) Първо опростяваме израза в скоби. Там имаме разлика от дроби и нашата цел е да я представим като произведение или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:

Невъзможно е да се опрости повече този израз; всички фактори тук са елементарни (все още помните ли какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножаване на дроби: какво може да бъде по-просто.

3) Сега можете да съкратите:

Е, това е всичко. Нищо сложно, нали?

Друг пример:

Опростете израза.

Първо се опитайте да го решите сами и едва след това погледнете решението.

Първо, нека определим реда на действията. Първо, нека съберем дробите в скобите, така че вместо две дроби да получим една. След това ще направим деление на дроби. Добре, нека съберем резултата с последната дроб. Ще номерирам стъпките схематично:

Сега ще ви покажа процеса, оцветявайки текущото действие в червено:

Накрая ще ви дам два полезни съвета:

1. Ако има подобни, те трябва да бъдат донесени веднага. В който и момент да възникнат подобни у нас, препоръчително е веднага да се повдигнат.

2. Същото важи и за съкращаването на дроби: веднага щом се появи възможност за съкращаване, трябва да се възползвате от него. Изключението е за дроби, които добавяте или изваждате: ако те сега имат еднакви знаменатели, тогава намалението трябва да се остави за по-късно.

Ето някои задачи, които можете да решите сами:

И какво беше обещано в самото начало:

Решения (накратко):

Ако сте се справили поне с първите три примера, значи сте усвоили темата.

Сега към ученето!

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Основни операции за опростяване:

• Привеждане на подобни: за да добавите (намалите) подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
• Факторизация:извеждане на общия множител извън скоби, прилагането му и т.н.
• Намаляване на дроб: Числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, което не променя стойността на дробта.
  1) числител и знаменател факторизирам
  2) ако числителят и знаменателят имат общи множители, те могат да бъдат задраскани.

  ВАЖНО: могат да се намаляват само множителите!

• Събиране и изваждане на дроби:
  ;
• Умножение и деление на дроби:
  ;

Алгебричен израз, в който наред с операциите събиране, изваждане и умножение се използва и деление на буквени изрази, се нарича дробен алгебричен израз. Такива са например изразите

Алгебрична дроб наричаме алгебричен израз, който има формата на частно от делението на два цели алгебрични израза (например мономи или полиноми). Такива са например изразите

Третият от изразите).

Идентичните трансформации на дробни алгебрични изрази в по-голямата си част са предназначени да ги представят във формата алгебрична дроб. За намиране на общия знаменател се използва разлагане на знаменателите на дроби на множители - термини, за да се намери тяхното най-малко общо кратно. При намаляване на алгебричните дроби може да бъде нарушена строгата идентичност на изразите: необходимо е да се изключат стойности на количества, при които коефициентът, с който се прави намалението, става нула.

Нека дадем примери за идентични трансформации на дробни алгебрични изрази.

Пример 1: Опростяване на израз

Всички членове могат да бъдат сведени до общ знаменател (удобно е да смените знака в знаменателя на последния член и знака пред него):

Нашият израз е равен на единица за всички стойности с изключение на тези стойности; той е недефиниран и намаляването на фракцията е незаконно).

Пример 2. Представете израза като алгебрична дроб

Решение. Изразът може да се приеме за общ знаменател. Намираме последователно:

Упражнения

1. Намерете стойностите на алгебричните изрази за посочените стойности на параметъра:

2. Факторизиране.

Буквалният израз (или променлив израз) е математически израз, който се състои от числа, букви и математически символи. Например следният израз е буквален:

a+b+4

С помощта на азбучни изрази можете да пишете закони, формули, уравнения и функции. Способността да се манипулират буквени изрази е ключът към доброто познаване на алгебрата и висшата математика.

Всеки сериозен проблем в математиката се свежда до решаване на уравнения. И за да можете да решавате уравнения, трябва да можете да работите с буквални изрази.

За да работите с буквени изрази, трябва да сте добре запознати с основните аритметични техники: събиране, изваждане, умножение, деление, основни закони на математиката, дроби, операции с дроби, пропорции. И не просто изучавайте, но разбирайте задълбочено.

Съдържание на урока

Променливи

Буквите, които се съдържат в буквални изрази, се наричат променливи. Например в израза a+b+4променливите са буквите аИ b. Ако заместим някакви числа вместо тези променливи, тогава буквалният израз a+b+4контакт числов израз, чиято стойност може да се намери.

Числата, които се заместват с променливи, се наричат стойности на променливи. Например, нека променим стойностите на променливите аИ b. Знакът за равенство се използва за промяна на стойности

a = 2, b = 3

Променихме стойностите на променливите аИ b. Променлива априсвоена стойност 2 , променлива bприсвоена стойност 3 . В резултат на това буквалният израз a+b+4се превръща в регулярен числов израз 2+3+4 чиято стойност може да се намери:

2 + 3 + 4 = 9

Когато променливите се умножават, те се записват заедно. Например запис абозначава същото като записа a×b. Ако заместим променливите аИ bчисла 2 И 3 , тогава получаваме 6

2 × 3 = 6

Можете също така да напишете заедно умножението на число с израз в скоби. Например, вместо a × (b + c)може да се запише a(b + c). Прилагайки закона за разпределение на умножението, получаваме a(b + c)=ab+ac.

Коефициенти

В буквалните изрази често можете да намерите нотация, в която число и променлива се записват заедно, например 3а. Това всъщност е съкращение за умножаване на числото 3 по променлива. аи този запис изглежда така 3×а .

С други думи, изразът 3ае произведението на числото 3 и променливата а. Номер 3 в тази работа наричат коефициент. Този коефициент показва колко пъти ще бъде увеличена променливата а. Този израз може да се чете като " атри пъти" или "три пъти А“, или „увеличете стойността на променлива атри пъти", но най-често се чете като "три а«

Например, ако променливата аравно на 5 , след това стойността на израза 3аще бъде равно на 15.

3 × 5 = 15

Говорейки на прост език, коефициентът е числото, което идва преди буквата (преди променливата).

Може да има няколко букви, например 5abc. Тук коефициентът е числото 5 . Този коефициент показва, че произведението на променливите абвсе увеличава петкратно. Този израз може да се чете като " абвпет пъти" или "увеличете стойността на израза абвпет пъти" или "пет абв«.

Ако вместо променливи абвзаменете числата 2, 3 и 4, след това стойността на израза 5abcще бъдат равни 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можете мислено да си представите как числата 2, 3 и 4 първо са били умножени и получената стойност се е увеличила пет пъти:

Знакът на коефициента се отнася само за коефициента и не се отнася за променливите.

Помислете за израза −6b. Минус преди коефициента 6 , важи само за коеф 6 , и не принадлежи на променливата b. Разбирането на този факт ще ви позволи да не правите грешки в бъдеще със знаци.

Нека намерим стойността на израза −6bпри b = 3.

−6b −6×b. За по-голяма яснота нека напишем израза −6bв разширена форма и заменете стойността на променливата b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2.Намерете стойността на израз −6bпри b = −5

Нека запишем израза −6bв разширен вид

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3.Намерете стойността на израз −5a+bпри а = 3И b = 2

−5a+bтова е кратка форма за −5 × a + b, така че за яснота записваме израза −5×a+bв разширена форма и заменете стойностите на променливите аИ b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Понякога буквите се пишат без коефициент, например аили аб. В този случай коефициентът е единица:

но традиционно единицата не се записва, така че те просто пишат аили аб

Ако има минус преди буквата, тогава коефициентът е число −1 . Например изразът −aвсъщност изглежда така −1a. Това е произведението на минус едно и променливата а.Оказа се така:

−1 × a = −1a

Тук има малка уловка. В израза −aзнак минус пред променливата авсъщност се отнася за "невидима единица", а не за променлива а. Затова трябва да бъдете внимателни, когато решавате проблеми.

Например, ако е даден изразът −aи от нас се иска да намерим стойността му при а = 2, тогава в училище заместихме двойка вместо променлива аи получи отговор −2 , без да се фокусираме много върху това как се е получило. Всъщност минус едно беше умножено по положителното число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ако се даде изразът −aи трябва да намерите стойността му при a = −2, тогава заместваме −2 вместо променлива а

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

За да избегнете грешки, първоначално невидимите единици могат да бъдат изрично записани.

Пример 4.Намерете стойността на израз абвпри а=2 , b=3И c=4

Изразяване абв 1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза абв а, бИ c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5.Намерете стойността на израз абвпри a=−2 , b=−3И c=−4

Нека запишем израза абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6.Намерете стойността на израз − абвпри a=3, b=5 и c=7

Изразяване − абвтова е кратка форма за −1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза − абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7.Намерете стойността на израз − абвпри a=−2 , b=−4 и c=−3

Нека запишем израза − абвв разширен вид:

−abc = −1 × a × b × c

Нека заместим стойностите на променливите а , bИ c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как да определим коефициента

Понякога трябва да решите задача, в която трябва да определите коефициента на израз. По принцип тази задача е много проста. Достатъчно е да можете да умножавате числата правилно.

За да определите коефициента в израз, трябва отделно да умножите числата, включени в този израз, и отделно да умножите буквите. Полученият числов фактор ще бъде коефициентът.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Изразът се състои от няколко фактора. Това може да се види ясно, ако напишете израза в разширена форма. Тоест произведенията 7мИ 5анапишете го във формата 7×mИ 5×а

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Нека приложим асоциативния закон за умножение, който ви позволява да умножавате фактори в произволен ред. А именно, отделно ще умножим числата и отделно буквите (променливите):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 човек

Коефициентът е −105 . След завършване е препоръчително да подредите буквената част по азбучен ред:

−105 сутринта

Пример 2.Определете коефициента в израза: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефициентът е 6.

Пример 3.Определете коефициента в израза:

Нека да умножим числата и буквите отделно:

Коефициентът е −1. Моля, имайте предвид, че единицата не е записана, тъй като е обичайно да не се записва коефициентът 1.

Тези на пръв поглед най-прости задачи могат да ни изиграят много жестока шега. Често се оказва, че знакът на коефициента е зададен неправилно: или минусът липсва, или, напротив, той е зададен напразно. За да се избегнат тези досадни грешки, трябва да се изучава на добро ниво.

Събирания в буквални изрази

При събиране на няколко числа се получава сумата от тези числа. Числата, които събират, се наричат ​​събираеми. Може да има няколко термина, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когато един израз се състои от термини, е много по-лесно да се оцени, защото добавянето е по-лесно от изваждането. Но изразът може да съдържа не само добавяне, но и изваждане, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В този израз числата 3 и 5 са ​​субтрахенди, а не събираеми. Но нищо не ни пречи да заменим изваждането със събиране. След това отново получаваме израз, състоящ се от термини:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Няма значение, че числата −3 и −5 вече имат знак минус. Основното е, че всички числа в този израз са свързани със знак за добавяне, тоест изразът е сума.

И двата израза 1 + 2 − 3 + 4 − 5 И 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равно на същата стойност - минус едно

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Така смисълът на израза няма да пострада, ако някъде заменим изваждането със събиране.

Можете също да замените изваждането със събиране в буквални изрази. Например, разгледайте следния израз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За всякакви стойности на променливи a, b, c, dИ sизрази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s И 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ще бъде равно на същата стойност.

Трябва да сте подготвени за факта, че учител в училище или учител в институт може да извика четни числа (или променливи), които не са събираеми.

Например, ако разликата е написана на дъската a − b, тогава учителят няма да каже това ае минуенд, и b- изваждаем. Той ще нарече двете променливи една в общи линии — условия. И всичко това, защото изразът на формата a − bматематикът вижда как сумата a+(−b). В този случай изразът става сума, а променливите аИ (-b)стават условия.

Подобни условия

Подобни условия- това са термини, които имат еднаква буквена част. Например, разгледайте израза 7а + 6б + 2а. Компоненти 7аИ 2аимат една и съща буквена част - променлива а. Така че условията 7аИ 2аса подобни.

Обикновено подобни термини се добавят, за да се опрости израз или да се реши уравнение. Тази операция се нарича привеждане на подобни условия.

За да въведете подобни термини, трябва да добавите коефициентите на тези термини и да умножите получения резултат по общата буквена част.

Например, нека представим подобни термини в израза 3а + 4а + 5а. В този случай всички условия са подобни. Нека съберем техните коефициенти и умножим резултата по общата буквена част - по променливата а

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобни термини обикновено се припомнят и резултатът се записва веднага:

3a + 4a + 5a = 12a

Освен това човек може да разсъждава по следния начин:

Имаше 3 a променливи, още 4 a променливи и още 5 a променливи бяха добавени към тях. В резултат на това получихме 12 променливи a

Нека да разгледаме няколко примера за въвеждане на подобни условия. Като се има предвид, че тази тема е много важна, първо ще запишем подробно всеки малък детайл. Въпреки факта, че тук всичко е много просто, повечето хора правят много грешки. Най-вече поради невнимание, а не от незнание.

Пример 1. 3а + 2а + 6а + 8а

Нека да съберем коефициентите в този израз и да умножим получения резултат по общата буквена част:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

дизайн (3 + 2 + 6 + 8)×aНе е нужно да го записвате, така че ще запишем отговора веднага

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Пример 2.Дайте подобни термини в израза 2а+а

Втори мандат анаписано без коефициент, но всъщност пред него има коефициент 1 , който не виждаме, защото не е записан. Така че изразът изглежда така:

2а + 1а

Сега нека представим подобни термини. Тоест събираме коефициентите и умножаваме резултата по общата буквена част:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Нека запишем накратко решението:

2а + а = 3а

2а+а, можете да мислите различно:

Пример 3.Дайте подобни термини в израза 2а-а

Нека заменим изваждането със събиране:

2a + (−a)

Втори мандат (-а)написано без коефициент, но в действителност изглежда така (-1а).Коефициент −1 отново невидим поради факта, че не е записан. Така че изразът изглежда така:

2a + (−1a)

Сега нека представим подобни термини. Нека съберем коефициентите и умножим резултата по общата буквена част:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обикновено се пише по-кратко:

2a − a = a

Даване на подобни членове в израза 2а-аМожете да мислите различно:

Имаше 2 променливи a, извадете една променлива a, накрая остана само една променлива a

Пример 4.Дайте подобни термини в израза 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Сега нека представим подобни термини. Нека съберем коефициентите и умножим резултата по общата буквена част

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Нека запишем накратко решението:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Има изрази, които съдържат няколко различни групи от подобни термини. например, 3a + 3b + 7a + 2b. За такива изрази важат същите правила като за останалите, а именно събиране на коефициентите и умножаване на резултата по общата буквена част. Но за да избегнете грешки, е удобно да подчертаете различни групи термини различни линии.

Например в израза 3a + 3b + 7a + 2bтези термини, които съдържат променлива а, могат да бъдат подчертани с един ред и тези термини, които съдържат променлива b, може да се подчертае с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част. Това трябва да се направи и за двете групи термини: за термини, съдържащи променлива аи за термини, съдържащи променлива b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Отново, повтаряме, изразът е прост и подобни термини могат да бъдат дадени в ума:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5.Дайте подобни термини в израза 5a − 6a −7b + b

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Нека подчертаем подобни термини с различни редове. Термини, съдържащи променливи аподчертаваме с един ред, а термините са съдържанието на променливите b, подчертайте с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ако изразът съдържа обикновени числа без буквени множители, те се добавят отделно.

Пример 6.Дайте подобни термини в израза 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Нека представим подобни термини. Числа −5 И 7 нямат буквени фактори, но са подобни термини - просто трябва да се добавят. И срокът 2бще остане непроменен, тъй като е единственият в този израз, който има буквен фактор б,и няма с какво да го добавя:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Нека запишем накратко решението:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Термините могат да бъдат подредени така, че термините, които имат една и съща буквена част, да бъдат разположени в една и съща част на израза.

Пример 7.Дайте подобни термини в израза 5t+2x+3x+5t+x

Тъй като изразът е сбор от няколко термина, това ни позволява да го оценим в произволен ред. Следователно термините, съдържащи променливата t, може да се запише в началото на израза и термините, съдържащи променливата хв края на израза:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Сега можем да представим подобни условия:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Нека запишем накратко решението:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сборът на противоположните числа е нула. Това правило работи и за буквални изрази. Ако изразът съдържа еднакви термини, но с противоположни знаци, тогава можете да се отървете от тях на етапа на намаляване на подобни термини. С други думи, просто ги елиминирайте от израза, тъй като сумата им е нула.

Пример 8.Дайте подобни термини в израза 3t − 4t − 3t + 2t

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Компоненти 3тИ (−3t)са противоположни. Сумата от противоположните членове е нула. Ако премахнем тази нула от израза, стойността на израза няма да се промени, така че ще я премахнем. И ние ще го премахнем, като просто задраскаме условията 3тИ (−3t)

В резултат на това ще останем с израза (−4t) + 2t. В този израз можете да добавите подобни термини и да получите крайния отговор:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Нека запишем накратко решението:

Опростяване на изрази

"опростете израза" и по-долу е изразът, който трябва да бъде опростен. Опростете изразозначава да го опростите и скъсите.

Всъщност ние вече сме опростявали изрази, когато сме съкращавали дроби. След редукция фракцията стана по-къса и по-лесна за разбиране.

Помислете за следния пример. Опростете израза.

Тази задача може буквално да се разбира по следния начин: „Приложете всички валидни действия към този израз, но го опростете.“ .

В този случай можете да намалите дробта, а именно да разделите числителя и знаменателя на дробта на 2:

Какво друго можете да направите? Можете да изчислите получената фракция. Тогава получаваме десетичната дроб 0,5

В резултат на това фракцията беше опростена до 0,5.

Първият въпрос, който трябва да си зададете, когато решавате подобни проблеми, трябва да бъде „Какво може да се направи?“ . Защото има действия, които можете да направите, и има действия, които не можете да направите.

друг важен моментНещото, което трябва да запомните е, че стойността на израза не трябва да се променя след опростяване на израза. Да се ​​върнем към израза. Този израз представлява разделяне, което може да се извърши. След като извършихме това разделяне, получаваме стойността на този израз, която е равна на 0,5

Но ние опростихме израза и получихме нов опростен израз. Стойността на новия опростен израз все още е 0,5

Но също така се опитахме да опростим израза, като го изчислим. В резултат на това получихме краен отговор 0,5.

Така, колкото и да опростяваме израза, стойността на получените изрази все още е равна на 0,5. Това означава, че опростяването е извършено правилно на всеки етап. Точно към това трябва да се стремим, когато опростяваме изразите – смисълът на израза не трябва да страда от нашите действия.

Често е необходимо да се опростят буквалните изрази. За тях важат същите правила за опростяване, както за числовите изрази. Можете да извършвате всякакви валидни действия, стига стойността на израза да не се променя.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1.Опростете израз 5,21 s × t × 2,5

За да опростите този израз, можете да умножите числата отделно и буквите отделно. Тази задача е много подобна на тази, която разгледахме, когато се научихме да определяме коефициента:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Така че изразът 5,21 s × t × 2,5опростен до 13 025ст.

Пример 2.Опростете израз −0,4 × (−6,3b) × 2

Второ парче (-6.3b)може да се преведе в разбираема за нас форма, а именно написана във формата ( −6,3)×b,след това умножете числата поотделно и умножете отделно буквите:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Така че изразът −0,4 × (−6,3b) × 2 опростен до 5.04b

Пример 3.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до −abc.Това решение може да се напише накратко:

Когато опростявате изрази, дробите могат да бъдат намалени по време на процеса на решаване, а не в самия край, както направихме с обикновени дроби. Например, ако в хода на решаването срещнем израз от формата , тогава изобщо не е необходимо да изчисляваме числителя и знаменателя и да правим нещо подобно:

Една дроб може да бъде намалена, като изберете фактор в числителя и знаменателя и намалите тези фактори с най-големия им общ делител. С други думи, употреба, при която не описваме подробно на какво са разделени числителят и знаменателят.

Например в числителя коефициентът е 12, а в знаменателя коефициентът 4 може да бъде намален с 4. Запазваме четворката в ума си и като разделим 12 и 4 на тази четворка, записваме отговорите до тези числа, като първо ги задраска

Сега можете да умножите получените малки множители. В този случай те са малко и можете да ги умножите наум:

С течение на времето може да откриете, че при решаването на определен проблем изразите започват да „напълняват“, така че е препоръчително да свикнете с бързи изчисления. Това, което може да бъде изчислено в ума, трябва да бъде изчислено в ума. Това, което може да бъде намалено бързо, трябва да бъде намалено бързо.

Пример 4.Опростете израз

Така че изразът опростен до

Пример 5.Опростете израз

Нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до мн.

Пример 6.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление десетичната дроб −6,4 и смесено числоможе да се преобразува в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до

Решението за този пример може да бъде написано много по-кратко. Ще изглежда така:

Пример 7.Опростете израз

Нека да умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление, смесени числа и десетични дроби 0,1 и 0,6 могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до abcd. Ако пропуснете подробностите, тогава това решениеможе да се напише много по-кратко:

Забележете как е намалена дробта. Нови фактори, получени в резултат на намаляване на предишни фактори, също могат да бъдат намалени.

Сега нека поговорим какво да не правим. При опростяване на изрази е строго забранено умножаването на числа и букви, ако изразът е сбор, а не продукт.

Например, ако искате да опростите израза 5а+4б, тогава не можете да го напишете така:

Това е същото, както ако ни помолят да съберем две числа и ние ги умножим, вместо да ги съберем.

При заместване на стойности на променливи аИ bизразяване 5а +4бсе превръща в обикновен числов израз. Да приемем, че променливите аИ bимат следните значения:

a = 2, b = 3

Тогава стойността на израза ще бъде равна на 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Първо се извършва умножение и след това се добавят резултатите. И ако се опитаме да опростим този израз чрез умножаване на числа и букви, ще получим следното:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Оказва се съвсем различно значение на израза. В първия случай се получи 22 , във втория случай 120 . Това означава, че опростяването на израза 5а+4бе изпълнено неправилно.

След опростяване на израза, неговата стойност не трябва да се променя със същите стойности на променливите. Ако при заместване на стойности на променливи в оригиналния израз се получи една стойност, тогава след опростяване на израза трябва да се получи същата стойност, както преди опростяването.

С израз 5а+4бнаистина нищо не можеш да направиш. Това не го опростява.

Ако даден израз съдържа подобни термини, те могат да бъдат добавени, ако целта ни е да опростим израза.

Пример 8.Опростете израз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или по-кратко: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Така че изразът 0,3a−0,4a+aопростен до 0.9a

Пример 9.Опростете израз −7,5a − 2,5b + 4a

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или по-кратко −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Срок (−2,5b)остана непроменен, защото нямаше с какво да се сложи.

Пример 10.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Коефициентът беше за по-лесно изчисляване.

Така че изразът опростен до

Пример 11.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

В този пример би било по-подходящо първо да добавите първия и последния коефициент. В този случай ще имаме кратко решение. Ще изглежда така:

Пример 12.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

Терминът остана непроменен, тъй като нямаше какво да се добави към него.

Това решение може да се напише много по-кратко. Ще изглежда така:

Краткото решение пропусна стъпките на замяна на изваждането със събиране и подробно описание на това как дробите се свеждат до общ знаменател.

Друга разлика е, че в подробно решениеотговорът изглежда така , но накратко като . Всъщност те са едно и също изражение. Разликата е, че в първия случай изваждането се заменя със събиране, тъй като в началото, когато записахме решението в подробен вид, сменихме изваждането със събиране, където е възможно, и тази замяна се запази за отговора.

Идентичности. Тъждествено равни изрази

След като сме опростили всеки израз, той става по-прост и по-кратък. За да проверите дали опростеният израз е правилен, достатъчно е да замените стойностите на всяка променлива първо в предишния израз, който трябваше да бъде опростен, а след това в новия, който беше опростен. Ако стойността и в двата израза е една и съща, тогава опростеният израз е верен.

Нека помислим най-прост пример. Нека е необходимо да се опрости изразът 2a×7b. За да опростите този израз, можете да умножите числата и буквите отделно:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Нека проверим дали сме опростили правилно израза. За да направите това, нека заместим всички стойности на променливите аИ bпърво в първия израз, който трябваше да бъде опростен, и след това във втория, който беше опростен.

Нека стойностите на променливите а , bще бъде както следва:

a = 4, b = 5

Нека ги заместим в първия израз 2a×7b

Сега нека заместим същите стойности на променливата в израза, който е резултат от опростяването 2a×7b, а именно в израза 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Виждаме, че когато а=4И b=5стойност на първия израз 2a×7bи значението на втория израз 14abравен

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Същото ще се случи за всички други стойности. Например, нека а=1И b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

По този начин, за всякакви стойности на изразните променливи 2a×7bИ 14abса равни на една и съща стойност. Такива изрази се наричат идентично равни.

Заключаваме, че между изразите 2a×7bИ 14abможете да поставите знак за равенство, защото те са равни на една и съща стойност.

2a × 7b = 14ab

Равенство е всеки израз, който е свързан със знак за равенство (=).

И равенство на формата 2a×7b = 14abнаречен идентичност.

Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите.

Други примери за самоличности:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законите на математиката, които изучавахме, са идентичности.

Истинските числови равенства също са идентичности. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

При решаване на сложна задача, за да се улесни изчислението, сложният израз се заменя с по-прост израз, който е идентично равен на предходния. Тази замяна се нарича идентична трансформация на изразаили просто трансформиране на израза.

Например опростихме израза 2a×7b, и получи по-опростен израз 14ab. Това опростяване може да се нарече трансформация на идентичността.

Често можете да намерите задача, която казва "докажете, че равенството е идентичност" и тогава е дадено равенството, което трябва да се докаже. Обикновено това равенство се състои от две части: лявата и дясната част на равенството. Нашата задача е да извършим трансформации на идентичност с една от частите на равенството и да получим другата част. Или извършете идентични трансформации с двете страни на равенството и се уверете, че и двете страни на равенството съдържат едни и същи изрази.

Например, нека докажем, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

Нека опростим лявата страна на това равенство. За да направите това, умножете отделно цифрите и буквите:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В резултат на малка трансформация на идентичността лявата страна на равенството стана равна на дясната страна на равенството. Така че ние доказахме, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

От тъждествените трансформации се научихме да събираме, изваждаме, умножаваме и делим числа, да съкращаваме дроби, да добавяме подобни членове, а също и да опростяваме някои изрази.

Но това не са всички идентични трансформации, които съществуват в математиката. Има още много идентични трансформации. Ще видим това повече от веднъж в бъдеще.

Задачи за самостоятелно решаване:

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, сумите от мономи заемат важно място. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Мономите също се класифицират като полиноми, като се счита, че мономът е полином, състоящ се от един член.

Например полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да бъде опростен.

Нека представим всички членове под формата на мономи стандартен изглед:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Нека представим подобни членове в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

За степен на полиномот стандартна форма поемат най-високите правомощия на своите членове. Така биномът \(12a^2b - 7b\) има трета степен, а триномът \(2b^2 -7b + 6\) има втора.

Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на показатели. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Сумата от няколко полинома може да се трансформира (опрости) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като поставянето в скоби е обратната трансформация на отварящите скоби, то е лесно за формулиране правила за отваряне на скоби:

Ако пред скобите е поставен знак „+“, то термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак „-“, то термините, поставени в скобите, се изписват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, можете да трансформирате (опростите) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да умножите моном по полином, трябва да умножите този моном по всеки от членовете на полинома.

Вече сме използвали това правило няколко пъти, за да умножим по сума.

Произведение на полиноми. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома

Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено се използва следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Формули за съкратено умножение. Сбор на квадрати, разлики и разлика на квадрати

Трябва да се справяте с някои изрази в алгебричните трансформации по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратът на сумата, квадратът на разликата и разликата на квадратите. Забелязали ли сте, че имената определени изразикато че ли не е завършено, например, \((a + b)^2 \) е, разбира се, не просто квадрат на сбора, но квадрат на сбора от a и b. Квадратът на сумата от a и b обаче не се среща много често, вместо буквите a и b той съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) могат лесно да бъдат преобразувани (опростени) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте се сблъсквали с такава задача при умножаване на полиноми :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полезно е да запомните получените идентичности и да ги приложите без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат на сумата равно на суматаквадрати и удвоете продукта.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е равен на сумата от квадратите без двойното произведение.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват при трансформации да се заменят левите им части с десни и обратно - десните части с леви. Най-трудното е да видите съответните изрази и да разберете как променливите a и b са заменени в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.

Често задачите изискват опростен отговор. Въпреки че както опростените, така и неопростените отговори са правилни, вашият преподавател може да понижи оценката ви, ако не опростите отговора си. Освен това опростеният математически израз е много по-лесен за работа. Ето защо е много важно да се научите да опростявате изрази.

стъпки

Правилен ред на математическите операции

1. Запомнете правилния ред за извършване на математически операции.Когато опростявате математически израз, има определен ред, който трябва да се следва, тъй като някои математически операции имат предимство пред други и трябва да бъдат извършени първи (всъщност неспазването на правилния ред на операциите ще ви доведе до неправилен резултат). Запомнете следния ред на математическите операции: изразяване в скоби, степенуване, умножение, деление, събиране, изваждане.

   • Имайте предвид, че познаването на правилния ред на операциите ще ви позволи да опростите повечето прости изрази, но за да опростите полином (израз с променлива), трябва да знаете специални трикове (вижте следващия раздел).

2. Започнете с решаване на израза в скоби.В математиката скобите показват, че първо трябва да се изчисли изразът в тях. Ето защо, когато опростявате всеки математически израз, започнете с решаване на израза, ограден в скоби (няма значение какви операции трябва да извършите вътре в скобите). Но не забравяйте, че когато работите с израз, затворен в скоби, трябва да следвате реда на операциите, т.е. членовете в скоби първо се умножават, разделят, добавят, изваждат и т.н.

   • Например, нека опростим израза 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Тук започваме с изразите в скоби: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Изразът във втората двойка скоби се опростява до 5, защото първо трябва да се раздели 4/2 (според правилния ред на операциите). Ако не следвате този ред, ще получите грешен отговор: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Ако има друга двойка скоби в скобите, започнете да опростявате, като решите израза във вътрешните скоби и след това преминете към решаването на израза във външните скоби.

3. Степенете.След като решите изразите в скоби, преминете към степенуване (не забравяйте, че степента има степен и основа). Повдигнете съответния израз (или число) на степен и заменете резултата в дадения ви израз.

   • В нашия пример единственият израз (число) на степен е 3 2: 3 2 = 9. В израза, който ви е даден, заменете 3 2 с 9 и ще получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Умножете.Не забравяйте, че операцията за умножение може да бъде представена със следните символи: "x", "∙" или "*". Но ако няма символи между числото и променливата (например 2x) или между числото и числото в скоби (например 4(7)), тогава това също е операция за умножение.

   • В нашия пример има две операции за умножение: 2x (две умножено по променливата „x”) и 4(7) (четири умножено по седем). Не знаем стойността на x, така че ще оставим израза 2x такъв, какъвто е. 4(7) = 4 x 7 = 28. Сега можете да пренапишете дадения ви израз, както следва: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Разделяне.Не забравяйте, че операцията деление може да бъде представена със следните символи: “/”, “÷” или “–” (можете да видите последния знак в дроби). Например 3/4 е три делено на четири.

   • В нашия пример вече няма операция за деление, тъй като вече сте разделили 4 на 2 (4/2), когато решавате израза в скоби. Така че можете да преминете към следващата стъпка. Не забравяйте, че повечето изрази не съдържат всички математически операции наведнъж (само някои от тях).

6. Сгънете.Когато добавяте термини на израз, можете да започнете с термина от най-отдалечения (вляво) или можете да добавите термините, които се добавят лесно първи. Например в израза 49 + 29 + 51 +71 първо е по-лесно да се съберат 49 + 51 = 100, след това 29 + 71 = 100 и накрая 100 + 100 = 200. Много по-трудно е да се събере по следния начин: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • В нашия пример 2x + 28 + 9 + 5 има две операции за събиране. Нека започнем с най-външния (ляв) член: 2x + 28; не можете да съберете 2x и 28, защото не знаете стойността на променливата "x". Следователно, добавете 28 + 9 = 37. Сега изразът може да бъде пренаписан както следва: 2x + 37 - 5.

7. Извадете.Това е последната операция в в правилния редизвършване на математически операции. На този етап можете също да добавите отрицателни числаили го направете на етапа на добавяне на членове - това няма да повлияе по никакъв начин на крайния резултат.

   • В нашия пример 2x + 37 - 5 има само една операция за изваждане: 37 - 5 = 32.

8. На този етап, след извършване на всички математически операции, трябва да получите опростен израз.Но ако изразът, който ви е даден, съдържа една или повече променливи, тогава не забравяйте, че терминът с променливата ще остане такъв, какъвто е. Решаването (а не опростяването) на израз с променлива включва намиране на стойността на тази променлива. Понякога променливите изрази могат да бъдат опростени с помощта на специални методи(вижте следващия раздел).

   • В нашия пример крайният отговор е 2x + 32. Не можете да добавите двата термина, докато не знаете стойността на променливата "x". След като знаете стойността на променливата, можете лесно да опростите този бином.

   Опростяване на сложни изрази

   1. Добавяне на подобни термини.Не забравяйте, че можете да изваждате и добавяте само подобни членове, тоест членове с една и съща променлива и същия показател. Например, можете да съберете 7x и 5x, но не можете да съберете 7x и 5x 2 (тъй като показателите са различни).

      • Това правило важи и за членове с множество променливи. Например, можете да добавите 2xy 2 и -3xy 2 , но не можете да добавите 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
      • Нека да разгледаме пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Тук сходните членове са 3x и 8x, така че могат да се събират заедно. Опростеният израз изглежда така: x 2 - 5x + 6.

   2. Опростете числовата част.В такава дроб и числителят, и знаменателят съдържат числа (без променлива). Една числова дроб може да бъде опростена по няколко начина. Първо, просто разделете знаменателя на числителя. Второ, разложете числителя и знаменателя на множители и съкратете подобните множители (тъй като разделянето на число само по себе си ще ви даде 1). С други думи, ако и числителят, и знаменателят имат един и същ коефициент, можете да го изпуснете и да получите опростена дроб.

      • Например, помислете за фракцията 36/60. С помощта на калкулатор разделете 36 на 60, за да получите 0,6. Но можете да опростите тази дроб по друг начин, като разложите числителя и знаменателя на множители: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Тъй като 6/6 = 1, опростената дроб е: 1 x 6/10 = 6/10. Но тази дроб може също да бъде опростена: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Ако дроб съдържа променлива, можете да отмените подобни множители с променливата.Разложете на множители както числителя, така и знаменателя и съкратете сходните множители, дори ако те съдържат променливата (не забравяйте, че подобните множители тук могат или не могат да съдържат променливата).

      • Нека да разгледаме пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Този израз може да бъде пренаписан (разложен на множители) във формата: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Тъй като членът 3x е както в числителя, така и в знаменателя, можете да го съкратите, за да дадете опростен израз: (x + 1)/(5 - x). Нека да разгледаме друг пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Моля, имайте предвид, че не можете да отмените никакви условия - само идентични фактори, които присъстват както в числителя, така и в знаменателя, се отменят. Например в израза (x(x + 2))/x, променливата (факторът) “x” е както в числителя, така и в знаменателя, така че “x” може да бъде намалено, за да се получи опростен израз: (x + 2)/1 = x + 2. Въпреки това, в израза (x + 2)/x, променливата “x” не може да бъде намалена (тъй като “x” не е фактор в числителя).

   4. Отворете скобите.За да направите това, умножете термина извън скобите по всеки член в скобите. Понякога това помага да се опрости сложен израз. Това се отнася и за двамата членове, които са прости числаи към членове, които съдържат променливата.

      • Например 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 и 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Моля, обърнете внимание, че в дробните изрази няма нужда да отваряте скоби, ако един и същ фактор присъства както в числителя, така и в знаменателя. Например в израза (3(x 2 + 8))/3x няма нужда да разширявате скобите, тъй като тук можете да отмените фактора 3 и да получите опростения израз (x 2 + 8)/x. С този израз е по-лесно да се работи; ако разгънете скобите, ще получите следния сложен израз: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Факторни полиноми.Използвайки този метод, можете да опростите някои изрази и полиноми. Разлагането на множители е операция, противоположна на отваряне на скоби, т.е. изразът се записва като произведение на два израза, всеки заграден в скоби. В някои случаи факторизирането ви позволява да намалите същия израз. В специални случаи (обикновено с квадратни уравнения) факторизирането ще ви позволи да решите уравнението.

      • Разгледайте израза x 2 - 5x + 6. Той се разлага на множители: (x - 3)(x - 2). Така, ако например е даден изразът (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), тогава можете да го пренапишете като (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), редуцирайте израза (x - 2) и получете опростен израз (x - 3)/2.
      • Разлагането на полиноми се използва за решаване (намиране на корени) на уравнения (уравнението е полином, равен на 0). Например, разгледайте уравнението x 2 - 5x + 6 = 0. Като го разложите на множители, получавате (x - 3)(x - 2) = 0. Тъй като всеки израз, умножен по 0, е равен на 0, можем да го запишем като това : x - 3 = 0 и x - 2 = 0. По този начин x = 3 и x = 2, тоест намерихте два корена на уравнението, което ви е дадено.