Обем на призмата. Разрешаване на проблеми

Геометрията е най-мощното средство за изостряне на умствените ни способности и ни позволява да мислим и разсъждаваме правилно.

Г. Галилей

Цел на урока:

• учат да решават задачи за изчисляване на обема на призмите, обобщават и систематизират информацията, която учениците имат за призма и нейните елементи, развиват способността за решаване на проблеми с повишена сложност;
• развиват се логическо мислене, способност за самостоятелна работа, умения за взаимен контрол и самоконтрол, способност за говорене и слушане;
• развийте навика за постоянна заетост в някаква полезна дейност, насърчавайки отзивчивостта, трудолюбието и точността.

Вид на урока: урок за прилагане на знания, умения и способности.

Оборудване: контролни карти, медиен проектор, презентация „Урок. Prism Volume”, компютри.

Напредък на урока

• Странични ребра на призмата (фиг. 2).
• Страничната повърхност на призмата (Фигура 2, Фигура 5).
• Височината на призмата (фиг. 3, фиг. 4).
• Права призма (Фигура 2,3,4).
• Наклонена призма (Фигура 5).
• Правилната призма (фиг. 2, фиг. 3).
• Диагонално сечение на призмата (Фигура 2).
• Диагонал на призмата (Фигура 2).
• Перпендикулярно сечение на призмата (фиг. 3, фиг. 4).
• Площта на страничната повърхност на призмата.
• Квадрат пълна повърхностпризми.
• Обем на призмата.

1. ПРОВЕРКА НА ДОМАШНАТА (8 мин.)

Разменете тетрадки, проверете решението на слайдовете и го маркирайте (маркирайте 10, ако задачата е компилирана)

Съставете задача по картинката и я решете. Ученикът защитава задачата, която е съставил на дъската. Фигура 6 и Фигура 7.





Глава 2, §3
Проблем.2. Дължините на всички ръбове на правилна триъгълна призма са равни една на друга. Изчислете обема на призмата, ако нейната повърхност е cm 2 (фиг. 8)



Глава 2, §3
Задача 5. Основата на правата призма ABCA 1B 1C1 е правоъгълен триъгълник ABC (ъгъл ABC=90°), AB=4cm. Изчислете обема на призмата, ако радиусът на окръжността, описана около триъгълник ABC, е 2,5 cm, а височината на призмата е 10 cm. (Фигура 9).



Глава 2, §3
Задача 29. Дължината на страната на основата на правилна четириъгълна призма е 3 cm. Диагоналът на призмата сключва с равнината на страничната стена ъгъл 30°. Изчислете обема на призмата (Фигура 10).



2. Сътрудничество между учител и клас (2-3 мин.).

Цел: обобщаване на теоретичната загрявка (учениците дават оценки един към друг), изучаване на начини за решаване на задачи по дадена тема.

3. ФИЗКУЛТУРА (3 мин.)
4. РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИ (10 мин.)

На този етап учителят организира фронтална работа върху повторение на методи за решаване на планиметрични задачи и планиметрични формули.

Класът е разделен на две групи, някои решават задачи, други работят на компютъра. След това се сменят.

Учениците трябва да решат всички задачи № 8 (устно), № 9 (устно). След това се разделят на групи и преминават към решаване на задачи No14, No30, No32. Глава 2, §3, страници 66-67Задача 8. Всички ръбове са правилни



триъгълна призма
са равни помежду си. Намерете обема на призмата, ако площта на напречното сечение на равнината, минаваща през ръба на долната основа и средата на страната на горната основа, е равна на cm (фиг. 11).



триъгълна призма
Глава 2, § 3, стр. 66-67Задача 9. Основата на права призма е квадрат, а страничните му ръбове са два пъти по-големи от страната на основата. Изчислете обема на призмата, ако радиусът на окръжността, описана близо до сечението на призмата от равнина, минаваща през страната на основата и средата на противоположния страничен ръб, е равен на cm (фиг. 12)



триъгълна призма
Проблем 14Основата на права призма е ромб, чийто един от диагоналите е равен на нейната страна.



триъгълна призма
Изчислете периметъра на сечението с равнина, минаваща през големия диагонал на долната основа, ако обемът на призмата е равен и всички странични стени са квадрати (фиг. 13).Задача 30



ABCA 1 B 1 C 1 е правилна триъгълна призма, всички ръбове на която са равни един на друг, точката е средата на ръб BB 1. Изчислете радиуса на окръжността, вписана в сечението на призмата от равнината AOS, ако обемът на призмата е равен на (фиг. 14).

5. Задача 32.В правилната четириъгълна призма сумата от площите на основите е равна на площта на страничната повърхност. Изчислете обема на призмата, ако диаметърът на окръжността, описана близо до напречното сечение на призмата от равнина, минаваща през двата върха на долната основа и срещуположния връх на горната основа, е 6 cm (фиг. 15).

Докато решават задачи, учениците сравняват своите отговори с показаните от учителя. Това е примерно решение на задача с подробни коментари... Индивидуална работа на учител със „силни“ ученици (10 мин.).

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

Самостоятелна работа

студенти, работещи върху тест на компютър

1. Страната на основата на правилна триъгълна призма е равна на , а височината е 5. Намерете обема на призмата.

2. Изберете правилното твърдение.

4) Обемът на правилна четириъгълна призма се изчислява по формулата V = a 2 h-където a е страната на основата, h е височината на призмата.

5) Обемът на правилна шестоъгълна призма се изчислява по формулата V = 1,5a 2 h, където a е страната на основата, h е височината на призмата.

3. Страната на основата на правилна триъгълна призма е равна на .

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

През страната на долната основа и срещуположния връх на горната основа е начертана равнина, която минава под ъгъл 45° спрямо основата. Намерете обема на призмата.

4. Основата на права призма е ромб, чиято страна е 13, а един от диагоналите е 24.

Намерете обема на призмата, ако диагоналът на страничната повърхност е 14.

ДИРЕКТНА ПРИЗМА. ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ НА ПРАВА ПРИЗМА.

§ 68. ОБЕМ НА ПРАВА ПРИЗМА. 1. Обем на права триъгълна призма.Да предположим, че трябва да намерим обема на права триъгълна призма, чиято основна площ е равна на S, а височината е равна на

ч /\ = AA" = = BB" = SS" (чертеж 306). /\ Нека отделно начертаем основата на призмата, т.е. триъгълника ABC (фиг. 307, а), и го изградим до правоъгълник, за който начертаваме права линия KM през върха B || AC и от точки A и C спускаме перпендикуляри AF и CE върху тази права. Получаваме правоъгълник ACEF. Начертавайки височината ВD на триъгълник ABC, виждаме, че правоъгълникът ACEF е разделен на 4 правоъгълни триъгълника. Освен това /\ ВСИЧКИ = /\ BCD и

VAF = 1. Обем на права триъгълна призма. VAD. Това означава, че площта на правоъгълника ACEF е два пъти площта на триъгълника ABC, т.е. равна на 2S.
Към тази призма с основа ABC ще прикрепим призми с основи ALL и BAF и височина

(Фигура 307, b). Получаваме правоъгълен паралелепипед с основа
ACEF.

Ако разчленим този паралелепипед с равнина, минаваща през прави линии BD и BB", ще видим, че правоъгълният паралелепипед се състои от 4 призми с основи /\ BCD, ALL, BAD и BAF. /\ Призмите с основи BCD и VSE могат да се комбинират, тъй като основите им са равни (

ВСD =
BSE) и техните странични ръбове също са равни, които са перпендикулярни на една и съща равнина. Това означава, че обемите на тези призми са равни. Равни са и обемите на призмите с основи BAD и BAF. Така се оказва, че обемът на дадена триъгълна призма с основа ABC е половината от обема

правоъгълен паралелепипед 1. Обем на права триъгълна призма.с база ACEF. 1. Обем на права триъгълна призма..

Знаем, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението от площта на основата му и височината му, т.е. в този случай той е равен на 2S

. Следователно обемът на тази права триъгълна призма е равен на S

За да намерите обема на права многоъгълна призма, например петоъгълна, с основна площ S и височина 1. Обем на права триъгълна призма., нека го разделим на триъгълни призми (фиг. 308).

Означавайки основните площи на триъгълни призми с S 1, S 2 и S 3 и обема на дадена многоъгълна призма с V, получаваме:

V = S 1 1. Обем на права триъгълна призма.+ S 2 1. Обем на права триъгълна призма.+ S 3 1. Обем на права триъгълна призма., или
V = (S 1 + S 2 + S 3) 1. Обем на права триъгълна призма..

И накрая: V = S 1. Обем на права триъгълна призма..

По същия начин се извежда формулата за обема на права призма с произволен многоъгълник в основата.

означава, Обемът на всяка права призма е равен на произведението на площта на нейната основа и нейната височина.

Упражнения.

1. Изчислете обема на права призма с успоредник в основата си, като използвате следните данни:

2. Изчислете обема на права призма с триъгълник в основата си, като използвате следните данни:

3. Изчислете обема на права призма, чиято основа е равностранен триъгълник със страна 12 cm (32 cm, 40 cm). Височина на призмата 60 см.

4. Изчислете обема на права призма, в основата на която има правоъгълен триъгълник с катети 12 cm и 8 cm (16 cm и 7 cm; 9 m и 6 m). Височината на призмата е 0,3 m.

5. Изчислете обема на права призма, която има в основата си трапец с успоредни страни 18 cm и 14 cm и височина 7,5 cm. Височината на призмата е 40 cm.

6. Изчислете обема на вашата класна стая (физкултурна зала, вашата стая).

7. Общата повърхност на куба е 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Изчислете обема на този куб.

8. Дължината на една строителна тухла е 25,0 см, ширината й е 12,0 см, дебелината й е 6,5 см. а) Изчислете нейния обем, б) Определете нейното тегло, ако 1 кубичен сантиметъртухла тежи 1,6 g.

9. Колко парчета строителни тухли ще са необходими за изграждането на масив тухлена стена, имащ формата на правоъгълен паралелепипед с дължина 12 m, ширина 0,6 m и височина 10 m? (Размери на тухла от упражнение 8.)

10. Дължината на една чисто изрязана дъска е 4,5 м, ширината - 35 см, дебелината - 6 см. а) Изчислете обема б) Определете теглото й, ако един кубичен дециметър от дъската тежи 0,6 кг.

11. Колко тона сено могат да се натрупат в покрит сеновал двускатен покрив(Начертано 309), ако дължината на сеновала е 12 m, ширината е 8 m, височината е 3,5 m и височината на билото на покрива е 1,5 m? ( Специфично тегловземете сено като 0,2.)

12. Необходимо е да се изкопае канавка с дължина 0,8 км; в разрез канавката трябва да има формата на трапец с основи 0,9 m и 0,4 m, а дълбочината на канавката трябва да бъде 0,5 m (чертеж 310). Колко кубични метра земя ще трябва да бъдат премахнати?

IN училищна програмаизучаване на курс по стереометрия обемни фигуриобикновено започва с просто геометрично тяло - многостен призма. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в него успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата?

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, чиито основи са 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за това геометрична фигура- прав паралелепипед.

По-долу е показан чертеж, показващ четириъгълна призма.

Виждате и на снимката основни елементи, от които се състои геометричното тяло. Те включват:

Понякога в задачи по геометрия можете да срещнете понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, принадлежащи към режеща равнина. Разрезът може да бъде перпендикулярен (пресича ръбовете на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се взема предвид и диагонално сечение ( максимално количествоучастъци, които могат да бъдат построени - 2), преминаващи през 2 ръба и диагонали на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

За намиране на дадените призматични елементи се използват различни отношения и формули. Някои от тях са известни от курса по планиметрия (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да запомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sbas h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a²·h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейното развитие.

От чертежа става ясно, че странична повърхностсъставен от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Posn h

Като се има предвид, че периметърът на квадрата е равен на P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите площта на общата повърхност на призмата, трябва да добавите 2 основни площи към страничната площ:

Пълен = Sside + 2Smain

Във връзка с четириъгълна правилна призма формулата изглежда така:

Общо = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на призмени елементи

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формулите:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
• основна площ: Sbas = V / h;
• странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.От това следва:

Sdiag = ah√2

За да изчислите диагонала на призма, използвайте формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите дадените отношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето някои задачи от държавните зрелостни изпити по математика.

Задача 1.

В кутия с правилна форма четириъгълна призма, насипва се пясък. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с два пъти по-дълга основа?

Следва да се мотивира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да означите дължината на основата с а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, можем да приравним изразите:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че в основата има квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същия размер, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известен диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата площ на повърхността се намира с помощта на формулата за куб:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, т.е. правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че е дясната призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площта ще бъде покрита с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50·30 = 1500рубли

По този начин, за решаване на задачи, включващи правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислявате площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитпо математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, референтен материал, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри триковерешения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.