52. Более сложные примеры уравнений .
Пример 1 .

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 и x = 3½

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

Пример 2 .

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 - от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо - получим:

3x = 3 или x = 1

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) - ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

что невозможно.

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

6x + 10 = 2x + 18

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Пример 3 .

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Отсюда получим:

–x = –13 и x = 13.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Обучающие:

• Обобщить знания по всем видам уравнений, подчеркнуть значимость всех способов, применяемых при решении уравнений.
• Активизирование работы учащихся за счет, разнообразных приемов на уроке.
• Проверить теоретические и практические навыки при решении уравнений.
• Заострить внимание на том, что, одно уравнение можно решить несколькими способами

Развивающие:

• Повысить интерес учащихся к предмету, через использование ИКТ.
• Ознакомление учащихся с историческим материалом по теме.
• Развитие мыслительной деятельности при определении вида уравнения и способов его решения.

Воспитательные:

• Воспитать дисциплину на уроке.
• Развитие способности к восприятию прекрасного, в себе самом, в другом человеке и в окружающем мире.

Тип урока:

• Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока:

• Комбинированный.

Материально-техническое оснащение:

• Компьютер
• Экран
• Проектор
• Диск с презентацией темы

Методы и приемы:

• Использование презентации
• Фронтальная беседа
• Устная работа
• Игровые моменты
• Работа в парах
• Работа у доски
• Работа в тетрадях

План урока:

1. Организационный момент (1минуты)
2. Расшифровка темы урока (3минуты)
3. Сообщение темы и цели урока (1минута)
4. Теоретическая разминка (3минут)
5. Исторический экскурс (3минуты)
6. Игра “Убери лишнее” (2минуты)
7. Творческая работа (2минуты)
8. Задание “Найди ошибку” (2минуты)
9. Решение одного уравнения несколькими способами (на слайде) (3минуты)
10. Решение одного уравнения несколькими способами (у доски) (24 минут)
11. Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением (5минут)
12. Индивидуальное домашнее задание(1минуты)
13. Итог урока рефлексия (1минута)

Эпиграф урока:

“Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.
А.Франс

Конспект урока

Организационная часть

Проверяю готовность учащихся к уроку, отмечаю отсутствующих на уроке. Ребята, Французский писатель 19 века А.Франс однажды заметил “ Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”. Так давайте на нашем уроке следовать совету, писателя и переваривать знания с большим аппетитом, ведь они пригодятся в нашей жизни.

Расшифровка темы урока

Для того, чтобы перейти к более сложном заданием, давайте разомнем свои мозги простыми заданиями. Тема нашего урока зашифрована, решив устные задания и найдя к ним ответ, зная, что каждый ответ имеет свою букву, мы раскроем тему урока. Презентация слайд 3

Сообщение темы и цели урока

Вы, сегодня сами назвали тему урока

“Виды уравнений и способы их решения”. Презентация слайд 4

Цель: Вспомнить и обобщить все виды уравнений и способы их решения. Решить одно уравнение всеми способами. Презентация слайд 5 Прочитать высказывание Эйнштейна Презентация слайд 5

Теоретическая разминка

Вопросы Презентация слайд 7

Ответы

1. Равенство, содержащее переменную величину, обозначенную какой-то буквой.
2. Это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
4. После этого определения прочесть стихотворение об уравнении Презентация слайд 12,13,14

Ответы на 2 последних вопроса Презентация слайд 9,10,11

Исторический экскурс

Историческая справка, о том “Кто и когда придумал уравнение” Презентация слайд 15

Представим себе, что первобытная мама по имени... впрочем, у неё, наверно, и имени то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать каждому из своих 4 детей. Вероятно, она не умела считать не только до 12, но и до четырёх, и уж несомненно не умела делить 12 на 4.А яблоки она поделила, наверно, так: сначала дала каждому ребёнку по яблоку, потом ещё по яблоку, потом ещё по одному и тут увидела, что яблок больше нет и дети довольны. Если записать эти действия на современном математическом языке, то получается х4=12, то есть мама решила задачу на составление уравнение. По-видимому, ответить на поставленный выше вопрос невозможно. Задачи, приводящие к решению уравнений, люди решили на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. Ещё за 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приёмы решения были не похожи на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитие учения об уравнениях достиг греческий учёный Диофант(III век), о котором писали:

Он уйму всяких разрешил проблем.
И запахи предсказывал, и ливни.
Поистине, его познанья дивны.

Большой вклад в решение уравнений внёс среднеазиатский математик Мухаммед ал Хорезми (IХ век). Его знаменитая книга ал-Хорезми посвящена решению уравнений. Она называется “Китаб ал-джебр вал-мукабала”, т. е. “Книга о восполнении и противопоставлении”. Эта книга стала известна европейцам, а от слова “ал-джебр” из ее заглавия произошло слово “алгебра” – название одной из главных частей математики. В дальнейшем многие математики занимались проблемами уравнений. Общее правило решений квадратных уравнений приведённых к виду х2+вх=0 было сформулировано немецким математиком Штифелем, проживавшим в ХV веке. После трудов нидерландского математика Жирара (ХVI век), а также Декарта и Ньютона, способ решения принял современный вид. Формулы, выражающие зависимости корней уравнения от его коэффициентов была введена Виетом. Франсуа Виет жил в ХVI веке. Он внёс большой вклад в изучение различных проблем в математике и астрономии; в частности, он ввёл буквенные обозначения коэффициентов уравнения. А сейчас познакомимся с интересным эпизодом из его жизни. Громкую славу Виет получил при короле Генрихе III, вовремя франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись, благодаря которой испанцы вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции.

Напрасно французы пытались найти ключ к шифру, и тогда король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет нашёл за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего, неожиданно для Испании, Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Будучи уверенным, что шифр разгадать не возможно, испанцы обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиции и вошёл в историю как великий математик.

Игра “Убери лишнее”

Цель игры ориентирование в видах уравнений.

У нас даны три столбика уравнений,в каждом из них, уравнения определены по какому-то признаку,но одно из них лишнее ваша задача его найти и охарактеризовать. Презентация слайд 16

Творческая работа

Цель этого задания: Восприятие на слух математической речи ориентировании детей в видах уравнений.

На экране вы видите 9 уравнений. Каждое уравнение имеет свой номер, я буду называть вид этого уравнения, а вы должны найти уравнение этого вида, и поставить только номер, под которым оно стоит, в результате вы получите 9-значное число Презентация слайд 17

1. Приведенное квадратное уравнение.
2. Дробно-рациональное уравнение
3. Кубическое уравнение
4. Логарифмическое уравнение
5. Линейное уравнение
6. Неполное квадратное уравнение
7. Показательное уравнение
8. Иррациональное уравнение
9. Тригонометрическое уравнение

Задание “Найди ошибку”

Один ученик решал уравнения, но весь класс смеялся, в каждом уравнении он допустил ошибку, ваша задача найти ее и исправить. Презентация слайд 18

Решение одного уравнения несколькими способами

А теперь решим одно уравнение всеми возможными способами, для экономии времени на уроке одно уравнение на экране. Сейчас вы назовете вид этого уравнения, и объясните какой способ используется, при решении этого уравнения Презентация слайды 19-27

Решение одного уравнения несколькими способами (у доски)

Мы посмотрели пример, а теперь давайте решим уравнение у доски всевозможными способами.

X-2 - иррациональное уравнение

Возведем в квадрат обе части уравнения.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Решаем это уравнение у доски 9 способами.

Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением у доски

А сейчас вы поработаете в парах, на парту я даю уравнение, ваша задача определить вид уравнения, перечислить все способы решения этого уравнения, решить 1-2 наиболее рациональными для вас способами. (2 минуты)

Задания для работы в парах

Решите уравнение

После самостоятельной работы в парах один представитель выходит к доске представляет свое уравнение, решает одним способом

Индивидуальное домашнее задание (дифференцируемо)

Решите уравнение

(определить вид уравнения, решить всеми способами на отдельном листе)

Итог урока рефлексия.

Подвожу итог урока, заостряю внимание на том, что одно уравнение можно решить многими способами, выставляю оценки, делаю вывод, кто был активным кому надо быть поактивнее. Зачитываю высказывание Калинина Презентация слайд 28

Посмотрите внимательно на те цели которые мы с вами поставили для сегодняшнего урока:

• Что на ваш взгляд нам удалось сделать?
• Что получилось не очень хорошо?
• Что вам особенно понравилось и запомнилось?
• Сегодня я узнал новое...
• На уроке мне пригодились знания...
• Для меня было сложно...
• На уроке мне понравилось...

Литература.

1. Дорофеев Г.В. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы” - М.: Дрофа, 2006.
2. Гарнер Мартин. Математические головоломки и развлечения.
3. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл., 11 кл. М.: Просвещение. 2002.

Как правило, уравнения появляются в задачах, в которых требуется найти некую величину. Уравнение позволяет сформулировать задачу на языке алгебры. Решив уравнение, мы получим значение нужной величины, которая называется неизвестной. «У Андрея в кошельке несколько рублей. Если умножить это число на 2, а затем вычесть 5, получится 10. Сколько денег у Андрея?» Обозначим неизвестную сумму денег за х и запишем уравнение: 2х-5=10.

Чтобы говорить о способах решения уравнений , сначала нужно определить основные понятия и познакомиться с общепринятыми обозначениями. Для разных типов уравнений существуют различные алгоритмы их решения. Проще всего решаются уравнения первой степени с одной неизвестной. Многим со школы знакома формула для решения квадратных уравнений. Приемы высшей математики помогут решить уравнения более высокого порядка. Множество чисел, на которых определено уравнение, тесно связано с его решениями. Также интересна взаимосвязь между уравнениями и графиками функций, так как представление уравнений в графическом виде великолепно помогает в их .

Описание . Уравнение - это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами, например 2х+3у=0.

Выражения по обе стороны знака равенства называются левой и правой частями уравнения . Буквами латинского алфавита обозначаются неизвестные. Хотя число неизвестных может быть любым, далее мы расскажем только об уравнениях с одной неизвестной, которую будем обозначать за х.

Степень уравнения - это максимальная степень, в которую возводится неизвестная. Например,
$3x^4+6x-1=0$ - уравнение четвертой степени, $x-4x^2+6x=8$ - уравнение второй степени.

Числа, на которые умножается неизвестная, называются коэффициентами . В предыдущем примере неизвестная в четвертой степени имеет коэффициент 3. Если при замене х на это число выполняется заданное равенство, то говорят, что это число удовлетворяет уравнению. Оно называется решением уравнения , или его корнем. Например, 3 является корнем, или решением, уравнения 2х+8=14, так как 2*3+8=6+8=14.

Решение уравнений . Допустим, что мы хотим решить уравнение 2х+5=11.

Можно подставить в него какое-нибудь значение х, например х=2. Заменим х на 2 и получим: 2*2+5=4+5=9.

Здесь что-то не так, потому что в правой части уравнения мы должны были получить 11. Попробуем х=3: 2*3+5=6+5=11.

Ответ верный. Получается, что если неизвестная принимает значение 3, то равенство выполняется . Следовательно, мы показали, что число 3 является решением уравнения.

Способ, который мы использовали для решения этого уравнения, называется методом подбора . Очевидно, что он неудобен в использовании. Более того, его даже нельзя назвать методом. Чтобы убедиться в этом, достаточно попробовать применить его к уравнению вида $x^4-5x^2+16=2365$.

Методы решения . При существуют так называемые «правила игры», с которыми будет полезно ознакомиться. Наша цель - определить значение неизвестной, которое удовлетворяет уравнению. Поэтому нужно каким-либо способом выделить неизвестную. Для этого необходимо перенести члены уравнения из одной его части в другую. Первое правило решения уравнений таково…

1. При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный: плюс меняется на минус и наоборот. Рассмотрим в качестве примера уравнение 2х+5=11. Перенесем 5 из левой части в правую: 2х=11-5. Уравнение примет вид 2х=6.

Перейдем ко второму правилу.
2. Обе части уравнения можно умножать и делить на число, не равное нулю. Применим это правило к нашему уравнению: $x=\frac62=3$. В левой части равенства осталась только неизвестная х, следовательно, мы нашли ее значение и решили уравнение.

Мы только что рассмотрели простейшую задачку - линейное уравнение с одной неизвестной . Уравнения этого типа всегда имеют решение, более того, их всегда можно решить с помощью простейших операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Увы, не все уравнения столь же просты. Более того, степень их сложности возрастает очень быстро. Например, уравнения второй степени легко решит любой ученик средней школы, но способы решения систем линейных уравнений или уравнений высших степеней изучаются только в старших классах.

Линейные уравнения. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Линейные уравнения.

Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0 где а и b – любые числа.

2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7

0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

х - 3 = 2 - 4х

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.

Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:

х + 4х = 2 + 3

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Раскрываем скобки:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

Приводим подобные:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:

2х-5х+3х=5-2-3

Считаем, и... опаньки!!! Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х - любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.