Sannolikhet händelse kallas förhållandet mellan antalet gynnsamma elementära utfall denna händelse, till antalet alla lika möjliga resultat av upplevelsen där denna händelse kan uppträda. Sannolikheten för händelse A betecknas med P(A) (här är P första bokstaven i det franska ordet sannolikhet - sannolikhet). Enligt definitionen
(1.2.1)
där är antalet elementära utfall som är gynnsamma för händelse A; - Antalet alla lika möjliga elementära resultat av experimentet, som bildar en komplett grupp av händelser.
Denna definition av sannolikhet kallas klassisk. Det uppstod på inledande skede utveckling av sannolikhetsteori.

Sannolikheten för en händelse har följande egenskaper:
1. Sannolikheten för en tillförlitlig händelse är lika med en. Låt oss beteckna en tillförlitlig händelse med bokstaven. För en viss händelse alltså
(1.2.2)
2. Sannolikheten för en omöjlig händelse är noll. Låt oss beteckna en omöjlig händelse med bokstaven. För en omöjlig händelse alltså
(1.2.3)
3. Sannolikheten för en slumpmässig händelse uttrycks som ett positivt tal mindre än ett. Eftersom för en slumpmässig händelse är ojämlikheterna , eller , uppfyllda, alltså
(1.2.4)
4. Sannolikheten för en händelse uppfyller ojämlikheterna
(1.2.5)
Detta följer av relationer (1.2.2) - (1.2.4).

Exempel 1. En urna innehåller 10 bollar av samma storlek och vikt, varav 4 är röda och 6 är blå. En boll dras från urnan. Vad är sannolikheten att den dragna bollen blir blå?

Lösning. Vi betecknar händelsen "den dragna bollen visade sig vara blå" med bokstaven A. Detta test har 10 lika möjliga elementära utfall, varav 6 gynnar händelse A. I enlighet med formel (1.2.1) får vi

Exempel 2. Alla naturliga tal från 1 till 30 skrivs på identiska kort och placeras i en urna. Efter att ha blandat korten noggrant tas ett kort bort från urnan. Vad är sannolikheten att numret på kortet som tas är en multipel av 5?

Lösning. Låt oss beteckna med A händelsen "talet på det tagna kortet är en multipel av 5." I detta test det finns 30 lika möjliga elementära utfall, av vilka händelse A gynnas av 6 utfall (siffrorna 5, 10, 15, 20, 25, 30). Därför,

Exempel 3. Två tärningar kastas och summan av poäng på toppytorna beräknas. Hitta sannolikheten för händelse B så att tärningarnas övre ytor har totalt 9 poäng.

Lösning. I detta test finns det bara 6 2 = 36 lika möjliga elementära resultat. Händelse B gynnas av 4 utfall: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), därför

Exempel 4. Vald slumpmässigt naturligt tal, högst 10. Vad är sannolikheten att detta tal är primtal?

Lösning. Låt oss beteckna händelsen "det valda talet är primtal" med bokstaven C. I detta fall n = 10, m = 4 ( primtal 2, 3, 5, 7). Därför krävs sannolikhet

Exempel 5. Två symmetriska mynt kastas. Vad är sannolikheten att det finns siffror på ovansidan av båda mynten?

Lösning. Låt oss beteckna med bokstaven D händelsen "det finns en siffra på översidan av varje mynt." I detta test finns det 4 lika möjliga elementära resultat: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Beteckningen (G, C) betyder att det första myntet har ett vapen, det andra har ett nummer). Händelse D gynnas av ett elementärt resultat (C, C). Eftersom m = 1, n = 4, alltså

Exempel 6. Vad är sannolikheten att ett tvåsiffrigt tal valt slumpmässigt har samma siffror?

Lösning. Tvåsiffriga nummer är nummer från 10 till 99; Det finns 90 sådana nummer totalt. Samma siffror har 9 nummer (dessa nummer är 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Eftersom i detta fall m = 9, n = 90, alltså
,
där A är händelsen "nummer med identiska siffror".

Exempel 7. Från bokstäverna i ordet differentiell En bokstav väljs slumpmässigt. Vad är sannolikheten att denna bokstav kommer att vara: a) en vokal, b) en konsonant, c) en bokstav h?

Lösning. Ordet differential har 12 bokstäver, varav 5 är vokaler och 7 är konsonanter. Bokstäver h det finns inget i detta ord. Låt oss beteckna händelserna: A - "vokalbokstav", B - "konsonantbokstav", C - "bokstav h". Antalet gynnsamma elementära utfall: - för händelse A, - för händelse B, - för händelse C. Eftersom n = 12, då
, Och .

Exempel 8. Två tärningar kastas och antalet poäng på toppen av varje tärning noteras. Hitta sannolikheten att båda tärningarna visar lika många poäng.

Lösning. Låt oss beteckna denna händelse med bokstaven A. Händelse A gynnas av 6 elementära resultat: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Det totala antalet lika möjliga elementära utfall som bildar en komplett grupp av händelser, i detta fall n=6 2 =36. Detta innebär att den erforderliga sannolikheten

Exempel 9. Boken har 300 sidor. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt öppnad sida har serienummer, multipel av 5?

Lösning. Av villkoren för problemet följer att alla lika möjliga elementära utfall som bildar en komplett grupp av händelser kommer att vara n = 300. Av dessa gynnar m = 60 förekomsten av den specificerade händelsen. Faktum är att ett tal som är en multipel av 5 har formen 5k, där k är ett naturligt tal, och varifrån . Därför,
, där A - "page"-händelsen har ett sekvensnummer som är en multipel av 5".

Exempel 10. Två tärningar kastas och summan av poäng på toppytorna beräknas. Vad är mer troligt - att få totalt 7 eller 8?

Lösning. Låt oss beteckna händelserna: A - "7 poäng kastas", B - "8 poäng kastas". Händelse A gynnas av 6 elementära resultat: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), och händelse B gynnas med 5 resultat: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Alla lika möjliga elementära utfall är n = 6 2 = 36. Detta betyder Och .

Så P(A)>P(B), det vill säga att få totalt 7 poäng är en mer trolig händelse än att få totalt 8 poäng.

Uppgifter

1. Ett naturligt tal som inte överstiger 30 väljs slumpmässigt. Vad är sannolikheten att detta tal är en multipel av 3?
2. I urnan a röd och b blå bollar, identiska i storlek och vikt. Vad är sannolikheten för att en boll som dras slumpmässigt från denna urna blir blå?
3. Ett tal som inte överstiger 30 väljs slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att detta tal är en divisor av 30?
4. I urnan A blå och b röda bollar, identiska i storlek och vikt. En boll tas från denna urna och ställs åt sidan. Den här bollen visade sig vara röd. Efter detta dras ytterligare en boll från urnan. Hitta sannolikheten att den andra kulan också är röd.
5. Ett nationellt tal som inte överstiger 50 väljs slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att detta tal är primtal?
6. Tre tärningar kastas och summan av poäng på toppytorna beräknas. Vad är mer sannolikt - att få totalt 9 eller 10 poäng?
7. Tre tärningar kastas och summan av poängen som kastas beräknas. Vad är mer sannolikt - att få totalt 11 (händelse A) eller 12 poäng (händelse B)?

Svar

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - sannolikhet att få 9 poäng totalt; p 2 = 27/216 - sannolikhet att få 10 poäng totalt; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Frågor

1. Vad kallas sannolikheten för en händelse?
2. Vad är sannolikheten för en tillförlitlig händelse?
3. Vad är sannolikheten för en omöjlig händelse?
4. Vilka är gränserna för sannolikheten för en slumpmässig händelse?
5. Vilka är gränserna för sannolikheten för en händelse?
6. Vilken definition av sannolikhet kallas klassisk?

Det är tydligt att varje händelse har en varierande grad av möjlighet att inträffa (dess genomförande). För att kvantitativt jämföra händelser med varandra enligt graden av deras möjlighet, är det uppenbarligen nödvändigt att associera ett visst antal till varje händelse, vilket är större ju mer möjligt händelsen är. Detta tal kallas sannolikheten för en händelse.

Sannolikhet för händelse– är ett numeriskt mått på graden av objektiv möjlighet att denna händelse inträffar.

Överväg ett stokastiskt experiment och slumpmässig händelse A, observerad i detta experiment. Låt oss upprepa detta experiment n gånger och låt m(A) vara antalet experiment där händelse A inträffade.

Relation (1.1)

kallad relativ frekvens händelser A i serien av utförda experiment.

Det är lätt att verifiera egenskapernas giltighet:

om A och B är inkonsekventa (AB= ), då är ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Den relativa frekvensen bestäms först efter en serie experiment och kan generellt sett variera från serie till serie. Erfarenheten visar dock att i många fall när antalet experiment ökar närmar sig den relativa frekvensen ett visst antal. Detta faktum att den relativa frekvensen är stabil har upprepade gånger verifierats och kan anses experimentellt etablerad.

Exempel 1.19.. Om du kastar ett mynt kan ingen förutsäga vilken sida det kommer att landa på toppen. Men om du kastar två ton mynt, kommer alla att säga att ungefär ett ton kommer att falla upp med vapenskölden, det vill säga den relativa frekvensen av vapnet som faller ut är ungefär 0,5.

Om, med en ökning av antalet experiment, den relativa frekvensen av händelsen ν(A) tenderar till ett visst fast antal, så sägs det att händelse A är statistiskt stabil, och detta tal kallas sannolikheten för händelse A.

Sannolikhet för händelsen A något fast tal P(A) anropas, till vilket den relativa frekvensen ν(A) för denna händelse tenderar när antalet experiment ökar, dvs.

Denna definition kallas statistisk bestämning av sannolikhet .

Låt oss betrakta ett visst stokastiskt experiment och låta utrymmet för dess elementära händelser bestå av en ändlig eller oändlig (men räkningsbar) uppsättning elementära händelser ω 1, ω 2, …, ω i, …. Låt oss anta att varje elementär händelse ω i tilldelas ett visst nummer - р i, som kännetecknar graden av möjlighet för förekomsten av en given elementär händelse och uppfyller följande egenskaper:

Detta nummer p i kallas sannolikheten för en elementär händelseωi.

Låt nu A vara en slumpmässig händelse som observerats i detta experiment, och låt den motsvara en viss mängd

I den här inställningen sannolikheten för en händelse A kalla summan av sannolikheterna för elementära händelser som gynnar A(ingår i motsvarande set A):

(1.4)

Sannolikheten som introduceras på detta sätt har samma egenskaper som den relativa frekvensen, nämligen:

Och om AB = (A och B är inkompatibla),

då P(A+B) = P(A) + P(B)

Enligt (1.4)

I den sista relationen utnyttjade vi det faktum att inte en enda elementär händelse kan gynna två inkompatibla händelser samtidigt.

Vi noterar särskilt att sannolikhetsteorin inte anger metoder för att bestämma p i de måste sökas av praktiska skäl eller erhållas från ett motsvarande statistiskt experiment.

Som ett exempel, betrakta det klassiska schemat för sannolikhetsteorin. För att göra detta, överväg ett stokastiskt experiment, vars utrymme för elementära händelser består av ett ändligt (n) antal element. Låt oss dessutom anta att alla dessa elementära händelser är lika möjliga, det vill säga sannolikheten för elementära händelser är lika med p(ω i)=pi =p. Det följer att

Exempel 1.20. När du kastar ett symmetriskt mynt är det lika möjligt att få huvud och svans, deras sannolikheter är lika med 0,5.

Exempel 1.21. När du kastar en symmetrisk tärning är alla ansikten lika möjliga, deras sannolikheter är lika med 1/6.

Låt nu händelse A gynnas av m elementära händelser, de brukar kallas gynnsamma resultat för händelse A. Sedan

Mottagen klassisk definition av sannolikhet: sannolikheten P(A) för händelse A är lika med förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för händelse A till totalt antal resultat

Exempel 1.22. Urnan innehåller m vita kulor och n svarta kulor. Vad är sannolikheten att dra en vit boll?

Lösning. Det totala antalet elementära händelser är m+n. De är alla lika troliga. Gynnsam händelse A varav m. Därför, .

Följande egenskaper följer av definitionen av sannolikhet:

Fastighet 1. Sannolikheten för en tillförlitlig händelse är lika med en.

Om händelsen är tillförlitlig, så gynnar varje elementärt resultat av testet händelsen. I det här fallet t=p, därför,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Fastighet 2. Sannolikheten för en omöjlig händelse är noll.

Faktum är att om en händelse är omöjlig, så gynnar inget av de grundläggande resultaten av testet händelsen. I det här fallet T= 0, därför, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Fastighet 3.Det finns en sannolikhet för en slumpmässig händelse positivt tal, innesluten mellan noll och ett.

Faktum är att endast en del av det totala antalet elementära resultat av testet gynnas av en slumpmässig händelse. Det vill säga 0≤m≤n, vilket betyder 0≤m/n≤1, därför uppfyller sannolikheten för en händelse den dubbla olikheten 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Genom att jämföra definitionerna av sannolikhet (1,5) och relativ frekvens (1,1), drar vi slutsatsen: definition av sannolikhet kräver ingen testning i verkligheten; definitionen av relativ frekvens förutsätter att tester faktiskt utfördes. Med andra ord, sannolikheten beräknas före experimentet, och den relativa frekvensen - efter experimentet.

För att beräkna sannolikhet krävs dock preliminär information om antalet eller sannolikheterna för elementära utfall som är gynnsamma för en given händelse. I avsaknad av sådan preliminär information används empiriska data för att bestämma sannolikheten, det vill säga den relativa frekvensen av händelsen bestäms baserat på resultaten av ett stokastiskt experiment.

Exempel 1.23. Teknisk kontrollavdelning upptäckt 3 icke-standardiserade delar i en sats av 80 slumpmässigt utvalda delar. Relativ frekvens av förekomst av icke-standardiserade delar r(A)= 3/80.

Exempel 1.24. Enligt ändamålet.producerat 24 skott, och 19 träffar registrerades. Relativ målträfffrekvens. r(A)=19/24.

Långtidsobservationer har visat att om experiment utförs under identiska förhållanden, i var och en av vilka antalet tester är tillräckligt stort, så uppvisar den relativa frekvensen stabilitetsegenskapen. Denna fastighet är att i olika experiment ändras den relativa frekvensen lite (ju mindre, desto fler tester utförs), fluktuerande kring ett visst konstant tal. Det visade sig att detta konstanta tal kan tas som ett ungefärligt värde på sannolikheten.

Sambandet mellan relativ frekvens och sannolikhet kommer att beskrivas mer i detalj och mer exakt nedan. Låt oss nu illustrera egenskapen stabilitet med exempel.

Exempel 1.25. Enligt svensk statistik kännetecknas den relativa födelsefrekvensen av flickor för 1935 per månad av följande siffror (talen är ordnade i månadsordning, med början med januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Den relativa frekvensen fluktuerar kring talet 0,481, vilket kan tas som ett ungefärligt värde för sannolikheten att få tjejer.

Observera att statistiska data från olika länder ger ungefär samma relativa frekvensvärde.

Exempel 1.26. Myntkastningsexperiment utfördes många gånger, där antalet framträdanden av "vapenskölden" räknades. Resultaten av flera experiment visas i tabellen.

• Sannolikhet är graden (relativt mått, kvantitativ bedömning) av möjligheten att någon händelse inträffar. När orsakerna till att någon möjlig händelse faktiskt inträffar överväger de motsatta orsakerna, kallas denna händelse sannolik, annars - osannolik eller osannolik. Övervikten av positiva skäl framför negativa, och vice versa, kan vara i varierande grad, vilket gör att sannolikheten (och osannolikheten) kan vara större eller mindre. Därför bedöms sannolikhet ofta på en kvalitativ nivå, särskilt i de fall en mer eller mindre korrekt kvantitativ bedömning är omöjlig eller extremt svår. Olika gradationer av "nivåer" av sannolikhet är möjliga.

  Studiet av sannolikhet ur en matematisk synvinkel utgör en speciell disciplin - sannolikhetsteori. I sannolikhetsteori och matematisk statistik formaliseras begreppet sannolikhet som en numerisk egenskap hos en händelse - ett sannolikhetsmått (eller dess värde) - ett mått på en uppsättning händelser (undermängder av en uppsättning elementära händelser), med värden ​från

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Menande

  (\displaystyle 1)

  Motsvarar en pålitlig händelse. En omöjlig händelse har sannolikheten 0 (det omvända är i allmänhet inte alltid sant). Om sannolikheten för att en händelse inträffar är

  (\displaystyle p)

  Då är sannolikheten för att det inte inträffar lika med

  (\displaystyle 1-p)

  I synnerhet sannolikheten

  (\displaystyle 1/2)

  Betyder lika sannolikhet att en händelse inträffar och att en händelse inte inträffar.

  Den klassiska definitionen av sannolikhet bygger på begreppet lika sannolikhet för utfall. Sannolikheten är förhållandet mellan antalet gynnsamma utfall för en given händelse och det totala antalet lika möjliga utfall. Sannolikheten för att få huvuden eller svansar i en slumpmässig myntkastning är till exempel 1/2 om man antar att endast dessa två möjligheter förekommer och att de är lika möjliga. Denna klassiska "definition" av sannolikhet kan generaliseras till fallet med ett oändligt antal möjliga värden - till exempel om någon händelse kan inträffa med lika sannolikhet vid vilken punkt som helst (antalet punkter är oändligt) i någon begränsad region av utrymme (plan), då är sannolikheten att det kommer att inträffa i någon del av denna möjliga region lika med förhållandet mellan volymen (arean) av denna del och volymen (arean) av regionen av alla möjliga punkter.

  Den empiriska "definitionen" av sannolikhet är relaterad till frekvensen av att en händelse inträffar baserat på det faktum att med tillräcklig stort antal testfrekvensen bör tendera till den objektiva graden av möjlighet för denna händelse. I den moderna presentationen av sannolikhetsteori definieras sannolikhet axiomatiskt som specialfall abstrakt teori om uppsättning mått. Ändå, länk mellan det abstrakta måttet och sannolikheten som uttrycker graden av möjlighet att en händelse inträffar är just frekvensen av dess observation.

  Den probabilistiska beskrivningen av vissa fenomen har blivit utbredd inom modern vetenskap, särskilt inom ekonometri, statistisk fysik av makroskopiska (termodynamiska) system, där även i fallet med en klassisk deterministisk beskrivning av partiklars rörelse, en deterministisk beskrivning av hela systemet av partiklar verkar inte praktiskt möjligt eller lämpligt. I kvantfysik de processer som beskrivs i sig är av probabilistisk karaktär.

Behovet av att agera på sannolikheter uppstår när sannolikheterna för vissa händelser är kända, och det är nödvändigt att beräkna sannolikheterna för andra händelser som är associerade med dessa händelser.

Addering av sannolikheter används när du behöver beräkna sannolikheten för en kombination eller logisk summa av slumpmässiga händelser.

Summan av händelser A Och B beteckna A + B eller A ∪ B. Summan av två händelser är en händelse som inträffar om och endast om minst en av händelserna inträffar. Detta betyder det A + B– en händelse som inträffar om och endast om händelsen inträffade under observation A eller händelse B, eller samtidigt A Och B.

Om händelser A Och Bär ömsesidigt inkonsekventa och deras sannolikheter är givna, så beräknas sannolikheten att en av dessa händelser inträffar som ett resultat av ett försök med hjälp av tillägg av sannolikheter.

Sannolikhetsadditionssats. Sannolikheten att en av två ömsesidigt inkompatibla händelser inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Till exempel under jakt avlossas två skott. Händelse A– slå en anka med det första skottet, händelse I– träff från det andra skottet, händelse ( A+ I) – en träff från det första eller andra skottet eller från två skott. Så, om två händelser A Och I– oförenliga händelser alltså A+ I– förekomsten av minst en av dessa händelser eller två händelser.

Exempel 1. Det finns 30 bollar av samma storlek i en låda: 10 röda, 5 blå och 15 vita. Beräkna sannolikheten att en färgad (inte vit) boll kommer att plockas upp utan att titta.

Lösning. Låt oss anta att händelsen A- "den röda bollen är tagen", och händelsen I- "Den blå bollen togs." Sedan är händelsen "en färgad (inte vit) boll tas." Låt oss ta reda på sannolikheten för händelsen A:

och evenemang I:

Händelser A Och I– ömsesidigt oförenligt, eftersom om en boll tas kan bollarna inte tas olika färger. Därför använder vi tillägg av sannolikheter:

Satsen för att lägga till sannolikheter för flera inkompatibla händelser. Om händelser utgör en komplett uppsättning händelser, är summan av deras sannolikheter lika med 1:

Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är också lika med 1:

Motsatta händelser bildar en komplett uppsättning händelser, och sannolikheten för en fullständig uppsättning händelser är 1.

Sannolikheter för motsatta händelser anges vanligtvis med små bokstäver sid Och q. Särskilt,

varifrån följande formler för sannolikheten för motsatta händelser följer:

Exempel 2. Målet på skjutbanan är indelat i 3 zoner. Sannolikheten att en viss skytt kommer att skjuta mot målet i den första zonen är 0,15, i den andra zonen - 0,23, i den tredje zonen - 0,17. Hitta sannolikheten att skytten kommer att träffa målet och sannolikheten att skytten missar målet.

Lösning: Hitta sannolikheten att skytten träffar målet:

Låt oss ta reda på sannolikheten att skytten missar målet:

För mer komplexa problem, där du behöver använda både addition och multiplikation av sannolikheter, se sidan "Olika problem som involverar addition och multiplikation av sannolikheter".

Tillägg av sannolikheter för ömsesidigt samtidiga händelser

Två slumpmässiga händelser kallas gemensamma om förekomsten av en händelse inte utesluter förekomsten av en andra händelse i samma observation. Till exempel när man kastar tärningar händelse A Siffran 4 anses vara utrullad, och evenemanget I– rulla ett jämnt tal. Eftersom 4 är ett jämnt tal är de två händelserna kompatibla. I praktiken finns det problem med att beräkna sannolikheterna för att en av de ömsesidigt samtidiga händelserna ska inträffa.

Sannolikhetsadditionssats för gemensamma händelser. Sannolikheten att en av de gemensamma händelserna inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser, från vilken sannolikheten för den gemensamma förekomsten av båda händelserna subtraheras, det vill säga produkten av sannolikheterna. Formeln för sannolikheterna för gemensamma händelser har följande form:

Sedan händelserna A Och I kompatibel, händelse A+ I inträffar om en av tre möjliga händelser inträffar: eller AB. Enligt satsen om addition av inkompatibla händelser, beräknar vi enligt följande:

Händelse A kommer att inträffa om en av två inkompatibla händelser inträffar: eller AB. Sannolikheten för att en händelse inträffar från flera inkompatibla händelser är dock lika med summan av sannolikheterna för alla dessa händelser:

Likaledes:

Genom att ersätta uttryck (6) och (7) med uttryck (5), får vi sannolikhetsformeln för gemensamma händelser:

När man använder formel (8) bör man ta hänsyn till att händelser A Och I kan vara:

• ömsesidigt oberoende;
• ömsesidigt beroende.

Sannolikhetsformel för ömsesidigt oberoende händelser:

Sannolikhetsformel för ömsesidigt beroende händelser:

Om händelser A Och Iär inkonsekventa, så är deras sammanträffande ett omöjligt fall och därför P(AB) = 0. Den fjärde sannolikhetsformeln för inkompatibla händelser är:

Exempel 3. I autoracing, när du kör den första bilen, har du en bättre chans att vinna, och när du kör den andra bilen. Hitta:

• sannolikheten att båda bilarna vinner;
• sannolikheten att minst en bil vinner;

1) Sannolikheten att den första bilen vinner beror inte på resultatet av den andra bilen, så händelserna A(första bilen vinner) och I(den andra bilen vinner) – oberoende evenemang. Låt oss hitta sannolikheten för att båda bilarna vinner:

2) Hitta sannolikheten att en av de två bilarna vinner:

För mer komplexa problem, där du behöver använda både addition och multiplikation av sannolikheter, se sidan "Olika problem som involverar addition och multiplikation av sannolikheter".

Lös problemet med tillägg av sannolikheter själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4. Två mynt kastas. Händelse A- förlust av vapenskölden på det första myntet. Händelse B- förlust av vapenskölden på det andra myntet. Hitta sannolikheten för en händelse C = A + B .

Multiplicera sannolikheter

Sannolikhetsmultiplikation används när sannolikheten för en logisk produkt av händelser måste beräknas.

I det här fallet måste slumpmässiga händelser vara oberoende. Två händelser sägs vara ömsesidigt oberoende om förekomsten av en händelse inte påverkar sannolikheten för att den andra händelsen inträffar.

Sannolikhetsmultiplikationssats för oberoende händelser. Sannolikhet för att två oberoende händelser inträffar samtidigt A Och Iär lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser och beräknas med formeln:

Exempel 5. Myntet kastas tre gånger i rad. Hitta sannolikheten att vapnet kommer att dyka upp alla tre gångerna.

Lösning. Sannolikheten att vapnet kommer att dyka upp vid första myntkastning, andra gången och tredje gången. Låt oss hitta sannolikheten för att vapnet kommer att dyka upp alla tre gångerna:

Lös sapå egen hand och titta sedan på lösningen

Exempel 6. Det finns en låda med nio nya tennisbollar. För att spela tas tre bollar, och efter matchen läggs de tillbaka. Vid val av bollar särskiljs inte spelade bollar från ospelade bollar. Vad är sannolikheten att det efter tre matcher inte finns några ospelade bollar kvar i rutan?

Exempel 7. 32 bokstäver i det ryska alfabetet är skrivna på utskurna alfabetskort. Fem kort dras slumpmässigt efter varandra och placeras på bordet i ordningsföljd. Hitta sannolikheten att bokstäverna kommer att bilda ordet "slut".

Exempel 8. Från en full kortlek (52 ark) tas fyra kort ut på en gång. Hitta sannolikheten att alla fyra av dessa kort kommer att ha olika färger.

Exempel 9. Samma uppgift som i exempel 8, men varje kort efter att ha tagits bort återförs till leken.

Mer komplexa problem, där du behöver använda både addition och multiplikation av sannolikheter, samt beräkna produkten av flera händelser, finns på sidan "Olika problem som involverar addition och multiplikation av sannolikheter".

Sannolikheten att minst en av de ömsesidigt oberoende händelserna inträffar kan beräknas genom att subtrahera från 1 produkten av sannolikheterna för motsatta händelser, det vill säga med hjälp av formeln:

Exempel 10. Gods levereras med tre transportslag: flod-, järnvägs- och vägtransport. Sannolikheten för att godset kommer att levereras med flodtransport är 0,82, på järnväg 0,87, med vägtransport 0,90. Hitta sannolikheten att lasten kommer att levereras av minst en av tre typer transport.

sannolikhet- ett tal mellan 0 och 1 som återspeglar chanserna att en slumpmässig händelse inträffar, där 0 är den fullständiga frånvaron av sannolikhet för att händelsen inträffar, och 1 betyder att händelsen i fråga definitivt kommer att inträffa.

Sannolikheten för händelse E är ett tal från till 1.
Summan av sannolikheterna för ömsesidigt uteslutande händelser är lika med 1.

empirisk sannolikhet- sannolikhet, som beräknas som den relativa frekvensen av en händelse i det förflutna, extraherad från analysen av historiska data.

Sannolikheten för mycket sällsynta händelser kan inte beräknas empiriskt.

subjektiv sannolikhet- sannolikhet baserad på en personlig subjektiv bedömning av en händelse utan hänsyn till historiska data. Investerare som fattar beslut om att köpa och sälja aktier agerar ofta utifrån subjektiva sannolikhetsöverväganden.

tidigare sannolikhet -

Chansen är 1 i... (odds) att en händelse inträffar genom sannolikhetsbegreppet. Chansen att en händelse inträffar uttrycks genom sannolikhet enligt följande: P/(1-P).

Till exempel, om sannolikheten för en händelse är 0,5, är chansen för händelsen 1 av 2 eftersom 0,5/(1-0,5).

Chansen att en händelse inte inträffar beräknas med formeln (1-P)/P

Inkonsekvent sannolikhet- till exempel tar priset på aktier i företag A hänsyn till eventuell händelse E med 85 %, och priset på aktier i företag B tar bara hänsyn till 50 %. Detta kallas inkonsekvent sannolikhet. Enligt den holländska Betting Theorem skapar inkonsekvent sannolikhet vinstmöjligheter.

Ovillkorlig sannolikhetär svaret på frågan "Vad är sannolikheten att händelsen kommer att inträffa?"

Villkorlig sannolikhet- detta är svaret på frågan: "Vad är sannolikheten för händelse A om händelse B inträffar." Villkorlig sannolikhet betecknas som P(A|B).

Gemensam sannolikhet- sannolikheten att händelser A och B inträffar samtidigt. Betecknas som P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regel för att summera sannolikheter:

Sannolikheten att antingen händelse A eller händelse B inträffar är

P (A eller B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Om händelserna A och B utesluter varandra, då

P (A eller B) = P(A) + P(B)

Oberoende evenemang- händelser A och B är oberoende om

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Det vill säga, det är en sekvens av resultat där sannolikhetsvärdet är konstant från en händelse till nästa.
En myntkastning är ett exempel på en sådan händelse - resultatet av varje efterföljande kast beror inte på resultatet av den föregående.

Beroende händelser- detta är händelser där sannolikheten för att en ska inträffa beror på sannolikheten för att en annan ska inträffa.

Regeln för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser:
Om händelserna A och B är oberoende, då

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regel för total sannolikhet:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S och S" är ömsesidigt uteslutande evenemang

förväntat värde en slumpvariabel är medelvärdet av de möjliga utfallen av en slumpvariabel. För händelse X betecknas förväntan som E(X).

Låt oss säga att vi har 5 värden av ömsesidigt uteslutande händelser med en viss sannolikhet (till exempel var ett företags inkomst ett sådant och ett sådant belopp med en sådan sannolikhet). Det förväntade värdet är summan av alla utfall multiplicerat med deras sannolikhet:

Dispersion av en slumpvariabel är förväntan på kvadratavvikelser för en slumpvariabel från dess förväntan:

s 2 = E( 2 ) (6)

Villkorlig förväntan(villkorligt förväntat värde) - förväntan av den slumpmässiga variabeln X, förutsatt att händelsen S redan har inträffat.