Ekvation för en rät linje på ett plan.
Riktningsvektorn är rak. Normal vektor
En rak linje på ett plan är en av de enklaste geometriska former, bekant för dig sedan grundskolan, och idag kommer vi att lära oss hur man hanterar det med metoderna för analytisk geometri. För att behärska materialet måste du kunna bygga en rak linje; vet vilken ekvation som definierar en rät linje, i synnerhet en rät linje som går genom origo för koordinater och räta linjer parallella med koordinataxlarna. Denna information finns i manualen Grafer och egenskaper hos elementära funktioner, jag skapade den för Matan, men avsnittet om den linjära funktionen visade sig vara mycket framgångsrikt och detaljerat. Därför, kära tekannor, värm upp där först. Dessutom behöver du ha grundläggande kunskaper om vektorer, annars kommer förståelsen av materialet att vara ofullständig.
På denna lektion Vi kommer att titta på hur du kan skapa en ekvation av en rät linje på ett plan. Jag rekommenderar att du inte försummar praktiska exempel (även om det verkar väldigt enkelt), eftersom jag kommer att förse dem med elementära och viktiga fakta och tekniker som kommer att krävas i framtiden, inklusive i andra avsnitt av högre matematik.
- Hur man skriver en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient?
- Hur?
- Hur hittar man en riktningsvektor med den allmänna ekvationen för en rät linje?
- Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?
och vi börjar:
Ekvation för en rät linje med lutning
Den välkända "skolformen" av en rät linjeekvation kallas ekvation för en rät linje med lutning. Till exempel, om en rät linje ges av ekvationen, är dess lutning: . Låt oss överväga den geometriska betydelsen av denna koefficient och hur dess värde påverkar linjens placering: 
I en geometrikurs är det bevisat att lutningen på den räta linjen är lika med tangens av vinkeln mellan positiv axelriktningoch den här raden: , och vinkeln "skruvas av" moturs.
För att inte belamra ritningen ritade jag bara vinklar för två raka linjer. Låt oss överväga den "röda" linjen och dess lutning. Enligt ovanstående: (”alfa”-vinkeln indikeras av en grön båge). För den "blå" räta linjen med vinkelkoefficienten är likheten sann ("beta"-vinkeln indikeras av en brun båge). Och om vinkelns tangent är känd, är det om nödvändigt lätt att hitta och själva hörnet använder den inversa funktionen - arctangens. Som de säger, en trigonometrisk tabell eller en mikroräknare i dina händer. Således, vinkelkoefficienten kännetecknar graden av lutning av den räta linjen till abskissaxeln.
Följande fall är möjliga:
1) Om lutningen är negativ: då går linjen, grovt sett, uppifrån och ner. Exempel är de "blå" och "hallon" raka linjerna i ritningen.
2) Om lutningen är positiv: då går linjen från botten till toppen. Exempel - "svarta" och "röda" raka linjer i ritningen.
3) Om lutningen är noll: , så tar ekvationen formen , och den motsvarande räta linjen är parallell med axeln. Ett exempel är den "gula" räta linjen.
4) För en familj av linjer parallella med en axel (det finns inget exempel på ritningen, förutom själva axeln), vinkelkoefficienten finns inte (tangens på 90 grader är inte definierad).
Ju större lutningskoefficienten är i absolut värde, desto brantare blir grafen med rät linje..
Tänk till exempel på två raka linjer. Här har därför den raka linjen en brantare lutning. Låt mig påminna dig om att modulen låter dig ignorera skylten, vi är bara intresserade av absoluta värden vinkelkoefficienter.
I sin tur är en rak linje brantare än raka linjer 
.
Omvänt: ju mindre lutningskoefficienten är i absolut värde, desto plattare är den räta linjen.
För raka linjer 
ojämlikheten är sann, så den räta linjen är plattare. Barns rutschkana, för att inte ge dig själv blåmärken och stötar.
Varför är detta nödvändigt?
Förläng din plåga Kunskap om ovanstående fakta gör att du omedelbart kan se dina misstag, i synnerhet fel när du konstruerar grafer - om ritningen visar sig vara "uppenbarligen något fel." Det är tillrådligt att du direkt det var tydligt att till exempel den räta linjen är väldigt brant och går från botten till toppen, och den räta linjen är väldigt platt, pressad nära axeln och går från topp till botten.
I geometriska problem visas ofta flera raka linjer, så det är bekvämt att beteckna dem på något sätt.
Beteckningar: raka linjer betecknas som små med latinska bokstäver: . Ett populärt alternativ är att ange dem med samma bokstav med naturliga teckningar. Till exempel kan de fem raderna vi just tittade på betecknas med 
.
Eftersom varje rät linje bestäms unikt av två punkter, kan den betecknas med dessa punkter: 
etc. Beteckningen antyder tydligt att punkterna tillhör linjen.
Det är dags att värma upp lite:
Hur man skriver en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient?
Om en punkt som hör till en viss linje och vinkelkoefficienten för denna linje är känd, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:
Exempel 1
Skriv en ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient om det är känt att punkten tillhör denna räta linje.
Lösning: Låt oss komponera ekvationen för den räta linjen med hjälp av formeln 
. I det här fallet: 
Svar:
Undersökning görs enkelt. Först tittar vi på den resulterande ekvationen och ser till att vår lutning är på plats. För det andra måste punktens koordinater uppfylla denna ekvation. Låt oss koppla in dem i ekvationen:
Den korrekta likheten erhålls, vilket innebär att punkten uppfyller den resulterande ekvationen.
Slutsats: Ekvationen hittades korrekt.
Ett mer knepigt exempel att lösa på egen hand:
Exempel 2
Skriv en ekvation för en rät linje om det är känt att dess lutningsvinkel mot axelns positiva riktning är , och punkten tillhör denna räta linje.
Om du har några svårigheter, läs om det teoretiska materialet. Mer exakt, mer praktiskt, jag hoppar över många bevis.
Det ringde sista samtalet, dog ner bal, och utanför portarna till vår inhemska skola väntar själva analytisk geometri på oss. Skämten är över... Eller de kanske bara har börjat =)
Vi viftar nostalgiskt med pennan till det bekanta och bekantar oss med den allmänna ekvationen för en rak linje. För i analytisk geometri är det exakt vad som används:
Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen: , var finns några siffror. Samtidigt koefficienterna samtidigtär inte lika med noll, eftersom ekvationen förlorar sin betydelse.
Låt oss klä oss i kostym och knyta ekvationen med lutningskoefficienten. Låt oss först flytta alla termer till vänster sida:
Termen med "X" måste sättas på första plats:
I princip har ekvationen redan formen , men enligt reglerna för matematisk etikett måste koefficienten för den första termen (i detta fall) vara positiv. Ändra tecken:
Kom ihåg detta teknisk funktion! Vi gör den första koefficienten (oftast) positiv!
I analytisk geometri kommer ekvationen för en rät linje nästan alltid att ges i allmän form. Tja, om det behövs kan det enkelt reduceras till "skola" -formen med en vinkelkoefficient (med undantag för raka linjer parallella med ordinataaxeln).
Låt oss fråga oss vad tillräckligt vet man att konstruera en rät linje? Två poäng. Men om det barnfall senare, nu pinnar med pilar regel. Varje rak linje har en mycket specifik lutning, som är lätt att "anpassa" till. vektor.
En vektor som är parallell med en linje kallas riktningsvektorn för den linjen. Det är uppenbart att varje rät linje har ett oändligt antal riktningsvektorer, och alla kommer att vara kolinjära (samriktningsvis eller inte - det spelar ingen roll).
Jag kommer att beteckna riktningsvektorn enligt följande: .
Men en vektor räcker inte för att konstruera en rät linje, vektorn är fri och inte bunden till någon punkt på planet. Därför är det dessutom nödvändigt att känna till någon punkt som hör till linjen.
Hur man skriver en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor?
Om en viss punkt som hör till en linje och riktningsvektorn för denna linje är känd, kan ekvationen för denna linje kompileras med formeln:
Ibland kallas det linjens kanoniska ekvation .
Vad ska man göra när en av koordinaternaär lika med noll, kommer vi att förstå i praktiska exempel nedan. Observera förresten - båda på en gång koordinater kan inte vara lika med noll, eftersom nollvektorn inte anger en specifik riktning.
Exempel 3
Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor
Lösning: Låt oss komponera ekvationen för en rät linje med hjälp av formeln. I det här fallet:
Med hjälp av proportionsegenskaper blir vi av med fraktioner: 
Och vi tar ekvationen till allmänt utseende:
Svar:
Som regel finns det inget behov av att göra en ritning i sådana exempel, men för förståelsens skull: 
På ritningen ser vi startpunkten, den ursprungliga riktningsvektorn (den kan plottas från vilken punkt som helst på planet) och den konstruerade räta linjen. Förresten, i många fall är det mest praktiskt att konstruera en rät linje med hjälp av en ekvation med en vinkelkoefficient. Det är lätt att omvandla vår ekvation till form och enkelt välja en annan punkt för att konstruera en rak linje.
Som nämnts i början av stycket har en rät linje oändligt många riktningsvektorer, och alla är kolinjära. Till exempel ritade jag tre sådana vektorer: 
. Oavsett vilken riktningsvektor vi väljer kommer resultatet alltid att vara samma räta linjeekvation.
Låt oss skapa en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:
Att lösa proportionen:
Dividera båda sidor med –2 och få den välbekanta ekvationen:
Den som är intresserad kan testa vektorer på samma sätt 
eller någon annan kolinjär vektor.
Låt oss nu lösa det omvända problemet:
Hur hittar man en riktningsvektor med den allmänna ekvationen för en rät linje?
Mycket enkelt:
Om en linje ges av en generell ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, så är vektorn riktningsvektorn för denna linje.
Exempel på att hitta riktningsvektorer för räta linjer: 
Påståendet tillåter oss att bara hitta en riktningsvektor av ett oändligt antal, men vi behöver inte mer. Även om det i vissa fall är tillrådligt att minska koordinaterna för riktningsvektorerna:
Således anger ekvationen en rät linje som är parallell med axeln och koordinaterna för den resulterande riktningsvektorn delas bekvämt med –2, vilket ger exakt basvektorn som riktningsvektor. Logisk.
På liknande sätt definierar ekvationen en rät linje, parallellt med axeln, och dividera vektorns koordinater med 5, får vi orten som riktningsvektor.
Nu ska vi göra det kontrollera exempel 3. Exemplet gick upp, så jag påminner dig om att vi i det kompilerade ekvationen för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor
För det första, med hjälp av ekvationen för den räta linjen rekonstruerar vi dess riktningsvektor: 
– allt är bra, vi har fått den ursprungliga vektorn (i vissa fall kan resultatet vara en kolinjär vektor till den ursprungliga, och detta är vanligtvis lätt att märka av proportionaliteten hos motsvarande koordinater).
För det andra, måste punktens koordinater uppfylla ekvationen. Vi sätter in dem i ekvationen:
Rätt jämställdhet erhölls vilket vi är mycket glada över.
Slutsats: Uppgiften slutfördes korrekt.
Exempel 4
Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor
Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen. Det är mycket tillrådligt att kontrollera med den algoritm som just diskuterats. Försök att alltid (om möjligt) kontrollera ett utkast. Det är dumt att göra misstag där de kan undvikas till 100 %.
I händelse av att en av koordinaterna för riktningsvektorn är noll, fortsätt mycket enkelt:
Exempel 5
Lösning: Formeln är inte lämplig eftersom nämnaren på höger sida är noll. Det finns en väg ut! Med hjälp av proportionsegenskaperna skriver vi om formeln i formen, och resten rullade längs ett djupt hjulspår:
Svar:
Undersökning:
1) Återställ riktningsvektorn för linjen:
– den resulterande vektorn är kolinjär med den ursprungliga riktningsvektorn.
2) Ersätt punktens koordinater i ekvationen: 
Rätt jämställdhet erhålls
Slutsats: uppgift slutförd korrekt
Frågan uppstår, varför bry sig om formeln om det finns en universell version som fungerar i alla fall? Det finns två skäl. För det första är formeln i form av en bråkdel mycket bättre ihågkommen. Och för det andra, nackdelen universell formelär det risken att bli förvirrad ökar markant när du byter koordinater.
Exempel 6
Skriv en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor.
Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.
Låt oss återgå till de två allestädes närvarande punkterna:
Hur man skriver en ekvation av en rät linje med två punkter?
Om två punkter är kända kan ekvationen för en rät linje som går genom dessa punkter kompileras med formeln:
I själva verket är detta en typ av formel och här är varför: om två punkter är kända, kommer vektorn att vara riktningsvektorn för den givna linjen. I klassen Vektorer för dummies vi övervägde det enklaste problemet - hur man hittar koordinaterna för en vektor från två punkter. Enligt detta problem är koordinaterna för riktningsvektorn: 
Notera
: poängen kan "bytas" och formeln kan användas 
. En sådan lösning kommer att vara likvärdig.
Exempel 7
Skriv en ekvation för en rät linje med två punkter 
.
Lösning: Vi använder formeln: 
Kombinera nämnare:
Och blanda däcket: 
Nu är det dags att bli av med bråktal. I det här fallet måste du multiplicera båda sidor med 6: 
Öppna parenteserna och kom ihåg ekvationen: 
Svar:
Undersökningär uppenbart - koordinaterna för de initiala punkterna måste uppfylla den resulterande ekvationen:
1) Byt ut punktens koordinater: 
Sann jämlikhet.
2) Byt ut punktens koordinater: 
Sann jämlikhet.
Slutsats: Linjens ekvation är korrekt skriven.
Om minst en av punkterna inte uppfyller ekvationen, leta efter ett fel.
Det är värt att notera att grafisk verifiering i detta fall är svårt, eftersom konstruera en rak linje och se om punkterna tillhör den 
, inte så enkelt.
Jag kommer att notera ytterligare ett par tekniska aspekter av lösningen. Kanske i detta problem är det mer lönsamt att använda spegelformeln 
och på samma punkter 
gör en ekvation: 
Färre fraktioner. Om du vill kan du utföra lösningen till slutet, resultatet ska bli samma ekvation.
Den andra punkten är att titta på det slutliga svaret och ta reda på om det kan förenklas ytterligare? Till exempel, om du får ekvationen , är det lämpligt att minska den med två: – ekvationen kommer att definiera samma räta linje. Detta är dock redan ett samtalsämne om linjernas relativa position.
Efter att ha fått svaret 
i exempel 7, för säkerhets skull, kontrollerade jag om ALLA koefficienter i ekvationen är delbara med 2, 3 eller 7. Även om sådana reduktioner oftast görs under lösningen.
Exempel 8
Skriv en ekvation för en linje som går genom punkterna 
.
Detta är ett exempel på en oberoende lösning som gör att du bättre kan förstå och träna beräkningstekniker.
I likhet med föregående stycke: om i formeln 
en av nämnarna (koordinaten för riktningsvektorn) blir noll, sedan skriver vi om den i formen . Återigen, lägg märke till hur besvärlig och förvirrad hon ser ut. Jag ser inte så mycket mening med att ta med praktiska exempel, eftersom vi redan faktiskt har löst ett sådant problem (se nr 5, 6).
Direkt normal vektor (normal vektor)
Vad är normalt? Med enkla ord, normal är vinkelrät. Det vill säga, normalvektorn för en linje är vinkelrät mot en given linje. Uppenbarligen har vilken rät linje som helst ett oändligt antal av dem (liksom riktningsvektorer), och alla normalvektorer för den räta linjen kommer att vara kolinjära (samriktningsvis eller inte, det gör ingen skillnad).
Att hantera dem blir ännu lättare än med guidevektorer:
Om en linje ges av en generell ekvation i ett rektangulärt koordinatsystem, så är vektorn normalvektorn för denna linje.
Om koordinaterna för riktningsvektorn försiktigt måste "dras ut" från ekvationen, kan koordinaterna för normalvektorn helt enkelt "ta bort".
Normalvektorn är alltid ortogonal mot linjens riktningsvektor. Låt oss verifiera ortogonaliteten hos dessa vektorer med hjälp av prickprodukt:
Jag kommer att ge exempel med samma ekvationer som för riktningsvektorn: 
Är det möjligt att konstruera en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor? Jag känner det i magen, det är möjligt. Om normalvektorn är känd, är riktningen för den raka linjen själv tydligt definierad - det här är en "styv struktur" med en vinkel på 90 grader.
Hur man skriver en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor?
Om en viss punkt som hör till en linje och normalvektorn för denna linje är känd, uttrycks ekvationen för denna linje med formeln:
Här löste sig allt utan bråk och andra överraskningar. Detta är vår normala vektor. Älska honom. Och respekt =)
Exempel 9
Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för linjen.
Lösning: Vi använder formeln: 
Den allmänna ekvationen för den räta linjen har erhållits, låt oss kontrollera:
1) "Ta bort" koordinaterna för normalvektorn från ekvationen: 
– ja, faktiskt, den ursprungliga vektorn erhölls från tillståndet (eller en kolinjär vektor bör erhållas).
2) Låt oss kontrollera om punkten uppfyller ekvationen: 
Sann jämlikhet.
Efter att vi är övertygade om att ekvationen är korrekt sammansatt kommer vi att slutföra den andra, enklare delen av uppgiften. Vi tar ut riktningsvektorn för den räta linjen: 
Svar: 
På ritningen ser situationen ut så här: 
För utbildningsändamål, en liknande uppgift för att lösa självständigt:
Exempel 10
Skriv en ekvation för en rät linje givet en punkt och en normalvektor. Hitta riktningsvektorn för linjen.
Det sista avsnittet av lektionen kommer att ägnas åt mindre vanliga men också viktiga typer av ekvationer för en linje på ett plan
Ekvation för en rät linje i segment.
Ekvation för en linje i parametrisk form
Ekvationen för en rät linje i segment har formen , där är konstanter som inte är noll. Vissa typer av ekvationer kan inte representeras i denna form, till exempel direkt proportionalitet (eftersom den fria termen är lika med noll och det inte finns något sätt att få en på höger sida).
Detta är bildligt talat en "teknisk" typ av ekvation. En vanlig uppgift är att allmän ekvation representera en linje i form av en ekvation av en linje i segment. Hur är det bekvämt? Ekvationen för en linje i segment gör att du snabbt kan hitta skärningspunkterna för en linje med koordinataxlar, vilket kan vara mycket viktigt i vissa problem med högre matematik.
Låt oss hitta skärningspunkten för linjen med axeln. Vi återställer "y" till noll, och ekvationen tar formen . Önskad punkt det visar sig automatiskt: .
Samma sak med axeln 
– punkten där den räta linjen skär ordinataaxeln.
Låt linjen passera genom punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2). Ekvationen för en rät linje som går genom punkt M 1 har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Där k - fortfarande okänd koefficient.
Eftersom den räta linjen går genom punkten M 2 (x 2 y 2), måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvation (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Härifrån hittar vi Substituting the found value k
i ekvation (10.6) får vi ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 och M 2: 
Det antas att i denna ekvation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Om x 1 = x 2, så är den räta linjen som går genom punkterna M 1 (x 1, y I) och M 2 (x 2, y 2) parallell med ordinataaxeln. Dess ekvation är x = x 1 .
Om y 2 = y I, så kan linjens ekvation skrivas som y = y 1, den räta linjen M 1 M 2 är parallell med abskissaxeln.
Ekvation för en linje i segment
Låt den räta linjen skära Ox-axeln vid punkt M 1 (a;0), och Oy-axeln vid punkt M 2 (0;b). Ekvationen kommer att ha formen: 
dessa. 
. Denna ekvation kallas ekvation av en rät linje i segment, eftersom siffrorna a och b anger vilka segment linjen skär av på koordinataxlarna.
Ekvation för en linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor
Låt oss hitta ekvationen för linjen som går igenom för denna punkt Mo (x O; y o) är vinkelrät mot den givna vektorn som inte är noll n = (A; B).
Låt oss ta en godtycklig punkt M(x; y) på linjen och betrakta vektorn M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Eftersom vektorerna n och M o M är vinkelräta är deras skalära produkt lika med noll: det vill säga
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ekvation (10.8) kallas ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor .
Vektor n= (A; B), vinkelrät mot linjen, kallas normal normal vektor för denna linje .
Ekvation (10.8) kan skrivas om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
där A och B är koordinaterna för normalvektorn, C = -Ax o - Vu o är den fria termen. Ekvation (10.9) är den allmänna ekvationen för linjen(se fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Linjens kanoniska ekvationer
,
Där 
- koordinater för den punkt genom vilken linjen passerar, och 
- riktningsvektor.
Andra ordningens kurvor Cirkel
En cirkel är mängden av alla punkter i planet på samma avstånd från en given punkt, som kallas centrum.
Kanonisk ekvation av en cirkel med radie
R centrerad vid en punkt 
:
I synnerhet om insatsens centrum sammanfaller med koordinaternas ursprung, kommer ekvationen att se ut så här: 
Ellips
En ellips är en uppsättning punkter på ett plan, summan av avstånden från var och en till två givna punkter
Och 
, som kallas foci, är en konstant storhet 
, större än avståndet mellan brännpunkter 
.
Den kanoniska ekvationen för en ellips vars brännpunkter ligger på Ox-axeln, och ursprunget för koordinater i mitten mellan brännpunkterna har formen 
G 
de a halvstor axellängd; b – längden på halvmollaxeln (fig. 2).
Linjen som går genom punkten K(x 0 ; y 0) och parallell med linjen y = kx + a hittas av formeln:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Där k är linjens lutning.
Alternativ formel:
En linje som går genom punkten M 1 (x 1 ; y 1) och parallell med linjen Ax+By+C=0 representeras av ekvationen
A(x-xl)+B(y-y1)=0. (2)
Exempel nr 1. Skriv en ekvation för en rät linje som går genom punkten M 0 (-2,1) och samtidigt:a) parallell med den räta linjen 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelrätt mot den räta linjen 2x+3y -7 = 0.
Lösning . Låt oss föreställa oss ekvationen med lutningen i formen y = kx + a. För att göra detta, flytta alla värden utom y till höger sida: 3y = -2x + 7 . Dela sedan den högra sidan med en faktor 3. Vi får: y = -2/3x + 7/3
Låt oss hitta ekvationen NK som går genom punkten K(-2;1), parallell med den räta linjen y = -2 / 3 x + 7 / 3
Genom att ersätta x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 får vi:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0
Exempel nr 2. Skriv ekvationen för en linje parallell med linjen 2x + 5y = 0 och bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel vars area är 5.
Lösning
. Eftersom linjerna är parallella är ekvationen för den önskade linjen 2x + 5y + C = 0. Arean av en rätvinklig triangel, där a och b är dess ben. Låt oss hitta skärningspunkterna för den önskade linjen med koordinataxlarna: 
;
.
Så, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Låt oss ersätta det med formeln för area: 
. Vi får två lösningar: 2x + 5y + 10 = 0 och 2x + 5y – 10 = 0.
Exempel nr 3. Skriv en ekvation för en linje som går genom punkten (-2; 5) och parallell med linjen 5x-7y-4=0.
Lösning. Denna räta linje kan representeras av ekvationen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (här a = 5 / 7). Ekvationen för den önskade linjen är y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d.v.s. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .
Exempel nr 4. Efter att ha löst exempel 3 (A=5, B=-7) med formeln (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exempel nr 5. Skriv en ekvation för en linje som går genom punkten (-2;5) och parallell med linjen 7x+10=0.
Lösning. Här är A=7, B=0. Formel (2) ger 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) är inte tillämplig, eftersom denna ekvation inte kan lösas med avseende på y (denna räta linje är parallell med ordinataaxeln).
Ekvation för en linje som går genom två punkter. I artikeln" " Jag lovade dig att titta på det andra sättet att lösa de presenterade problemen med att hitta derivatan, givet en graf av en funktion och en tangent till denna graf. Vi kommer att diskutera denna metod i , missa inte det! Varför i nästa?
Faktum är att formeln för ekvationen för en rät linje kommer att användas där. Naturligtvis kan vi helt enkelt visa denna formel och råda dig att lära dig den. Men det är bättre att förklara var det kommer ifrån (hur det härrör). Detta är nödvändigt! Om du glömmer det kan du snabbt återställa detkommer inte att vara svårt. Allt beskrivs nedan i detalj. Så det har vi koordinatplan det finns två punkter A(x 1;y 1) och B(x 2;y 2), en rät linje dras genom de angivna punkterna: 
Här är själva den direkta formeln:
*Det vill säga, när vi ersätter specifika koordinater för punkter får vi en ekvation av formen y=kx+b.
**Om du bara "minner" den här formeln, är det stor sannolikhet att du blir förvirrad med indexen när X. Dessutom kan index betecknas på olika sätt, till exempel:
Det är därför det är viktigt att förstå innebörden.
Nu härledningen av denna formel. Det är väldigt enkelt!
Trianglarna ABE och ACF liknar varandra i skarpa hörn(det första tecknet på likhet räta trianglar). Det följer av detta att förhållandena mellan de motsvarande elementen är lika, det vill säga:
Nu uttrycker vi helt enkelt dessa segment genom skillnaden i punkternas koordinater:
Naturligtvis blir det inget fel om du skriver relationerna mellan elementen i en annan ordning (det viktigaste är att upprätthålla konsistensen):
Resultatet blir samma ekvation av linjen. Detta är allt!
Det vill säga, oavsett hur själva punkterna (och deras koordinater) betecknas, genom att förstå denna formel kommer du alltid att hitta ekvationen för en rät linje.
Formeln kan härledas med hjälp av egenskaperna hos vektorer, men principen för härledning kommer att vara densamma, eftersom vi kommer att prata om proportionaliteten hos deras koordinater. I det här fallet fungerar samma likhet med räta trianglar. Enligt min åsikt är slutsatsen som beskrivs ovan mer tydlig)).
Visa utdata via vektorkoordinater >>>
Låt en rät linje konstrueras på koordinatplanet som går genom två givna punkter A(x 1;y 1) och B(x 2;y 2). Låt oss markera en godtycklig punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betecknar också två vektorer:
Det är känt att för vektorer som ligger på parallella linjer (eller på samma linje), är deras motsvarande koordinater proportionella, det vill säga:
— vi skriver ner likheten mellan förhållandena mellan motsvarande koordinater:
Låt oss titta på ett exempel:
Hitta ekvationen för en rät linje som går genom två punkter med koordinater (2;5) och (7:3).
Du behöver inte ens bygga den raka linjen själv. Vi tillämpar formeln:
Det är viktigt att du förstår korrespondensen när du tar upp förhållandet. Du kan inte gå fel om du skriver:
Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8
För att säkerställa att den resulterande ekvationen hittas korrekt, var noga med att kontrollera - ersätt koordinaterna för data i punkternas tillstånd i den. Ekvationerna bör vara korrekta.
Det var allt. Jag hoppas att materialet var användbart för dig.
Med vänlig hälsning, Alexander.
P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.
Låt två poäng ges M 1 (x 1, y 1) Och M 2 (x 2, y 2). Låt oss skriva linjens ekvation i formen (5), där k fortfarande okänd koefficient:
Sedan poängen M 2 tillhör en given linje, då uppfyller dess koordinater ekvation (5): 
. Genom att uttrycka härifrån och ersätta den i ekvation (5), får vi den nödvändiga ekvationen:
Om 
denna ekvation kan skrivas om i en form som är mer bekväm för memorering:
(6)
Exempel. Skriv ner ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 (1,2) och M 2 (-2,3)
Lösning. 
. Genom att använda egenskapen proportion och utföra de nödvändiga transformationerna får vi den allmänna ekvationen för en rät linje:
Vinkel mellan två raka linjer
Tänk på två raka linjer l 1 Och l 2:
l 1: , , Och
l 2: , ,
φ är vinkeln mellan dem (). Av fig. 4 framgår tydligt: .
 |
Härifrån 
, eller
Med formeln (7) kan du bestämma en av vinklarna mellan räta linjer. Den andra vinkeln är lika med .
Exempel. Två linjer ges av ekvationerna y=2x+3 och y=-3x+2. hitta vinkeln mellan dessa linjer.
Lösning. Från ekvationerna är det tydligt att k 1 =2 och k 2 =-3. Genom att ersätta dessa värden i formel (7), finner vi
. Således är vinkeln mellan dessa linjer lika med .
Villkor för parallellitet och vinkelräthet hos två räta linjer
Om rakt l 1 Och l 2är alltså parallella φ=0 Och tgφ=0. av formel (7) följer att , varifrån k 2 = k 1. Således är villkoret för parallellitet mellan två linjer likheten mellan deras vinkelkoefficienter.
Om rakt l 1 Och l 2är alltså vinkelräta φ=π/2, a2 = π/2+ ai. 
. Således är villkoret för vinkelrätheten hos två raka linjer att deras vinkelkoefficienter är omvända i storlek och motsatta i tecken.
Avstånd från punkt till linje
Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så bestäms avståndet till linjen Ax + Bу + C = 0 som
Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för en vinkelrät som sjunkit från punkt M till en given rät linje. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:
Koordinaterna x 1 och y 1 kan hittas genom att lösa ekvationssystemet:
Systemets andra ekvation är ekvationen för en linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given linje.
Om vi transformerar den första ekvationen i systemet till formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sedan, när vi löser, får vi:
Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:
Teoremet har bevisats.
Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k^ = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Exempel. Visa att linjerna 3x – 5y + 7 = 0 och 10x + 6y – 3 = 0 är vinkelräta.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, därför är linjerna vinkelräta.
Exempel. Angivna är hörnen för triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.
Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k= . Då y = . Därför att höjd passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: varav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Avståndet från en punkt till en linje bestäms av längden på vinkelrät ritat från punkten till linjen.
Om linjen är parallell med projektionsplanet (h | | P 1), sedan för att bestämma avståndet från punkten A till en rak linje h det är nödvändigt att sänka vinkelrät från punkten A till det horisontella h.
Låt oss överväga mer komplext exempel, när den räta linjen tar allmän ståndpunkt. Låt det vara nödvändigt att bestämma avståndet från en punkt M till en rak linje A allmän ståndpunkt.
Bestämningsuppgift avstånd mellan parallella linjer löses på samma sätt som den föregående. En punkt tas på en linje och en perpendikel släpps från den till en annan linje. Längden på en vinkelrät är lika med avståndet mellan parallella linjer.
Andra ordningens kurvaär en linje definierad av en ekvation av andra graden relativt de nuvarande kartesiska koordinaterna. I det allmänna fallet är Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
där A, B, C, D, E, F är reella tal och minst ett av talen A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Cirkel
Cirkel mitt– detta är det geometriska stället för punkter i planet på samma avstånd från en punkt i planet C(a,b).
Cirkeln ges av följande ekvation:
Där x,y är koordinaterna för en godtycklig punkt på cirkeln, är R cirkelns radie.
Tecken på en cirkels ekvation
1. Termen med x,y saknas
2. Koefficienterna för x 2 och y 2 är lika
Ellips
Ellips kallas det geometriska stället för punkter i ett plan, summan av avstånden för var och en från två givna punkter i detta plan kallas foci (ett konstant värde).
Ellipsens kanoniska ekvation:
X och y tillhör ellipsen.
a – ellipsens halvstora axel
b – ellipsens halvmollaxel
Ellipsen har 2 symmetriaxlar OX och OU. Symmetriaxlarna för en ellips är dess axlar, skärningspunkten är ellipsens centrum. Den axel på vilken brännpunkterna är belägna kallas fokal axel. Skärningspunkten mellan ellipsen och axlarna är ellipsens spets.
Kompressionsförhållande (spänning): ε = s/a– excentricitet (karakteriserar formen på ellipsen), ju mindre den är, desto mindre förlängs ellipsen längs fokalaxeln.
Om ellipsens centrum inte är i centrum C(α, β)
Hyperbel
Överdrift kallas det geometriska stället för punkter i ett plan, det absoluta värdet av skillnaden i avstånd, som var och en från två givna punkter i detta plan, som kallas foci, är ett konstant värde som skiljer sig från noll.
Kanonisk hyperbelekvation
En hyperbel har 2 symmetriaxlar:
a – verklig symmetrihalvaxel
b – imaginär symmetrihalvaxel
Asymptoter för en hyperbel:
Parabel
Parabelär platsen för punkter i planet på samma avstånd från en given punkt F, kallad fokus, och en given linje, kallad riktlinje.
Den kanoniska ekvationen för en parabel:
У 2 =2рх, där р är avståndet från fokus till riktlinjen (parabelparameter)
Om parabelns vertex är C (α, β), då är parabelns ekvation (y-β) 2 = 2р(x-α)
Om fokalaxeln tas som ordinataaxeln kommer parabelns ekvation att ha formen: x 2 =2qу