Om sex kvadratiska ytor omsluter en viss volym av utrymme, kan den geometriska formen av detta utrymme kallas kubisk eller hexaedrisk. Alla tolv kanter av en sådan rumslig figur har samma längd, vilket avsevärt förenklar beräkningen av polyhedronens parametrar. Diagonal längd Kuba– är inget undantag, det går att hitta på många sätt.

Instruktioner

• Om längden på kanten Kuba(a) är känd från problemets villkor, formeln för beräkning av längden på diagonalen av ett ansikte (l) kan härledas från Pythagoras sats. I en kub bildar alla två intilliggande kanter en rät vinkel, så en triangel som består av dem och diagonalen på ansiktet är rätvinklig. Kanterna i det här fallet är ben, och du måste beräkna längden på hypotenusan. Enligt satsen som nämns ovan är den lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av benens längder, och eftersom de i det här fallet har samma dimensioner, multiplicera helt enkelt kantens längd med kvadratrot från två: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a*√2.
• Arean av en kvadrat kan också uttryckas i termer av längden på diagonalen, och eftersom varje yta Kuba har exakt denna form, att känna till området på ansiktet (s) är tillräckligt för att beräkna dess diagonal (l). Area av varje sidoyta Kubaär lika med kantens kvadratiska längd, så sidan av kvadraten på ansiktet kan uttryckas som √s. Ersätt detta värde i formeln från föregående steg: l = √s*√2 = √(2*s).
• Kuben består av sex ytor av samma form, därför, om den totala ytarean (S) ges under problemförhållandena, räcker det för att beräkna diagonalen på ytan (l) att ändra formeln för föregående steg. Byt ut arean av en yta i den med en sjättedel av den totala ytan: l = √(2*S/6) = √(S/3).
• Ribblängd Kuba kan också uttryckas genom volymen av denna figur (V), och detta gör att formeln för beräkning av längden på diagonalen för ett ansikte (l) från det första steget kan användas i detta fall, vilket gör några ändringar i den. Volymen av en sådan polyeder är lika med den tredje potensen av kantlängden, så ersätt sidans längd på sidan i formeln med kubroten av volymen: l = ³√V*√2.
• Radien som beskrivs är ca Kuba sfär (R) är relaterad till kantlängden med en koefficient lika med halva roten av tre. Uttryck sidan av ansiktet genom denna radie och ersätt uttrycket med samma formel för att beräkna längden på diagonalen av ansiktet från det första steget: l = R*2/√3*√2 = R*√8/√ 3.
• Formeln för att beräkna diagonalen för en yta (l) med hjälp av radien för en sfär inskriven i en kub (r) kommer att vara ännu enklare, eftersom denna radie är halva kantens längd: l = 2*r*√2 = r*√8.

Diagonalen på en kub är ett av de element som du kommer att behöva känna till när du löser problem i stereometri under det avslutande arbetet i matematik för grundskolans kurs.

Lite teori om kuben

Denna polyeder hör direkt till högra parallellepipeder och prismor. han - specialfall både. Vid basen av kuben ligger en kvadrat, och dess sidokanter är lika med sidan av den givna kvadraten. Alla tre dimensionerna har alltså samma betydelse.

Alla sex ytor på kuben är kvadrater. Längden på var och en av de 12 revbenen är densamma.

I vart och ett av ansiktena kan du rita en diagonal, vars längd lätt kan hittas med den pythagoriska formeln. Dessutom har själva kuben diagonaler. Det finns bara fyra av dem. Kubens diagonal är ritad så att den börjar från toppen av den nedre basen. Änden av detta segment hamnar överst på den övre basen, men för att inte sammanfalla med kvadratens diagonal.

Viktiga formler

De kommer att behöva ange samma beteckning. Oftast är bokstaven "a" sidan av kuben. "V" är för volym. "S" och "d" är area respektive diagonal. "R" och "r" är radierna för de omskrivna och inskrivna sfärerna.

V=a³(№1) används för att hitta volym;

S= a² (№2) formel för ansiktsområdet;

S= 6a² (№3) nödvändigt för att beräkna arean av hela kubens yta;

om du vill ta reda på diagonalen för en kub blir formeln så här d=A√ 3 (№4);

För att hitta radier kommer följande att vara användbart: R=(a/2)*√3 Ochr=a/2 (nr 5) och (nr 6).

Några ord om kubens symmetri

Denna geometriska kropp har två typer av symmetri: om en punkt och om en axel. För att hitta den första måste du rita en diagonal av kuben, sedan den andra för att hitta punkten för deras skärningspunkt. Det kommer att vara centrum för symmetri.

Alla linjer som passerar genom denna punkt och är vinkelräta mot ytorna visar sig vara symmetriaxlar.

Exempel på uppgifter från Unified State Exam

De används i del B, det vill säga där du behöver slutföra en detaljerad lösning på uppgiften. Du kan inte bara välja ett svar här. Därför måste du känna till formlerna och kunna tillämpa dem i olika situationer.

Första gruppen av uppgifter. I den är längden på kubens diagonal känd. Du måste beräkna dess volym eller ta reda på dess yta.

Till exempel kan en känd kvantitet vara lika med en. Sedan, för att ta reda på volymen och arean, måste du använda formlerna nr 1 och 3. Men de talar om en kant, och diagonalen är given. Du måste skriva ner ytterligare en formel.

Om man tittar på ritningen av kuben och diagonalen som ritas i den kan man se att det bildas en rätvinklig triangel. Ett av dess ben sammanfaller med kanten, det andra med ansiktets diagonal, och hypotenusan är kubens diagonal.

Sedan kan vi skriva ner Pythagoras sats: kvadraten på hypotenusan (d 2) är lika med kvadraten på det första benet (a 2) adderat till kvadraten på det andra (a√2) 2. Efter att ha utfört transformationerna visar det sig att kanten på kuben a är ansluten till diagonalen på ett sådant sätt att den är lika med d dividerat med kvadratroten av 3.

Nu kan du börja känna igen kanten och sedan beräkna volymen och arean. I ett specifikt problem a=1/√3=(√3)/3. Då är volymen lika med (√3)/9. Området är två.

Andra gruppen av uppgifter. Det omvända till den föregående, när arean eller volymen är känd, men du måste beräkna kubens diagonala värde.

Ett exempel skulle vara ett problem där ytarean är känd och den är lika med 8. Det kommer att vara nödvändigt att använda formel nr 3 och sambandet som härleddes i föregående problem.

Först måste du ta reda på längden på kanten. Det är lika med kvadratroten av kvoten av S med 6. Efter att ha ersatt ett känt värde, a=√(8/6)=√(4/3). Nu återstår att beräkna kubens diagonal genom att kvadrera detta tal och multiplicera det med 3. Resultatet är 2.

Tredje gruppen av uppgifter innehåller data om diagonalen för en kubyta. De måste ta reda på volymen eller området av kroppen. Det är också möjligt att du kommer att behöva beräkna diagonalen för själva kuben. I sådana problem går resonemanget samma väg som diskuterats i tidigare fall.

Instruktioner

Om längden på kanten Kuba(a) är känd från problemets villkor, formeln för beräkning av längden på diagonalen av ett ansikte (l) kan härledas från Pythagoras sats. I en kub bildar alla två intilliggande kanter en rät vinkel, så triangeln som består av deras ytor är rätvinklig. Kanterna i det här fallet är ben, och du måste beräkna längden på hypotenusan. Enligt satsen som nämns ovan är den lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av längderna, och eftersom de i detta fall är lika stora, multiplicera helt enkelt kantens längd med kvadratroten ur två: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a *√2.

Människor utvecklas varje dag, men oavsett vilka prestationer som har gjorts kan mänskligheten inte bekämpa olika klimatiska nyckfullheter eller naturkatastrofer. Naturen förbereder alltid några överraskningar. Här är snö i Afrika, följden av det blev enorm mängd offer. Folk frös helt enkelt, för att de var helt olämpliga för sådana förhållanden.

Det är därför mänskligheten helt enkelt inte kan bekämpa naturens krafter, och dess nycker kräver fler och fler liv.

Av allt detta följer slutsatsen: visst är mänskligheten på gränsen till sin utveckling, men på grund av att den håller på att utvecklas ökar också risken att vara på gränsen till utrotning. Därför bör man inte tro att problem måste hanteras när de uppstår, det är bättre att tänka i förväg för att förhindra en global katastrof i framtiden.

Video om ämnet

En kub, eller hexaeder som den också kallas, är en vanlig polyeder, vars ytor har formen av en kvadrat. En kub är ett specialfall av ett prisma och en parallellepiped.

Olika discipliner använder innebörden av denna term i förhållande till olika egenskaper geometrisk prototyp. Till exempel, i analys använder de analytiska flerdimensionella kuber, som låter dig jämföra data från olika tabeller visuellt.

Kubegenskaper

1. Du kan passa in en tetraeder i en kub på två sätt, och tetraederns hörn, som det finns fyra av, kommer att sammanfalla med kubens fyra hörn. Alla sex kanter av tetraedern kommer att vara placerade på alla sex ytor av kuben och kommer att vara lika med diagonalen på den kvadratiska sidan.
2. De fyra sektionerna av kuben är regelbundna hexagoner de löper genom kubens centrum vinkelrätt mot de fyra diagonalerna.
3. En oktaeder passar in i en kub, och alla sex hörn på oktaedern sammanfaller med mitten av kubens sex ytor.
4. Kuben passar in i oktaedern, med alla åtta hörn av kuben placerade i mitten av de åtta ytorna på oktaedern.
5. En ikosaeder kan inskrivas i en kub, så att sex ömsesidigt parallella kanter av ikosaedern kommer att placeras på sex ytor av kuben, de återstående tjugofyra kanterna inuti kuben, alla 12 hörn av ikosaedern kommer att ligga på sex ytor av kuben. kuben.

Formler för en kub

• Kubens yta: A = 6*a2
• Volym av kub: V = a3
• Kubens diagonal: d = a*√3

Eller hexaeder) är tredimensionell figur, varje ansikte är en kvadrat, som, som vi vet, har alla sidor lika. Diagonalen på en kub är ett segment som passerar genom figurens mitt och förbinder de symmetriska hörnen. En vanlig hexaeder har 4 diagonaler, och de kommer alla att vara lika. Det är mycket viktigt att inte förväxla diagonalen på själva figuren med diagonalen på dess kant eller kvadraten som ligger på dess bas. Diagonalen på en kubyta passerar genom mitten av ansiktet och förbinder kvadratens motsatta hörn.

Formel för att hitta diagonalen på en kub

Diagonalen för en vanlig polyeder kan hittas med en mycket enkel formel som du måste komma ihåg. D=a√3, där D betecknar kubens diagonal och är en kant. Låt oss ge ett exempel på ett problem där det är nödvändigt att hitta en diagonal om det är känt att längden på dess kant är 2 cm. Här är allt enkelt D = 2√3, du behöver inte ens räkna någonting. I det andra exemplet, låt kanten på kuben vara lika med √3 cm, då får vi D = √3√3=√9=3. Svar: D är lika med 3 cm.

Formel för att hitta diagonalen på en kubyta

Nala aspekter kan också hittas med hjälp av formeln. Det finns bara 12 diagonaler som ligger på ansiktena, och de är alla lika med varandra. Kom nu ihåg d=a√2, där d är kvadratens diagonal och även kanten på kuben eller sidan av kvadraten. Det är väldigt enkelt att förstå var denna formel kommer ifrån. När allt kommer omkring är kvadratens två sidor och diagonalen I denna trio spelar diagonalen rollen som hypotenusan, och kvadratens sidor är ben som har samma längd. Låt oss komma ihåg Pythagoras sats, och allt kommer omedelbart att falla på plats. Nu uppgiften: kanten på hexaedern är √8 cm, du måste hitta diagonalen på dess ansikte. Vi infogar den i formeln och vi får d=√8 √2=√16=4. Svar: Diagonalen på en kubs ansikte är 4 cm.

Om diagonalen på en kubyta är känd

Enligt villkoren för problemet får vi endast diagonalen för ansiktet på en vanlig polyeder, som är lika med, säg, √2 cm, och vi måste hitta kubens diagonal. Formeln för att lösa detta problem är lite mer komplicerad än den föregående. Om vi ​​känner till d kan vi hitta kanten på kuben baserat på vår andra formel d=a√2. Vi får a= d/√2= √2/√2=1cm (detta är vår kant). Och om detta värde är känt blir det inte svårt att hitta kubens diagonal: D = 1√3= √3. Så här löste vi vårt problem.

Om ytan är känd

Följande lösningsalgoritm är baserad på att hitta diagonalen enligt Antag att den är lika med 72 cm 2. Låt oss först hitta arean på ett ansikte, och det finns 6 av dem totalt. Detta betyder att 72 måste delas med 6, vi får 12 cm 2. Detta är området för ett ansikte. För att hitta kanten på en vanlig polyeder måste du komma ihåg formeln S=a 2, vilket betyder a=√S. Ersätt och få a=√12 (kanten på kuben). Och om vi känner till detta värde så är diagonalen inte svårt att hitta D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Svar: kubens diagonal är 6 cm 2.

Om längden på kanterna på en kub är känd

Det finns fall då problemet bara ger längden på alla kanter på kuben. Sedan måste du dividera detta värde med 12. Detta är antalet sidor i en vanlig polyeder. Till exempel, om summan av alla kanter är 40, kommer en sida att vara lika med 40/12=3,333. Vi infogar den i vår första formel och får svaret!