Formler för summan och skillnaden av sinus och cosinus för två vinklar α och β tillåter oss att gå från summan av dessa vinklar till produkten av vinklarna α + β 2 och α - β 2. Låt oss omedelbart notera att du inte ska blanda ihop formlerna för summan och skillnaden av sinus och cosinus med formlerna för sinus och cosinus för summan och skillnaden. Nedan listar vi dessa formler, ger deras härledningar och visar exempel på tillämpningar för specifika problem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formler för summan och skillnaden mellan sinus och cosinus

Låt oss skriva ner hur summa- och differensformlerna ser ut för sinus och cosinus

Summa och differensformler för sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Summa och skillnadsformler för cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Dessa formler är giltiga för alla vinklar α och β. Vinklarna α + β 2 och α - β 2 kallas halvsumman och halvskillnaden för vinklarna alfa respektive beta. Låt oss ge formuleringen för varje formel.

Definitioner av formler för summor och differenser av sinus och cosinus

Summan av sinus av två vinklarär lika med två gånger produkten av sinus av halvsumman av dessa vinklar och cosinus av halva skillnaden.

Skillnaden mellan sinus i två vinklarär lika med två gånger produkten av sinus av halvskillnaden för dessa vinklar och cosinus av halvsumman.

Summan av cosinus för två vinklarär lika med två gånger produkten av cosinus av halvsumman och cosinus av halva skillnaden av dessa vinklar.

Skillnaden mellan cosinus för två vinklar lika med två gånger produkten av sinus av halvsumman och cosinus av halvskillnaden för dessa vinklar, tagna med ett negativt tecken.

Härleda formler för summan och skillnaden av sinus och cosinus

För att härleda formler för summan och skillnaden av sinus och cosinus för två vinklar används additionsformler. Låt oss lista dem nedan

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Låt oss också föreställa oss själva vinklarna som en summa av halva summor och halva skillnader.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Vi fortsätter direkt till härledningen av summa- och differensformlerna för sin och cos.

Härledning av formeln för summan av sinus

I summa syndα + sin β ersätt α och β med uttrycken för dessa vinklar som ges ovan. Vi får

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Nu tillämpar vi additionsformeln på det första uttrycket och formeln för sinus för vinkelskillnader på det andra (se formler ovan)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Öppna parenteserna, lägg till liknande termer och få önskad formel

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Stegen för att härleda de återstående formlerna är liknande.

Härledning av formeln för skillnaden av sinus

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Härledning av formeln för summan av cosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Härledning av formeln för skillnaden mellan cosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Exempel på att lösa praktiska problem

Låt oss först kontrollera en av formlerna genom att ersätta specifika vinkelvärden i den. Låt α = π 2, β = π 6. Låt oss beräkna värdet av summan av sinusen för dessa vinklar. Först kommer vi att använda tabellen med grundläggande värden för trigonometriska funktioner, och sedan kommer vi att tillämpa formeln för summan av sinus.

Exempel 1. Kontrollera formeln för summan av sinus i två vinklar

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Låt oss nu överväga fallet när vinkelvärdena skiljer sig från de grundläggande värdena som presenteras i tabellen. Låt α = 165°, β = 75°. Låt oss beräkna skillnaden mellan sinusen för dessa vinklar.

Exempel 2. Tillämpning av sinusskillnadens formel

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Med hjälp av formlerna för summan och skillnaden av sinus och cosinus kan du gå från summan eller skillnaden till produkten av trigonometriska funktioner. Ofta kallas dessa formler formler för att gå från en summa till en produkt. Formler för summan och skillnaden mellan sinus och cosinus används ofta vid lösning trigonometriska ekvationer och vid konvertering av trigonometriska uttryck.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Vi kommer att börja vår studie av trigonometri med den räta triangeln. Låt oss definiera vad sinus och cosinus är, samt tangent och cotangens spetsig vinkel. Detta är grunderna för trigonometri.

Låt oss påminna dig om det rät vinkelär en vinkel lika med 90 grader. Med andra ord en halvvriden vinkel.

Akut vinkel- mindre än 90 grader.

Trubbig vinkel- mer än 90 grader. När den tillämpas på en sådan vinkel är "trubbig" inte en förolämpning, utan en matematisk term :-)

Låt oss rita en rätvinklig triangel. En rät vinkel betecknas vanligtvis med . Observera att sidan mittemot hörnet anges med samma bokstav, endast liten. Sålunda betecknas sidan motstående vinkel A.

Vinkeln betecknas med motsvarande grekiska bokstav.

Hypotenusa av en rätvinklig triangel är sidan motsatt den räta vinkeln.

Ben- sidor som ligger mitt emot spetsiga vinklar.

Benet som ligger mitt emot vinkeln kallas motsatt(i förhållande till vinkeln). Det andra benet, som ligger på en av vinkelns sidor, kallas intilliggande.

Sinus Den spetsiga vinkeln i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan:

Cosinus spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan:

Tangent spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande:

En annan (motsvarande) definition: tangenten för en spetsig vinkel är förhållandet mellan vinkelns sinus och dess cosinus:

Cotangens spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan den intilliggande sidan och den motsatta (eller, vilket är samma, förhållandet mellan cosinus och sinus):

Notera de grundläggande sambanden för sinus, cosinus, tangens och cotangens nedan. De kommer att vara användbara för oss när vi löser problem.

Låt oss bevisa några av dem.

Okej, vi har gett definitioner och skrivit ner formler. Men varför behöver vi fortfarande sinus, cosinus, tangent och cotangens?

Det vet vi summan av vinklarna i en triangel är lika med.

Vi vet förhållandet mellan partier rät triangel. Detta är Pythagoras sats: .

Det visar sig att om du känner till två vinklar i en triangel kan du hitta den tredje. Genom att känna till de två sidorna av en rätvinklig triangel kan du hitta den tredje. Det betyder att vinklarna har sitt eget förhållande och att sidorna har sina egna. Men vad ska du göra om du i en rätvinklig triangel känner till en vinkel (förutom den räta vinkeln) och en sida, men du behöver hitta de andra sidorna?

Detta är vad människor förr mötte när de gjorde kartor över området och stjärnhimlen. Det är trots allt inte alltid möjligt att direkt mäta alla sidor i en triangel.

Sinus, cosinus och tangent – ​​de kallas också trigonometriska vinkelfunktioner- ge relationer mellan partier Och hörn triangel. Genom att känna till vinkeln kan du hitta alla dess trigonometriska funktioner med hjälp av speciella tabeller. Och genom att känna till sinus, cosinus och tangenter för vinklarna i en triangel och en av dess sidor, kan du hitta resten.

Vi kommer också att rita en tabell över värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för "bra" vinklar från till.

Observera de två röda strecken i tabellen. Vid lämpliga vinkelvärden existerar inte tangent och cotangens.

Låt oss titta på flera trigonometriproblem från FIPI Task Bank.

1. I en triangel är vinkeln , . Hitta .

Problemet är löst på fyra sekunder.

Sedan , .

2. I en triangel är vinkeln , , . Hitta .

Låt oss hitta det med hjälp av Pythagoras sats.

Problemet är löst.

Ofta i problem finns trianglar med vinklar och eller med vinklar och. Kom ihåg de grundläggande förhållandena för dem utantill!

För en triangel med vinklar och benet mitt emot vinkeln vid är lika med hälften av hypotenusan.

En triangel med vinklar och är likbent. I den är hypotenusan gånger större än benet.

Vi tittade på problem att lösa räta trianglar– det vill säga att hitta okända sidor eller vinklar. Men det är inte allt! I Alternativ för Unified State Exam i matematik finns det många problem där sinus, cosinus, tangens eller cotangens för en triangels yttre vinkel visas. Mer om detta i nästa artikel.

I den här artikeln kommer vi att prata om universell trigonometrisk substitution. Det innebär att uttrycka sinus, cosinus, tangent och cotangens för vilken vinkel som helst genom tangenten för en halv vinkel. Dessutom utförs en sådan ersättning rationellt, det vill säga utan rötter.

Först kommer vi att skriva ner formler som uttrycker sinus, cosinus, tangent och cotangens i termer av tangenten för en halv vinkel. Därefter kommer vi att visa härledningen av dessa formler. Och avslutningsvis, låt oss titta på några exempel på hur man använder det universella trigonometrisk substitution.

Sidnavigering.

Sinus, cosinus, tangent och cotangens genom tangenten för en halv vinkel

Låt oss först skriva ner fyra formler som uttrycker sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel genom tangenten för en halv vinkel.

De angivna formlerna är giltiga för alla vinklar där tangenterna och kotangenserna som ingår i dem är definierade:

Härleda formler

Låt oss analysera härledningen av formler som uttrycker sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel genom tangenten för en halv vinkel. Låt oss börja med formlerna för sinus och cosinus.

Låt oss representera sinus och cosinus med dubbelvinkelformler Hur Och respektive. Nu uttrycken Och vi skriver det i form av bråk med nämnaren 1 som Och . Längre fram vid basen grundläggande trigonometrisk identitet vi ersätter enheterna i nämnaren med summan av kvadraterna av sinus och cosinus, varefter vi får Och . Slutligen delar vi täljaren och nämnaren för de resulterande bråken med (dess värde skiljer sig från noll förutsatt ). Som ett resultat ser hela kedjan av åtgärder ut så här:


Och

Detta slutför härledningen av formler som uttrycker sinus och cosinus genom tangenten för en halv vinkel.

Det återstår att härleda formler för tangent och cotangens. Nu, med hänsyn till formlerna som erhållits ovan, både formler och , får vi omedelbart formler som uttrycker tangenten och cotangensen genom tangenten till halvvinkeln:

Så vi har härlett alla formler för den universella trigonometriska substitutionen.

Exempel på användning av universell trigonometrisk substitution

Låt oss först titta på ett exempel på hur man använder universell trigonometrisk substitution när man transformerar uttryck.

Exempel.

Ge ett uttryck till ett uttryck som bara innehåller ett trigonometrisk funktion.

Lösning.

Svar:

.

Referenser.

• Algebra: Lärobok för 9:e klass. snitt skola/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Utbildning, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra och analysens början: Lärobok. för 10-11 årskurser. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 årskurser. allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorov - 14:e upplagan - M.: Utbildning, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.