Tredimensionell kub i fyrdimensionell rymd. Hyperkub

19 september 2009
Tesseract (från antik grekiska τέσσερες ἀκτῖνες - fyra strålar) är en fyrdimensionell hyperkub - en analog till en kub i fyrdimensionell rymd.

Bilden är en projektion (perspektiv) fyrdimensionell kub in i det tredimensionella rummet.

Enligt Oxford Dictionary myntades och användes ordet "tesseract" 1888 av Charles Howard Hinton (1853–1907) i sin bok Ny era tankar". Senare kallade vissa samma figur för en "tetrakub".

Geometri

En vanlig tesserakt i det euklidiska fyrdimensionella rymden definieras som ett konvext skrov av punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:

Tesserakten begränsas av åtta hyperplan, vars skärning med själva tesserakten definierar dess tredimensionella ansikten (som är vanliga kuber). Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.

I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadrat ABCD. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub ABCDHEFG. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten ABCD, kvadraten - som sidan av kuben ABCDHEFG, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn och en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

Tesseract uppackning

Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ansikten - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i den fjärde dimensionen. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den del som blev kvar i "vårt" utrymme är ritad med heldragna linjer, och den del som gick in i hyperrymden är ritad med prickade linjer. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.

Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet, plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Tesseraktens egenskaper är en förlängning av egenskaperna geometriska former mindre dimension till fyrdimensionellt utrymme.

Projektioner

Till tvådimensionellt rum

Denna struktur är svår att föreställa sig, men det är möjligt att projicera en tesserakt i tvådimensionella eller tredimensionella rum. Att projicera på ett plan gör det dessutom lätt att förstå platsen för hyperkubens hörn. På så sätt är det möjligt att få bilder som inte längre speglar de rumsliga relationerna inom tesserakten, men som illustrerar vertexkopplingsstrukturen, som i följande exempel:

Till tredimensionellt rymd

Projektionen av en tesserakt på tredimensionella rymden representerar två kapslade tredimensionella kuber, vars motsvarande hörn är förbundna med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är det det lika kuber. För att förstå likheten mellan alla tesseractkuber skapades en roterande tesseract-modell.

De sex stympade pyramiderna längs kanterna på tesserakten är bilder av lika sex kuber.
Stereopar

Ett stereopar av en tesserakt avbildas som två projektioner på tredimensionell rymd. Den här bilden av tesserakten designades för att representera djupet som en fjärde dimension. Stereoparet betraktas så att varje öga bara ser en av dessa bilder, en stereoskopisk bild dyker upp som återger djupet av tesserakten.

Tesseract uppackning

Ytan på en tesserakt kan vikas ut till åtta kuber (liknande hur ytan på en kub kan vikas ut till sex rutor). Det finns 261 olika tesseract-designer. Utvecklingen av en tesserakt kan beräknas genom att plotta de sammankopplade vinklarna på en graf.

Tesseract i konsten

I Edwina A:s "New Abbott Plain" fungerar hyperkuben som en berättare.
I ett avsnitt av Jimmy Neutrons äventyr: "Boy Genius" uppfinner Jimmy en fyrdimensionell hyperkub som är identisk med foldboxen från Heinleins roman Glory Road från 1963.
Robert E. Heinlein har nämnt hyperkuber i minst tre science fiction-historier. I The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940) beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt.
Heinleins roman "Glory Road" beskriver hyperstora rätter som var större på insidan än på utsidan.
Henry Kuttners berättelse "Mimsy Were the Borogoves" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.
I romanen av Alex Garland (1999) används termen "tesseract" för den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub, snarare än själva hyperkuben. Detta är en metafor utformad för att visa att det kognitiva systemet måste vara bredare än det kännbara.
Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.
TV-serien Andromeda använder Tesseract-generatorer som en handlingsanordning. De är främst utformade för att manipulera rum och tid.
Målning "The Crucifixion" (Corpus Hypercubus) av Salvador Dali (1954)
Nextwave-serieboken skildrar ett fordon som inkluderar 5 tesseract-zoner.
I albumet Voivod Nothingface heter en av kompositionerna "In my hypercube".
I Anthony Pearces roman Route Cube kallas en av International Development Associations kretsande månar en tesserakt som har komprimerats till 3 dimensioner.
I serien "Skola" Svart hål"" i den tredje säsongen finns det ett avsnitt "Tesseract". Lucas trycker på en hemlig knapp och skolan börjar ta form som en matematisk tesserakt.
Termen "tesseract" och dess härledda term "tesserate" finns i berättelsen "A Wrinkle in Time" av Madeleine L'Engle.

Utvecklingen av den mänskliga hjärnan ägde rum i tredimensionell rymd. Därför är det svårt för oss att föreställa oss utrymmen med dimensioner större än tre. Faktum är att den mänskliga hjärnan inte kan föreställa sig geometriska föremål med dimensioner större än tre. Och samtidigt kan vi enkelt föreställa oss geometriska föremål med dimensionerna inte bara tre, utan också med dimensionerna två och ett.

Skillnaden och analogin mellan endimensionella och tvådimensionella utrymmen, såväl som skillnaden och analogin mellan tvådimensionella och tredimensionella utrymmen tillåter oss att lätt öppna skärmen av mystik som stängslar av oss från utrymmen med högre dimensioner. För att förstå hur denna analogi används, överväg ett mycket enkelt fyrdimensionellt objekt - en hyperkub, det vill säga en fyrdimensionell kub. För att vara specifik, låt oss säga att vi vill lösa ett specifikt problem, nämligen att räkna antalet kvadratiska ytor av en fyrdimensionell kub. Alla ytterligare överväganden kommer att vara mycket slappa, utan några bevis, rent analogt.

För att förstå hur en hyperkub är byggd av en vanlig kub måste du först titta på hur en vanlig kub är byggd av en vanlig kvadrat. För originalitetens skull i presentationen av detta material kommer vi här att kalla en vanlig kvadrat för en SubCube (och kommer inte att förväxla den med en succubus).

För att bygga en kub från en subkub måste du förlänga subkuben i en riktning vinkelrät mot subkubens plan i riktning mot den tredje dimensionen. I det här fallet, från varje sida av den initiala subkuben kommer en subkub att växa, vilket är den tvådimensionella sidan av kuben, vilket kommer att begränsa den tredimensionella volymen av kuben på fyra sidor, två vinkelräta mot varje riktning i subkubens plan. Och längs den nya tredje axeln finns det också två subkuber som begränsar kubens tredimensionella volym. Detta är den tvådimensionella ytan där vår subkub ursprungligen låg och den tvådimensionella ytan på kuben där subkuben kom i slutet av kubens konstruktion.

Det du just har läst presenteras överdrivet detaljerat och med många förtydliganden. Och av goda skäl. Nu ska vi göra det här tricket, vi kommer att ersätta några ord i den tidigare texten formellt på det här sättet:
kub -> hyperkub
underkub -> kub
plan -> volym
tredje -> fjärde
tvådimensionell -> tredimensionell
fyra -> sex
tredimensionell -> fyrdimensionell
två -> tre
plan -> rymd

Som ett resultat får vi följande meningsfulla text, som inte längre verkar alltför detaljerad.

För att bygga en hyperkub från en kub måste du förlänga kuben i en riktning som är vinkelrät mot kubens volym i riktning mot den fjärde dimensionen. I det här fallet kommer en kub att växa från varje sida av den ursprungliga kuben, vilket är den laterala tredimensionella ytan av hyperkuben, vilket kommer att begränsa den fyrdimensionella volymen av hyperkuben på sex sidor, tre vinkelräta mot varje riktning i kubens utrymme. Och längs den nya fjärde axeln finns det också två kuber som begränsar hyperkubens fyrdimensionella volym. Detta är det tredimensionella ansiktet där vår kub ursprungligen låg och det tredimensionella ansiktet på hyperkuben där kuben kom i slutet av konstruktionen av hyperkuben.

Varför är vi så säkra på att vi har fått rätt beskrivning av konstruktionen av en hyperkub? Ja, för genom exakt samma formella byte av ord får vi en beskrivning av konstruktionen av en kub från en beskrivning av konstruktionen av en kvadrat. (Kolla in det själv.)

Nu är det klart att om ytterligare en tredimensionell kub skulle växa från varje sida av kuben, så bör en yta växa från varje kant av den initiala kuben. Totalt har kuben 12 kanter, vilket innebär att ytterligare 12 nya ytor (subkuber) kommer att dyka upp på de 6 kuberna som begränsar den fyrdimensionella volymen längs de tre axlarna i det tredimensionella rummet. Och det finns ytterligare två kuber kvar som begränsar denna fyrdimensionella volym underifrån och ovan längs den fjärde axeln. Var och en av dessa kuber har 6 ytor.

Totalt finner vi att hyperkuben har 12+6+6=24 kvadratiska ytor.

Följande bild visar den logiska strukturen hos en hyperkub. Det här är som en projektion av en hyperkub på tredimensionell rymd. Detta ger en tredimensionell ram av ribbor. I figuren ser du naturligtvis projektionen av denna ram på ett plan.

På denna ram är den inre kuben som den initiala kuben från vilken konstruktionen började och som begränsar den fyrdimensionella volymen av hyperkuben längs den fjärde axeln från botten. Vi sträcker denna initiala kub uppåt längs den fjärde mätaxeln och den går in i den yttre kuben. Så de yttre och inre kuberna från denna figur begränsar hyperkuben längs den fjärde mätaxeln.

Och mellan dessa två kuber kan du se ytterligare 6 nya kuber, som berör gemensamma ansikten med de två första. Dessa sex kuber band vår hyperkub längs de tre axlarna i det tredimensionella rummet. Som du kan se är de inte bara i kontakt med de två första kuberna, som är de inre och yttre kuberna på denna tredimensionella ram, utan de är också i kontakt med varandra.

Du kan räkna direkt i figuren och se till att hyperkuben verkligen har 24 ansikten. Men denna fråga uppstår. Denna hyperkubram i tredimensionellt utrymme är fylld med åtta tredimensionella kuber utan några luckor. För att göra en riktig hyperkub från denna tredimensionella projektion av en hyperkub, måste du vända denna ram ut och in så att alla 8 kuberna binder en 4-dimensionell volym.

Det är gjort så här. Vi bjuder in en invånare i det fyrdimensionella rummet att besöka oss och ber honom hjälpa oss. Han tar tag i den inre kuben i denna ram och flyttar den i riktning mot den fjärde dimensionen, som är vinkelrät mot vårt tredimensionella utrymme. I vårt tredimensionella rum uppfattar vi det som att hela den inre ramen hade försvunnit och bara den yttre kubens ram fanns kvar.

Vidare erbjuder vår fyrdimensionella assistent sin assistans på förlossningssjukhus för smärtfri förlossning, men våra gravida kvinnor är rädda av utsikten att barnet helt enkelt kommer att försvinna från magen och hamna i ett parallellt tredimensionellt rum. Därför nekas den fyrdimensionella personen artigt.

Och vi är förbryllade över frågan om några av våra kuber gick isär när vi vände ut och in på hyperkubramen. När allt kommer omkring, om några tredimensionella kuber som omger en hyperkub vidrör sina grannar på ramen med sina ansikten, kommer de också att röra med samma ansikten om den fyrdimensionella kuben vänder ramen ut och in?

Låt oss åter vända oss till analogin med rum med lägre dimensioner. Jämför bilden av hyperkubramen med projektionen av en tredimensionell kub på ett plan som visas i följande bild.

Invånarna i det tvådimensionella rymden byggde en ram på ett plan för att projicera en kub på ett plan och bjöd in oss, tredimensionella invånare, att vända denna ram ut och in. Vi tar den inre kvadratens fyra hörn och flyttar dem vinkelrätt mot planet. Tvådimensionella invånare ser det fullständiga försvinnandet av allt inre ram, och de har bara ramen för den yttre kvadraten. Med en sådan operation fortsätter alla rutor som var i kontakt med sina kanter att beröra samma kanter.

Därför hoppas vi att hyperkubens logiska schema inte heller kommer att kränkas när hyperkubens ram vänds ut och in, och antalet kvadratiska ytor på hyperkuben kommer inte att öka och kommer fortfarande att vara lika med 24. Detta, naturligtvis , är inget bevis alls, utan en ren gissning i analogi.

Efter allt du har läst här kan du enkelt rita det logiska ramverket för en femdimensionell kub och beräkna antalet hörn, kanter, ytor, kuber och hyperkuber den har. Det är inte alls svårt.

τέσσαρες ἀκτίνες - fyra strålar) - 4-dimensionell Hyperkub- analog i 4-dimensionell rymd.

Bilden är en projektion () av en fyrdimensionell kub på tredimensionell rymd.

En generalisering av kuben till fall med mer än 3 dimensioner kallas hyperkub eller (en:measure polytoper). Formellt definieras en hyperkub som fyra lika stora segment.

Den här artikeln beskriver huvudsakligen det 4-dimensionella hyperkub, ringde tesseract.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna vårt tredimensionella utrymme.

I ettdimensionellt "rymd" - på en linje - väljer vi AB med längden L. I tvådimensionellt utrymme, på ett avstånd L från AB, ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadrat ABCD. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub ABCDHEFG. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första!) med ett avstånd L får vi en hyperkub.

Ett endimensionellt segment AB fungerar som en yta av en tvådimensionell kvadrat ABCD, kvadraten fungerar som en sida av en kub ABCDHEFG, som i sin tur kommer att vara en sida av en fyrdimensionell hyperkub. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn, en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

På ett liknande sätt kan vi fortsätta vårt resonemang för hyperkuber av ett större antal dimensioner, men det är mycket mer intressant att se hur det kommer att se ut för oss, invånare i tredimensionella rymden. fyrdimensionell hyperkub. För detta kommer vi att använda den redan välkända metoden för analogier.

Genom att skära de åtta ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet, plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Tesseraktens egenskaper är en fortsättning på egenskaperna hos geometriska figurer med lägre dimension till ett 4-dimensionellt utrymme, presenterade i tabellen nedan.

Vad är en hyperkub och ett fyrdimensionellt utrymme

Vårt vanliga utrymme har tre dimensioner. Ur geometrisk synvinkel betyder detta att tre ömsesidigt vinkelräta linjer kan indikeras i den. Det vill säga, för vilken linje som helst kan du hitta en andra linje vinkelrät mot den första, och för ett par kan du hitta en tredje linje vinkelrät mot de två första. Det kommer inte längre att vara möjligt att hitta en fjärde linje vinkelrät mot de befintliga tre.

Det fyrdimensionella rummet skiljer sig från vårt endast genom att det har ytterligare en riktning. Om du redan har tre ömsesidigt vinkelräta linjer, kan du hitta en fjärde, så att den kommer att vara vinkelrät mot alla tre.

En hyperkub är helt enkelt en kub i fyrdimensionell rymd.
Är det möjligt att föreställa sig ett fyrdimensionellt rum och en hyperkub?

Denna fråga är relaterad till frågan: "är det möjligt att föreställa sig den sista nattvarden genom att titta på målningen med samma namn (1495-1498) av Leonardo da Vinci (1452-1519)?"

Å ena sidan kommer du naturligtvis inte att föreställa dig vad Jesus såg (han sitter vänd mot åskådaren), speciellt eftersom du inte kommer att lukta på trädgården utanför fönstret och smaka på maten på bordet, du kommer inte att höra fåglarna sjunga... Du kommer inte att få en komplett bild av vad som hände den kvällen, men det kan inte sägas att du inte kommer att lära dig något nytt och att bilden inte är av intresse.

Situationen är liknande med frågan om hyperkuben. Det är omöjligt att helt föreställa sig det, men man kan komma närmare att förstå hur det är.
Konstruktion av en hyperkub
0-dimensionell kub

Låt oss börja från början - med en 0-dimensionell kub. Denna kub innehåller 0 ömsesidigt vinkelräta ytor, det vill säga det är bara en punkt.

1-dimensionell kub

I det endimensionella rummet har vi bara en riktning. Vi flyttar punkten i denna riktning och får ett segment.

Detta är en endimensionell kub.
2 dimensionell kub

Vi har en andra dimension, vi flyttar vår endimensionella kub (segment) i riktning mot den andra dimensionen och vi får en kvadrat.

Det är en kub i tvådimensionellt utrymme.
3 dimensionell kub

Med tillkomsten av den tredje dimensionen gör vi samma sak: vi flyttar kvadraten och får en vanlig tredimensionell kub.

4-dimensionell kub (hyperkub)

Nu har vi en fjärde dimension. Det vill säga, vi har till vårt förfogande en riktning vinkelrät mot alla tre tidigare. Låt oss använda det på exakt samma sätt. En fyrdimensionell kub kommer att se ut så här.

Naturligtvis kan tredimensionella och fyrdimensionella kuber inte avbildas på ett tvådimensionellt skärmplan. Det jag ritade är projektioner. Vi kommer att prata om prognoser lite senare, men för nu några blotta fakta och siffror.
Antal hörn, kanter, ytor
Egenskaper för kuber av olika storlekar
1-dimension av rymden
2-antal hörn
3-antal kanter
4-antal ansikten

0 (prick) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (poäng)
2 (fyrkantig) 4 4 4 (segment)
3 (kub) 8 12 6 (rutor)
4 (hyperkub) 16 32 8 (kuber)
N ( allmän formel) 2N N 2N-1 2 N

Observera att ansiktet på en hyperkub är vår vanliga tredimensionella kub. Om du tittar noga på ritningen av en hyperkub kan du faktiskt hitta åtta kuber.
Projektioner och vision av en invånare i fyrdimensionell rymd
Några ord om vision

Vi lever i en tredimensionell värld, men vi ser den som tvådimensionell. Detta beror på det faktum att näthinnan i våra ögon ligger i ett plan som bara har två dimensioner. Det är därför vi kan uppfatta tvådimensionella bilder och finna dem som liknar verkligheten. (Naturligtvis, tack vare boende, kan ögat uppskatta avståndet till ett objekt, men detta är en bieffekt som är förknippad med den inbyggda optiken i våra ögon.)

Ögonen hos en invånare i fyrdimensionell rymd måste ha en tredimensionell näthinna. En sådan varelse kan omedelbart se hela den tredimensionella figuren: alla dess ansikten och insidor. (På samma sätt kan vi se en tvådimensionell figur, alla dess ansikten och interiörer.)

Med hjälp av våra synorgan kan vi alltså inte uppfatta en fyrdimensionell kub på det sätt som en invånare i ett fyrdimensionellt utrymme skulle uppfatta den. Tyvärr. Allt som återstår är att lita på ditt sinnes öga och fantasi, som lyckligtvis inte har några fysiska begränsningar.

Men när jag avbildar en hyperkub på ett plan, tvingas jag helt enkelt göra dess projektion på tvådimensionell rymd. Ta hänsyn till detta faktum när du studerar ritningarna.
Kantkorsningar

Naturligtvis skär inte kanterna på hyperkuben. Korsningar visas endast i ritningar. Detta bör dock inte komma som en överraskning, eftersom kanterna på en vanlig kub på bilderna också skär varandra.
Kantlängder

Det är värt att notera att alla ytor och kanter på en fyrdimensionell kub är lika. I figuren är de inte lika bara för att de ligger under olika vinklar till synriktningen. Det är dock möjligt att rotera en hyperkub så att alla projektioner har samma längd.

Förresten, i denna figur är åtta kuber, som är ansiktena på en hyperkub, tydligt synliga.
Hyperkuben är tom inuti

Det är svårt att tro, men mellan kuberna som binder hyperkuben finns det lite utrymme (ett fragment av fyrdimensionellt rymd).

För att förstå detta bättre, låt oss titta på en tvådimensionell projektion av en vanlig tredimensionell kub (jag gjorde den medvetet något schematisk).

Kan du gissa att det finns lite utrymme inuti kuben? Ja, men bara genom att använda din fantasi. Ögat ser inte detta utrymme. Detta beror på att kanterna i den tredje dimensionen (som inte kan avbildas på en platt ritning) nu har förvandlats till segment som ligger i ritningens plan. De ger inte längre volym.

Rutorna som omsluter kubens utrymme överlappade varandra. Men man kan tänka sig att i den ursprungliga figuren (en tredimensionell kub) var dessa kvadrater placerade i olika plan, och inte den ena ovanpå den andra i samma plan, som hände i figuren.

Situationen är exakt densamma med en hyperkub. Kube-ytorna i en hyperkub överlappar faktiskt inte, som det verkar för oss på projektionen, utan är placerade i fyrdimensionell rymd.
Svep

Så en invånare i fyrdimensionell rymd kan se ett tredimensionellt objekt från alla sidor samtidigt. Kan vi se en tredimensionell kub från alla sidor samtidigt? Med ögat - nej. Men folk har kommit på ett sätt att avbilda alla ansikten på en tredimensionell kub samtidigt på en platt ritning. En sådan bild kallas skanning.
Utveckling av en tredimensionell kub

Alla vet nog hur utvecklingen av en tredimensionell kub formas. Denna process visas i animationen.

För tydlighetens skull är kanterna på kubytorna gjorda genomskinliga.

Det bör noteras att vi bara kan uppfatta denna tvådimensionella bild tack vare vår fantasi. Om vi betraktar utvecklingsfaserna ur en rent tvådimensionell synvinkel kommer processen att verka märklig och inte alls tydlig.

Det ser ut som det gradvisa utseendet av först konturerna av förvrängda rutor, och sedan kryper de på plats samtidigt som de antar den önskade formen.

Om du tittar på den utvikbara kuben i riktning mot ett av dess ansikten (ur denna synvinkel ser kuben ut som en fyrkant), då är processen för bildning av utvikningen ännu mindre tydlig. Allt ser ut som rutor som kryper ut från den initiala kvadraten (inte den utvikta kuben).

Men skanningen är inte bara visuell för ögonen. Det är tack vare din fantasi som du kan hämta mycket information från den.
Utveckling av en fyrdimensionell kub

Det är helt enkelt omöjligt att göra den animerade processen att veckla ut en hyperkub åtminstone något visuell. Men denna process kan föreställas. (För att göra detta måste du titta på det genom ögonen på en fyrdimensionell varelse.)

Skanningen ser ut så här.

Alla åtta kuber som avgränsar hyperkuben är synliga här.

Kanterna som ska passa ihop när de är vikta är målade med samma färger. Ansikten för vilka par inte är synliga lämnas gråa. Efter vikning ska den översta ytan av den översta kuben vara i linje med den nedre kanten av den nedre kuben. (Utvecklingen av en tredimensionell kub är kollapsad på ett liknande sätt.)

Observera att efter faltning kommer alla ytor på de åtta kuberna att komma i kontakt, vilket stänger hyperkuben. Och slutligen, när du föreställer dig vikningsprocessen, glöm inte att när vi viks är det inte överlappningen av kuber som uppstår, utan omslagningen av dem runt ett visst (hyperkubiskt) fyrdimensionellt område.

Salvador Dali (1904-1989) skildrade korsfästelsen många gånger, och kors förekommer i många av hans målningar. Målningen "The Crucifixion" (1954) använder en hyperkubskanning.
Rum-tid och euklidiskt fyrdimensionellt rum

Jag hoppas att du kunde föreställa dig hyperkuben. Men har du lyckats komma närmare att förstå hur den fyrdimensionella rum-tiden som vi lever i fungerar? Ack, inte riktigt.

Här pratade vi om det euklidiska fyrdimensionella rummet, men rum-tid har helt andra egenskaper. I synnerhet, under alla rotationer, förblir segmenten alltid lutande mot tidsaxeln, antingen i en vinkel mindre än 45 grader eller i en vinkel större än 45 grader.

KÄLLA 2

Tesseract är en fyrdimensionell hyperkub, en analog till en kub i fyrdimensionell rymd. Enligt Oxford Dictionary myntades och användes ordet "tesseract" 1888 av Charles Howard Hinton (1853-1907) i sin bok A New Age of Thought. Senare kallade vissa samma figur för en "tetrakub".

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.
I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadrat ABCD. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub ABCDHEFG. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben ABCDEFGHIJKLMNOP.

På liknande sätt kan vi fortsätta vårt resonemang för hyperkuber av ett större antal dimensioner, men det är mycket mer intressant att se hur en fyrdimensionell hyperkub kommer att se ut för oss, invånare i tredimensionella rymden. För detta kommer vi att använda den redan välkända metoden för analogier.
Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ansikten - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i den fjärde dimensionen. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Andra namn
Hexadecachoron
Octachoron
Tetrakub
4-kub
Hypercube (om antalet dimensioner inte anges)

10-dimensionellt utrymme
Det är på engelska För de som inte vet, bilderna gör det ganska tydligt

Http://www.skilopedia.ru/material.php?id=1338

Geometri

En vanlig tesserakt i det euklidiska fyrdimensionella rymden definieras som ett konvext skrov av punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:

Tesserakten begränsas av åtta hyperplan, vars skärning med själva tesserakten definierar dess tredimensionella ansikten (som är vanliga kuber). Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.

Konstruktion av en tesseract på ett plan

Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten CDBA, kvadraten - som sidan av kuben CDBAGHFE, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn, en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

Precis som sidorna av en kvadrat är 4 endimensionella segment och sidorna (ytorna) på en kub är 6 tvådimensionella kvadrater, så är sidorna för en "fyrdimensionell kub" (tesserakt) 8 tredimensionella kuber . Utrymmena för motsatta par av tesseraktkuber (det vill säga de tredimensionella utrymmena som dessa kuber tillhör) är parallella. I figuren är dessa kuberna: CDBAGHFE och KLJIOPNM, CDBAKLJI och GHFEOPNM, EFBAMNJI och GHDCOPLK, CKIAGOME och DLJBHPNF.

Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ytor - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i riktning mot den fjärde axeln. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.

Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Egenskaperna hos en tesserakt representerar en fortsättning på egenskaperna hos geometriska figurer av lägre dimension till ett fyrdimensionellt rum.

Projektioner

Till tvådimensionellt rum

Den tredje bilden visar tesserakten i isometri, i förhållande till konstruktionspunkten. Denna representation är av intresse när man använder en tesseract som bas för ett topologiskt nätverk för att länka flera processorer i parallell beräkning.

Till tredimensionellt rymd

En av projektionerna av en tesserakt på det tredimensionella rummet representerar två kapslade tredimensionella kuber, vars motsvarande hörn är sammankopplade med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är de lika stora kuber. För att förstå likheten mellan alla tesseractkuber skapades en roterande tesseract-modell.

Sex stympade pyramider längs kanterna på tesserakten finns bilder av lika sex kuber. Dessa kuber är dock till en tesserakt som rutor (ansikten) är till en kub. Men i själva verket kan tesserakten delas upp i ett oändligt antal kuber, precis som en kub kan delas upp i ett oändligt antal rutor, eller en kvadrat i ett oändligt antal segment.

En annan intressant projektion av tesserakten på det tredimensionella rummet är en rombisk dodekaeder med sina fyra diagonaler som förbinder par av motsatta hörn vid stora vinklar av romberna. I det här fallet projiceras 14 av tesseraktens 16 hörn in i 14 hörn av den rombiska dodekaedern, och projektionerna för de återstående 2 sammanfaller i dess mitt. I en sådan projektion på det tredimensionella rummet bevaras likheten och parallelliteten mellan alla endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella sidor.

Stereopar

Tesseract uppackning

Tesseract i konsten

I Edwina A:s "New Abbott Plain" fungerar hyperkuben som en berättare.
I ett avsnitt av Jimmy Neutrons äventyr uppfinner "pojkegeniet" Jimmy en fyrdimensionell hyperkub som är identisk med foldboxen från romanen Glory Road (1963) av Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein har nämnt hyperkuber i minst tre science fiction-historier. I "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built") beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt, och sedan, på grund av en jordbävning, "vikte sig" i den fjärde dimensionen och blev en "riktig" tesserakt .
Heinleins roman Glory Road beskriver en hyperstor låda som var större på insidan än på utsidan.
Henry Kuttners berättelse "All Tenali Borogov" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.
I romanen av Alex Garland () används termen "tesseract" för den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub, snarare än själva hyperkuben. Detta är en metafor utformad för att visa att det kognitiva systemet måste vara bredare än det kännbara.
Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.
TV-serien Andromeda använder Tesseract-generatorer som en handlingsanordning. De är främst utformade för att manipulera rum och tid.
Målning "Korsfästelsen" (Corpus Hypercubus) av Salvador Dali ().
Nextwave-serieboken skildrar ett fordon som inkluderar 5 tesseract-zoner.
I albumet Voivod Nothingface heter en av kompositionerna "In my hypercube".
I Anthony Pearces roman Route Cube kallas en av International Development Associations kretsande månar en tesserakt som har komprimerats till 3 dimensioner.
I serien "Black Hole School" i den tredje säsongen finns ett avsnitt "Tesseract". Lucas trycker på en hemlig knapp och skolan börjar "ta form som en matematisk tesserakt."
Termen "tesserakt" och dess derivata "tesserakt" finns i Madeleine L'Engles berättelse "A Wrinkle in Time."
TesseracT är namnet på ett brittiskt djent-band.
I filmserien Marvel Cinematic Universe är Tesseract ett nyckelelement, en kosmisk artefakt i form av en hyperkub.
I Robert Sheckleys berättelse "Miss Mouse and the Fourth Dimension" försöker en esoterisk författare, en bekant till författaren, se tesserakten genom att stirra i timmar på enheten han designade: en boll på ett ben med stavar instuckna i den, på vilka kuber som är monterade, klistrade över med alla möjliga esoteriska symboler. Berättelsen nämner Hintons arbete.
I filmerna The First Avenger, The Avengers. Tesseract - hela universums energi

Andra namn

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Octochoron (engelska) Octachoron)
Tetrakub
4-kub
Hypercube (om antalet dimensioner inte anges)

Anteckningar

Litteratur

Charles H. Hinton. Fjärde dimensionen, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Länkar

På ryska

Transformator4D-program. Bildande av modeller av tredimensionella projektioner av fyrdimensionella objekt (inklusive Hyperkuben).
Ett program som implementerar konstruktionen av en tesseract och alla dess affina transformationer, med källkod i C++.

På engelska