Instruktioner

Om den ursprungliga vektorn är avbildad på ritningen i ett rektangulärt tvådimensionellt koordinatsystem och en vinkelrät sådan måste konstrueras där, utgå från definitionen av vinkelräthet hos vektorer på ett plan. Den anger att vinkeln mellan ett sådant par riktade segment måste vara lika med 90°. Ett oändligt antal sådana vektorer kan konstrueras. Rita därför in någon bekvämt läge plan är vinkelrät mot den ursprungliga vektorn, lägg ut ett segment på det som är lika med längden av ett givet ordnat par av punkter och tilldela en av dess ändar som början av den vinkelräta vektorn. Gör detta med en gradskiva och linjal.

Om den ursprungliga vektorn ges av tvådimensionella koordinater ā = (X₁;Y₁), antag att den skalära produkten av paret vinkelräta vektorer måste vara lika med noll. Detta betyder att du måste välja för den önskade vektorn ō = (X₂,Y₂) sådana koordinater att likheten (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 kommer att gälla ett icke-nollvärde för X₂-koordinaten, och beräkna Y₂-koordinaten med hjälp av formeln Y₂ = -(X1*X₂)/Y₁. Till exempel, för vektorn ā = (15;5) kommer det att finnas en vektor ō, med en abskissa, lika med ett, och en ordinata lika med -(15*1)/5 = -3, dvs. ō = (1;-3).

För ett tredimensionellt och vilket annat ortogonalt koordinatsystem som helst gäller samma nödvändiga och tillräckliga villkor för vektorernas vinkelräta - deras skalära produkt måste vara lika med noll. Därför, om det initiala riktade segmentet ges av koordinaterna ā = (X₁,Y₁,Z₁), välj för det ordnade punktparet ō = (X₂,Y₂,Z₂) vinkelräta mot det sådana koordinater som uppfyller villkoret (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Det enklaste sättet är att tilldela enstaka värden till X₂ och Y₂ och beräkna Z₂ från den förenklade likheten Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₂ 1)/Z^ = -(X^+Y^)/Z^. Till exempel, för vektorn ā = (3,5,4) kommer detta att ha följande form: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Ta sedan abskissan och ordinatan för vinkelrät vektor som en, och i detta fall kommer den att vara lika med -(3+5)/4 = -2.

Källor:

• hitta vektorn om den är vinkelrät

De kallas vinkelräta vektor, vinkeln mellan vilken är 90º. Vinkelräta vektorer konstrueras med hjälp av ritverktyg. Om deras koordinater är kända kan du kontrollera eller hitta vektorernas vinkelräthet analytiska metoder.

Du kommer att behöva

• - gradskiva;
• - kompass;
• - linjal.

Instruktioner

Konstruera en vektor vinkelrät mot den givna. För att göra detta, vid den punkt som är början av vektorn, återställ en vinkelrät till den. Detta kan göras med en gradskiva som ställer in en vinkel på 90º. Om du inte har en gradskiva, använd en kompass för att göra det.

Ställ in den till vektorns startpunkt. Rita en cirkel med en godtycklig radie. Konstruera sedan två med centrum i de punkter där den första cirkeln skär linjen som vektorn ligger på. Radierna för dessa cirklar måste vara lika med varandra och större än den första konstruerade cirkeln. Vid skärningspunkterna mellan cirklarna, konstruera en rät linje som kommer att vara vinkelrät mot den ursprungliga vektorn vid dess ursprung, och rita på den en vektor vinkelrät mot denna.

Den här artikeln avslöjar innebörden av vinkelrätheten hos två vektorer på ett plan i tredimensionell rymd och att hitta koordinaterna för en vektor vinkelrät mot en eller ett helt par av vektorer. Ämnet är tillämpligt på problem som involverar ekvationer av linjer och plan.

Vi kommer att överväga det nödvändiga och tillräckliga villkoret för vinkelrätheten hos två vektorer, lösa metoden för att hitta en vektor vinkelrät mot en given, och beröra situationer för att hitta en vektor som är vinkelrät mot två vektorer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos två vektorer

Låt oss tillämpa regeln om vinkelräta vektorer på planet och i det tredimensionella rummet.

Definition 1

Förutsatt att vinkeln mellan två vektorer som inte är noll är lika med 90 ° (π 2 radianer) kallas vinkelrät.

Vad betyder detta, och i vilka situationer är det nödvändigt att veta om deras vinkelräthet?

Att etablera vinkelräthet är möjligt genom ritningen. När du ritar en vektor på ett plan från givna punkter kan du geometriskt mäta vinkeln mellan dem. Även om vektorernas vinkelräthet är fastställd kommer den inte att vara helt korrekt. Oftast tillåter dessa uppgifter dig inte att göra detta med en gradskiva, så denna metod är endast tillämplig när inget annat är känt om vektorerna.

De flesta fall av att bevisa vinkelrätheten hos två vektorer som inte är noll på ett plan eller i rymden görs med hjälp av nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos två vektorer.

Sats 1

Skalärprodukten av två icke-nollvektorer a → och b → lika med noll för att uppfylla likheten a → , b → = 0 är tillräcklig för deras vinkelräthet.

Bevis 1

Låt de givna vektorerna a → och b → vara vinkelräta, då kommer vi att bevisa likheten a ⇀, b → = 0.

Från definitionen av prickprodukt av vektorer vi vet att det är lika produkten av längderna av givna vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem. Enligt villkor är a → och b → vinkelräta, och därför, baserat på definitionen, är vinkeln mellan dem 90 °. Då har vi a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Andra delen av beviset

Förutsatt att a ⇀, b → = 0, bevisar vinkelrätheten för a → och b →.

Faktum är att beviset är motsatsen till det föregående. Det är känt att a → och b → är icke-noll, vilket betyder att vi från likheten a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ finner cosinus. Då får vi cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Eftersom cosinus är noll kan vi dra slutsatsen att vinkeln a →, b → ^ för vektorerna a → och b → är lika med 90 °. Per definition är detta en nödvändig och tillräcklig egenskap.

Vinkelvinkeltillstånd på koordinatplanet

Kapitel skalär produkt i koordinater visar olikheten (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , giltig för vektorer med koordinaterna a → = (a x , a y) och b → = (b x , b y), på planet och (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y för vektorerna a → = (a x , a y , a z) och b → = (b x , b y , b z) i rymden. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vinkelrätheten hos två vektorer i koordinatplan har formen a x b x + a y b y = 0, för tredimensionellt utrymme a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Låt oss omsätta det i praktiken och titta på exempel.

Exempel 1

Kontrollera egenskapen för vinkelräthet hos två vektorer a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Lösning

För att lösa detta problem måste du hitta den skalära produkten. Om det enligt villkoret är lika med noll, så är de vinkelräta.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Villkoret är uppfyllt, vilket innebär att de givna vektorerna är vinkelräta mot planet.

Svar: ja, de givna vektorerna a → och b → är vinkelräta.

Exempel 2

Koordinatvektorer i → , j → , k → ges. Kontrollera om vektorerna i → - j → och i → + 2 · j → + 2 · k → kan vara vinkelräta.

Lösning

För att komma ihåg hur vektorkoordinater bestäms måste du läsa artikeln om vektorkoordinater i ett rektangulärt koordinatsystem. Således finner vi att de givna vektorerna i → - j → och i → + 2 · j → + 2 · k → har motsvarande koordinater (1, - 1, 0) och (1, 2, 2). Låt oss ersätta numeriska värden och vi får: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Uttrycket är inte lika med noll, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, vilket betyder att vektorerna i → - j → och i → + 2 j → + 2 k → är inte vinkelräta, eftersom villkoret inte är uppfyllt.

Svar: nej, vektorerna i → - j → och i → + 2 · j → + 2 · k → är inte vinkelräta.

Exempel 3

Givna vektorer a → = (1, 0, - 2) och b → = (λ, 5, 1). Hitta värdet på λ vid vilket dessa vektorer är vinkelräta.

Lösning

Vi använder villkoret för vinkelräthet för två vektorer i rymden i kvadratisk form, då får vi

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Svar: vektorerna är vinkelräta vid värdet λ = 2.

Det finns fall när frågan om vinkelräthet är omöjlig även under ett nödvändigt och tillräckligt villkor. Givet de kända data på de tre sidorna av en triangel på två vektorer, är det möjligt att hitta vinkel mellan vektorer och kolla upp det.

Exempel 4

Givet en triangel A B C med sidorna A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Kontrollera vektorerna A B → och A C → för vinkelräthet.

Lösning

Om vektorerna A B → och A C → är vinkelräta anses triangeln A B C som rektangulär. Sedan tillämpar vi Pythagoras sats, där B C är triangelns hypotenusa. Likheten B C 2 = A B 2 + A C 2 måste vara sann. Det följer att 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Detta betyder att A B och A C är ben i triangeln A B C, därför är A B → och A C → vinkelräta.

Det är viktigt att lära sig hur man hittar koordinaterna för en vektor vinkelrät mot en given. Detta är möjligt både på planet och i rymden, förutsatt att vektorerna är vinkelräta.

Hitta en vektor vinkelrät mot en given i ett plan.

En vektor som inte är noll a → kan ha ett oändligt antal vinkelräta vektorer på planet. Låt oss skildra detta på en koordinatlinje.

Givet en icke-noll vektor a → som ligger på den räta linjen a. Då blir ett givet b →, som ligger på valfri linje vinkelrät mot linje a, vinkelrät mot a →. Om vektorn i → är vinkelrät mot vektorn j → eller någon av vektorerna λ · j → med λ lika med vilket reellt tal annat än noll, då hitta koordinaterna för vektorn b → vinkelrät mot a → = (a x , a y ) reduceras till en oändlig uppsättning lösningar. Men det är nödvändigt att hitta vektorns koordinater vinkelrät mot a → = (a x , a y) . För att göra detta är det nödvändigt att skriva ner villkoret för vinkelräthet hos vektorer i följande form: a x · b x + a y · b y = 0. Vi har b x och b y, som är de önskade koordinaterna för den vinkelräta vektorn. När a x ≠ 0 är värdet på b y icke-noll, och b x kan beräknas från olikheten a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. För a x = 0 och a y ≠ 0, tilldelar vi b x vilket värde som helst annat än noll, och hittar b y från uttrycket b y = - a x · b x a y .

Exempel 5

Givet en vektor med koordinater a → = (- 2 , 2) . Hitta en vektor vinkelrät mot denna.

Lösning

Låt oss beteckna den önskade vektorn som b → (b x , b y) . Dess koordinater kan hittas från villkoret att vektorerna a → och b → är vinkelräta. Då får vi: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Låt oss tilldela b y = 1 och ersätta: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Därför får vi från formeln b x = - 2 - 2 = 1 2. Det betyder att vektorn b → = (1 2 , 1) är en vektor vinkelrät mot a → .

Svar: b → = (1 2 , 1) .

Väcks frågan om tredimensionellt rymd löses problemet enligt samma princip. För en given vektor a → = (a x , a y , a z) finns det ett oändligt antal vinkelräta vektorer. Kommer att fixa detta på ett tredimensionellt koordinatplan. Givet ett → liggande på linjen a. Planet vinkelrätt mot raka a betecknas med α. I detta fall är vilken vektor som helst som inte är noll b → från planet α vinkelrät mot a →.

Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för b → vinkelrät mot vektorn som inte är noll a → = (a x , a y , a z) .

Låt b → ges med koordinaterna b x , b y och b z . För att hitta dem är det nödvändigt att tillämpa definitionen av villkoret för vinkelräthet för två vektorer. Likheten a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 måste vara uppfylld. Från villkoret är a → icke-noll, vilket betyder att en av koordinaterna har ett värde som inte är lika med noll. Låt oss anta att a x ≠ 0, (a y ≠ 0 eller a z ≠ 0). Därför har vi rätt att dividera hela olikheten a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 med denna koordinat, vi får uttrycket b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vi tilldelar vilket värde som helst till koordinaterna b y och b x, beräknar värdet av b x baserat på formeln, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Den önskade vinkelräta vektorn kommer att ha värdet a → = (a x, a y, a z).

Låt oss titta på beviset med ett exempel.

Exempel 6

Givet en vektor med koordinater a → = (1, 2, 3) . Hitta en vektor vinkelrät mot den givna.

Lösning

Låt oss beteckna den önskade vektorn med b → = (b x , b y , b z) . Baserat på villkoret att vektorerna är vinkelräta, måste skalärprodukten vara lika med noll.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Om värdet av b y = 1, b z = 1, då är b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Det följer att koordinaterna för vektorn b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → är en av vektorerna vinkelrät mot den givna.

Svar: b → = (-5, 1, 1).

Hitta koordinaterna för en vektor vinkelrät mot två givna vektorer

Vi måste hitta vektorns koordinater i det tredimensionella rummet. Den är vinkelrät mot de icke-kollinjära vektorerna a → (a x , a y , a z) och b → = (b x , b y , b z) . Förutsatt att vektorerna a → och b → är kolinjära räcker det att hitta en vektor vinkelrät mot a → eller b → i problemet.

Vid lösning används begreppet vektorprodukt av vektorer.

Vektorprodukt av vektorer a → och b → är en vektor som samtidigt är vinkelrät mot både a → och b →. För att lösa detta problem används vektorprodukten a → × b →. För tredimensionellt utrymme har det formen a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Låt oss titta på vektorprodukten mer i detalj med hjälp av ett exempelproblem.

Exempel 7

Vektorerna b → = (0, 2, 3) och a → = (2, 1, 0) är givna. Hitta koordinaterna för vilken vektor som helst som är vinkelrät mot data samtidigt.

Lösning

För att lösa måste du hitta vektorprodukten av vektorer. (Se stycket beräkna determinanten för en matris för att hitta vektorn). Vi får:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Svar: (3 , - 6 , 4) - koordinater för en vektor som samtidigt är vinkelrät mot de givna a → och b → .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Villkor för att vektorer ska vara vinkelräta

Vektorer är vinkelräta om och endast om deras punktprodukt är noll.

Givet två vektorer a(xa;ya) och b(xb;yb). Dessa vektorer kommer att vara vinkelräta om uttrycket xaxb + yayb = 0.

Vektorer är parallella om deras korsprodukt är noll

Ekvation för en rät linje på ett plan. Grundläggande problem på en rak linje på ett plan.

Vilken rät linje som helst på planet kan ges av en första ordningens ekvation Ax + Bi + C = 0, och konstanterna A och B är inte lika med noll samtidigt, dvs. A2 + B2  0. Denna första ordningens ekvation kallas allmän ekvation direkt. Beroende på värdena konstant A, B och C följande specialfall är möjliga: - C = 0, A  0, B  0 – den räta linjen går genom origo - A = 0, B  0, C  0 ( Av

C = 0) - rät linje parallell med Oy-axeln - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - rät linje parallell med Oy-axeln - B = C = 0, A  0 - rät linje sammanfaller med Oy-axeln - A = C = 0, B  0 – den räta linjen sammanfaller med Ox-axeln Den räta linjens ekvation kan representeras i i olika former beroende på alla givna initiala förutsättningar.

Om minst en av koefficienterna A, B, C för nivå Ax+By+C=0 är lika med 0, nivå
kallad ofullständig. Genom formen av ekvationen för en rät linje kan man bedöma dess position på
planhet OXU. Möjliga fall:
1 C=0 L: Ax+By=0 t uppfyller denna ekvation, vilket betyder att den är rak
passerar genom ursprunget
2 A=0 L: Ву+С=0 - normal v-r n=(0,B) är vinkelrät mot OX-axeln härifrån
det följer att den räta linjen är parallell med OX-axeln
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - nominellt värde n=(A,0) är vinkelrät mot OY-axeln härifrån
det följer att den räta linjen är parallell med op-förstärkarens axel
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - passerar inte genom origo och skär
båda axlarna.

Ekvation rak linje　på planet, passerar genom två givna poäng Och:

Vinkel mellan plan.

Beräkning av determinanter

Beräkningen av determinanter baseras på deras kända egenskaper, som gäller för determinanter av alla ordningsföljder. Dessa är egenskaperna:

1. Om du ordnar om två rader (eller två kolumner) av determinanten kommer determinanten att ändra tecken.

2. Om de motsvarande elementen i två kolumner (eller två rader) av determinanten är lika eller proportionella, är determinanten lika med noll.

3. Determinantens värde ändras inte om du byter rader och kolumner och bibehåller deras ordning.

4. Om alla element i en rad (eller kolumn) har en gemensam faktor, kan den tas bort från determinanttecknet.

5. Determinantens värde ändras inte om motsvarande element i en annan rad (eller kolumn) läggs till elementen i en rad (eller kolumn), multiplicerat med samma tal.

Matrisen och åtgärderna ovanför dem

Matris- ett matematiskt objekt skrivet i form av en rektangulär tabell med tal (eller element i en ring) och som tillåter algebraiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation, etc.) mellan det och andra liknande objekt. Typiskt representeras matriser som tvådimensionella (rektangulära) tabeller. Ibland övervägs flerdimensionella matriser eller icke-rektangulära matriser.

Vanligtvis betecknas matrisen med en stor bokstav i det latinska alfabetet och markerad med runda parenteser "(...)" (även markerad med hakparenteser "[...]" eller dubbla raka linjer "||...||").

Siffrorna som utgör matrisen (matriselement) betecknas ofta med samma bokstav som själva matrisen, men gemener (till exempel är a11 ett element i matris A).

Varje matriselement har 2 nedsänkta (aij) - det första "i" anger radnumret i vilket elementet finns och det andra "j" anger kolumnnumret. De säger "dimensionell matris", vilket betyder att matrisen har m rader och n kolumner. Alltid i samma matris

Operationer på matriser

Låt aij vara elementen i matris A, och bij vara elementen i matris B.

Linjära operationer:

Att multiplicera en matris A med ett tal λ (symbol: λA) består i att konstruera en matris B, vars element erhålls genom att multiplicera varje element i matrisen A med detta tal, det vill säga att varje element i matrisen B är lika med

Addition av matriser A + B är operationen att hitta en matris C, vars alla element är lika med den parvisa summan av alla motsvarande element i matriserna A och B, det vill säga varje element i matris C är lika med

Subtraktion av matriser A − B definieras på samma sätt som addition detta är operationen att hitta en matris C vars element

Addition och subtraktion är endast tillåtna för matriser av samma storlek.

Det finns en nollmatris Θ så att addering av den till en annan matris A inte ändrar A, det vill säga

Alla element i nollmatrisen är lika med noll.

Icke-linjära operationer:

Matrismultiplikation (beteckning: AB, mindre ofta med ett multiplikationstecken) är operationen för att beräkna en matris C, vars element är lika med summan av produkterna av element i motsvarande rad i den första faktorn och kolumnen i den andra .cij = ∑ aikbkj k

Den första faktorn måste ha samma antal kolumner som antalet rader i den andra. Om matris A har dimension B - så är dimensionen för deras produkt AB = C. Matrismultiplikation är inte kommutativ.

Matrismultiplikation är associativ. Endast kvadratiska matriser kan höjas till potenser.

Matristransposition (symbol: AT) är en operation där matrisen reflekteras i förhållande till huvuddiagonalen, dvs.

Om A är en storleksmatris så är AT en storleksmatris

Derivat komplex funktion

Den komplexa funktionen har formen: F(x) = f(g(x)), d.v.s. är en funktion av en funktion. Till exempel, y = sin2x, y = ln(x2+2x), etc.

Om funktionen g(x) i en punkt x har en derivata g"(x), och i punkten u = g(x) har funktionen f(u) en derivata f"(u), då har derivatan av komplex funktion f(g(x)) i punkt x existerar och är lika med f"(u)g"(x).

Implicit funktionsderivata

I många problem anges funktionen y(x) implicit. Till exempel för funktionerna nedan

det är omöjligt att explicit erhålla beroendet y(x).

Algoritmen för att beräkna derivatan y"(x) från en implicit funktion är som följer:

Du måste först differentiera båda sidor av ekvationen med avseende på x, anta att y är en differentierbar funktion av x och använda regeln för att beräkna derivatan av en komplex funktion;

Lös den resulterande ekvationen för derivatan y"(x).

Låt oss titta på några exempel för att illustrera.

Differentiera funktionen y(x) som ges av ekvationen.

Låt oss skilja båda sidor av ekvationen med avseende på variabeln x:

vad som leder till resultatet

Lapitals regel

L'Hopitals regel. Låt funktionen f(x) och g(x) ha i miljön. t-ki x0 pr-nye f' och g' exklusive möjligheten för just denna t-tu x0. Låt lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 så att f(x)/g(x) vid x®x0 ger 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), när den sammanfaller med gränsen för förhållandet mellan funktionen lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriterium för monotoniteten för en funktion som har en derivata på intervallet) Låt funktionen kontinuerligt på

(a,b), och har en derivata f"(x) vid varje punkt. Sedan

1)f ökar med (a,b) om och endast om

2) minskar med (a,b) om och endast om

2. (Tillräckligt villkor för strikt monotoni av en funktion som har en derivata på intervallet) Låt funktionen är kontinuerlig på (a,b) och har en derivata f"(x) vid varje punkt. Sedan

1) om då f ökar strängt på (a,b);

2) om då f minskar strikt på (a,b).

Det omvända, generellt sett, är inte sant. Derivatan av en strikt monoton funktion kan försvinna. Dock måste uppsättningen av punkter där derivatan inte är noll vara tät på intervallet (a,b). Mer exakt, det gör det.

3. (Kriterium för den strikta monotoniteten hos en funktion som har en derivata på intervallet) Låt och derivatan f"(x) definieras överallt på intervallet. Sedan ökar f strikt på intervallet (a,b) om och endast om följande två villkor är uppfyllda:

Punktprodukt av vektorer. Vinkel mellan vektorer. Villkoret för parallellitet eller vinkelräthet hos vektorer.

Den skalära produkten av vektorer är produkten av deras längder och cosinus för vinkeln mellan dem:

Följande påståenden bevisas på exakt samma sätt som i planimetri:

Den skalära produkten av två icke-nollvektorer är noll om och endast om vektorerna är vinkelräta.

Den skalära kvadraten av en vektor, det vill säga den skalära produkten av sig själv och sig själv, är lika med kvadraten på dess längd.

Den skalära produkten av två vektorer och ges av deras koordinater kan beräknas med hjälp av formeln

Vektorer är vinkelräta om och endast om deras punktprodukt är noll. Exempel. Givet två vektorer och . Dessa vektorer kommer att vara vinkelräta om uttrycket x1x2 + y1y2 = 0. Vinkeln mellan vektorer som inte är noll är vinkeln mellan räta linjer för vilka dessa vektorer är guider. Per definition anses vinkeln mellan vilken vektor som helst och nollvektorn vara lika med noll. Om vinkeln mellan vektorerna är 90°, så kallas sådana vektorer vinkelräta. Vi kommer att beteckna vinkeln mellan vektorerna enligt följande: