I den här videon kommer vi att analysera hela uppsättningen linjära ekvationer, som löses med samma algoritm - det är därför de kallas de enklaste.

Låt oss först definiera: vad är en linjär ekvation och vilken kallas den enklaste?

En linjär ekvation är en där det bara finns en variabel, och endast till den första graden.

Den enklaste ekvationen betyder konstruktionen:

Alla andra linjära ekvationer reduceras till det enklaste med hjälp av algoritmen:

1. Expandera parenteser, om några;
2. Flytta termer som innehåller en variabel till ena sidan av likhetstecknet och termer utan variabel till den andra;
3. Ge liknande termer till vänster och höger om likhetstecknet;
4. Dividera den resulterande ekvationen med koefficienten för variabeln $x$.

Naturligtvis hjälper denna algoritm inte alltid. Faktum är att ibland efter alla dessa bearbetningar visar sig koefficienten för variabeln $x$ vara lika med noll. I det här fallet är två alternativ möjliga:

1. Ekvationen har inga lösningar alls. Till exempel, när något som $0\cdot x=8$ visar sig, dvs. till vänster är noll, och till höger är ett annat tal än noll. I videon nedan kommer vi att titta på flera anledningar till varför denna situation är möjlig.
2. Lösningen är alla siffror. Det enda fallet då detta är möjligt är när ekvationen har reducerats till konstruktionen $0\cdot x=0$. Det är ganska logiskt att oavsett vilka $x$ vi ersätter så kommer det fortfarande att visa sig "noll är lika med noll", dvs. korrekt numerisk likhet.

Låt oss nu se hur allt detta fungerar med hjälp av verkliga exempel.

Exempel på att lösa ekvationer

Idag har vi att göra med linjära ekvationer, och bara de enklaste. I allmänhet betyder en linjär ekvation varje likhet som innehåller exakt en variabel, och den går bara till första graden.

Sådana konstruktioner löses på ungefär samma sätt:

1. Först och främst måste du utöka parenteserna, om det finns några (som i vårt senaste exempel);
2. Kombinera sedan liknande
3. Slutligen isolera variabeln, dvs. flytta allt som är kopplat till variabeln – de termer som den ingår i – till ena sidan och flytta allt som är kvar utan den till den andra sidan.

Då måste du som regel ta med liknande på varje sida av den resulterande likheten, och efter det återstår bara att dividera med koefficienten "x", så får vi det slutliga svaret.

I teorin ser detta snyggt och enkelt ut, men i praktiken kan även erfarna gymnasieelever göra kränkande misstag i ganska enkla linjära ekvationer. Vanligtvis görs fel antingen när man öppnar parenteser eller när man beräknar "plus" och "minus".

Dessutom händer det att en linjär ekvation inte har några lösningar alls, eller att lösningen är hela tallinjen, d.v.s. vilket nummer som helst. Vi kommer att titta på dessa finesser i dagens lektion. Men vi börjar, som du redan förstått, med själva enkla uppgifter.

Schema för att lösa enkla linjära ekvationer

Låt mig först återigen skriva hela schemat för att lösa de enklaste linjära ekvationerna:

1. Utöka eventuella parenteser.
2. Vi isolerar variablerna, d.v.s. Vi flyttar allt som innehåller "X" till ena sidan och allt utan "X" till den andra.
3. Vi presenterar liknande termer.
4. Vi dividerar allt med koefficienten "x".

Naturligtvis fungerar det här schemat inte alltid vissa finesser och knep, och nu ska vi lära känna dem.

Lösa verkliga exempel på enkla linjära ekvationer

Uppgift nr 1

Det första steget kräver att vi öppnar fästena. Men de finns inte i det här exemplet, så vi hoppar över det här steget. I det andra steget måste vi isolera variablerna. Observera: vi talar bara om enskilda termer. Låt oss skriva ner det:

Vi presenterar liknande termer till vänster och höger, men det har redan gjorts här. Låt oss därför gå vidare till fjärde steget: dividerat med koefficienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fick svaret.

Uppgift nr 2

Vi kan se parenteserna i det här problemet, så låt oss utöka dem:

Både till vänster och till höger ser vi ungefär samma design, men låt oss agera enligt algoritmen, d.v.s. separera variablerna:

Här är några liknande:

Vid vilka rötter fungerar detta? Svar: för alla. Därför kan vi skriva att $x$ är vilket tal som helst.

Uppgift nr 3

Den tredje linjära ekvationen är mer intressant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det finns flera parenteser här, men de multipliceras inte med någonting, de föregås helt enkelt av olika tecken. Låt oss dela upp dem:

Vi utför det andra steget som vi redan känner till:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Låt oss räkna ut:

Vi genomför sista steget— dividera allt med koefficienten "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Saker att komma ihåg när du löser linjära ekvationer

Om vi ​​ignorerar alltför enkla uppgifter, skulle jag vilja säga följande:

• Som jag sa ovan har inte alla linjära ekvationer en lösning - ibland finns det helt enkelt inga rötter;
• Även om det finns rötter kan det finnas noll bland dem – det är inget fel med det.

Noll är samma nummer som de andra, du bör inte diskriminera det på något sätt eller anta att om du får noll, så har du gjort något fel.

En annan funktion är relaterad till öppningen av konsoler. Observera: när det finns ett "minus" framför dem tar vi bort det, men inom parentes ändrar vi tecknen till motsatt. Och sedan kan vi öppna det med standardalgoritmer: vi kommer att få vad vi såg i beräkningarna ovan.

Förstår detta enkelt faktum kommer att tillåta dig att undvika att göra dumma och kränkande misstag i gymnasiet, när sådana handlingar tas för givet.

Lösa komplexa linjära ekvationer

Låt oss gå vidare till fler komplexa ekvationer. Nu kommer konstruktionerna att bli mer komplexa och när man utför olika transformationer kommer en kvadratisk funktion att dyka upp. Vi bör dock inte vara rädda för detta, för om vi, enligt författarens plan, löser en linjär ekvation, kommer alla monomialer som innehåller en kvadratisk funktion säkert att avbrytas under transformationsprocessen.

Exempel nr 1

Självklart är det första steget att öppna fästena. Låt oss göra detta mycket noggrant:

Låt oss nu ta en titt på integritet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Här är några liknande:

Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar, så vi skriver detta i svaret:

\[\varnothing\]

eller så finns det inga rötter.

Exempel nr 2

Vi utför samma åtgärder. Första steget:

Låt oss flytta allt med en variabel till vänster och utan den - till höger:

Här är några liknande:

Uppenbarligen har denna linjära ekvation ingen lösning, så vi skriver det så här:

\[\varnothing\],

eller så finns det inga rötter.

Nyanser av lösningen

Båda ekvationerna är helt lösta. Med dessa två uttryck som exempel blev vi återigen övertygade om att även i de enklaste linjära ekvationerna kanske allt inte är så enkelt: det kan finnas antingen en, eller ingen, eller oändligt många rötter. I vårt fall övervägde vi två ekvationer, som båda helt enkelt inte har rötter.

Men jag skulle vilja uppmärksamma dig på ett annat faktum: hur man arbetar med parenteser och hur man öppnar dem om det finns ett minustecken framför dem. Tänk på detta uttryck:

Innan du öppnar måste du multiplicera allt med "X". Observera: multiplicerar varje enskild termin. Inuti finns två termer - respektive två termer och multiplicerat.

Och först efter att dessa till synes elementära, men mycket viktiga och farliga transformationer har slutförts, kan du öppna fästet utifrån det faktum att det finns ett minustecken efter det. Ja, ja: först nu, när omvandlingarna är klara, kommer vi ihåg att det står ett minustecken framför parentesen, vilket betyder att allt nedanför helt enkelt byter tecken. Samtidigt försvinner själva fästena och, viktigast av allt, det främre "minuset" försvinner också.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen:

Det är inte av en slump som jag uppmärksammar dessa små, till synes obetydliga fakta. För att lösa ekvationer är alltid en sekvens av elementära transformationer, där oförmågan att tydligt och kompetent utföra enkla handlingar leder till att gymnasieelever kommer till mig och igen lär sig lösa sådana enkla ekvationer.

Naturligtvis kommer den dagen då du kommer att finslipa dessa färdigheter till den grad av automatik. Du kommer inte längre att behöva utföra så många transformationer varje gång du kommer att skriva allt på en rad. Men medan du bara lär dig måste du skriva varje åtgärd separat.

Lösa ännu mer komplexa linjära ekvationer

Det vi ska lösa nu kan knappast kallas den enklaste uppgiften, men innebörden förblir densamma.

Uppgift nr 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Låt oss multiplicera alla element i den första delen:

Låt oss göra lite integritet:

Här är några liknande:

Låt oss slutföra det sista steget:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Här är vårt sista svar. Och trots att vi i processen att lösa hade koefficienter med en kvadratisk funktion, tog de bort varandra, vilket gör ekvationen linjär och inte kvadratisk.

Uppgift nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Låt oss noggrant utföra det första steget: multiplicera varje element från den första parentesen med varje element från den andra. Det bör finnas totalt fyra nya termer efter omvandlingarna:

Låt oss nu noggrant utföra multiplikationen i varje term:

Låt oss flytta termerna med "X" till vänster och de utan - till höger:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Här är liknande termer:

Återigen har vi fått det slutgiltiga svaret.

Nyanser av lösningen

Den viktigaste anmärkningen om dessa två ekvationer är följande: så snart vi börjar multiplicera parenteser som innehåller mer än en term, görs detta enligt följande regel: vi tar den första termen från den första och multiplicerar med varje element från den andra; sedan tar vi det andra elementet från det första och multiplicerar på liknande sätt med varje element från det andra. Som ett resultat kommer vi att ha fyra mandatperioder.

Om den algebraiska summan

Med detta sista exempel skulle jag vilja påminna eleverna om vad en algebraisk summa är. I klassisk matematik menar vi med $1-7$ enkel design: subtrahera sju från en. I algebra menar vi följande med detta: till siffran "ett" lägger vi till ytterligare ett tal, nämligen "minus sju". Det är så en algebraisk summa skiljer sig från en vanlig aritmetisk summa.

Så snart du, när du utför alla transformationer, varje addition och multiplikation, börjar se konstruktioner som liknar de som beskrivs ovan, kommer du helt enkelt inte att ha några problem i algebra när du arbetar med polynom och ekvationer.

Låt oss slutligen titta på ytterligare ett par exempel som kommer att vara ännu mer komplexa än de vi just tittade på, och för att lösa dem måste vi utöka vår standardalgoritm något.

Lösa ekvationer med bråk

För att lösa sådana uppgifter måste vi lägga till ytterligare ett steg till vår algoritm. Men först, låt mig påminna dig om vår algoritm:

1. Öppna fästena.
2. Separata variabler.
3. Ta med liknande.
4. Dividera med förhållandet.

Tyvärr, den här underbara algoritmen, trots all sin effektivitet, visar sig inte vara helt lämplig när vi har bråkdelar framför oss. Och i det vi kommer att se nedan har vi en bråkdel till både vänster och höger i båda ekvationerna.

Hur ska man jobba i det här fallet? Ja, det är väldigt enkelt! För att göra detta måste du lägga till ett steg till i algoritmen, vilket kan göras både före den första åtgärden och efter den, nämligen bli av med bråk. Så algoritmen blir som följer:

1. Bli av med bråk.
2. Öppna fästena.
3. Separata variabler.
4. Ta med liknande.
5. Dividera med förhållandet.

Vad innebär det att "bli av med bråkdelar"? Och varför kan detta göras både efter och före det första standardsteget? Faktum är att i vårt fall är alla bråk numeriska i sin nämnare, d.v.s. Överallt är nämnaren bara en siffra. Därför, om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med detta tal, kommer vi att bli av med bråk.

Exempel nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Låt oss bli av med bråken i denna ekvation:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Observera: allt multipliceras med "fyra" en gång, dvs. bara för att du har två parenteser betyder det inte att du måste multiplicera var och en med "fyra". Låt oss skriva ner:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Låt oss nu utöka:

Vi utesluter variabeln:

Vi utför reduktion av liknande termer:

\[-4x=-1\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den slutliga lösningen, låt oss gå vidare till den andra ekvationen.

Exempel nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Här utför vi alla samma åtgärder:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet är löst.

Det var faktiskt allt jag ville berätta för dig idag.

Nyckelpunkter

Nyckelfynd är:

• Känna till algoritmen för att lösa linjära ekvationer.
• Möjlighet att öppna konsoler.
• Oroa dig inte om du ser kvadratiska funktioner, troligen, i processen med ytterligare omvandlingar kommer de att minska.
• Det finns tre typer av rötter i linjära ekvationer, även de enklaste: en enda rot, hela tallinjen är en rot och inga rötter alls.

Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att bemästra ett enkelt, men mycket viktigt ämne för ytterligare förståelse av all matematik. Om något inte är klart, gå till webbplatsen och lös exemplen som presenteras där. Håll utkik, många fler intressanta saker väntar dig!

52. Mer komplexa exempel ekvationer.
Exempel 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Den gemensamma nämnaren är x 2 – 1, eftersom x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation med x 2 – 1. Vi får:

eller, efter minskning,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 och x = 3½

Låt oss överväga en annan ekvation:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Löser vi enligt ovan får vi:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 eller 2x = 2 och x = 1.

Låt oss se om våra likheter är motiverade om vi ersätter x i var och en av de betraktade ekvationerna med det hittade talet.

För det första exemplet får vi:

Vi ser att det inte finns utrymme för några tvivel: vi har hittat ett tal för x så att den erforderliga likheten är motiverad.

För det andra exemplet får vi:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) eller 5/0 – 3/2 = 15/0

Här uppstår tvivel: vi står inför division med noll, vilket är omöjligt. Om vi ​​i framtiden lyckas ge en viss, om än indirekt, innebörd åt denna uppdelning, så kan vi komma överens om att den hittade lösningen x – 1 uppfyller vår ekvation. Tills dess måste vi erkänna att vår ekvation inte har en lösning som har en direkt betydelse.

Sådana fall kan inträffa när det okända på något sätt ingår i nämnarna för bråken som finns i ekvationen, och några av dessa nämnare, när lösningen hittas, blir noll.

Exempel 2.

Du kan omedelbart se att denna ekvation har formen av en proportion: förhållandet mellan talet x + 3 och talet x – 1 är lika med förhållandet mellan talet 2x + 3 och talet 2x – 2. Låt någon, i Med tanke på denna omständighet, bestäm dig för att tillämpa här för att befria ekvationen från bråk, proportionens huvudsakliga egenskap (produkten av de extrema termerna är lika med produkten av mellantermerna). Då får han:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Här kan rädslan för att vi inte kommer att klara av denna ekvation väckas av att ekvationen innehåller termer med x 2. Men vi kan subtrahera 2x 2 från båda sidor av ekvationen - detta kommer inte att bryta ekvationen; då förstörs termerna med x 2 och vi får:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Låt oss flytta de okända termerna till vänster och de kända till höger - vi får:

3x = 3 eller x = 1

Kom ihåg denna ekvation

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Vi kommer omedelbart att märka att det hittade värdet för x (x = 1) gör att nämnarna för varje bråkdel försvinner; Vi måste överge en sådan lösning tills vi har övervägt frågan om division med noll.

Om vi ​​också noterar att tillämpningen av proportionsegenskapen har komplicerat saken och att en enklare ekvation skulle kunna erhållas genom att multiplicera båda sidor av det givna med en gemensam nämnare, nämligen 2(x – 1) - trots allt 2x – 2 = 2 (x – 1), då får vi:

2(x + 3) = 2x – 3 eller 2x + 6 = 2x – 3 eller 6 = –3,

vilket är omöjligt.

Denna omständighet indikerar att denna ekvation inte har några lösningar som har en direkt betydelse som inte skulle nollställa nämnarna i denna ekvation.
Låt oss nu lösa ekvationen:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Låt oss multiplicera båda sidor av ekvationen 2(x – 1), dvs med en gemensam nämnare får vi:

6x + 10 = 2x + 18

Den hittade lösningen får inte nämnaren att försvinna och har en direkt betydelse:

eller 11 = 11

Om någon, istället för att multiplicera båda delarna med 2(x – 1), skulle använda egenskapen proportion, skulle de få:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) eller
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Här skulle termerna med x 2 inte förstöras. Att flytta alla okända termer till vänster och de kända till höger, skulle vi få

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Nu kommer vi inte att kunna lösa denna ekvation. I framtiden kommer vi att lära oss hur man löser sådana ekvationer och hitta två lösningar för det: 1) du kan ta x = 2 och 2) du kan ta x = 1. Det är lätt att kontrollera båda lösningarna:

1) 2 2 – 3 2 = –2 och 2) 1 2 – 3 1 = –2

Om vi ​​kommer ihåg den initiala ekvationen

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

då får vi se att nu får vi båda dess lösningar: 1) x = 2 är lösningen som har en direkt betydelse och inte vrider nämnaren till noll, 2) x = 1 är lösningen som vänder nämnaren till noll och har ingen direkt betydelse.

Exempel 3.

Låt oss hitta den gemensamma nämnaren för bråken som ingår i denna ekvation genom att faktorisera var och en av nämnarna:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Den gemensamma nämnaren är (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation (och vi kan nu skriva om den som:

med en gemensam nämnare (x – 3) (x – 2) (x + 1). Sedan, efter att ha reducerat varje bråkdel får vi:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) eller
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Härifrån får vi:

–x = –13 och x = 13.

Denna lösning har en direkt innebörd: den får inte någon av nämnarna att försvinna.

Om vi ​​tar ekvationen:

då, gör exakt samma som ovan, skulle vi få

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

var skulle du få det ifrån?

vilket är omöjligt. Denna omständighet visar att det är omöjligt att hitta en lösning för den sista ekvationen som har en direkt betydelse.

Matematiska ekvationer är inte bara användbara – de kan också vara vackra. Och många forskare erkänner att de ofta älskar vissa formler inte bara för sin funktionalitet, utan också för sin form, en viss speciell poesi. Det finns sådana ekvationer som är kända över hela världen, som E = mc^2. Andra är inte lika utbredda, men ekvationens skönhet beror inte på dess popularitet.

Allmän relativitetsteori

Ekvationen som beskrivs ovan formulerades av Albert Einstein 1915 som en del av hans innovativa allmänna relativitetsteori. Teorin revolutionerade faktiskt vetenskapens värld. Det är fantastiskt hur en ekvation kan beskriva absolut allt som finns runt omkring, inklusive rum och tid. Allt Einsteins verkliga geni är förkroppsligat i honom. Det är en mycket elegant ekvation som kortfattat beskriver hur allt runt omkring dig hänger ihop – till exempel hur närvaron av solen i galaxen böjer rum och tid så att jorden kretsar runt den.

Standardmodell

Standardmodellen är en annan av fysikens viktigaste teorier, den beskriver alla elementarpartiklar som utgör universum. Det finns olika ekvationer som kan beskriva denna teori, men den ekvation som oftast används är Lagranges, en fransk matematiker och astronom från 1700-talet. Han beskrev framgångsrikt absolut alla partiklar och de krafter som verkar på dem, med undantag av gravitationen. Detta inkluderar också den nyligen upptäckta Higgs-bosonen. Den är helt kompatibel med kvantmekanik och den allmänna relativitetsteorin.

Matematisk analys

Medan de två första ekvationerna beskriver specifika aspekter av universum, kan denna ekvation användas i alla möjliga situationer. Grundsatsen för matematisk analys ligger till grund matematisk metod, känd som kalkyl, och relaterar dess två huvudidéer - begreppet en integral och begreppet en derivata. Matematisk analys har sitt ursprung i antiken, men alla teorier sammanfördes av Isaac Newton på 1600-talet – han använde dem för att beräkna och beskriva planeternas rörelse runt solen.

Pythagoras sats

Den berömda Pythagoras sats, som alla skolbarn lär sig i geometrilektioner, uttrycks av den gamla goda ekvationen som alla känner till. Denna formel beskriver det i någon rät triangel kvadraten av hypotenusans längd, den längsta av alla sidor (c), lika med summan rutor på de andra två sidorna, ben (a och b). Som ett resultat ser ekvationen ut så här: a^2 + b^2 = c^2. Denna sats överraskar många nybörjare matematiker och fysiker när de bara studerar i skolan och ännu inte vet vad den nya världen har i beredskap för dem.

1 = 0.999999999….

Denna enkla ekvation indikerar att talet 0,999, med ett oändligt antal nio efter decimalkomma, faktiskt är lika med ett. Denna ekvation är anmärkningsvärd eftersom den är extremt enkel, otroligt visuell, men ändå lyckas överraska och förvåna många. Vissa människor kan inte tro att detta faktiskt är sant. Dessutom är ekvationen i sig vacker - dess vänstra sida representerar den enklaste grunden för matematik, och den högra sidan döljer oändlighetens hemligheter och mysterier.

Särskild relativitetsteori

Albert Einstein gör listan igen, denna gång med sin speciella relativitetsteori, som beskriver hur tid och rum inte är absoluta begrepp, utan i förhållande till betraktarens hastighet. Denna ekvation visar hur tiden "expanderar", saktar ner mer och mer ju längre tiden går. snabbare man rör sig. Egentligen är ekvationen inte så komplicerad, enkla derivator, linjär algebra. Men vad den förkroppsligar är absolut nytt sätt se på världen.

Eulers ekvation

Denna enkla formel innehåller grundläggande kunskap om sfärernas natur. Det står att om du skär en sfär och får ytor, kanter och hörn, då om du tar F som antalet ytor, E som antalet kanter och V som antalet hörn, då kommer du alltid att få samma sak : V - E + F = 2. Så här ser denna ekvation ut. Det fantastiska är att oavsett vilken sfärisk form du har - vare sig det är en tetraeder, en pyramid eller någon annan kombination av ytor, kanter och hörn, kommer du alltid att få samma resultat. Denna kombinatorik berättar något grundläggande om sfäriska former.

Euler-Lagrange ekvation och Noethers teorem

Dessa begrepp är ganska abstrakta, men mycket kraftfulla. Det mest intressanta är att detta nya sätt att tänka om fysik kunde överleva flera revolutioner inom denna vetenskap, såsom upptäckten kvantmekanik, relativitetsteori och så vidare. Här står L för Lagranges ekvation, som är ett mått på energi i ett fysiskt system. Och att lösa denna ekvation kommer att berätta hur ett visst system kommer att utvecklas över tiden. En variant av Lagranges ekvation är Noethers teorem, som är grundläggande för fysiken och symmetrins roll. Kärnan i satsen är att om ditt system är symmetriskt så gäller motsvarande bevarandelag. I själva verket huvudtanken Detta teorem är att fysikens lagar gäller överallt.

Renormaliseringsgruppsekvation

Denna ekvation kallas även Callan-Symanczyk-ekvationen efter dess skapare. Det är en viktig grundläggande ekvation skriven 1970. Det tjänar till att visa hur naiva förväntningar krossas i kvantvärlden. Ekvationen har också många tillämpningar för att uppskatta massan och storleken på protonen och neutronen som utgör kärnan i en atom.

Minsta ytekvation

Denna ekvation beräknar och kodar otroligt de vackra tvålfilmerna som bildas på tråden när den doppas i tvålvatten. Denna ekvation skiljer sig dock mycket från de vanliga linjära ekvationerna från samma fält, till exempel värmeekvationen, vågbildning och så vidare. Denna ekvation är olinjär den inkluderar påverkan av externa krafter och derivatprodukter.

Eulers linje

Ta valfri triangel, rita den minsta cirkeln som kan inkludera triangeln och hitta dess mittpunkt. Hitta triangelns massacentrum - den punkt som skulle tillåta triangeln att balansera, till exempel på spetsen på en penna om den kunde skäras ut ur papper. Rita tre höjder av denna triangel (linjer som skulle vara vinkelräta mot sidorna av triangeln från vilken de är ritade) och hitta deras skärningspunkt. Kärnan i satsen är att alla tre punkter kommer att ligga på samma räta linje, vilket är exakt vad Eulers räta linje är. Teoremet innehåller all skönhet och kraft i matematik, och avslöjar fantastiska mönster i de enklaste sakerna.

Ekvationen som representerar kvadratisk trinomial, brukar kallas en andragradsekvation. Ur en algebraisk synvinkel beskrivs den med formeln a*x^2+b*x+c=0. I denna formel är x det okända som behöver hittas (det kallas en fri variabel); a, b och c är numeriska koefficienter. Det finns ett antal begränsningar för de angivna komponenterna: till exempel bör koefficienten a inte vara lika med 0.

Att lösa en ekvation: begreppet diskriminant

Värdet på det okända x vid vilket andragradsekvationen förvandlas till en sann likhet kallas roten till en sådan ekvation. För att lösa en andragradsekvation måste du först hitta värdet på en speciell koefficient - diskriminanten, som kommer att visa antalet rötter till den aktuella likheten. Diskriminanten beräknas med formeln D=b^2-4ac. I detta fall kan resultatet av beräkningen vara positivt, negativt eller lika med noll.

Man bör komma ihåg att begreppet kräver att endast koefficienten a är strikt skild från 0. Följaktligen kan koefficienten b vara lika med 0, och själva ekvationen är i detta fall av formen a*x^2+c =0. I en sådan situation bör ett koefficientvärde på 0 användas i formlerna för att beräkna diskriminant och rötter. Så diskriminanten i detta fall kommer att beräknas som D=-4ac.

Lösa ekvationen med en positiv diskriminant

Om diskriminanten i andragradsekvationen visar sig vara positiv kan vi dra slutsatsen att denna likhet har två rötter. Dessa rötter kan beräknas med hjälp av följande formel: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Sålunda, för att beräkna värdet av rötterna till andragradsekvationen vid positivt värde diskriminanter används kända värden koefficienter tillgängliga i . Genom att använda summan och skillnaden i formeln för att beräkna rötterna blir resultatet av beräkningarna två värden som gör att jämlikheten i fråga är sann.

Lösa ekvationen med noll och negativ diskriminant

Om diskriminanten för en andragradsekvation är lika med 0, kan vi dra slutsatsen att den angivna ekvationen har en rot. Strängt taget har ekvationen i denna situation fortfarande två rötter, men på grund av nolldiskriminanten kommer de att vara lika med varandra. I detta fall x=-b/2a. Om, under beräkningsprocessen, värdet på diskriminanten visar sig vara negativt, bör man dra slutsatsen att den andragradsekvationen i fråga inte har rötter, det vill säga sådana värden på x vid vilka den blir till en sann likhet .

I regel, ekvationer dyker upp i problem där du behöver hitta en viss mängd. Ekvationen låter dig formulera problemet på algebraspråket. Efter att ha löst ekvationen får vi värdet på den önskade kvantiteten, som kallas det okända. "Andrey har flera rubel i plånboken. Om du multiplicerar detta tal med 2 och sedan subtraherar 5 får du 10. Hur mycket pengar har Andrey?” Låt oss beteckna den okända summan pengar som x och skriva ekvationen: 2x-5=10.

Att prata om sätt att lösa ekvationer, först måste du definiera de grundläggande begreppen och bli bekant med de allmänt accepterade beteckningarna. För olika typer ekvationer finns det olika algoritmer för att lösa dem. Det enklaste sättet att lösa ekvationer är av första graden med en okänd. Många känner till formeln för att lösa andragradsekvationer från skolan. Tekniker för högre matematik hjälper dig att lösa ekvationer av högre ordning. Den uppsättning tal som en ekvation definieras på är nära relaterad till dess lösningar. Relationen mellan ekvationer och funktionsgrafer är också intressant, eftersom att representera ekvationer grafiskt är till stor hjälp för att lösa dem.

Beskrivning. En ekvation är en matematisk likhet med en eller flera okända storheter, till exempel 2x+3y=0.

Uttryck på båda sidor om likhetstecknet kallas vänster och höger sida av ekvationen. Bokstäverna i det latinska alfabetet indikerar okända. Även om det kan finnas hur många okända som helst, kommer vi nedan bara att prata om ekvationer med en okänd, som vi kommer att beteckna med x.

Grad av ekvationär den maximala kraften till vilken det okända kan höjas. Till exempel,
$3x^4+6x-1=0$ är en ekvation av fjärde graden, $x-4x^2+6x=8$ är en ekvation av andra graden.

De tal som det okända multipliceras med kallas koefficienter. I det föregående exemplet har det okända i fjärde potensen koefficienten 3. Om, när man ersätter x med detta tal, den givna likheten är uppfylld, sägs detta tal uppfylla ekvationen. Det heter lösa ekvationen, eller dess rot. Till exempel är 3 roten, eller lösningen, av ekvationen 2x+8=14, eftersom 2*3+8=6+8=14.

Lösa ekvationer. Låt oss säga att vi vill lösa ekvationen 2x+5=11.

Du kan ersätta ett x-värde i det, till exempel x=2. Byt ut x med 2 och få: 2*2+5=4+5=9.

Det är något fel här för på höger sida av ekvationen borde vi ha fått 11. Låt oss försöka x=3: 2*3+5=6+5=11.

Svaret är korrekt. Det visar sig att om det okända tar värdet 3, då jämställdheten är tillfredsställd. Därför har vi visat att talet 3 är en lösning på ekvationen.

Metoden vi använde för att lösa denna ekvation kallas urvalsmetod. Uppenbarligen är det obekvämt att använda. Dessutom kan det inte ens kallas en metod. För att verifiera detta, försök bara att tillämpa det på en ekvation av formen $x^4-5x^2+16=2365$.

Lösningsmetoder. Det finns så kallade "spelregler" som är användbara att bekanta sig med. Vårt mål är att bestämma värdet av det okända som uppfyller ekvationen. Därför är det nödvändigt att identifiera det okända på något sätt. För att göra detta är det nödvändigt att överföra termerna i ekvationen från en del till en annan. Den första regeln för att lösa ekvationer är...

1. När en medlem av en ekvation flyttas från en del till en annan ändras dess tecken till det motsatta: plus ändras till minus och vice versa. Betrakta som ett exempel ekvationen 2x+5=11. Låt oss flytta 5 från vänster sida till höger: 2x=11-5. Ekvationen blir 2x=6.

Låt oss gå vidare till den andra regeln.
2. Båda sidorna av ekvationen kan multipliceras och divideras med ett tal som inte är lika med noll. Låt oss tillämpa denna regel på vår ekvation: $x=\frac62=3$. På vänster sida av likheten finns bara det okända x kvar, därför hittade vi dess värde och löste ekvationen.

Vi har precis tittat på det enklaste problemet - linjär ekvation med en okänd. Ekvationer av denna typ har alltid en lösning, dessutom kan de alltid lösas med de enklaste operationerna: addition, subtraktion, multiplikation och division. Tyvärr är inte alla ekvationer så enkla. Dessutom ökar deras komplexitet mycket snabbt. Till exempel kan ekvationer av andra graden lätt lösas av vilken student som helst gymnasiet, men metoder för att lösa system av linjära ekvationer eller ekvationer av högre grader studeras endast i gymnasiet.