Begreppet att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att lösa en trigonometrisk ekvation, omvandla den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation handlar i slutändan om att lösa de fyra grundläggande trigonometriska ekvationerna.

Lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.

• Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att titta på olika x-positioner på enhetscirkeln, samt att använda en omvandlingstabell (eller miniräknare).
• Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π/3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, vilket betyder att deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Därför är svaret skrivet så här:
• xl = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exempel 2. cos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π/3.
• xl = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, reduktion homogena medlemmar etc.) och trigonometriska identiteter.
• Exempel 5: Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Följande grundläggande trigonometriska ekvationer måste lösas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hitta vinklar av kända värden funktioner.

  • Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer måste du lära dig hur du hittar vinklar med hjälp av kända funktionsvärden. Detta kan göras med hjälp av en omvandlingstabell eller kalkylator.
  • Exempel: cos x = 0,732. Kalkylatorn ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln kommer att ge ytterligare vinklar, vars cosinus också är 0,732.

• Lägg undan lösningen på enhetscirkeln.

  • Du kan rita lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln. Lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
  • Exempel: Lösningarna x = π/3 + πn/2 på enhetscirkeln representerar kvadratens hörn.
  • Exempel: Lösningarna x = π/4 + πn/3 på enhetscirkeln representerar hörnen på en regelbunden hexagon.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

  • Om detta trigonometrisk ekvation innehåller endast en trigonometrisk funktion, lös denna ekvation som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner, så finns det 2 metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
    • Metod 1.
  • Omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, där f(x), g(x), h(x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
  • Exempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning. Använder den dubbla formeln vinkel synd 2x = 2*sin x*cos x, ersätt sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
  • Exempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
  • Exempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och transformera denna ekvation till en ekvation av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0 .
    • Metod 2.
  • Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som bara innehåller en trigonometrisk funktion. Byt sedan ut denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösning. I denna ekvation, ersätt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen är:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Nu ser ekvationen ut så här: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Detta är en andragradsekvation som har två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte funktionsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösning. Byt ut tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen till följande formulär: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tan x.

De enklaste trigonometriska ekvationerna löses som regel med formler. Låt mig påminna dig om att de enklaste trigonometriska ekvationerna är:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x är vinkeln som ska hittas,
a är vilket tal som helst.

Och här är formlerna med vilka du omedelbart kan skriva ner lösningarna till dessa enklaste ekvationer.

För sinus:

För cosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

För tangent:

x = arktan a + π n, n ∈ Z

För cotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Egentligen är detta den teoretiska delen av att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Dessutom allt!) Ingenting alls. Men antalet fel i detta ämne är helt enkelt utanför diagrammet. Speciellt om exemplet avviker något från mallen. Varför?

Ja, för att många skriver ner dessa bokstäver, utan att förstå deras innebörd alls! Han skriver ner med försiktighet, så att det inte händer något...) Detta måste redas ut. Trigonometri för människor, eller människor för trigonometri, trots allt!?)

Låt oss ta reda på det?

En vinkel kommer att vara lika med arccos a, andra: -arccos a.

Och det kommer alltid att fungera så här. För vilken som helst A.

Om du inte tror mig, för muspekaren över bilden eller tryck på bilden på din surfplatta.) Jag ändrade numret A till något negativt. Hur som helst, vi har ett hörn arccos a, andra: -arccos a.

Därför kan svaret alltid skrivas som två serier av rötter:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Låt oss kombinera dessa två serier till en:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Och det är allt. Vi har fått en generell formel för att lösa den enklaste trigonometriska ekvationen med cosinus.

Om du förstår att detta inte är någon form av övervetenskaplig visdom, men bara en förkortad version av två serier av svar, Du kommer även att kunna hantera uppgifter "C". Med ojämlikheter, med att välja rötter från ett givet intervall... Där fungerar inte svaret med plus/minus. Men om du behandlar svaret på ett affärsmässigt sätt och delar upp det i två separata svar, kommer allt att lösas.) Det är faktiskt därför vi undersöker det. Vad, hur och var.

I den enklaste trigonometriska ekvationen

sinx = a

vi får också två serier av rötter. Alltid. Och dessa två serier kan också spelas in på en rad. Bara den här raden blir svårare:

x = (-1) n båge a + π n, n ∈ Z

Men kärnan förblir densamma. Matematiker utformade helt enkelt en formel för att göra en istället för två poster för serier av rötter. Det var allt!

Låt oss kolla matematikerna? Och man vet aldrig...)

I föregående lektion diskuterades lösningen (utan några formler) av en trigonometrisk ekvation med sinus i detalj:

Svaret resulterade i två serier av rötter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Om vi ​​löser samma ekvation med formeln får vi svaret:

x = (-1) n båge 0,5 + π n, n ∈ Z

Egentligen är detta ett oavslutat svar.) Det måste eleven veta arcsin 0,5 = π /6. Det fullständiga svaret skulle vara:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Här uppstår det intressant fråga. Svara via x 1; x 2 (det här är rätt svar!) och genom ensam X (och det här är det korrekta svaret!) - är de samma sak eller inte? Vi får reda på det nu.)

Vi ersätter i svaret med x 1 värden n =0; 1; 2; etc., vi räknar, vi får en serie rötter:

xl = π/6; 13π/6; 25π/6 och så vidare.

Med samma substitution som svar med x 2 , vi får:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 och så vidare.

Låt oss nu ersätta värdena n (0; 1; 2; 3; 4...) i den allmänna formeln för singel X . Det vill säga, vi höjer minus ett till nollpotentialen, sedan till första, andra osv. Jo, naturligtvis, vi ersätter 0 i den andra termen; 1; 2 3; 4 osv. Och vi räknar. Vi får serien:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 och så vidare.

Det är allt du kan se.) Allmän formel ger oss exakt samma resultat liksom de två svaren separat. Bara allt på en gång, i ordning. Matematikerna blev inte lurade.)

Formler för att lösa trigonometriska ekvationer med tangent och cotangens kan också kontrolleras. Men det kommer vi inte.) De är redan enkla.

Jag skrev ut all denna ersättning och verifiering specifikt. Det är viktigt att förstå en sak här enkel sak: det finns formler för att lösa elementära trigonometriska ekvationer, bara en kort sammanfattning av svaren. För denna korthet var vi tvungna att infoga plus/minus i cosinuslösningen och (-1) n i sinuslösningen.

Dessa inlägg stör inte på något sätt i uppgifter där du bara behöver skriva ner svaret på en elementär ekvation. Men om du behöver lösa en ojämlikhet, eller då måste du göra något med svaret: välj rötter på ett intervall, kolla efter ODZ, etc., kan dessa insättningar lätt störa en person.

Så vad ska jag göra? Ja, antingen skriv svaret i två serier, eller lös ekvationen/olikheten med hjälp av den trigonometriska cirkeln. Då försvinner dessa insättningar och livet blir lättare.)

Vi kan sammanfatta.

För att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna finns färdiga svarsformler. Fyra stycken. De är bra för att omedelbart skriva ner lösningen till en ekvation. Till exempel måste du lösa ekvationerna:

sinx = 0,3

Lätt: x = (-1) n båge 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Inga problem: x = ± bågar 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lätt: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

En kvar: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Om du, lysande av kunskap, omedelbart skriv svaret:

x= ± bågar 1,8 + 2π n, n ∈ Z

då lyser du redan, det här... det... från en pöl.) Rätt svar: det finns inga lösningar. Förstår inte varför? Läs vad arc cosinus är. Dessutom, om det på höger sida av den ursprungliga ekvationen finns tabellvärden av sinus, cosinus, tangent, cotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - svaret genom valven kommer att vara ofärdigt. Bågar måste omvandlas till radianer.

Och om man stöter på ojämlikhet, typ

då är svaret:

x πn, n ∈ Z

det finns sällsynt nonsens, ja...) Här måste du lösa med hjälp av den trigonometriska cirkeln. Vad vi kommer att göra i motsvarande ämne.

För den som hjältemodigt läser till dessa rader. Jag kan helt enkelt inte låta bli att uppskatta dina enorma ansträngningar. Bonus för dig.)

Bonus:

När man skriver ner formler i en alarmerande stridssituation blir även rutinerade nördar ofta förvirrade över var πn, och var 2π n. Här är ett enkelt knep för dig. I alla formler värda πn. Förutom den enda formeln med bågcosinus. Den står där 2πn. Två peen. Nyckelord - två. I samma formel finns det två tecken i början. Plus och minus. Och där, och där - två.

Så om du skrev två tecken före bågen cosinus, det är lättare att komma ihåg vad som kommer att hända i slutet två peen. Och det händer också tvärtom. Personen kommer att missa tecknet ± , kommer till slutet, skriver korrekt två Pien, och han kommer till besinning. Det är något som ligger framför oss två tecken! Personen kommer tillbaka till början och rättar till misstaget! Så här.)

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Kräver kunskap om trigonometrins grundläggande formler - summan av kvadraterna av sinus och cosinus, uttrycket för tangent genom sinus och cosinus, med flera. För de som har glömt dem eller inte känner till dem rekommenderar vi att läsa artikeln "".
Så vi känner till de grundläggande trigonometriska formlerna, det är dags att använda dem i praktiken. Lösa trigonometriska ekvationer med rätt tillvägagångssätt - helt spännande aktivitet, som att till exempel lösa en Rubiks kub.

Utifrån själva namnet är det tydligt att en trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända står under den trigonometriska funktionens tecken.
Det finns så kallade enklaste trigonometriska ekvationer. Så här ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Låt oss överväga hur man löser sådana trigonometriska ekvationer, för tydlighetens skull kommer vi att använda den redan välbekanta trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

spjälsäng x = a

Varje trigonometrisk ekvation löses i två steg: vi reducerar ekvationen till dess enklaste form och löser den sedan som en enkel trigonometrisk ekvation.
Det finns 7 huvudsakliga metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

1. Variabel substitution och substitutionsmetod

Lös ekvationen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Med hjälp av reduktionsformlerna får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Byt ut cos(x + /6) med y för att förenkla och få den vanliga andragradsekvationen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rötterna är y 1 = 1, y 2 = 1/2

Låt oss nu gå i omvänd ordning

Vi ersätter de hittade värdena av y och får två svarsalternativ:

2. Lösa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur löser man ekvationen sin x + cos x = 1?

Låt oss flytta allt till vänster så att 0 blir kvar till höger:

sin x + cos x – 1 = 0

Låt oss använda identiteterna som diskuterats ovan för att förenkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Låt oss faktorisera:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får två ekvationer

3. Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation är homogen med avseende på sinus och cosinus om alla dess termer är relativa till sinus och cosinus av samma potens av samma vinkel. Gör så här för att lösa en homogen ekvation:

a) flytta alla dess medlemmar till vänster sida;

b) ta alla vanliga faktorer ur parentes;

c) likställa alla faktorer och parenteser med 0;

d) mottagen inom parentes homogen ekvation i mindre grad är den i sin tur uppdelad i sinus eller cosinus i högsta grad;

e) lös den resulterande ekvationen för tg.

Lös ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Låt oss använda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de öppna två till höger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividera med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Byt ut tan x med y och få en andragradsekvation:

y 2 + 4y +3 = 0, vars rötter är y 1 =1, y 2 = 3

Härifrån hittar vi två lösningar till den ursprungliga ekvationen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Lösa ekvationer genom övergången till en halv vinkel

Lös ekvationen 3sin x – 5cos x = 7

Låt oss gå vidare till x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Låt oss flytta allt till vänster:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividera med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Införande av hjälpvinkel

För övervägande tar vi en ekvation av formen: a sin x + b cos x = c,

där a, b, c är några godtyckliga koefficienter och x är en okänd.

Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med:



Nu har ekvationens koefficienter, enligt trigonometriska formler, egenskaperna sin och cos, nämligen: deras modul är inte mer än 1 och summan av kvadraterna = 1. Låt oss beteckna dem som cos respektive sin, där - detta är den så kallade hjälpvinkeln. Då kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Lösningen på denna enklaste trigonometriska ekvation är

x = (-1) k * båge C - + k, där



Det bör noteras att beteckningarna cos och sin är utbytbara.

Lös ekvationen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterna i denna ekvation är:

a = , b = -1, så dividera båda sidorna med = 2

Mer komplexa trigonometriska ekvationer

Ekvationer

synd x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

är de enklaste trigonometriska ekvationerna. I detta stycke på specifika exempel Vi ska titta på mer komplexa trigonometriska ekvationer. Deras lösning handlar som regel om att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna.

Exempel 1 . Lös ekvationen

synd 2 X=cos X synd 2 x.

Genom att överföra alla termer i denna ekvation till vänster sida och faktorisera det resulterande uttrycket får vi:

synd 2 X(1 - cos X) = 0.

Produkten av två uttryck är lika med noll om och endast om minst en av faktorerna är lika med noll, och den andra tar någon numeriskt värde, så länge det är definierat.

Om synd 2 X = 0 , sedan 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Om 1 - cos X = 0 , sedan cos X = 1; X = 2kπ .

Så vi har två grupper av rötter: X = π / 2 n; X = 2kπ . Den andra gruppen av rötter finns uppenbarligen i den första, eftersom uttrycket för n = 4k X = π / 2 n vädjar till
X = 2kπ .

Därför kan svaret skrivas i en formel: X = π / 2 n, Var n- vilket heltal som helst.

Observera att denna ekvation inte kunde lösas genom att reducera med sin 2 x. Efter reduktion skulle vi faktiskt få 1 - cos x = 0, varifrån X= 2k π . Så vi skulle tappa lite rötter till exempel π / 2 , π , 3π / 2 .

Exempel 2. Lös ekvationen

Ett bråk är lika med noll endast om dess täljare är lika med noll.
Det är därför synd 2 X = 0 , varifrån 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Från dessa värden X du måste kasta ut de värden som är främmande syndX går till noll (bråk med noll nämnare har ingen betydelse: division med noll är odefinierat). Dessa värden är tal som är multiplar av π . I formeln
X = π / 2 n de erhålls för jämnt n. Därför kommer rötterna till denna ekvation att vara siffrorna

X = π / 2 (2k + 1),

där k är vilket heltal som helst.

Exempel 3 . Lös ekvationen

2 synd 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

Låt oss uttrycka synd 2 X genom cosx : synd 2 X = 1 - cos 2x . Sedan kan denna ekvation skrivas om som

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , eller

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Utseende cosx genom på, kommer vi till andragradsekvation

2у 2 - 7у + 3 = 0,

vars rötter är talen 1/2 och 3. Det betyder att antingen cos x= 1/2, eller cos X= 3. Det senare är dock omöjligt, eftersom cosinus för någon vinkel inte överstiger 1 i absolut värde.

Det återstår att erkänna det cos x = 1 / 2 , var

x = ± 60° + 360° n.

Exempel 4 . Lös ekvationen

2 synd X+ 3cos x = 6.

Sedan synd x och cos x i absolut värde inte överstiga 1, då uttrycket
2 synd X+ 3cos x kan inte ta värden större än 5 . Därför har denna ekvation inga rötter.

Exempel 5 . Lös ekvationen

synd X+cos x = 1

Genom att kvadrera båda sidor av denna ekvation får vi:

synd 2 X+ 2 synd x cos x+ cos 2 x = 1,

Men synd 2 X + cos 2 x = 1 . Det är därför 2 synd x cos x = 0 . Om synd x = 0 , Det X = nπ ; om
cos x , Det X = π / 2 + kπ . Dessa två grupper av lösningar kan skrivas i en formel:

X = π / 2 n

Eftersom vi kvadrerar båda sidorna av denna ekvation är det möjligt att det finns främmande rötter bland de rötter vi fick. Det är därför i det här exemplet, till skillnad från alla tidigare, är det nödvändigt att göra en kontroll. Alla betydelser

X = π / 2 n kan delas in i 4 grupper

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

På X = 2kπ synd x+cos x= 0 + 1 = 1. Därför X = 2kπär rötterna till denna ekvation.

På X = π / 2 + 2kπ. synd x+cos x= 1 + 0 = 1 Så X = π / 2 + 2kπ- även rötterna till denna ekvation.

På X = π + 2kπ synd x+cos x= 0 - 1 = - 1. Därför värdena X = π + 2kπär inte rötter till denna ekvation. På samma sätt visas det X = 3π / 2 + 2kπ. är inte rötter.

Således har denna ekvation följande rötter: X = 2kπ Och X = π / 2 + 2mπ., Var k Och m- alla heltal.