Kräver kunskap om trigonometrins grundläggande formler - summan av kvadraterna av sinus och cosinus, uttrycket för tangent genom sinus och cosinus, med flera. För de som har glömt dem eller inte känner till dem rekommenderar vi att läsa artikeln "".
Så vi känner till de grundläggande trigonometriska formlerna, det är dags att använda dem i praktiken. Lösa trigonometriska ekvationer med rätt tillvägagångssätt - helt spännande aktivitet, som att till exempel lösa en Rubiks kub.

Utifrån själva namnet är det tydligt att en trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända står under den trigonometriska funktionens tecken.
Det finns så kallade enklaste trigonometriska ekvationer. Så här ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Låt oss överväga hur man löser sådana trigonometriska ekvationer, för tydlighetens skull kommer vi att använda den redan välbekanta trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

spjälsäng x = a

Varje trigonometrisk ekvation löses i två steg: vi reducerar ekvationen till dess enklaste form och löser den sedan som en enkel trigonometrisk ekvation.
Det finns 7 huvudsakliga metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

1. Variabel substitution och substitutionsmetod

Lös ekvationen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Med hjälp av reduktionsformlerna får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Byt ut cos(x + /6) med y för att förenkla och få den vanliga andragradsekvationen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rötterna är y 1 = 1, y 2 = 1/2

Låt oss nu gå i omvänd ordning

Vi ersätter de hittade värdena av y och får två svarsalternativ:

2. Lösa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur löser man ekvationen sin x + cos x = 1?

Låt oss flytta allt till vänster så att 0 blir kvar till höger:

sin x + cos x – 1 = 0

Låt oss använda identiteterna som diskuterats ovan för att förenkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Låt oss faktorisera:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får två ekvationer

3. Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation är homogen med avseende på sinus och cosinus om alla dess termer är relativa till sinus och cosinus av samma potens av samma vinkel. Gör så här för att lösa en homogen ekvation:

a) flytta alla dess medlemmar till vänster sida;

b) ta alla vanliga faktorer ur parentes;

c) likställa alla faktorer och parenteser med 0;

d) mottagen inom parentes homogen ekvation i mindre grad är den i sin tur uppdelad i sinus eller cosinus i högsta grad;

e) lös den resulterande ekvationen för tg.

Lös ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Låt oss använda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de öppna två till höger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividera med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Byt ut tan x med y och få en andragradsekvation:

y 2 + 4y +3 = 0, vars rötter är y 1 =1, y 2 = 3

Härifrån hittar vi två lösningar till den ursprungliga ekvationen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Lösa ekvationer genom övergången till en halv vinkel

Lös ekvationen 3sin x – 5cos x = 7

Låt oss gå vidare till x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Låt oss flytta allt till vänster:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividera med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Införande av hjälpvinkel

För övervägande, låt oss ta en ekvation av formen: a sin x + b cos x = c,

där a, b, c är några godtyckliga koefficienter och x är en okänd.

Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med:



Nu har ekvationens koefficienter, enligt trigonometriska formler, egenskaperna sin och cos, nämligen: deras modul är inte mer än 1 och summan av kvadraterna = 1. Låt oss beteckna dem som cos respektive sin, där - detta är den så kallade hjälpvinkeln. Då kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Lösningen på denna enklaste trigonometriska ekvation är

x = (-1) k * båge C - + k, där



Det bör noteras att beteckningarna cos och sin är utbytbara.

Lös ekvationen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterna i denna ekvation är:

a = , b = -1, så dividera båda sidorna med = 2

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som krävs för att lyckas klara Unified State Exam i matematik för 60-65 poäng. Helt alla problem 1-13 Profil Unified State Examination i matematik. Även lämplig för att klara Basic Unified State Examination i matematik. Om du vill klara Unified State Exam med 90-100 poäng måste du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs för Unified State Exam för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av Unified State Exam i matematik (de första 12 problemen) och Problem 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Exam, och varken en 100-poängsstudent eller en humaniorastudent kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba sätt lösningar, fallgropar och hemligheter från Unified State Exam. Alla aktuella uppgifter i del 1 från FIPI Task Bank har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven för Unified State Exam 2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals Unified State Exam-uppgifter. Ordproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg algoritmer för att lösa problem. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av Unified State Examination uppgifter. Stereometri. Knepiga knep lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från början till problem 13. Förstå istället för att proppa. Tydliga förklaringar av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. En grund för att lösa komplexa problem i del 2 av Unified State Exam.

Trigonometriska ekvationer– Ämnet är inte det enklaste. De är för olika.) Till exempel dessa:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

O.d...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har två gemensamma och obligatoriska egenskaper. För det första - du kommer inte att tro det - det finns trigonometriska funktioner i ekvationerna.) För det andra: alla uttryck med x hittas inom samma funktioner. Och bara där! Om X dyker upp någonstans utanför, Till exempel, sin2x + 3x = 3, detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer kräver individuellt förhållningssätt. Vi kommer inte att överväga dem här.

Vi kommer inte att lösa onda ekvationer i den här lektionen heller.) Här ska vi ta itu med de enklaste trigonometriska ekvationerna. Varför? Ja för att lösningen några trigonometriska ekvationer består av två steg. I det första skedet reduceras den onda ekvationen till en enkel genom en mängd olika transformationer. På den andra löses denna enklaste ekvation. Annars, inget sätt.

Så om du har problem i det andra steget, är det första steget inte mycket meningsfullt.)

Hur ser elementära trigonometriska ekvationer ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Här A står för vilket nummer som helst. Några.

Förresten, inuti en funktion kanske det inte finns ett rent X, utan något slags uttryck, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

o.d. Detta komplicerar livet, men påverkar inte metoden för att lösa en trigonometrisk ekvation.

Hur löser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan lösas på två sätt. Det första sättet: att använda logik och den trigonometriska cirkeln. Vi kommer att titta på denna väg här. Det andra sättet - att använda minne och formler - kommer att diskuteras i nästa lektion.

Det första sättet är tydligt, tillförlitligt och svårt att glömma.) Det är bra för att lösa trigonometriska ekvationer, ojämlikheter och alla möjliga knepiga icke-standardiserade exempel. Logik är starkare än minne!)

Lösa ekvationer med hjälp av en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderar elementär logik och förmågan att använda den trigonometriska cirkeln. Vet du inte hur? Men... Du kommer att ha svårt för trigonometri...) Men det spelar ingen roll. Ta en titt på lektionerna "Trigonometrisk cirkel...... Vad är det?" och "Mäta vinklar på en trigonometrisk cirkel." Allt är enkelt där. Till skillnad från läroböcker...)

Åh, du vet!? Och till och med bemästrat "Praktiskt arbete med den trigonometriska cirkeln"!? Grattis. Det här ämnet kommer att vara nära och förståeligt för dig.) Det som är särskilt glädjande är att den trigonometriska cirkeln inte bryr sig om vilken ekvation du löser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - allt är sig likt för honom. Det finns bara en lösningsprincip.

Så vi tar vilken elementär trigonometrisk ekvation som helst. Åtminstone detta:

cosx = 0,5

Vi måste hitta X. Att tala på mänskligt språk, du behöver hitta vinkeln (x) vars cosinus är 0,5.

Hur använde vi cirkeln tidigare? Vi ritade en vinkel på den. I grader eller radianer. Och direkt såg trigonometriska funktioner för denna vinkel. Låt oss nu göra tvärtom. Låt oss rita en cosinus på cirkeln lika med 0,5 och omedelbart vi får se hörn. Allt som återstår är att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Rita en cirkel och markera cosinus lika med 0,5. På cosinusaxeln förstås. Så här:

Låt oss nu rita vinkeln som denna cosinus ger oss. Håll musen över bilden (eller tryck på bilden på din surfplatta), och du får se just det här hörnet X.

Vilken vinkels cosinus är 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Vissa människor kommer att skratta skeptiskt, ja... Som, var det värt att göra en cirkel när allt redan är klart... Man kan förstås skratta...) Men faktum är att detta är ett felaktigt svar. Eller rättare sagt, otillräcklig. Cirkelkännare förstår att det finns en hel drös andra vinklar här som också ger en cosinus på 0,5.

Om du vänder den rörliga sidan OA full tur, kommer punkt A att återgå till sin ursprungliga position. Med samma cosinus lika med 0,5. Dessa. vinkeln kommer att ändras med 360° eller 2π radianer, och cosinus - nej. Ny vinkel 60° + 360° = 420° kommer också att vara en lösning på vår ekvation, eftersom

Ett oändligt antal sådana fullständiga varv kan göras... Och alla dessa nya vinklar kommer att vara lösningar på vår trigonometriska ekvation. Och de måste alla skrivas ner på något sätt som svar. Alla. Annars räknas inte beslutet, ja...)

Matematik kan göra detta enkelt och elegant. Skriv ner i ett kort svar oändlig uppsättning beslut. Så här ser det ut för vår ekvation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jag ska dechiffrera det. Skriver fortfarande meningsfullt Det är trevligare än att dumt rita några mystiska bokstäver, eller hur?)

π /3 – det här är samma hörn som vi såg på cirkeln och bestämd enligt cosinustabellen.

2π är en fullständig revolution i radianer.

n - detta är antalet kompletta, dvs. hela rpm Det är klart att n kan vara lika med 0, ±1, ±2, ±3.... och så vidare. Som framgår av den korta posten:

n ∈ Z

n tillhör ( ∈ ) uppsättning heltal ( Z ). Förresten, istället för brevet n bokstäver kan mycket väl användas k, m, t etc.

Denna notation betyder att du kan ta vilket heltal som helst n . Minst -3, minst 0, minst +55. Vad du än vill. Om du ersätter detta nummer i svaret får du en specifik vinkel, vilket definitivt kommer att vara lösningen på vår hårda ekvation.)

Eller med andra ord, x = π /3 är den enda roten till en oändlig mängd. För att få alla andra rötter räcker det att lägga till valfritt antal hela varv till π /3 ( n ) i radianer. Dessa. 2π n radian.

Alla? Inga. Jag förlänger medvetet nöjet. För att komma ihåg bättre.) Vi fick bara en del av svaren på vår ekvation. Jag kommer att skriva den här första delen av lösningen så här:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - inte bara en rot, utan en hel rad rötter, nedskrivna i kort form.

Men det finns även vinklar som också ger en cosinus på 0,5!

Låt oss återgå till vår bild från vilken vi skrev ner svaret. Här är den:

Håll musen över bilden och vi ser en annan vinkel det ger också en cosinus på 0,5. Vad tycker du att det är lika med? Trianglarna är likadana... Ja! Han lika med vinkel X , bara försenad i negativ riktning. Det här är hörnet -X. Men vi har redan räknat ut x. π /3 eller 60°. Därför kan vi lugnt skriva:

x 2 = - π /3

Jo, naturligtvis lägger vi till alla vinklar som erhålls genom hela varv:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det är allt nu.) På den trigonometriska cirkeln vi såg(vem förstår förstås)) Alla vinklar som ger en cosinus på 0,5. Och skrev ner dessa vinklar i korthet matematisk form. Svaret resulterade i två oändliga serier av rötter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är det korrekta svaret.

Hoppas, allmän princip för att lösa trigonometriska ekvationer att använda en cirkel är tydlig. Vi markerar cosinus (sinus, tangent, cotangens) från den givna ekvationen på en cirkel, ritar de vinklar som motsvarar den och skriver ner svaret. Naturligtvis måste vi ta reda på vilka hörn vi är såg på cirkeln. Ibland är det inte så självklart. Tja, jag sa att logik krävs här.)

Låt oss till exempel titta på en annan trigonometrisk ekvation:

Observera att siffran 0,5 inte är den enda möjligt antal i ekvationer!) Det är bara lättare för mig att skriva det än rötter och bråk.

Vi arbetar enligt den allmänna principen. Vi ritar en cirkel, markerar (på sinusaxeln, förstås!) 0,5. Vi ritar alla vinklar som motsvarar denna sinus på en gång. Vi får denna bild:

Låt oss ta itu med vinkeln först X under första kvartalet. Vi återkallar sinustabellen och bestämmer värdet på denna vinkel. Det är en enkel sak:

x = π /6

Vi minns om fulla revolutioner och, med rent samvete, skriver vi ner den första serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halva jobbet är gjort. Men nu måste vi bestämma oss andra hörnet... Det är knepigare än att använda cosinus, ja... Men logiken räddar oss! Hur man bestämmer den andra vinkeln genom x? Det är lätt! Trianglarna på bilden är desamma, och det röda hörnet X lika med vinkel X . Endast den räknas från vinkeln π i negativ riktning. Det är därför det är rött.) Och för svaret behöver vi en vinkel, mätt korrekt, från den positiva halvaxeln OX, dvs. från en vinkel på 0 grader.

Vi för markören över ritningen och ser allt. Jag tog bort det första hörnet för att inte komplicera bilden. Vinkeln vi är intresserade av (ritad i grönt) kommer att vara lika med:

π - x

X vi vet detta π /6 . Därför blir den andra vinkeln:

π - π /6 = 5π /6

Återigen kommer vi ihåg hur vi lägger till hela varv och skriver ner den andra serien med svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det är allt. Ett komplett svar består av två serier av rötter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- och cotangentekvationer kan enkelt lösas med samma allmänna princip för att lösa trigonometriska ekvationer. Om du förstås vet hur man ritar tangent och kotangens på en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan använde jag tabellvärdet för sinus och cosinus: 0,5. Dessa. en av de betydelser som eleven känner till skyldig. Låt oss nu utöka våra möjligheter till alla andra värden. Bestäm, så bestäm!)

Så låt oss säga att vi måste lösa denna trigonometriska ekvation:

Det finns inget sådant cosinusvärde i de korta tabellerna. Vi ignorerar kallt detta fruktansvärda faktum. Rita en cirkel, markera 2/3 på cosinusaxeln och rita motsvarande vinklar. Vi får den här bilden.

Låt oss först titta på vinkeln i det första kvartalet. Om vi ​​bara visste vad x är lika med skulle vi genast skriva ner svaret! Vi vet inte... Misslyckande!? Lugna! Matematik lämnar inte sitt eget folk i trubbel! Hon kom på bågkosinus för det här fallet. Vet inte? Förgäves. Ta reda på det, det är mycket enklare än du tror. Det finns inte en enda knepig besvärjelse om "inversa trigonometriska funktioner" på denna länk... Detta är överflödigt i detta ämne.

Om du är insatt, säg bara till dig själv: "X är en vinkel vars cosinus är lika med 2/3." Och omedelbart, rent av definitionen av bågkosinus, kan vi skriva:

Vi kommer ihåg de ytterligare varven och skriver lugnt ner den första serien av rötter i vår trigonometriska ekvation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andra serien av rötter för den andra vinkeln skrivs nästan automatiskt ned. Allt är sig likt, bara X (arccos 2/3) kommer att ha ett minus:

x 2 = - bågar 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Och det är det! Detta är det korrekta svaret. Ännu enklare än med tabellvärden. Det finns ingen anledning att komma ihåg något.) Förresten, de mest uppmärksamma kommer att märka att den här bilden visar lösningen genom bågekosinus i huvudsak inte annorlunda än bilden för ekvationen cosx = 0,5.

Det stämmer! Allmän princip Det är därför det är vanligt! Jag ritade medvetet två nästan identiska bilder. Cirkeln visar oss vinkeln X genom sin cosinus. Om det är en tabellformad cosinus eller inte är okänt för alla. Vilken typ av vinkel detta är, π /3, eller vad bågcosinus är - det är upp till oss att bestämma.

Samma låt med sinus. Till exempel:

Rita en cirkel igen, markera sinus lika med 1/3, rita vinklarna. Det här är bilden vi får:

Och återigen är bilden nästan densamma som för ekvationen sinx = 0,5.Återigen börjar vi från hörnet i första kvarten. Vad är X lika med om dess sinus är 1/3? Ingen fråga!

Nu är det första paketet med rötter klar:

x 1 = båge 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Låt oss ta itu med den andra vinkeln. I exemplet med ett tabellvärde på 0,5 var det lika med:

π - x

Det blir precis likadant här också! Endast x är annorlunda, arcsin 1/3. Så vad!? Du kan säkert skriva ner det andra paketet med rötter:

x 2 = π - båge 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är ett helt korrekt svar. Även om det inte ser särskilt bekant ut. Men det är klart, hoppas jag.)

Så här löser man trigonometriska ekvationer med hjälp av en cirkel. Denna väg är tydlig och begriplig. Det är han som sparar i trigonometriska ekvationer med val av rötter på ett givet intervall, i trigonometriska olikheter - de löses i allmänhet nästan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som är lite svårare än vanliga.

Låt oss tillämpa kunskap i praktiken?)

Lös trigonometriska ekvationer:

Först, enklare, direkt från den här lektionen.

Nu är det mer komplicerat.

Tips: här måste du tänka på cirkeln. Personligen.)

Och nu är de till det yttre enkla... De kallas också för specialfall.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tips: här måste du räkna ut i en cirkel var det finns två serier med svar och var det finns en... Och hur man skriver en istället för två serier av svar. Ja, så att inte en enda rot från ett oändligt antal går förlorad!)

Tja, väldigt enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tips: här behöver du veta vad arcsine och arccosine är? Vad är arctangens, arccotangent? Det mesta enkla definitioner. Men du behöver inte komma ihåg några tabellvärden!)

Svaren är naturligtvis en enda röra):

x 1= båge0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - båge0,3 + 2

Allt löser sig inte? Händer. Läs lektionen igen. Endast eftertänksamt(det finns sådant föråldrat ord...) Och följ länkarna. Huvudlänkarna handlar om cirkeln. Utan det är trigonometri som att korsa vägen med ögonbindel. Ibland fungerar det.)

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Begreppet att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att lösa en trigonometrisk ekvation, omvandla den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation handlar i slutändan om att lösa de fyra grundläggande trigonometriska ekvationerna.

Lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.

• Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att titta på olika x-positioner på enhetscirkeln, samt att använda en omvandlingstabell (eller miniräknare).
• Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π/3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, vilket betyder att deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Därför är svaret skrivet så här:
• xl = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exempel 2. cos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π/3.
• xl = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, reduktion homogena medlemmar etc.) och trigonometriska identiteter.
• Exempel 5: Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Följande grundläggande trigonometriska ekvationer måste lösas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hitta vinklar av kända värden funktioner.

  • Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer måste du lära dig hur du hittar vinklar med hjälp av kända funktionsvärden. Detta kan göras med hjälp av en omvandlingstabell eller kalkylator.
  • Exempel: cos x = 0,732. Kalkylatorn ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln kommer att ge ytterligare vinklar, vars cosinus också är 0,732.

• Lägg undan lösningen på enhetscirkeln.

  • Du kan rita lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln. Lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
  • Exempel: Lösningarna x = π/3 + πn/2 på enhetscirkeln representerar kvadratens hörn.
  • Exempel: Lösningarna x = π/4 + πn/3 på enhetscirkeln representerar hörnen på en regelbunden hexagon.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

  • Om en given trigonometrisk ekvation bara innehåller en trigonometrisk funktion, lös denna ekvation som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner, så finns det 2 metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
    • Metod 1.
  • Omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, där f(x), g(x), h(x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
  • Exempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning. Använder den dubbla formeln vinkel synd 2x = 2*sin x*cos x, ersätt sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
  • Exempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
  • Exempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och transformera denna ekvation till en ekvation av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0 .
    • Metod 2.
  • Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som bara innehåller en trigonometrisk funktion. Byt sedan ut denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösning. I denna ekvation, ersätt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen är:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Nu ser ekvationen ut så här: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Detta är en andragradsekvation som har två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte funktionsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösning. Byt ut tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen till följande formulär: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tan x.

När man löser många matematiska problem , särskilt de som inträffar före årskurs 10, är ​​ordningen på utförda åtgärder som kommer att leda till målet tydligt definierade. Sådana problem inkluderar till exempel linjära och andragradsekvationer, linjär och kvadratiska ojämlikheter, bråkekvationer och ekvationer som reduceras till kvadratisk. Principen för att framgångsrikt lösa vart och ett av de nämnda problemen är som följer: det är nödvändigt att fastställa vilken typ av problem som löses, kom ihåg den nödvändiga sekvensen av åtgärder som kommer att leda till det önskade resultatet, d.v.s. svara och följ dessa steg.

Det är uppenbart att framgång eller misslyckande med att lösa ett visst problem främst beror på hur korrekt den typ av ekvation som löses bestäms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess lösning reproduceras. Naturligtvis är det i det här fallet nödvändigt att ha kompetens att utföra identiska transformationer och beräkningar.

Situationen är annorlunda med trigonometriska ekvationer. Det är inte alls svårt att fastställa att ekvationen är trigonometrisk. Svårigheter uppstår när man ska bestämma sekvensen av åtgärder som skulle leda till rätt svar.

Av utseende ekvation är det ibland svårt att bestämma dess typ. Och utan att känna till typen av ekvation är det nästan omöjligt att välja rätt bland flera dussin trigonometriska formler.

För att lösa en trigonometrisk ekvation måste du försöka:

1. föra alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "identiska funktioner";
3. faktorisera vänster sida av ekvationen osv.

Låt oss överväga grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

Lösningsdiagram

Steg 1. Uttryck en trigonometrisk funktion i termer av kända komponenter.

Steg 2. Hitta funktionsargumentet med hjälp av formlerna:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n båge a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Steg 3. Hitta den okända variabeln.

Exempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel ersättning

Lösningsdiagram

Steg 1. Reducera ekvationen till algebraisk form med avseende på en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2. Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inför vid behov begränsningar för t).

Steg 3. Skriv ner och lös den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4. Gör en omvänd ersättning.

Steg 5. Lös den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Låt sin (x/2) = t, där |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, uppfyller inte villkoret |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod för ekvationsordning

Lösningsdiagram

Steg 1. Ersätt denna ekvation med en linjär, med hjälp av formeln för att minska graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med metoder I och II.

Exempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

Lösningsdiagram

Steg 1. Reducera denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av första graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2. Dividera båda sidor av ekvationen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

och få ekvationen för tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Steg 3. Lös ekvationen med kända metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Låt då tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, vilket betyder

tg x = 1 eller tg x = -4.

Från den första ekvationen x = π/4 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metod för att transformera en ekvation med hjälp av trigonometriska formler

Lösningsdiagram

Steg 1. Använd alla möjliga trigonometriska formler och reducera denna ekvation till en ekvation löst med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med hjälp av kända metoder.

Exempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Lösning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Från den första ekvationen 2x = π/2 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; från den andra ekvationen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som ett resultat är x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Förmågan och skickligheten att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktigt, deras utveckling kräver betydande ansträngningar, både från elevens och lärarens sida.

Många problem med stereometri, fysik, etc. är förknippade med lösningen av trigonometriska ekvationer. Processen att lösa sådana problem förkroppsligar många av de kunskaper och färdigheter som förvärvas genom att studera elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen att lära sig matematik och personlig utveckling i allmänhet.

Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man löser trigonometriska ekvationer?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.