Lektionens mål:
Utbildning: Upprepa teoretisk information om ämnet "Tillämpning av derivat", generalisera, konsolidera och förbättra kunskapen om detta ämne.
Att lära ut hur man tillämpar de inhämtade teoretiska kunskaperna vid lösning olika typer matematiska problem.
Överväg metoder för att lösa Unified State Examination-uppgifter relaterade till konceptet med derivatan av basen och högre nivå komplexitet.
Utbildning:
Färdighetsträning: planera aktiviteter, arbeta i optimal takt, arbeta i grupp, sammanfatta.
Utveckla förmågan att utvärdera sina förmågor och förmågan att kommunicera med vänner.
Främja ansvarskänsla och empati Bidra till att utveckla förmågan att arbeta i ett team. färdigheter.. refererar till klasskamraters åsikter.
Utvecklingsmässigt: Kunna formulera nyckelbegreppen för det ämne som studeras. Utveckla färdigheter i grupparbete.
Lektionstyp: kombinerad:
Generalisering, konsolidering av färdigheter, tillämpning av egenskaper hos elementära funktioner, tillämpning av redan bildade kunskaper, färdigheter och förmågor, tillämpning av derivator i icke-standardiserade situationer.
Utrustning: dator, projektor, duk, handouts.
Lektionsplan:
1. Organisatoriska aktiviteter
Reflektion av humör
2. Uppdatering av elevens kunskaper
3. Muntligt arbete
4. Självständigt arbete gruppvis
5. Skydd av utfört arbete
6. Självständigt arbete
7. Läxor
8. Lektionssammanfattning
9. Reflektion av humör
Lektionens framsteg
1. Reflektion av humör.
Killar, god morgon. Jag kom till din lektion med den här stämningen (visar en bild av solen)!
Vad är ditt humör?
På ditt bord finns kort med bilder av solen, solen bakom ett moln och moln Visa vilket humör du är på.
2. Genom att analysera resultaten av provprov, såväl som resultaten av de senaste årens slutliga certifiering, kan vi dra slutsatsen att inte mer än 30%-35% av akademiker klarar av uppgifterna för matematisk analys från Unified State Exam And i vår klass, enligt resultaten av träning och inte alla av dem utför diagnostiskt arbete korrekt. Detta är anledningen till vårt val. Vi kommer att träna på att använda derivatan när vi löser Unified State Exam problem.
Förutom problemen med slutlig certifiering uppstår frågor och tvivel om i vilken utsträckning den kunskap som förvärvats inom detta område kan och kommer att efterfrågas i framtiden, och hur motiverad det är att investera tid och hälsa i att studera detta ämne.
Varför behövs ett derivat? Var träffas vi och använder derivat? Går det att klara sig utan det i matematik och inte bara?
Studentmeddelande 3 minuter -
3. Muntligt arbete.
4. Självständigt arbete i grupp (3 grupper)
Grupp 1 uppgift
) Vilken är den geometriska betydelsen av derivatan?
2) a) Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad i punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0.
b) Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0.
Grupp 1 svar:
1) Värdet av derivatan av funktionen i punkten x=x0 är lika med den villkorliga koefficienten för tangenten som ritas till grafen för denna funktion i punkten med abskissan x0. Nollkoefficienten är lika med tangenten för lutningsvinkel för tangenten (eller, med andra ord) tangenten för vinkeln som bildas av tangenten och... riktningen för Ox-axeln)
2) A)fl(x)=4/2=2
3) B)fl(x)=-4/2=-2
Uppgift grupp 2
1) Vad är den fysiska betydelsen av derivatan?
2) Den materiella punkten rör sig rätlinjigt enligt lagen
x(t)=-t2+8t-21, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder, mätt från början av rörelsen. Hitta dess hastighet (i meter per sekund) vid tiden t=3 s.
3) Den materiella punkten rör sig rätlinjigt enligt lagen
x(t)= ½*t2-t-4, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder, mätt från början av rörelsen. Vid vilken tidpunkt (i sekunder) var dess hastighet lika med 6 m/s?
Grupp 2 svar:
1) Den fysiska (mekaniska) betydelsen av derivatan är följande.
Om S(t) är lagen för en kropps rätlinjiga rörelse, så uttrycker derivatan den momentana hastigheten vid tidpunkten t:
V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2
3) X(t)=1/2t^2-t-4
Uppgift grupp 3
1) Den räta linjen y= 3x-5 är parallell med tangenten till grafen för funktionen y=x2+2x-7. Hitta abskissan för tangentpunkten.
2) Figuren visar en graf över funktionen y=f(x), definierad på intervallet (-9;8). Bestäm antalet heltalspunkter på detta intervall där derivatan av funktionen f(x) är positiv.
Grupp 3 svar:
1) Eftersom den räta linjen y=3x-5 är parallell med tangenten, så är tangentens vinkelkoefficient lika med vinkelkoefficienten för den räta linjen y=3x-5, dvs k=3.
Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3
2) Heltalspunkter är punkter med heltals abskissvärden.
Derivatan av en funktion f(x) är positiv om funktionen ökar.
Fråga: Vad kan du säga om derivatan av funktionen, som beskrivs med talesättet "Ju längre in i skogen, desto mer ved"
Svar: Derivatan är positiv genom hela definitionsdomänen, eftersom denna funktion ökar monotont
6. Självständigt arbete (6 alternativ)
7. Läxor.
Utbildningsarbete Svar:
Lektionssammanfattning.
"Musik kan höja eller lugna själen, målning kan glädja ögat, poesi kan väcka känslor, filosofi kan tillfredsställa sinnets behov, ingenjörskonst kan förbättra den materiella sidan av människors liv. Men matematik kan uppnå alla dessa mål."
Så sa den amerikanske matematikern Maurice Kline.
Tack för jobbet!
Figuren visar grafen för funktionen y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="I bilden visar grafen för funktionen y = f(x ) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Figuren visar grafen för funktionen y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-1;17). Hitta minskningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange längden på den största av dem. f(x) 
0 på intervallet, sedan funktionen f(x)" title="Figuren visar en graf över funktionen y = f(x). Hitta bland punkterna x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 och x 7 är de punkter där derivatan av funktionen f(x) är positiv Skriv ner antalet punkter som finns på intervallet funktion f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Figuren visar grafen för funktionen y = f(x). Hitta bland punkterna x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 och x 7 de punkter där derivatan av funktionen f(x) är positiv. Som svar, skriv ner antalet poäng som hittats. Om f (x) > 0 på ett intervall, så ökar funktionen f (x) på detta intervall. Svar: 2 0 på intervallet, sedan funktionen f(x)"> 0 på intervallet, sedan ökar funktionen f(x) på detta intervall Svar: 2"> 0 på intervallet, sedan funktionen f(x)" title= "På Figuren visar en graf över funktionen y = f(x). Hitta bland punkterna x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 och x 7 de punkter där derivata av funktionen f(x) är positiv. Skriv ner antalet punkter som finns på intervallet."> title="Figuren visar grafen för funktionen y = f(x). Hitta bland punkterna x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 och x 7 de punkter där derivatan av funktionen f(x) är positiv. Som svar, skriv ner antalet poäng som hittats. Om f (x) > 0 på ett intervall, då funktionen f(x)"> !}
Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-9; 2). Vid vilken punkt på segmentet -8; -4 tar funktionen f(x) det största värdet? På segmentet -8; -4 f(x) 
Funktionen y = f(x) definieras på intervallet (-5; 6). Figuren visar grafen för funktionen y = f(x). Hitta bland punkterna x 1, x 2, ..., x 7 de punkter där derivatan av funktionen f(x) är lika med noll. Som svar, skriv ner antalet poäng som hittats. Svar: 3 punkter x 1, x 4, x 6 och x 7 är extrema punkter. Vid punkt x 4 finns ingen f (x)
Litteratur 4 Algebra och inledande analysklass. Handledning för utbildningsinstitutioner grundläggande nivå / Sh. A. Alimov och andra, - M.: Prosveshchenie, Semenov A. L. Unified State Examination: 3000 problem i matematik. – M.: Publishing House “Exam”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. En visuell guide till algebra och början av analys med exempel för årskurs 7-11. – M.: Ilexa, Elektronisk resurs Öppna bank Unified State Exam-uppgifter.
Derivatan av en funktion $y = f(x)$ vid en given punkt $x_0$ är gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och motsvarande ökning av dess argument, förutsatt att den senare tenderar mot noll:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Differentiering är operationen att hitta derivatan.
Tabell över derivator av några elementära funktioner
| Fungera | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Grundläggande regler för differentiering
1. Derivatan av summan (skillnaden) är lika med summan (skillnaden) av derivatorna
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Hitta derivatan av funktionen $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Derivatan av en summa (differens) är lika med summan (skillnad) av derivator.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat av produkten
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Hitta derivatan $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Derivat av kvoten
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Hitta derivatan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivat komplex funktionär lika med produkten av derivatan av den externa funktionen och derivatan av den inre funktionen
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Fysisk betydelse av derivatan
Om en materialpunkt rör sig rätlinjigt och dess koordinater ändras beroende på tid enligt lagen $x(t)$, så är den momentana hastigheten för denna punkt lika med derivatan av funktionen.
Punkten rör sig längs koordinatlinjen enligt lagen $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, där $x(t)$ är koordinaten vid tiden $t$. Vid vilken tidpunkt kommer punktens hastighet att vara lika med $12$?
1. Hastighet är derivatan av $x(t)$, så låt oss hitta derivatan given funktion
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. För att hitta vid vilken tidpunkt $t$ hastigheten var lika med $12$ skapar vi och löser ekvationen:
Geometrisk betydelse av derivata
Kom ihåg att ekvationen för en rät linje inte är det parallellt med axlarna koordinater, kan skrivas på formen $y = kx + b$, där $k$ är linjens lutning. Koefficienten $k$ är lika med tangenten för lutningsvinkeln mellan den räta linjen och den positiva riktningen för $Ox$-axeln.
Derivatan av funktionen $f(x)$ i punkten $x_0$ är lika med lutningen $k$ för tangenten till grafen vid denna punkt:
Därför kan vi skapa en generell jämlikhet:
$f"(x_0) = k = tanα$
I figuren ökar tangenten till funktionen $f(x)$, därför koefficienten $k > 0$. Eftersom $k > 0$, då $f"(x_0) = tanα > 0$. Vinkeln $α$ mellan tangenten och den positiva riktningen $Ox$ är spetsig.
I figuren minskar tangenten till funktionen $f(x)$, därför minskar koefficienten $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
I figuren är tangenten till funktionen $f(x)$ parallell med $Ox$-axeln, därför är koefficienten $k = 0$, därför är $f"(x_0) = tan α = 0$. punkt $x_0$ där $f "(x_0) = 0$, anropas extremum.
Figuren visar en graf över funktionen $y=f(x)$ och en tangent till denna graf ritad vid punkten med abskissan $x_0$. Hitta värdet på derivatan av funktionen $f(x)$ vid punkten $x_0$.
Tangenten till grafen ökar, därför $f"(x_0) = tan α > 0$
För att hitta $f"(x_0)$ hittar vi tangenten för lutningsvinkeln mellan tangenten och den positiva riktningen för $Ox$-axeln. För att göra detta bygger vi tangenten till triangeln $ABC$.
Låt oss hitta tangenten för vinkeln $BAC$. (Tangentiell spetsig vinkel V rät triangel kallas förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25 USD
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Svar: $0,25$
Derivatan används också för att hitta intervallen för ökande och minskande funktioner:
Om $f"(x) > 0$ på ett intervall, så ökar funktionen $f(x)$ på detta intervall.
Om $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Figuren visar grafen för funktionen $y = f(x)$. Hitta bland punkterna $х_1,х_2,х_3...х_7$ de punkter där derivatan av funktionen är negativ.
Skriv ner antalet av dessa punkter som svar.
Geometrisk betydelse för derivatan X Y 0 tangent α k – vinkelkoefficient för den räta linjen (tangens) Geometrisk betydelse för derivatan: om en tangent kan dras till grafen för funktionen y = f(x) i punkten med abskissan , icke-parallell med y-axeln, då uttrycker den tangentens vinkelkoefficient, d.v.s. Sedan är den räta linjens likhet sann
X y Om α 0. Om α > 90°, då k 90°, sedan k 90°, sedan k 90°, sedan k 90°, sedan k title="х y If α 0. Om α > 90°, sedan k
X y Uppgift 1. Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf ritad i punkten med abskissan -1. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x =
Y x x0x Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0. Svar: -0,25
Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-6;6). Hitta ökningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall. B =...
