KORSA RAKT Stor encyklopedisk ordbok

korsar linjer- raka linjer i rymden som inte ligger i samma plan. * * * KORSA RAKA KORSA RAKA, raka linjer i rymden som inte ligger i samma plan... Encyklopedisk ordbok

Korsar linjer- raka linjer i rymden som inte ligger i samma plan. Genom S. p. är det möjligt att genomföra parallella plan, avståndet mellan vilket kallas avståndet mellan S. p. Det är lika med det kortaste avståndet mellan punkterna i S. p... Stora sovjetiska encyklopedien

KORSA RAKT- raka linjer i rymden som inte ligger i samma plan. Vinkeln mellan S. p. kallas. någon av vinklarna mellan två parallella linjer som går genom en godtycklig punkt i rymden. Om a och b är riktningsvektorerna för S. p., då cosinus för vinkeln mellan S. p. Matematisk uppslagsverk

KORSA RAKT- raka linjer i rymden som inte ligger i samma plan... Naturvetenskap. Encyklopedisk ordbok

Parallella linjer- Innehåll 1 I euklidisk geometri 1.1 Egenskaper 2 I Lobachevsky-geometri ... Wikipedia

Ultraparallella raka linjer- Innehåll 1 I euklidisk geometri 1.1 Egenskaper 2 I Lobachevsky geometri 3 Se även... Wikipedia

RIEMANN GEOMETRI- elliptisk geometri, en av de icke-euklidiska geometrierna, d.v.s. geometrisk, en teori baserad på axiom, vars krav skiljer sig från kraven för den euklidiska geometrins axiom. Till skillnad från euklidisk geometri i R. g...... ... Matematisk uppslagsverk

TEXTTRANSKRIPT AV LEKTIONEN:

Du känner redan till två fall relativ position raka linjer i rymden:

1. skärande linjer;

2. parallella linjer.

Låt oss komma ihåg deras definitioner.

Definition. Linjer i rymden kallas skärande om de ligger i samma plan och har en gemensam punkt

Definition. Linjer i rymden kallas parallella om de ligger i samma plan och inte har gemensamma punkter.

Gemensamt för dessa definitioner är att linjerna ligger i samma plan.

Detta är inte alltid fallet i rymden. Vi kan hantera flera plan, och inte varannan rak linje kommer att ligga i samma plan.

Till exempel kubkanter ABCDA1B1C1D1

AB och A1D1 ligger i olika plan.

Definition. Två linjer kallas snedställning om det inte finns något plan som skulle passera genom dessa linjer. Av definitionen är det tydligt att dessa linjer inte skär varandra och inte är parallella.

Låt oss bevisa ett teorem som uttrycker kriteriet för sneda linjer.

Sats (test av sneda linjer).

Om en av linjerna ligger i ett visst plan och den andra linjen skär detta plan vid en punkt som inte hör till denna linje, då skär dessa linjer.

Den räta linjen AB ligger i α-planet. Linje CD skär plan α i punkt C, som inte tillhör linje AB.

Bevisa att linjerna AB och DC korsas.

Bevis

Vi kommer att utföra beviset genom motsägelse.

Låt oss säga att AB och CD ligger i samma plan, låt oss beteckna det β.

Sedan passerar planet β genom linjen AB och punkt C.

Genom en följd av axiomen, genom linjen AB och en punkt C som inte ligger på den, kan man rita ett plan, och bara ett.

Men vi har redan ett sådant plan - α-planet.

Därför sammanfaller planen β och α.

Men detta är omöjligt, eftersom den räta linjen CD skär α, men ligger inte i den.

Vi har kommit fram till en motsägelse, därför är vårt antagande felaktigt. AB och CD ligger i

olika plan och skär varandra.

Teoremet har bevisats.

Så det finns tre möjliga sätt att ömsesidigt arrangera linjer i rymden:

A) Linjerna skär varandra, det vill säga de har bara en gemensam punkt.

B) Linjerna är parallella, d.v.s. ligger i samma plan och har inga gemensamma punkter.

C) Raka linjer korsar, d.v.s. inte ligga i samma plan.

Låt oss överväga ett annat teorem om sneda linjer

Sats. Genom var och en av två korsande linjer passerar ett plan parallellt med den andra linjen, och dessutom bara en.

AB och CD - korsar linjer

Bevisa att det finns ett plan α så att linjen AB ligger i planet α, och linjen CD är parallell med planet α.

Bevis

Låt oss bevisa existensen av ett sådant plan.

1) Genom punkt A drar vi en rät linje AE parallellt med CD.

2) Eftersom linjerna AE och AB skär varandra kan ett plan dras genom dem. Låt oss beteckna det med α.

3) Eftersom linjen CD är parallell med AE, och AE ligger i planet α, så är linjen CD ∥ plan α (genom satsen om linjens och planets vinkelräthet).

Plan α är det önskade planet.

Låt oss bevisa att planet α är det enda som uppfyller villkoret.

Alla andra plan som passerar genom linjen AB kommer att skära AE, och därför linjen CD parallellt med den. Det vill säga, vilket annat plan som helst som passerar genom AB skär den räta linjen CD och är därför inte parallellt med den.

Därför är α-planet unikt. Teoremet har bevisats.

linjerna l1 och l2 kallas skev om de inte ligger i samma plan. Låt a och b vara riktningsvektorerna för dessa linjer, och låt punkterna M1 och M2 tillhöra linjerna l1 respektive l2

Då är vektorerna a, b, M1M2> inte i samma plan, och därför är deras blandade produkt inte lika med noll, dvs (a, b, M1M2>) =/= 0. Det omvända påståendet är också sant: if (a, b) , M1M2> ) =/= 0, då är vektorerna a, b, M1M2> inte i samma plan, och därför ligger linjerna l1 och l2 inte i samma plan, det vill säga att de skär varandra om och endast om villkor(a, b, M1M2>) =/= 0, där a och b är riktningsvektorerna för linjerna, och M1 och M2 är de punkter som tillhör dessa linjer. Villkoret (a, b, M1M2>) = 0 är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att linjerna ligger i samma plan. Om linjerna ges av deras kanoniska ekvationer

sedan skrivs a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) och villkor (2) enligt följande:

Avstånd mellan korsande linjer

detta är avståndet mellan en av de skärande linjerna och ett plan parallellt med den, som går genom en annan linje. Avståndet mellan skärande linjer är avståndet från någon punkt på en av de skärande linjerna till ett plan som går genom en annan linje parallellt med den första. linje.

26.Definition av en ellips, kanonisk ekvation. Härledning av den kanoniska ekvationen. Egenskaper.

En ellips är det geometriska stället för punkter på ett plan för vilket summan av avstånden till två fokuserade punkter F1 och F2 i detta plan, som kallas foci, är ett konstant värde inte uteslutet Om smakerna sammanfaller, så är ellipsen en cirkel.

Den beskriver en ellips centrerad vid origo, vars axlar sammanfaller med koordinataxlarna.

Om det på höger sida finns en enhet med ett minustecken, är den resulterande ekvationen:

beskriver en imaginär ellips. Det är omöjligt att avbilda en sådan ellips i det verkliga planet. Låt oss beteckna foci med F1 och F2, och avståndet mellan dem med 2c, och summan av avstånden från en godtycklig punkt av ellipsen till foci med 2a.

För att härleda ekvationen för ellipsen väljer vi Oxy-koordinatsystemet så att foci F1 och F2 ligger på Ox-axeln, och origo sammanfaller med mitten av segmentet F1F2. Då kommer brännpunkterna att ha följande koordinater: och Låt M(x;y) vara en godtycklig punkt på ellipsen. Då, enligt definitionen av en ellips, d.v.s.

Detta är i huvudsak ekvationen för en ellips.

27. Definition av en hyperbel, kanonisk ekvation. Härledning av den kanoniska ekvationen. Egenskaper

En hyperbel är ett geometriskt läge av punkter på ett plan för vilket det absoluta värdet av skillnaden i avstånd till två fasta punkter F1 och F2 på detta plan, som kallas foci, är ett konstant värde. Låt M(x;y) vara ett godtyckligt hyperbelns punkt. Sedan, enligt definitionen av hyperbeln |MF 1 – MF 2 |=2a eller MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definition av en parabel, kanonisk ekvation. Härledning av den kanoniska ekvationen. Egenskaper. En parabel är HMT för ett plan för vilket avståndet till någon fast punkt F i detta plan är lika med avståndet till någon fast rät linje, också belägen i det aktuella planet. F – fokus för parabeln; den fasta linjen är parabelns riktning. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x2-xp+p2/4+y2=x2+px+p2/4; y 2 =2px;

Egenskaper: 1. En parabel har en symmetriaxel (parabelaxel); 2.Alla

parabeln är belägen i det högra halvplanet av Oxy-planet vid p>0, och i det vänstra

om sid<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Om två linjer i rymden har en gemensam punkt, sägs dessa två linjer skära varandra. I följande figur skär linjerna a och b i punkt A. Linjerna a och c skär inte varandra.

Alla två raka linjer har antingen bara en gemensam punkt eller har inga gemensamma punkter.

Parallella linjer

Två linjer i rymden kallas parallella om de ligger i samma plan och inte skär varandra. För att beteckna parallella linjer, använd en speciell ikon - ||.

Notationen a||b betyder att linje a är parallell med linje b. I figuren ovan är linjerna a och c parallella.

Parallella linjers sats

Genom vilken punkt i rymden som helst som inte ligger på en given linje passerar en linje parallell med den givna och dessutom bara en.

Korsar linjer

Två linjer som ligger i samma plan kan antingen skära eller vara parallella. Men i rymden hör två raka linjer inte nödvändigtvis till detta plan. De kan placeras i två olika plan.

Det är uppenbart att linjer som ligger i olika plan inte skär varandra och inte är parallella linjer. Två linjer som inte ligger i samma plan kallas korsar raka linjer.

Följande figur visar två skärande räta linjer a och b, som ligger i olika plan.

Testa och sats på sneda linjer

Om en av två linjer ligger i ett visst plan och den andra linjen skär detta plan vid en punkt som inte ligger på den första linjen, då skär dessa linjer.

Sats om sneda linjer: genom var och en av två korsande linjer passerar ett plan parallellt med den andra linjen, och dessutom endast en.

Således har vi övervägt alla möjliga fall av relativa positioner för linjer i rymden. Det finns bara tre av dem.

1. Linjer skär varandra. (Det vill säga, de har bara en gemensam poäng.)

2. Linjerna är parallella. (Det vill säga att de inte har gemensamma punkter och ligger i samma plan.)

3. Raka linjer korsar varandra. (Det vill säga, de är placerade i olika plan.)