Olika prismor skiljer sig från varandra. Samtidigt har de mycket gemensamt. För att hitta arean av prismats bas måste du förstå vilken typ det har.

Allmän teori

Ett prisma är vilken polyeder som helst vars sidor har formen av ett parallellogram. Dessutom kan dess bas vara vilken polyeder som helst - från en triangel till en n-gon. Dessutom är prismats baser alltid lika med varandra. Det som inte gäller sidoytorna är att de kan variera kraftigt i storlek.

När man löser problem stöter man inte bara på området av prismats bas. Det kan kräva kunskap om sidoytan, det vill säga alla ansikten som inte är baser. Den kompletta ytan kommer att vara föreningen av alla ansikten som utgör prismat.

Ibland handlar det om höjdproblem. Den är vinkelrät mot baserna. Diagonalen på en polyeder är ett segment som parvis förbinder två hörn som inte hör till samma yta.

Det bör noteras att basytan för ett rakt eller lutande prisma inte beror på vinkeln mellan dem och sidoytorna. Om de har samma siffror på över- och undersidan, kommer deras ytor att vara lika.

Triangulärt prisma

Den har vid sin bas en figur med tre hörn, det vill säga en triangel. Som ni vet kan det vara annorlunda. Om så är fallet räcker det att komma ihåg att dess område bestäms av hälften av benens produkt.

Den matematiska notationen ser ut så här: S = ½ av.

För att ta reda på området för basen i allmän syn, formlerna kommer att vara användbara: Heron och den där hälften av sidan tas till den höjd som dras till den.

Den första formeln ska skrivas så här: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Denna notation innehåller en semi-perimeter (p), det vill säga summan av tre sidor dividerat med två.

För det andra: S = ½ n a * a.

Om du vill ta reda på området för basen av ett triangulärt prisma, som är regelbundet, visar sig triangeln vara liksidig. Det finns en formel för det: S = ¼ a 2 * √3.

Fyrkantigt prisma

Dess bas är någon av de kända fyrkanterna. Det kan vara en rektangel eller kvadrat, parallellepiped eller romb. I varje fall, för att beräkna arean av prismats bas, behöver du din egen formel.

Om basen är en rektangel, så bestäms dess area enligt följande: S = ab, där a, b är rektangelns sidor.

När det gäller ett fyrkantigt prisma, basarean rätt prisma beräknas med formeln för en kvadrat. För det är han som ligger i grunden. S = a 2.

I fallet när basen är en parallellepiped kommer följande likhet att behövas: S = a * n a. Det händer att sidan av en parallellepiped och en av vinklarna är givna. Sedan, för att beräkna höjden, måste du använda ytterligare en formel: n a = b * sin A. Dessutom ligger vinkel A intill sidan "b", och höjd n är motsatt denna vinkel.

Om det finns en romb vid basen av prismat, för att bestämma dess yta behöver du samma formel som för ett parallellogram (eftersom det är ett specialfall av det). Men du kan också använda detta: S = ½ d 1 d 2. Här är d 1 och d 2 två diagonaler av romben.

Vanligt femkantigt prisma

Detta fall innebär att polygonen delas upp i trianglar, vars områden är lättare att ta reda på. Även om det händer att figurer kan ha olika antal hörn.

Eftersom prismats bas är en vanlig femhörning kan den delas in i fem liksidiga trianglar. Då är arean av prismats bas lika med arean av en sådan triangel (formeln kan ses ovan), multiplicerad med fem.

Vanligt sexkantigt prisma

Enligt principen som beskrivs för ett femkantigt prisma är det möjligt att dela in basens hexagon i 6 liksidiga trianglar. Formeln för basarean för ett sådant prisma liknar den föregående. Bara det ska multipliceras med sex.

Formeln kommer att se ut så här: S = 3/2 a 2 * √3.

Uppgifter

Nr 1. Med en vanlig rak linje är dess diagonal 22 cm, höjden på polyedern är 14 cm. Beräkna arean av prismats bas och hela ytan.

Lösning. Prismats bas är en kvadrat, men dess sida är okänd. Du kan hitta dess värde från diagonalen på kvadraten (x), som är relaterad till prismats diagonal (d) och dess höjd (h). x 2 = d 2 - n 2. Å andra sidan är detta segment "x" hypotenusan i en triangel vars ben är lika med sidan av kvadraten. Det vill säga, x 2 = a 2 + a 2. Det visar sig alltså att a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Byt ut siffran 22 istället för d och ersätt "n" med dess värde - 14, det visar sig att sidan av kvadraten är 12 cm. Ta nu bara reda på arean av basen: 12 * 12 = 144 cm 2.

För att ta reda på arean på hela ytan måste du lägga till två gånger basytan och fyrdubbla sidoarean. Det senare kan lätt hittas med hjälp av formeln för en rektangel: multiplicera höjden på polyedern och sidan av basen. Det vill säga 14 och 12, detta nummer kommer att vara lika med 168 cm 2. Prismats totala yta visar sig vara 960 cm 2.

Svar. Arean av prismats bas är 144 cm 2. Hela ytan är 960 cm 2.

Nr 2. Givet Vid basen finns en triangel med en sida på 6 cm. I detta fall är sidoytans diagonal 10 cm. Beräkna ytorna: basen och sidoytan.

Lösning. Eftersom prismat är regelbundet är dess bas en liksidig triangel. Därför visar sig dess area vara lika med 6 i kvadrat, multiplicerat med ¼ och med kvadratroten ur 3. En enkel beräkning leder till resultatet: 9√3 cm 2. Detta är arean av en bas av prismat.

Alla sidoytor är likadana och är rektanglar med sidorna 6 och 10 cm För att beräkna deras area, multiplicera bara dessa siffror. Multiplicera dem sedan med tre, eftersom prismat har exakt så många sidoytor. Då visar sig området på sårets laterala yta vara 180 cm 2.

Svar. Ytor: bas - 9√3 cm 2, sidoyta på prismat - 180 cm 2.

Polygonerna ABCDE och FHKMP ligger i parallella plan, kallas prismats baser, den vinkelräta OO 1 som faller från valfri punkt på basen till planet för en annan kallas prismats höjd. Parallelogram ABHF, BCKH, etc. kallas prismats laterala ytor, och deras sidor SC, DM, etc., som förbinder basernas motsvarande hörn, kallas laterala kanter. I ett prisma är alla sidokanter lika med varandra som segment av parallella räta linjer inneslutna mellan parallella plan.
Ett prisma kallas en rät linje ( Fig. 282, b) eller sned ( Fig. 282, c) beroende på om dess sidoribbor är vinkelräta eller lutande mot baserna. Ett rakt prisma har rektangulära sidoytor. Sidokanten kan tas som höjden på ett sådant prisma.
Ett höger prisma kallas regelbundet om dess baser är regelbundna polygoner. I ett sådant prisma är alla sidoytor lika rektanglar.
För att skildra ett prisma i en komplex ritning måste du känna till och kunna skildra de element som det består av (en punkt, en rak linje, en platt figur).
och deras bild i den komplexa ritningen (fig. 283, a - i)

a) Komplex ritning av ett prisma. Prismats bas är belägen på projektionsplanet P 1; en av prismats sidoytor är parallell med projektionsplanet P2.
b) Nära basen av prismat DEF - platt figur - vanlig triangel, belägen i planet P1; sidan av triangeln DE är parallell med x-axeln 12 - Den horisontella projektionen smälter samman med den givna basen och är därför lika med den naturlig storlek; Frontprojektionen smälter samman med x 12-axeln och är lika med sidan av prismats bas.
c) ABC-prismats övre bas är en platt figur - en triangel som ligger i ett horisontellt plan. Den horisontella projektionen smälter samman med den nedre basens projektion och täcker den, eftersom prismat är rakt; frontal projektion - rak, parallell med x 12-axeln, på ett avstånd från prismats höjd.
d) ABED-prismats sidoyta är en platt figur - en rektangel som ligger i frontalplanet. Frontal projektion - en rektangel lika med ansiktets naturliga storlek; horisontell projektion är en rät linje lika med sidan av prismats bas.
e) och f) Sidoytorna på ACFD- och CBEF-prismorna är plana figurer - rektanglar som ligger i horisontella utskjutande plan placerade i en vinkel på 60° mot projektionsplanet P 2. Horisontella projektioner är raka linjer, placerade till x12-axeln i en vinkel på 60°, och är lika med den naturliga storleken på sidorna av prismats bas; frontprojektioner är rektanglar, vars bild är mindre än naturlig storlek: två sidor av varje rektangel är lika med prismats höjd.
g) Prismats kant AD är en rät linje, vinkelrät mot projektionsplanet P 1. Horisontell projektion - punkt; frontal - rak, vinkelrät mot x 12-axeln, lika med prismats sidokant (prismahöjd).
h) Sidan AB på den övre basen är rak, parallell med planen P 1 och P 2. Horisontella och frontala projektioner - raka, parallella axlar x 12 och lika med sidan av prismats givna bas. Den främre projektionen är åtskild från x-axeln 12 på ett avstånd lika med prismats höjd.
i) Prismats hörn. Punkt E - toppen av den nedre basen är placerad på planet P 1. Den horisontella projektionen sammanfaller med själva spetsen; frontal - ligger på x 12-axeln Punkt C - toppen av den övre basen - ligger i rymden. Horisontell projektion har djup; frontal - höjd, lika med höjden av detta prisma.
Av detta följer: När du designar en polyeder måste du mentalt dela upp den i dess komponentelement och bestämma ordningen för deras representation, bestående av successiva grafiska operationer. Figurerna 284 och 285 visar exempel på sekventiella grafiska operationer när man utför en komplex ritning och visuell representation (axonometri) av prismor.
(Fig. 284).

Given:
1. Basen är placerad på projektionsplanet P 1.
2. Ingendera sidan av basen är parallell med x-axeln 12.
I. Komplex ritning.
jag, a.
Vi designar den nedre basen - en polygon, som av villkoret ligger i planet P1.
I, b.
Vi designar den övre basen - en polygon som är lika med den nedre basen med sidor motsvarande parallella med den nedre basen, åtskilda från den nedre basen med höjden H för det givna prismat.
jag, c.
Vi designar prismats sidokanter - segment som ligger parallellt; deras horisontella projektioner är punkter som smälter samman med projektionerna av basernas hörn; frontal - segment (parallella) erhållna från att ansluta med raka linjer projektionerna av hörnen på baserna med samma namn. De främre utsprången av revbenen, ritade från utsprången av hörn B och C i den nedre basen, avbildas med streckade linjer som osynliga.
jag, g. Givet: horisontell projektion F 1 av punkt F på den övre basen och frontal projektion K 2 av punkt K på sidoytan. Det är nödvändigt att bestämma placeringen av deras andra projektioner. För punkt F. Den andra (frontala) projektionen F2 av punkt F kommer att sammanfalla med projektionen av den övre basen, som en punkt som ligger i planet för denna bas; dess plats bestäms av den vertikala kommunikationslinjen.
För punkt K - Den andra (horisontella) projektionen K 1 av punkten K kommer att sammanfalla med den horisontella projektionen av sidoytan, som en punkt som ligger i ytans plan; dess plats bestäms av den vertikala kommunikationslinjen.
II. Prisma ytutveckling
På prismats övre bas, med hjälp av radierna R och R 1, bestämmer vi platsen för punkt F, och på sidoytan, med hjälp av radien R 3 och H 1, bestämmer vi punkt K.
III. En visuell representation av ett prisma i dimetri.
III, a.
Vi avbildar prismats nedre bas enligt koordinaterna för punkterna A, B, C, D och E (Fig. 284 I, a).
III, b.
Vi visar den övre basen parallellt med den nedre, åtskild från den med prismats höjd H.
III, c.
Vi skildrar sidokanterna genom att ansluta basernas motsvarande hörn med raka linjer. Vi bestämmer de synliga och osynliga elementen i prismat och skisserar dem med motsvarande linjer,

Given:
III, d Vi bestämmer punkterna F och K på prismats yta - Punkt F - på den övre basen bestäms med hjälp av dimensionerna i och e; punkt K - på sidoytan med i 1 och H" .
För en isometrisk bild av prismat och bestämning av positionerna för punkterna F och K, bör samma sekvens följas.
Fig. 285).
I. Komplex ritning.
1. Basen är placerad på planet P 1. 2. Sidoribborna är parallella med P 2-planet. 3. Ingendera sidan av basen är parallell med x 12-axeln
jag, a.
Vi designar enligt
detta tillstånd
: bottenbasen är en polygon som ligger i planet P1, och sidokanten är ett segment parallellt med planet P2 och lutande mot planet P1.
I, b.
Vi designar de återstående sidokanterna - segment lika och parallella med den första kanten SE.
Vi kommer att rulla prismat, rotera det varje gång runt sidokanten, sedan kommer varje sidoyta av prismat på planet att lämna ett spår (parallelogram) lika med dess naturliga storlek. Vi kommer att konstruera sidoskanningen i följande ordning:
a) från punkterna A 2, B 2, D 2. . . E 2 (frontala projektioner av basernas hörn) vi ritar extra räta linjer vinkelräta mot utsprången av revbenen;
b) radie R ( lika med sidan bas CD) gör vi ett skåra vid punkt D på hjälplinjen som dras från punkt D2; genom att ansluta raka punkter C 2 och D och rita räta linjer parallellt med E 2 C 2 och C 2 D, erhåller vi sidoytan CEFD;
c) sedan, genom att på liknande sätt anordna följande sidoytor, får vi en utveckling av prismats sidoytor. För att erhålla en fullständig utveckling av ytan på detta prisma fäster vi den på basens motsvarande ytor.
III. En visuell representation av ett prisma i isometri.
III, a.

Vi avbildar den nedre basen av prismat och kanten CE, med hjälp av koordinater enligt (

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

• Vilken personlig information samlar vi in: När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress e-post

etc.

• Hur vi använder din personliga information: Samlas av oss personlig information
• tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Definition 1. Prismatisk yta
Sats 1. På parallella sektioner av en prismatisk yta
Definition 2. Vinkelrät sektion av en prismatisk yta
Definition 3. Prisma
Definition 4. Prismahöjd
Definition 5. Höger prisma
Sats 2. Sidoyta av prismat

Parallellepiped:
Definition 6. Parallelpiped
Sats 3. Om skärningspunkten mellan diagonalerna i en parallellepiped
Definition 7. Höger parallellepiped
Definition 8. Rektangulär parallellepiped
Definition 9. Mätningar av en parallellepiped
Definition 10. Kub
Definition 11. Rhombohedron
Sats 4. På diagonalerna för en rektangulär parallellepiped
Sats 5. Volym av ett prisma
Sats 6. Volym av ett rakt prisma
Sats 7. Volym av en rektangulär parallellepiped

Prismaär en polyeder vars två ytor (baser) ligger i parallella plan, och de kanter som inte ligger i dessa ytor är parallella med varandra.
Andra ansikten än baserna kallas lateral.
Sidorna på sidoytorna och baserna kallas prisma revben, kanternas ändar kallas prismats hörn. Laterala revben kanter som inte hör till baserna kallas. Föreningen av sidoytor kallas prismats sidoyta, och föreningen av alla ansikten kallas prismats hela yta. Prisma höjd kallas vinkelrät fall från punkten av den övre basen till planet för den nedre basen eller längden av denna vinkelrät. Direkt prisma kallas ett prisma vars sidoribbor är vinkelräta mot basernas plan. Rätta kallas ett rakt prisma (fig. 3), vid vars bas ligger en regelbunden polygon.

Beteckningar:
l - sido revben;
P - bas omkrets;
S o - basarea;
H - höjd;
P^ - vinkelrät sektions omkrets;
Sb - lateral ytarea;
V - volym;
S p är arean av prismats totala yta.

V=SH Sp = Sb + 2So S b = P ^ l

Definition 1 . En prismatisk yta är en figur bildad av delar av flera plan parallella med en rät linje, begränsade av de räta linjer längs vilka dessa plan successivt skär varandra*; dessa linjer är parallella med varandra och kallas kanterna på den prismatiska ytan.
*Det antas att vartannat plan skär varandra och att det sista planet skär det första

Sats 1 . Sektioner av en prismatisk yta med plan parallella med varandra (men inte parallella med dess kanter) är lika polygoner.
Låt ABCDE och A"B"C"D"E" vara sektioner av en prismatisk yta med två parallella plan. För att säkerställa att dessa två polygoner är lika räcker det att visa att trianglarna ABC och A"B"C" är lika och har samma rotationsriktning och att detsamma gäller för trianglarna ABD och A"B"D", ABE och A"B"E". Men de motsvarande sidorna av dessa trianglar är parallella (till exempel AC är parallell med AC) som skärningslinjen för ett visst plan med två parallella plan; det följer att dessa sidor är lika (till exempel AC är lika med A"C"), som motsatta sidor av ett parallellogram, och att vinklarna som bildas av dessa sidor är lika och har samma riktning.

Definition 2 . En vinkelrät sektion av en prismatisk yta är en sektion av denna yta med ett plan vinkelrätt mot dess kanter. Baserat på föregående sats kommer alla vinkelräta sektioner av samma prismatiska yta att vara lika polygoner.

Definition 3 . Ett prisma är ett polyeder som begränsas av en prismatisk yta och två plan parallella med varandra (men inte parallella med kanterna på den prismatiska ytan)
Ansiktena som ligger i dessa sista plan kallas prismabaser; ansikten som hör till den prismatiska ytan - sidoytor; kanterna på den prismatiska ytan - sidoribbor på prismat. I kraft av föregående sats är prismats bas lika polygoner. Alla sidoytor på prismat - parallellogram; alla sidoribbor är lika med varandra.
Uppenbarligen, om basen av prismat ABCDE och en av kanterna AA" i storlek och riktning är givna, så är det möjligt att konstruera ett prisma genom att rita kanterna BB", CC", ... lika och parallella med kanten AA" .

Definition 4 . Höjden på ett prisma är avståndet mellan planen för dess baser (HH").

Definition 5 . Ett prisma kallas rakt om dess baser är vinkelräta sektioner av den prismatiska ytan. I det här fallet är prismats höjd naturligtvis dess sido revben; sidokanterna blir rektanglar.
Prismor kan klassificeras enligt antalet sidoytor lika med antalet sidor av polygonen som fungerar som dess bas. Således kan prismor vara triangulära, fyrkantiga, femkantiga, etc.

Sats 2 . Arean av prismats laterala yta är lika med produkten av den laterala kanten och omkretsen av den vinkelräta sektionen.
Låt ABCDEA"B"C"D"E" vara ett givet prisma och abcde dess vinkelräta sektion, så att segmenten ab, bc, .. är vinkelräta mot dess laterala kanter. Ytan ABA"B" är ett parallellogram; dess area är lika med produkten av basen AA " till en höjd som sammanfaller med ab; arean av ytan ВСВ "С" är lika med produkten av basen ВВ" med höjden bc, etc. Följaktligen är sidoytan (dvs summan av sidoytornas ytor) lika med produkten av sidokanten, med andra ord den totala längden av segmenten AA", ВВ", .., för mängden ab+bc+cd+de+ea.

Definition. Prismaär en polyeder, vars alla hörn är belägna i två parallella plan, och i dessa samma två plan ligger två ytor av prismat, som är lika många polygoner med motsvarande parallella sidor, och alla kanter som inte ligger i dessa plan är parallella.

Två lika ansikten kallas prismabaser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alla andra ytor av prismat kallas sidoytor(AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, DD1E1E, EE1A1A).

Alla sidoytor bildas sidoyta prismor .

Alla sidoytor på prismat är parallellogram .

Kanterna som inte ligger vid baserna kallas prismats laterala kanter ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonal är ett segment vars ändar är två hörn av ett prisma som inte ligger på samma yta (AD 1).

Längden på segmentet som förbinder prismats baser och vinkelrätt mot båda baserna samtidigt kallas prisma höjd .

Beteckning:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Först, i tvärgående ordning, indikeras hörn på en bas, och sedan, i samma ordning, hörn på en annan; ändarna av varje sidokant betecknas med samma bokstäver, endast de hörn som ligger i en bas betecknas med bokstäver utan index, och i den andra - med index)

Prismats namn är associerat med antalet vinklar i figuren som ligger vid dess bas, till exempel i figur 1 finns en femhörning vid basen, så prismat kallas femkantigt prisma. Men därför att ett sådant prisma har 7 ytor, då det heptaeder(2 ytor - prismats baser, 5 ytor - parallellogram, - dess sidoytor)

Bland raka prismor sticker den ut privat utsikt: korrekta prismor.

Ett rakt prisma kallas rätta, om dess baser är regelbundna polygoner.

Ett vanligt prisma har alla sidoytor lika rektanglar. Ett specialfall av ett prisma är en parallellepiped.

Parallellepiped

Parallellepiped- Det här fyrkantigt prisma, vid vars bas ligger ett parallellogram (en lutande parallellepiped). Höger parallellepiped- en parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot basens plan.

Rektangulär parallellepiped- en rät parallellepiped vars bas är en rektangel.

Egenskaper och satser:

Vissa egenskaper hos en parallellepiped liknar de kända egenskaperna hos en parallellepiped. En rektangulär parallellepiped med samma dimensioner kallas kub .En kub har alla lika kvadrater.Diagonal kvadrat, lika med summan kvadrater av dess tre dimensioner

,

där d är kvadratens diagonal;
a är sidan av kvadraten.

En idé om ett prisma ges av:

• olika arkitektoniska strukturer;
• barnleksaker;
• förpackningslådor;
• designartiklar etc.

Arean av prismats totala och laterala yta

Prismats totala ytaär summan av ytorna av alla dess ytor Sidoyta kallas summan av areorna av dess sidoytor. Prismats baser är lika polygoner, då är deras area lika. Det är därför

S full = S sida + 2S huvud,

Där S full- total yta, S sida- lateral yta, S bas- basarea

Den laterala ytan av ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.

S sida= P grundläggande * h,

Där S sida-area av sidoytan av ett rakt prisma,

P main - omkretsen av basen av ett rakt prisma,

h är höjden på det raka prismat, lika med sidokanten.

Prisma volym

Volymen av ett prisma är lika med produkten av arean av basen och höjden.