Den här artikeln handlar om parallella linjer och parallella linjer. Först ges definitionen av parallella linjer på ett plan och i rymden, notationer introduceras, exempel och grafiska illustrationer av parallella linjer ges. Därefter diskuteras tecknen och villkoren för parallellitet mellan linjer. Avslutningsvis visas lösningar på karakteristiska problem för att bevisa linjers parallellitet, vilka ges av vissa ekvationer av en linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan och i tredimensionellt utrymme.

Sidnavigering.

Parallella linjer - grundläggande information.

Definition.

Två linjer i ett plan kallas parallell, om de inte har gemensamma punkter.

Definition.

Två linjer i det tredimensionella rummet kallas parallell, om de ligger i samma plan och inte har gemensamma punkter.

Observera att satsen "om de ligger i samma plan" i definitionen av parallella linjer i rymden är mycket viktig. Låt oss förtydliga denna punkt: två linjer i det tredimensionella rummet som inte har gemensamma punkter och inte ligger i samma plan är inte parallella, utan skär varandra.

Här är några exempel på parallella linjer. De motsatta kanterna på notebook-arket ligger på parallella linjer. De raka linjerna längs vilka husets väggplan skär takets och golvets plan är parallella. Järnvägsräls på plan mark kan också betraktas som parallella linjer.

För att beteckna parallella linjer, använd symbolen "". Det vill säga om raderna a och b är parallella kan vi kort skriva a b.

Observera: om linjerna a och b är parallella, så kan vi säga att linjen a är parallell med linje b, och även att linjen b är parallell med linje a.

Låt oss uttrycka uttalandet som spelar viktig roll när man studerar parallella linjer på ett plan: genom en punkt som inte ligger på en given linje, passerar en enda rät linje parallell med den givna. Detta påstående accepteras som ett faktum (det kan inte bevisas på grundval av de kända axiomen för planimetri), och det kallas axiomet för parallella linjer.

För fallet i rymden är satsen giltig: genom vilken punkt i rymden som helst som inte ligger på en given linje passerar en enda rät linje parallell med den givna. Denna sats är lätt att bevisa med hjälp av ovanstående axiom för parallella linjer (du kan hitta dess bevis i geometriläroboken för årskurs 10-11, som listas i slutet av artikeln i referenslistan).

För fallet i rymden är satsen giltig: genom vilken punkt i rymden som helst som inte ligger på en given linje passerar en enda rät linje parallell med den givna. Denna sats kan lätt bevisas med hjälp av ovanstående parallelllinjeaxiom.

Parallellism av linjer - tecken och villkor för parallellism.

Ett tecken på parallellitet mellan linjerär ett tillräckligt villkor för att linjerna ska vara parallella, det vill säga ett villkor vars uppfyllelse garanterar att linjerna är parallella. Med andra ord är uppfyllelsen av detta villkor tillräckligt för att fastställa det faktum att linjerna är parallella.

Det finns också nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallellitet mellan linjer på ett plan och i tredimensionellt rymd.

Låt oss förklara innebörden av frasen "nödvändigt och tillräckligt villkor för parallella linjer."

Vi har redan behandlat det tillräckliga villkoret för parallella linjer. Och vad är " nödvändigt tillstånd parallellitet mellan linjer"? Från namnet "nödvändigt" är det tydligt att uppfyllandet av detta villkor är nödvändigt för parallella linjer. Med andra ord, om det nödvändiga villkoret för parallella linjer inte är uppfyllt, är linjerna inte parallella. Således, nödvändig och tillräcklig förutsättning för parallella linjerär ett villkor vars uppfyllande är både nödvändigt och tillräckligt för parallella linjer. Det vill säga, å ena sidan är detta ett tecken på parallellitet av linjer, och å andra sidan är detta en egenskap som parallella linjer har.

Innan man formulerar ett nödvändigt och tillräckligt villkor för linjers parallellitet, är det tillrådligt att komma ihåg flera hjälpdefinitioner.

Sekantlinjeär en linje som skär var och en av två givna icke-sammanfallande linjer.

När två raka linjer korsar en tvärgående, bildas åtta outvecklade. Den så kallade liggande korsvis, motsvarande Och ensidiga vinklar. Låt oss visa dem på ritningen.

Sats.

Om två räta linjer i ett plan skärs av en transversal, så är det nödvändigt och tillräckligt för att de ska vara parallella att de skärande vinklarna är lika, eller att motsvarande vinklar är lika, eller att summan av ensidiga vinklar är lika med 180 grader.

Låt oss visa en grafisk illustration av detta nödvändiga och tillräckliga villkor för parallellitet mellan linjer på ett plan.

Du kan hitta bevis på dessa villkor för linjers parallellitet i geometriläroböcker för årskurs 7-9.

Observera att dessa villkor även kan användas i tredimensionellt rymd - huvudsaken är att de två linjerna och sekanten ligger i samma plan.

Här är några fler satser som ofta används för att bevisa linjers parallellitet.

Sats.

Om två linjer i ett plan är parallella med en tredje linje, då är de parallella. Beviset för detta kriterium följer av axiomet för parallella linjer.

Det finns ett liknande villkor för parallella linjer i tredimensionellt utrymme.

Sats.

Om två linjer i rymden är parallella med en tredje linje, då är de parallella. Beviset för detta kriterium diskuteras i geometrilektionerna i årskurs 10.

Låt oss illustrera de angivna satserna.

Låt oss presentera ett annat teorem som låter oss bevisa parallelliteten hos linjer på ett plan.

Sats.

Om två linjer i ett plan är vinkelräta mot en tredje linje, då är de parallella.

Det finns ett liknande teorem för linjer i rymden.

Sats.

Om två linjer i det tredimensionella rummet är vinkelräta mot samma plan, så är de parallella.

Låt oss rita bilder som motsvarar dessa satser.

Alla satser, kriterier och nödvändiga och tillräckliga villkor formulerade ovan är utmärkta för att bevisa parallelliteten hos linjer med geometrimetoder. Det vill säga, för att bevisa parallelliteten för två givna linjer, måste du visa att de är parallella med en tredje linje, eller visa likheten mellan tvärgående liggande vinklar, etc. Många liknande problem löses i geometrilektioner i gymnasiet. Det bör dock noteras att det i många fall är bekvämt att använda koordinatmetoden för att bevisa parallelliteten hos linjer på ett plan eller i tredimensionellt utrymme. Låt oss formulera de nödvändiga och tillräckliga villkoren för parallelliteten hos linjer som anges i ett rektangulärt koordinatsystem.

Parallellism av linjer i ett rektangulärt koordinatsystem.

I detta stycke av artikeln kommer vi att formulera nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallella linjer i ett rektangulärt koordinatsystem, beroende på vilken typ av ekvationer som definierar dessa räta linjer, och vi presenterar också detaljerade lösningar karaktäristiska uppgifter.

Låt oss börja med villkoret för parallellitet för två räta linjer på ett plan i det rektangulära koordinatsystemet Oxy. Hans bevis är baserat på definitionen av riktningsvektorn för en linje och definitionen av normalvektorn för en linje på ett plan.

Sats.

För att två icke sammanfallande linjer ska vara parallella i ett plan, är det nödvändigt och tillräckligt att riktningsvektorerna för dessa linjer är kolinjära, eller att normalvektorerna för dessa linjer är kolinjära, eller att riktningsvektorn för en linje är vinkelrät mot normalen. vektor för den andra raden.

Uppenbarligen reduceras tillståndet för parallellitet för två linjer på ett plan till (riktningsvektorer av linjer eller normala vektorer av linjer) eller till (riktningsvektor för en linje och normalvektor för den andra linjen). Således, om och är riktningsvektorer för linjerna a och b, och Och är normalvektorer för linjerna a respektive b, så kommer det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallelliteten mellan linjerna a och b att skrivas som , eller , eller , där t är något reellt tal. I sin tur hittas koordinaterna för guiderna och (eller) normalvektorerna för linjerna a och b med hjälp av de kända linjeekvationerna.

Speciellt om rät linje a i det rektangulära koordinatsystemet Oxy på planet definierar en allmän rät linjeekvation av formen , och rät linje b - , då normalvektorerna för dessa linjer har koordinater och, respektive, och villkoret för parallellitet av linjerna a och b kommer att skrivas som .

Om linje a motsvarar ekvationen för en linje med en vinkelkoefficient av formen, och linje b-, så har dessa linjers normalvektorer koordinater och , och villkoret för parallellitet för dessa linjer har formen . Följaktligen, om linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem är parallella och kan specificeras genom ekvationer av linjer med vinkelkoefficienter, så kommer vinkelkoefficienterna för linjerna att vara lika. Och omvänt: om icke-sammanfallande linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem kan specificeras med ekvationer av en linje med lika vinkelkoefficienter, då är sådana linjer parallella.

Om en rät linje a och en rät linje b i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av de kanoniska ekvationerna för en rät linje på ett plan av formen Och , eller parametriska ekvationer av en rät linje på ett plan av formen Och följaktligen har riktningsvektorerna för dessa linjer koordinater och , och villkoret för parallellitet mellan linjerna a och b skrivs som .

Låt oss titta på lösningar på flera exempel.

Exempel.

Är linjerna parallella? Och ?

Lösning.

Låt oss skriva om ekvationen för en rät linje i segment i formen allmän ekvation direkt: . Nu kan vi se att det är linjens normalvektor , a är linjens normalvektor. Dessa vektorer är inte kolinjära, eftersom det inte finns något reellt tal t för vilket likheten ( ). Följaktligen är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet hos linjer på ett plan inte uppfyllt, därför är de givna linjerna inte parallella.

Svar:

Nej, linjerna är inte parallella.

Exempel.

Är raka linjer och parallella?

Lösning.

Låt oss reducera den kanoniska ekvationen för en rät linje till ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient: . Uppenbarligen är linjernas ekvationer och inte desamma (i detta fall skulle de givna linjerna vara desamma) och linjernas vinkelkoefficienter är lika, därför är de ursprungliga linjerna parallella.

Parallelliteten hos två linjer kan bevisas utifrån satsen, enligt vilken två perpendikulära ritade i förhållande till en linje kommer att vara parallella. Det finns vissa tecken på parallellitet mellan linjer - det finns tre av dem, och vi kommer att överväga dem alla mer specifikt.

Det första tecknet på parallellism

Linjer är parallella om, när de skär en tredje linje, de inre vinklarna som bildas, som ligger tvärs över, kommer att vara lika.

Låt oss säga att när räta linjer AB och CD korsar den räta linjen EF, bildades vinklar /1 och /2. De är lika, eftersom den räta linjen EF löper i en sluttning i förhållande till de andra två räta linjerna. Där linjerna skär varandra sätter vi punkterna Ki L - vi har ett sekantsegment EF. Vi finner dess mitt och sätter punkt O (bild 189).

Vi släpper en vinkelrät från punkt O på linjen AB. Låt oss kalla det OM. Vi fortsätter vinkelrät tills den skär linjen CD. Som ett resultat är den ursprungliga räta linjen AB strikt vinkelrät mot MN, vilket betyder att CD_|_MN också är det, men detta påstående kräver bevis. Som ett resultat av att rita en vinkelrät och en skärningslinje bildade vi två trianglar. En av dem är MIN, den andra är NOK. Låt oss titta på dem mer i detalj. tecken på parallella linjer grad 7

Dessa trianglar är lika, eftersom, i enlighet med villkoren för satsen, /1 =/2, och i enlighet med konstruktionen av trianglar, sidan OK = sidan OL. Vinkel MOL =/NOK, eftersom detta vertikala vinklar. Det följer av detta att sidan och två vinklar intill den av en av trianglarna är lika med sidan respektive två vinklar intill den i den andra triangeln. Således triangel MOL = triangel NOK, och därför vinkel LMO = vinkel KNO, men vi vet att /LMO är rak, vilket betyder att motsvarande vinkel KNO också är rät. Det vill säga, vi kunde bevisa att mot den räta linjen MN är både den räta linjen AB och den räta linjen CD vinkelräta. Det vill säga att AB och CD är parallella med varandra. Detta är vad vi behövde bevisa. Låt oss överväga de återstående tecknen på parallellitet av linjer (grad 7), som skiljer sig från det första tecknet i bevismetoden.

Andra tecknet på parallellism

Enligt det andra kriteriet för linjers parallellitet måste vi bevisa att vinklarna som erhålls vid skärningen av parallella linjer AB och CD på linjen EF kommer att vara lika. Således är tecknen på parallellitet för två linjer, både den första och den andra, baserade på likheten mellan vinklarna som erhålls när den tredje linjen skär dem. Låt oss anta att /3 = /2 och vinkeln 1 = /3 eftersom den är vertikal mot den. Alltså, och /2 kommer att vara lika med vinkel 1, men det bör beaktas att både vinkel 1 och vinkel 2 är inre, tvärliggande vinklar. Allt vi behöver göra är följaktligen att tillämpa vår kunskap, nämligen att två segment kommer att vara parallella om, när de skär den tredje räta linjen, de bildade tvärgående vinklarna är lika. Därmed fick vi reda på att AB || CD.

Vi kunde bevisa att, förutsatt att två vinkelräta linjer till en linje är parallella, enligt motsvarande sats, är tecknet på parallella linjer uppenbart.

Det tredje tecknet på parallellism

Det finns också ett tredje tecken på parallellism, vilket bevisas av summan av ensidig inre hörn. Detta bevis på tecknet på linjers parallellitet tillåter oss att dra slutsatsen att två linjer kommer att vara parallella om, när de skär den tredje linjen, summan av de resulterande ensidiga inre vinklarna blir lika med 2d. Se figur 192.

1. Om två linjer är parallella med en tredje linje är de parallella:

Om a||c Och b||c, Det a||b.

2. Om två linjer är vinkelräta mot den tredje linjen är de parallella:

Om a⊥c Och b⊥c, Det a||b.

De återstående tecknen på linjers parallellitet är baserade på vinklarna som bildas när två räta linjer skär varandra med en tredje.

3. Om summan av inre ensidiga vinklar är 180°, är linjerna parallella:

Om ∠1 + ∠2 = 180°, då a||b.

4. Om motsvarande vinklar är lika, är linjerna parallella:

Om ∠2 = ∠4, då a||b.

5. Om de inre tvärgående vinklarna är lika, är linjerna parallella:

Om ∠1 = ∠3, då a||b.

Egenskaper för parallella linjer

Påståenden omvända till egenskaperna hos parallella linjer är deras egenskaper. De är baserade på egenskaperna hos vinklar som bildas av skärningen av två parallella linjer med en tredje linje.

1. När två parallella linjer skär en tredje rät linje är summan av de inre ensidiga vinklarna som bildas av dem lika med 180°:

Om a||b, sedan ∠1 + ∠2 = 180°.

2. När två parallella linjer skär en tredje linje är motsvarande vinklar som de bildar lika:

Om a||b, sedan ∠2 = ∠4.

3. När två parallella linjer skär en tredje linje är de tvärgående vinklarna de bildar lika:

Om a||b, sedan ∠1 = ∠3.

Följande egenskap är ett specialfall för varje föregående:

4. Om en linje på ett plan är vinkelrät mot en av två parallella linjer, är den också vinkelrät mot den andra:

Om a||b Och c⊥a, Det c⊥b.

Den femte egenskapen är axiomet för parallella linjer:

5. Genom en punkt som inte ligger på en given linje kan endast en linje dras parallellt med den givna linjen.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress e-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Vid behov - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra syften av allmän betydelse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga informationen vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

De skär varandra inte, oavsett hur länge de fortsätter. Parallellen mellan raka linjer i skrift betecknas som följer: AB|| MEDE

Möjligheten av förekomsten av sådana linjer bevisas av satsen.

Sats.

Genom vilken punkt som helst utanför en given linje kan man dra en punkt parallellt med denna linje.

Låta AB denna raka linje och MED någon punkt tagen utanför den. Det krävs för att bevisa det genom MED du kan dra en rak linje parallellAB. Låt oss sänka den till AB från punkt MED vinkelrätMEDD och sedan ska vi genomföra MEDE^ MEDD, vilket är möjligt. Rakt C.E. parallell AB.

För att bevisa detta, låt oss anta motsatsen, dvs C.E. skär med AB någon gång M. Sedan från punkten M till en rak linje MEDD vi skulle ha två olika perpendikuler MD Och MS, vilket är omöjligt. Medel, C.E. kan inte korsa med AB, dvs. MEDE parallell AB.

Följd.

Två vinkelräta (CEOchD.B.) till en rak linje (CD) är parallella.

Axiom för parallella linjer.

Genom samma punkt är det omöjligt att dra två olika linjer parallellt med samma linje.

Så om det är rakt MEDD, dras genom spetsen MED parallellt med linjen AB, sedan varannan rad MEDE, ritad genom samma punkt MED, kan inte vara parallell AB, dvs. hon är på fortsättning kommer att skära varandra Med AB.

Att bevisa denna inte helt uppenbara sanning visar sig vara omöjligt. Det accepteras utan bevis, som ett nödvändigt antagande (postulatum).

Konsekvenser.

1. Om rakt(MEDE) skär med en av parallell(NE), sedan skär den med en annan ( AB), eftersom annars genom samma punkt MED det skulle finnas två olika linjer som går parallellt AB, vilket är omöjligt.

2. Om var och en av de två direkt (AOchB) är parallella med samma tredje linje ( MED) , då de parallell sinsemellan.

Ja, om vi antar det A Och B skära varandra någon gång M, då skulle två olika räta linjer passera genom denna punkt, parallellt MED, vilket är omöjligt.

Sats.

Om linjen är vinkelrät till en av de parallella linjerna, då är den vinkelrät mot den andra parallell.

Låta AB || MEDD Och E.F. ^ AB.Det krävs för att bevisa det E.F. ^ MEDD.

VinkelrätEF, korsar med AB, kommer säkert att korsa och MEDD. Låt skärningspunkten vara H.

Låt oss nu anta det MEDD inte vinkelrät mot VA.. Sedan någon annan rak linje, till exempel H.K., kommer att vara vinkelrät mot VA. och därför genom samma punkt H det blir två rak parallell AB: en MEDD, efter tillstånd, och den andra H.K. som tidigare bevisats. Eftersom detta är omöjligt kan det inte antas NE var inte vinkelrät mot VA..