Avstånd mellan två parallella plan uttrycks med formeln:

Koordinaterna för punkterna är okända för oss, och vi behöver inte känna till dem, eftersom vinkelrät mellan planen kan ritas var som helst.

Låt oss ta reda på avståndet mellan parallella plan i exempel nr 8:

Exempel 10

.

Lösning: Vi använder formeln:

Svar:

Många har säkert en fråga: de tre första koefficienterna för dessa plan är desamma, men så är det inte alltid! Ja, inte alltid.

Exempel 11

Hitta avståndet mellan parallella plan

Låt oss kontrollera koefficienternas proportionalitet: , men det betyder att planen verkligen är parallella. De tre första koefficienterna är proportionella, men inte lika. Men formeln tillhandahålls för matchande odds!

Det finns två lösningar:

1) Hitta någon punkt som hör till något av planen. Tänk till exempel på planet. För att hitta en punkt är det enklaste sättet att nollställa två koordinater. Låt oss återställa "X" och "Z", sedan: .

Således hör punkten till detta plan. Nu kan du använda formeln för avståndet från en punkt till en linje, som diskuterades i föregående avsnitt.

2) Den andra metoden innebär ett litet trick som du måste tillämpa för att använda formeln ! Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.

Skärande plan

Det tredje, vanligaste fallet, när två plan skär varandra längs en viss rät linje:

Två plan skär varandra om och endast om deras koefficienter för variablerna INTE proportionell, det vill säga det finns INGET sådant värde av "lambda" att jämlikheterna är uppfyllda

Låt mig omedelbart notera ett viktigt faktum: Om planen skär varandra, då systemet linjära ekvationer definierar ekvationen för en linje i rymden. Men mer om den rumsliga linjen senare.

Som ett exempel, betrakta flygplanen . Låt oss skapa ett system för motsvarande koefficienter:

Av de två första ekvationerna följer att , men av den tredje ekvationen följer att , vilket betyder systemet är inkonsekvent, och planen skär varandra.

Kontrollen kan göras "foppishly" på en rad:

Vi har redan diskuterat parallella plan, låt oss nu prata om vinkelräta plan. Uppenbarligen kan ett oändligt antal vinkelräta plan dras till vilket plan som helst, och för att fixa ett specifikt vinkelrät plan måste du veta två punkter:

Exempel 12

Med tanke på ett plan . Konstruera ett plan vinkelrätt mot det givna och som går genom punkterna.

Lösning: Vi börjar analysera tillståndet. Vad vet vi om planet? Två punkter är kända. Du kan hitta en vektor parallell med ett givet plan. Inte tillräckligt. Det skulle vara trevligt att gräva upp en annan lämplig vektor någonstans. Eftersom planen måste vara vinkelräta, duger den normala planvektorn.

En schematisk ritning hjälper till att utföra sådana resonemang:

För att bättre förstå problemet, rita normalvektorn från en punkt i planet.

Det bör noteras att två godtyckliga punkter kan placeras i rymden efter önskemål, och det vinkelräta planet kan vändas mot oss från en helt annan vinkel. Förresten, det är nu tydligt synligt varför en punkt inte kommer att definiera ett vinkelrät plan - ett oändligt antal vinkelräta plan kommer att "rotera" runt en enda punkt. Vi kommer inte heller att nöja oss med en enda vektor (utan några poäng). Vektorn är fri och kommer att "stämpla" oss med oändligt många vinkelräta plan (som förresten alla kommer att vara parallella). I detta avseende ger två punkter en minimal stel struktur.

Algoritmen analyseras, vi löser problemet:

1) Låt oss hitta vektorn.

2) Från ekv. Låt oss ta bort normalvektorn: .

3) Låt oss komponera ekvationen för planet med hjälp av en punkt (vi skulle kunna ta och) och två icke-kollinjära vektorer:

Materialet i den här artikeln låter dig få färdigheten att bestämma avståndet mellan två parallella plan med hjälp av koordinatmetoden. Låt oss definiera avståndet mellan parallella plan, få en formel för att beräkna det och överväga teorin med hjälp av praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Avstånd mellan parallella planär avståndet från en godtycklig punkt i ett av de parallella planen i fråga till ett annat plan.

Låt två parallella plan ϒ 1 och ϒ 2 ges. Från en godtycklig punkt M 1 i planet ϒ 1 sänker vi den vinkelräta M 1 H 1 till ett annat plan ϒ 2. Längden på den vinkelräta M 1 H 1 kommer att vara avståndet mellan de givna planen.

Denna definition av avståndet mellan parallella plan är relaterad till följande teorem.

Sats

Om två plan är parallella, är alla punkter på ett av de parallella planen på samma avstånd från det andra planet.

Bevis

Låt oss säga att två parallella plan ϒ 1 och ϒ 2 är givna. För att få ett bevis på satsen är det nödvändigt att bevisa att de perpendikulära som faller från olika godtyckliga punkter på ett plan till ett annat plan är lika. Låt några godtyckliga punkter M 1 och M 2 ges på planet ϒ 1, och från dem släpps vinkelräta M 1 H 1 och M 2 H 2 på planet ϒ 2. Därför måste vi bevisa att M 1 H 1 = M 2 H 2.

De räta linjerna M 1 H 1 och M 2 H 2 är parallella eftersom de är vinkelräta mot samma plan. Baserat på axiomet om ett enda plan som går genom tre olika punkter som inte ligger på samma linje, kan vi hävda att ett enda plan passerar genom två parallella linjer. Vi kommer att anta att det finns ett visst plan ϒ 3 som går genom två parallella räta linjer M 1 H 1 och M 2 H 2. Det uppenbara faktum är att planet ϒ 3 skär planen ϒ 1 och ϒ 2 längs räta linjer M 1 M 2 och H 1 H 2, som inte skär varandra och därför är parallella (annars skulle de givna planen ha en gemensam punkt , vilket är omöjligt på grund av deras parallellitet enligt villkoren för problemet). Således observerar vi en fyrhörning M 1 M 2 H 1 H 2, vars motsatta sidor är parvis parallella, dvs. M 1 M 2 N 1 N 2 – parallellogram (i det aktuella fallet – en rektangel). Följaktligen är de motsatta sidorna av detta parallellogram lika, vilket betyder | M 1 N 1 | = | M2N2 | . Q.E.D.

Observera också att avståndet mellan parallella plan är det minsta av avstånden mellan godtyckliga punkter i dessa plan.

Hitta avståndet mellan parallella plan

Enligt programmet för årskurserna 10 - 11 bestäms avståndet mellan parallella plan genom att konstruera en vinkelrät från valfri punkt i ett plan, sänkt till ett annat plan; varefter längden på denna vinkelrät hittas (med Pythagoras sats, likhetstecken eller trianglars likhet, eller definitionen av sinus, cosinus, tangens till en vinkel).

I fallet när ett rektangulärt koordinatsystem redan har specificerats eller det är möjligt att specificera, då har vi möjlighet att bestämma avståndet mellan parallella plan med hjälp av koordinatmetoden.

Låt det ges tredimensionellt utrymme, och i det finns ett rektangulärt koordinatsystem och två parallella plan ϒ 1 och ϒ 2. Låt oss ta reda på avståndet mellan dessa plan, bland annat beroende på definitionen av avståndet mellan plan som ges ovan.

I de initiala data - planen ϒ 1 och ϒ 2, och vi kan bestämma koordinaterna (x 1, y 1, z 1) för en viss punkt M 1 som hör till ett av de givna planen: låt det vara planet ϒ 1. Vi får också normalekvationen för planet ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0. I detta fall krävs avstånd | M 1 N 1 | kommer att vara lika med avståndet från punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) till planet ϒ 2 (det motsvarar normalekvationen cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0). Sedan beräknar vi det nödvändiga avståndet med hjälp av formeln: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Härledningen av denna formel kan studeras i ämnet att beräkna avståndet från en punkt till ett plan.

Låt oss sammanfatta. För att bestämma avståndet mellan två parallella plan måste du:

Definition 2

Hitta koordinaterna (x 1, y 1, z 1) för en viss punkt M 1 som hör till ett av de ursprungliga planen;

Definiera normalekvationen för det andra planet som cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

Beräkna det nödvändiga avståndet med hjälp av formeln: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.

Om planet ϒ 1 i ett rektangulärt koordinatsystem ges av den allmänna ekvationen för planet A · x + B · y + C · z + D 1 = 0, och planet ϒ 2 – av den allmänna ekvationen A · x + B · y + C · z + D 2 = 0, då måste avståndet mellan parallella plan beräknas med formeln:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Låt oss visa hur denna formel erhölls.

Låt punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) tillhöra planet ϒ 1. I detta fall kommer koordinaterna för denna punkt att motsvara ekvationen för planet A · x + B · y + C · z + D 1 = 0, eller så kommer likheten att vara sann: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Härifrån får vi: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0. Den resulterande jämlikheten kommer att vara användbar för oss senare.

Planet ϒ 2 kommer att beskrivas med normalekvationen för planet A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 eller - A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (beroende på tecknet för talet D 2). Men för alla värden på D 2 avståndet | M 1 N 1 | det är möjligt att beräkna med formeln:

M 1 H 1 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

Nu använder vi den tidigare erhållna likheten A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 = - D 1 och transformerar formeln:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Exempel 1

Givet två parallella plan ϒ 1 och ϒ 2, beskrivna av ekvationerna x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 respektive 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0. Det är nödvändigt att bestämma avståndet mellan de givna planen.

Lösning

Låt oss lösa problemet på två sätt.

1. Ekvationen för planet i segment, som specificeras i problemformuleringen, gör det möjligt att bestämma koordinaterna för punkten M 1 som hör till det plan som beskrivs av denna ekvation. Som punkt M 1 använder vi skärningspunkten för planet ϒ 1 och O x-axeln. Således har vi: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Låt oss förvandla allmän ekvation plan ϒ 2 i normal form:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Låt oss beräkna avståndet | M 1 N 1 | från punkt M 1 1 6 , 0 , 0 till plan 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 = 3 5 1 6 - 2 5 0 + 2 3 5 0 - 4 = 1 10 - 4 = 3 9 10

Så här fick vi det erforderliga avståndet mellan de ursprungliga parallella planen.

1. Låt oss omvandla ekvationen för planet i segment till den allmänna ekvationen för planet:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Låt oss likställa koefficienterna för variablerna x, y, z i de allmänna ekvationerna för plan; För detta ändamål multiplicerar vi båda sidor av den extrema likheten med 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Låt oss använda formeln för att hitta avståndet mellan parallella plan:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 = 3 9 10.

Svar: 3 9 10 .

Exempel 2

Givet två parallella plan, beskrivna av ekvationerna: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 och 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0. Det är nödvändigt att hitta avståndet mellan dessa plan.

Lösning

Det kommer att vara bekvämare att använda den andra metoden för att lösa sådana problem. Låt oss multiplicera båda sidor av den andra ekvationen med 2, och koefficienterna i ekvationerna för planen blir lika: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 och 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0. Nu kan du använda formeln:

M 1 H 1 = - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 = 7 196 = 1 2

Men låt oss försöka hitta svaret på det första sättet: låt oss säga att punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) tillhör planet 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0. Följaktligen motsvarar koordinaterna för denna punkt planets ekvation, och likheten kommer att vara sann:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Låt y 1 = 0, z 1 = 0, sedan x 1: 6 x 1 + 4 0 - 12 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Således får punkten exakta koordinater: M 1 - 1 2, 0, 0.

Låt oss omvandla den allmänna ekvationen för planet 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 till normal form:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

I detta fall är det erforderliga avståndet mellan planen: 3 7 · - 1 2 + 2 7 · 0 - 6 7 · 0 - 6 7 · 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

Svar: 1 2 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Med detta online-kalkylator du kan hitta avståndet mellan planen. Given detaljerad lösning med förklaringar. För att hitta avståndet mellan plan, skriv in elementen i planekvationen i cellerna och klicka på "Lös"-knappen.

×

Varning

Rensa alla celler?

Stäng Rensa

Instruktioner för datainmatning. Tal skrivs in som heltal (exempel: 487, 5, -7623, etc.), decimaler (ex. 67., 102.54, etc.) eller bråk. Bråket måste anges i formen a/b, där a och b (b>0) är heltal eller decimaltal. Exempel 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Avstånd mellan plan - teori

Algoritmen för att beräkna avståndet mellan plan innehåller följande steg:

1. Kontrollera kollineariteten för normala vektorer av plan.
2. Att hitta en viss punkt M 0 på första planet.
3. Beräkna avståndet mellan en punkt M 0 och det andra planet.

Normalvektorn i ekvation (2") har följande form:

tillhör planet (1):

Den allmänna ekvationen för planet är:

Låt oss ersätta värdena A, B, C, D 1 , D 2 tum (9):

Låt oss förenkla och lösa.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress e-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Vid behov - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra syften av allmän betydelse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga informationen vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Definition. Vi ringer avstånd från punkt till plan det minsta avståndet från en given punkt till punkterna i m-planet.

Därför att det minsta avståndet från en given punkt till punkterna på en linje som ligger på m-planet är avståndet från en given punkt till basen av den vinkelräta som tappas från den på linjen. Avståndet från en punkt till m-planet är lika med avståndet från denna punkt till basen av den vinkelräta som tappas från den till m-planet.

Låt oss ta reda på avståndet från en punkt till ett plan som ges av ekvationen
(4) . Ekvation för en vinkelrät fall från en punkt
på planet har formen:
(12) . Låt oss ersätta (12) V (4) :.
(13) . Därför att avstånd från punkt
till en godtycklig punkt på planet är lika med
(14) . I synnerhet är avståndet till planet från början av systemet lika med
(15) . När normalvektorn är enhet, formeln (14) kan skrivas som
(14’) , A (15) :
(15’) . I det fall då normalvektorn är enhet, är det absoluta värdet av den fria termen i (4) lika med avståndet till planet.

Påstående. Eftersom parallella plan kan ha samma riktningsvektorer , då är normalvektorerna för parallella plan kolinjära. Avstånden från alla punkter i ett av två parallella plan till det andra av dessa plan är lika. Faktum är att avståndet från en godtycklig punkt
till det plan som dras genom spetsen
parallellt med detta plan (4) med riktningsvektorer , pga (14) lika
. Dessa. lika med avståndet från punkt
till samma plan.

Definition. Vi kommer att ringa numret som är lika med dessa avstånd, avstånd mellan två parallella plan.

Om ekvationerna för två plan skrivs i formen: (17) , då är avståndet mellan dem lika med avståndet från punkten
, liggande på det andra planet före det första. På grund av förhållandet (14) , detta avstånd är lika
, men därför att punkt
ligger på det andra planet, sedan vektorn uppfyller ekvationen för detta plan, dvs vi får:
(18) .

23. Reducering av ekvationen för en andra ordningens kurva till kanonisk form med en klassificering av möjliga typer av typer i fallet med δ≠0

Låt oss fixa ett rektangulärt koordinatsystem på planet och överväga en allmän ekvation av andra graden. (1)

Def: Den uppsättning punkter vars koordinater uppfyller ekvation 1 kallas andra ordningens kurva. Seniormedlemsgrupp (2) kan betraktas som en kvadratisk form av koordinaterna (x, y) för vektorn x. Eftersom matrisen är A-symmetrisk, alltså  ortonormal basis
av egenvektorer a, där matrisen av kvadratisk form är diagonal och reell. Låt matrisen P= vara matrisen för övergången från bas e till bas . Sedan
. Sedan (5)
. Med hänsyn till 5, skriver vi den kvadratiska formen 2. (6) Dessutom
(härleds enkelt genom att multiplicera P T AP). Därför i grunden den kvadratiska formen kan skrivas som
. Eftersom P T P=I är matrisen P ortogonal och geometriskt motsvarar övergången från bas till bas en rotation med några
mål moturs.
. På grund av giltigheten av 5.6, skriver vi om ekvation 1 i nya koordinater. (10)

Låt oss sätta (11)
. Då λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Medel

Låt oss dela upp fallen:

1)

(13)
. Dessutom:
,
,
.

A) Låt oss anta att, det vill säga att alla λ har samma tecken, då är platsen för de punkter vars koordinater uppfyller villkor 13:

Ellips om tecknet för c är motsatt tecknet för λ

"Imaginär ellips", om tecknet c = tecken λ

punkt om c=0

I) Låta
λ 1 och λ 2 har olika tecken. Då blir det 13

a.
hyperbolekvation:

, ifc≠0

b. δ =0

Och par av skärande linjer, om c=0

DefReducera ekvationen för en andra ordningens kurva till kanonisk form med en klassificering av möjliga typer i fallet Andra ordningens kurvinvarianter. Bestämning av den kanoniska ekvationen för en andra ordningens kurva genom invarianter.

: Kurvan invariant kallas funktioner av koefficienterna för ekvationen för en kurva som inte ändras när man flyttar från ett rektangulärt koordinatsystem till ett annat.
,
,
Sats.

För en andra ordningens kurva		är invarianter. Beviset tar hänsyn till 2 fall: 1) parallell translation (variabler ändras, parenteser öppnas, grupperas) 2) Rotation med P (med P reduceras den till diagonal D = P T AP, och sedan beräknas invarianterna för D)
		är invarianter. Beviset tar hänsyn till 2 fall: 1) parallell translation (variabler ändras, parenteser öppnas, grupperas) 2) Rotation med P (med P reduceras den till diagonal D = P T AP, och sedan beräknas invarianterna för D)
Elliptisk kurva		- Ellips
		Hyperbolisk kurva
		Hyperbel
		Ett par korsande linjer

Parabel λ Par parallella linjer Reducera ekvationen för en andra ordningens yta till kanonisk form med en klassificering av typer i det fall då alla

i

			skiljer sig från noll.
			I fallet när alla λ i är olika från noll. Ytan, genom att transformera den kvadratiska formen med hjälp av övergångsmatrisen P (som i kurvor endast för en 3x3 matris) och sedan transformera koordinaterna och föra dem till kanonisk form, omvandlas till följande form:. Sedan har vi följande.
			Ellipsoid
			Enkelarks hyperboloid
	Två-arks hyperboloid		Imaginär ellipsoid

 λi av samma tecken Par parallella linjer ­ Imaginär kon

Reducering av andra ordningens ytekvation till kanonisk form med en klassificering av typer i fallet när en av λ
(4). är lika med noll.
Låt, för visshetens skull, λ 3 =0. Då kommer ytekvationen att ha formen:
(5). Om vid 4

			, då blir ekvationen ekvationen för en cylindrisk yta.
			Återigen kommer vi att anta att c≤0, annars multiplicerar vi 5 med -1.
			Elliptisk cylinder
	Hyperbolisk cylinder		Imaginär elliptisk cylinder	λi av samma tecken
	Två imaginära skärande plan
	Rak linje x=0, y=0		λi av olika tecken
	Om λi har samma tecken		Elliptisk paraboloid

Om olika tecken λ Par parallella linjer Hyperbolisk paraboloid

Låta
Reducera ekvationen för en andra ordningens yta till kanonisk form med en klassificering av typer i fallet när två av (7) är lika med noll. , då kommer ytekvationen att ha formen:. Det här är ett par<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

parallella plan
,
, annorlunda när λ 1 C
Om en 2 ≠ 0 eller en 3 ≠0, gör vi ersättningen, förutsatt att:
. Om vi ​​ersätter med 7 får vi: , Var.

. Detta är en andra ordningens kurva på planet eller: Utrymmet R kan dekomponeras i en direkt summa av invarianta delrum N 0 (p) och M (p). I detta fall består delrummet N 0 (p) endast av deras egenvektorer och associerade vektorer som motsvarar egenvärdet λ=0, och i delrummet M(p) är transformationen inverterbar (dvs. λ=0 är inte ett egenvärde av transformation A i delrummet M ( p) .

Bevis: För att bevisa det första påståendet räcker det för oss att visa att skärningspunkten mellan delrummen N 0 (p) och M 0 (p) är lika med noll. Låt oss anta motsatsen, det vill säga låt det finnas en vektor y≠0 så att yM (p) och yN 0 (p) . Eftersom yM (p), då y=A p x.

Men av likheterna (8) och (9) följer att det finns en vektor x för vilken Ap x≠0 och samtidigt A 2 p x = Ap y = 0

Detta betyder att x är den associerade vektorn för transformation A med egenvärdet λ=0, som inte hör till delrummet N 0 (p), vilket är omöjligt, eftersom N 0 (p) består av alla sådana vektorer.

Således har vi bevisat att skärningspunkten mellan N 0 (p) och M 0 (p) är lika med noll. Eftersom summan av dimensionerna för dessa delutrymmen är lika med n (detta är kärnan och bilden av transformationen Ap), följer det att utrymmet R bryts upp i den direkta summan av dessa delrum:

R = M(p) N0(p)

Låt oss nu bevisa det andra påståendet i satsen, dvs. att i delrummet M (p) har transformationen A inget egenvärde på noll. I själva verket, om detta inte var så, skulle det i M (p) finnas en vektor x≠0 så att Ap x=0

Men denna likhet gör att xN 0 (p), dvs. är den gemensamma vektorn för M (p) och N 0 (p), och vi har bevisat att en sådan vektor bara kan vara noll.

Sats 2: Låt en transformation A av ett rum R ha k olika egenvärdenλ1,….,λk. Sedan kan R sönderdelas till en direkt summa av k invarianta delrum N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk):

R = N λ 1 (p 1) ….N λk (pk)

Vart och ett av delutrymmena N λi (pi) består endast av egenvektorer och associerade vektorer motsvarande egenvärdet λ i

Med andra ord, för varje i finns ett tal p i så att för alla xN λ i (pi) .