Materialet som presenteras nedan är en logisk fortsättning på teorin från artikeln med titeln LCM - minsta gemensamma multipel, definition, exempel, samband mellan LCM och GCD. Här ska vi prata om hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM), Och särskild uppmärksamhet Låt oss fokusera på att lösa exempel. Först kommer vi att visa hur LCM för två tal beräknas med hjälp av GCD för dessa siffror. Därefter ska vi titta på att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera tal till primtalsfaktorer. Efter detta kommer vi att fokusera på att hitta LCM för tre eller fler tal, och också vara uppmärksam på att beräkna LCM för negativa tal.

Sidnavigering.

Beräknar minsta gemensamma multipel (LCM) via GCD

Ett sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på förhållandet mellan LCM och GCD. Den befintliga kopplingen mellan LCM och GCD tillåter oss att beräkna den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal genom en känd största gemensamma divisor. Motsvarande formel är LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Låt oss överväga exempel på att hitta LCM med den givna formeln.

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av två siffror 126 och 70.

Lösning.

I det här exemplet a=126 , b=70 . Låt oss använda kopplingen mellan LCM och GCD, uttryckt med formeln LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Det vill säga, först måste vi hitta den största gemensamma delaren för talen 70 och 126, varefter vi kan beräkna LCM för dessa tal med hjälp av den skrivna formeln.

Låt oss hitta GCD(126, 70) med den euklidiska algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, därför GCD(126, 70)=14.

Nu hittar vi den minsta gemensamma multipeln som krävs: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126·70:14=630.

Svar:

LCM(126, 70)=630 .

Exempel.

Vad är LCM(68, 34) lika med?

Lösning.

Därför att 68 är delbart med 34, sedan GCD(68, 34)=34. Nu beräknar vi den minsta gemensamma multipeln: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Svar:

LCM(68, 34)=68 .

Observera att det föregående exemplet passar följande regel för att hitta LCM för positiva heltal a och b: om talet a är delbart med b, är den minsta gemensamma multipeln av dessa tal a.

Hitta LCM genom att faktorisera tal till primtalsfaktorer

Ett annat sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på att faktorisera tal i primtal. Om du komponerar en produkt från alla primtalsfaktorer av givna tal och sedan exkluderar från denna produkt alla vanliga primtalsfaktorer som finns i uppdelningen av de givna talen, så kommer den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av de givna talen .

Den angivna regeln för att hitta LCM följer av jämlikheten LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Faktum är att produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av talen a och b. I sin tur är GCD(a, b) lika med produkten av alla primtalsfaktorer som finns samtidigt i expansionerna av talen a och b (som beskrivs i avsnittet om att hitta GCD med hjälp av expansionen av tal till primtalsfaktorer).

Låt oss ge ett exempel. Låt oss veta att 75=3·5·5 och 210=2·3·5·7. Låt oss komponera produkten från alla faktorer i dessa expansioner: 2·3·3·5·5·5·7 . Nu från denna produkt exkluderar vi alla faktorer som finns i både expansionen av talet 75 och expansionen av talet 210 (dessa faktorer är 3 och 5), då kommer produkten att ha formen 2·3·5·5·7 . Värdet på denna produkt är lika med den minsta gemensamma multipeln av 75 och 210, dvs. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Exempel.

Faktorisera talen 441 och 700 i primtal och hitta den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

Lösning.

Låt oss faktorisera talen 441 och 700 till primtalsfaktorer:

Vi får 441=3·3·7·7 och 700=2·2·5·5·7.

Låt oss nu skapa en produkt från alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa siffror: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Låt oss utesluta från denna produkt alla faktorer som är närvarande samtidigt i båda expansionerna (det finns bara en sådan faktor - det här är siffran 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Således, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Svar:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regeln för att hitta LCM med hjälp av faktorisering av tal till primtal kan formuleras lite annorlunda. Om de saknade faktorerna från expansionen av talet b adderas till faktorerna från expansionen av talet a, kommer värdet på den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av talen a och b.

Låt oss till exempel ta samma siffror 75 och 210, deras nedbrytningar till primtalsfaktorer är som följer: 75=3·5·5 och 210=2·3·5·7. Till faktorerna 3, 5 och 5 från expansionen av talet 75 adderar vi de saknade faktorerna 2 och 7 från expansionen av talet 210, vi får produkten 2·3·5·5·7, vars värde är lika med LCM(75, 210).

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

Lösning.

Vi erhåller först nedbrytningarna av talen 84 och 648 till primtalsfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 och 648=2·2·2·3·3·3·3. Till faktorerna 2, 2, 3 och 7 från expansionen av talet 84 lägger vi till de saknade faktorerna 2, 3, 3 och 3 från expansionen av talet 648, vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7, vilket är lika med 4 536 . Således är den önskade minsta gemensamma multipeln av 84 och 648 4,536.

Svar:

LCM(84, 648)=4,536.

Hitta LCM för tre eller fler nummer

Den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal kan hittas genom att sekventiellt hitta LCM för två tal. Låt oss komma ihåg motsvarande sats, som ger ett sätt att hitta LCM för tre eller fler tal.

Sats.

Låt heltal anges positiva siffror a 1 , a 2 , …, a k , den minsta gemensamma multipeln m k av dessa tal hittas genom att sekventiellt beräkna m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , …, m k = LCM( m k−1 , a k) .

Låt oss överväga tillämpningen av detta teorem med hjälp av exemplet att hitta den minsta gemensamma multipeln av fyra tal.

Exempel.

Hitta LCM för fyra siffror 140, 9, 54 och 250.

Lösning.

I det här exemplet är a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Först hittar vi m 2 = LOC(a 1; a 2) = LOC(140; 9). För att göra detta, med hjälp av den euklidiska algoritmen, bestämmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, därför GCD(140, 9)=1 , varifrån GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1,260. Det vill säga, m 2 = 1 260.

Nu hittar vi m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Låt oss beräkna det genom GCD(1 260, 54), som vi också bestämmer med den euklidiska algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Sedan gcd(1,260, 54)=18, varav gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vill säga, m 3 = 3 780.

Allt som återstår är att hitta m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). För att göra detta hittar vi GCD(3,780, 250) med den euklidiska algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Därför GCM(3,780; 250)=10, varav GCM(3,780; 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vill säga m 4 = 94 500.

Så den minsta gemensamma multipeln av de ursprungliga fyra talen är 94 500.

Svar:

LCM(140; 9; 54; 250)=94 500.

I många fall är det bekvämt att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal med hjälp av primtalsfaktoriseringar av de givna talen. I det här fallet bör du följa följande regel. Den minsta gemensamma multipeln av flera tal är lika med produkten, som är sammansatt enligt följande: de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet läggs till alla faktorer från expansionen av det första talet, de saknade faktorerna från expansionen av tredje siffran läggs till de resulterande faktorerna, och så vidare.

Låt oss titta på ett exempel på att hitta den minsta gemensamma multipeln med hjälp av primtalsfaktorisering.

Exempel.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av de fem talen 84, 6, 48, 7, 143.

Lösning.

Först får vi uppdelningar av dessa tal i primtal: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 är ett primtal, det sammanfaller med dess sönderdelning i primtalsfaktorer) och 143=11·13.

För att hitta LCM för dessa siffror, till faktorerna för det första talet 84 (de är 2, 2, 3 och 7), måste du lägga till de saknade faktorerna från expansionen av den andra siffran 6. Nedbrytningen av siffran 6 innehåller inga saknade faktorer, eftersom både 2 och 3 redan finns i sönderdelningen av det första talet 84. Därefter lägger vi till faktorerna 2, 2, 3 och 7 de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det tredje talet 48, vi får en uppsättning faktorer 2, 2, 2, 2, 3 och 7. Det finns inget behov av att lägga till multiplikatorer till denna uppsättning i nästa steg, eftersom 7 redan finns i den. Slutligen, till faktorerna 2, 2, 2, 2, 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 11 och 13 från expansionen av talet 143. Vi får produkten 2·2·2·2·3·7·11·13, vilket är lika med 48 048.

För att förstå hur man beräknar LCM måste du först bestämma innebörden av termen "multipel".

En multipel av A är ett naturligt tal som är delbart med A utan rest. Tal som är multiplar av 5 kan alltså betraktas som 15, 20, 25 och så vidare.

Det kan finnas ett begränsat antal divisorer av ett visst tal, men det finns ett oändligt antal multiplar.

Gemensam multipel naturliga tal- ett tal som är delbart med dem utan rest.

Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tal (två, tre eller fler) är det minsta naturliga talet som är delbart med alla dessa tal.

För att hitta LOC kan du använda flera metoder.

För små tal är det bekvämt att skriva ner alla multipler av dessa tal på en rad tills du hittar något gemensamt bland dem. Multiplar betecknas med stor bokstav K.

Till exempel kan multiplar av 4 skrivas så här:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Således kan du se att den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 4 och 6 är talet 24. Denna notation görs på följande sätt:

LCM(4, 6) = 24

Om talen är stora, hitta den gemensamma multipeln av tre eller fler tal, då är det bättre att använda en annan metod för att beräkna LCM.

För att slutföra uppgiften måste du faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer.

Först måste du skriva ner nedbrytningen av det största antalet på en linje, och under det - resten.

Nedbrytningen av varje nummer kan innehålla ett annat antal faktorer.

Låt oss till exempel faktorisera talen 50 och 20 till primtalsfaktorer.

I expansionen av det mindre talet bör du markera de faktorer som saknas i expansionen av det första största talet och sedan lägga till dem till det. I exemplet som presenteras saknas en tvåa.

Nu kan du beräkna den minsta gemensamma multipeln av 20 och 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Således kommer produkten av primfaktorerna för det större talet och faktorerna för det andra talet som inte ingick i expansionen av det större talet att vara den minsta gemensamma multipeln.

För att hitta LCM för tre eller fler tal bör du räkna in dem alla i primtalsfaktorer, som i föregående fall.

Som ett exempel kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Endast två tvåor från expansionen av sexton ingick således inte i faktoriseringen av ett större antal (en är i expansionen av tjugofyra).

Således måste de läggas till expansionen av ett större antal.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det finns speciella fall för att bestämma den minsta gemensamma multipeln. Så om ett av talen kan delas utan en rest med ett annat, kommer det största av dessa tal att vara den minsta gemensamma multipeln.

Till exempel är LCM för tolv och tjugofyra tjugofyra.

Om det är nödvändigt att hitta den minsta gemensamma multipeln av coprimtal som inte har identiska divisorer, kommer deras LCM att vara lika med deras produkt.

Till exempel, LCM (10, 11) = 110.

Största gemensamma divisor och minsta gemensamma multipel är viktiga aritmetiska begrepp som låter dig arbeta utan ansträngning vanliga bråk. LCM och används oftast för att hitta den gemensamma nämnaren för flera bråk.

Grundläggande koncept

Divisorn för ett heltal X är ett annat heltal Y med vilket X delas utan att lämna en rest. Till exempel är divisorn för 4 2 och 36 är 4, 6, 9. En multipel av ett heltal X är ett tal Y som är delbart med X utan rest. Till exempel är 3 en multipel av 15 och 6 är en multipel av 12.

För alla par av tal kan vi hitta deras gemensamma divisorer och multiplar. Till exempel, för 6 och 9, är den gemensamma multipeln 18, och den gemensamma divisorn är 3. Uppenbarligen kan par ha flera divisorer och multiplar, så beräkningarna använder den största divisorn GCD och den minsta multipeln LCM.

Minsta divisor är meningslös, eftersom det för alla tal alltid är ett. Den största multipeln är också meningslös, eftersom sekvensen av multiplar går till oändlighet.

Hitta gcd

För att hitta den största gemensam divisor Det finns många metoder, varav de mest kända är:

• sekventiell sökning av divisorer, urval av vanliga för ett par och sökning efter den största av dem;
• sönderdelning av tal till odelbara faktorer;
• Euklidisk algoritm;
• binär algoritm.

Idag kl utbildningsinstitutioner De mest populära är metoderna för primfaktorisering och den euklidiska algoritmen. Den senare används i sin tur när man löser diofantiska ekvationer: sökning efter GCD krävs för att kontrollera ekvationen för möjligheten till upplösning i heltal.

Att hitta NOC

Den minsta gemensamma multipeln bestäms också genom sekventiell sökning eller nedbrytning till odelbara faktorer. Dessutom är det lätt att hitta LCM om den största divisorn redan är fastställd. För nummer X och Y är LCM och GCD relaterade av följande relation:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Till exempel, om GCM(15,18) = 3, då LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Det mest uppenbara exemplet på att använda LCM är att hitta den gemensamma nämnaren, som är den minsta gemensamma multipeln av givna bråk.

Samprimtal

Om ett talpar inte har några gemensamma divisorer, så kallas ett sådant par coprime. GCD för sådana par är alltid lika med ett, och baserat på kopplingen mellan divisorer och multiplar är LCM för coprime lika med deras produkt. Till exempel är talen 25 och 28 relativt primtal, eftersom de inte har några gemensamma delare, och LCM(25, 28) = 700, vilket motsvarar deras produkt. Alla två odelbara tal kommer alltid att vara relativt primtal.

Gemensam divisor och multipelräknare

Med vår kalkylator kan du beräkna GCD och LCM för ett godtyckligt antal tal att välja mellan. Uppgifter om att beräkna gemensamma divisorer och multipler finns i 5:e och 6:e årskurs aritmetik, men GCD och LCM är nyckelbegrepp i matematik och används inom talteori, planimetri och kommunikativ algebra.

Verkliga exempel

Gemensam nämnare för bråk

Minsta gemensamma multipel används för att hitta den gemensamma nämnaren för flera bråk. Låt oss säga att du i ett aritmetiskt problem måste summera 5 bråk:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

För att lägga till bråk måste uttrycket reduceras till en gemensam nämnare, vilket reducerar till problemet med att hitta LCM. För att göra detta, välj 5 siffror i kalkylatorn och skriv in värdena för nämnare i lämpliga celler. Programmet kommer att beräkna LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu måste du beräkna ytterligare faktorer för varje bråkdel, som definieras som förhållandet mellan LCM och nämnaren. Så de ytterligare multiplikatorerna skulle se ut så här:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Efter detta multiplicerar vi alla bråk med motsvarande tilläggsfaktor och får:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Vi kan enkelt summera sådana bråk och få resultatet till 159/360. Vi minskar bråket med 3 och ser det slutliga svaret - 53/120.

Lösa linjära diofantiska ekvationer

Linjära diofantiska ekvationer är uttryck av formen ax + by = d. Om förhållandet d / gcd(a, b) är ett heltal, är ekvationen lösbar i heltal. Låt oss kolla ett par ekvationer för att se om de har en heltalslösning. Låt oss först kontrollera ekvationen 150x + 8y = 37. Med hjälp av en miniräknare hittar vi GCD (150,8) = 2. Dividera 37/2 = 18,5. Talet är inte ett heltal, därför har ekvationen inte heltalsrötter.

Låt oss kontrollera ekvationen 1320x + 1760y = 10120. Använd en kalkylator för att hitta GCD(1320, 1760) = 440. Dividera 10120/440 = 23. Som ett resultat får vi ett heltal, därför är den diofantina koefficientekvationen löslig i heltal .

Slutsats

GCD och LCM spelar en stor roll i talteorin, och själva begreppen används i stor utsträckning inom en mängd olika områden inom matematiken. Använd vår kalkylator för att räkna största delare och minsta multiplar av valfritt antal tal.

En multipel är ett tal som är delbart med ett givet tal utan rest. Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av en grupp av tal är minsta antal, som är delbart utan rest med varje tal i gruppen. För att hitta den minsta gemensamma multipeln måste du hitta primtalsfaktorerna för givna tal. LCM kan också beräknas med hjälp av ett antal andra metoder som gäller grupper om två eller flera tal.

Steg

Serie av multiplar

Titta på dessa siffror. Metoden som beskrivs här är bäst att använda när de ges två siffror, som vart och ett är mindre än 10. Om större siffror anges, använd en annan metod.

• Hitta till exempel den minsta gemensamma multipeln av 5 och 8. Dessa är små tal, så du kan använda den här metoden.

1. En multipel är ett tal som är delbart med ett givet tal utan rest. Multipler kan hittas i multiplikationstabellen.

   • Till exempel, tal som är multiplar av 5 är: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv ner en serie tal som är multiplar av det första talet. Gör detta under multiplar av det första talet för att jämföra två uppsättningar siffror.

   • Till exempel är tal som är multiplar av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 och 64.

3. Hitta det minsta talet som finns i båda uppsättningarna av multiplar. Du kan behöva skriva långa serier av multiplar för att hitta det totala antalet. Det minsta antalet som finns i båda uppsättningarna av multipler är den minsta gemensamma multipeln.

   • Till exempel är det minsta talet som förekommer i serien av multiplar av 5 och 8 talet 40. Därför är 40 den minsta gemensamma multipeln av 5 och 8.

   Primfaktorisering

   1. Titta på dessa siffror. Metoden som beskrivs här används bäst när de ges två siffror, som var och en är större än 10. Om mindre siffror anges, använd en annan metod.

      • Hitta till exempel den minsta gemensamma multipeln av talen 20 och 84. Vart och ett av talen är större än 10, så du kan använda den här metoden.

   2. Faktorera det första talet i primtalsfaktorer. Det vill säga du måste hitta sådana primtal, när det multipliceras erhålls detta tal. När du har hittat de primära faktorerna, skriv dem som likheter.

      • Till exempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gånger 10=20) Och 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Primfaktorerna för talet 20 är alltså talen 2, 2 och 5. Skriv dem som ett uttryck: .

   3. Faktorisera det andra talet i primtalsfaktorer. Gör detta på samma sätt som du faktoriserade det första talet, det vill säga hitta sådana primtal som, när de multipliceras, ger det givna talet.

      • Till exempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ gånger 6=42) Och 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Primfaktorerna för talet 84 är alltså talen 2, 7, 3 och 2. Skriv dem som ett uttryck: .

   4. Skriv ner de faktorer som är gemensamma för båda siffrorna. Skriv sådana faktorer som en multiplikationsoperation. När du skriver varje faktor, stryk över den i båda uttrycken (uttryck som beskriver faktoriseringar av tal till primtalsfaktorer).

      • Till exempel har båda siffrorna en gemensam faktor 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ gånger ) och stryk över 2 i båda uttrycken.
      • Vad båda siffrorna har gemensamt är ytterligare en faktor 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) och stryk över de andra 2 i båda uttrycken.

   5. Lägg till de återstående faktorerna till multiplikationsoperationen. Detta är faktorer som inte är överstrukna i båda uttrycken, det vill säga faktorer som inte är gemensamma för båda talen.

      • Till exempel i uttrycket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ gånger 2\ gånger 5) Båda tvåorna (2) är överstrukna eftersom de är gemensamma faktorer. Faktorn 5 är inte överstruken, så skriv multiplikationsoperationen så här: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • I uttryck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ gånger 7\ gånger 3\ gånger 2) båda tvåorna (2) är också överstrukna. Faktorerna 7 och 3 är inte överstrukna, så skriv multiplikationsoperationen så här: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ gånger 2\ gånger 5\ gånger 7\ gånger 3).

   6. Beräkna den minsta gemensamma multipeln. För att göra detta, multiplicera talen i den skriftliga multiplikationsoperationen.

      • Till exempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ gånger 2\ gånger 5\ gånger 7\ gånger 3=420). Så den minsta gemensamma multipeln av 20 och 84 är 420.

   Att hitta gemensamma faktorer

   1. Rita ett rutnät som för en omgång tic-tac-toe. Ett sådant rutnät består av två parallella linjer som skär (i rät vinkel) med ytterligare två parallella linjer. Detta kommer att ge dig tre rader och tre kolumner (rutnätet ser mycket ut som #-ikonen). Skriv den första siffran i den första raden och den andra kolumnen. Skriv den andra siffran i första raden och tredje kolumnen.

      • Hitta till exempel den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 18 och 30. Skriv talet 18 i första raden och andra kolumnen och skriv talet 30 i första raden och tredje kolumnen.

   2. Hitta den divisor som är gemensam för båda talen. Skriv ner det i första raden och första kolumnen. Det är bättre att leta efter primära faktorer, men detta är inget krav.

      • Till exempel är 18 och 30 jämna tal, så deras gemensamma faktor är 2. Så skriv 2 i första raden och första kolumnen.

   3. Dividera varje tal med första divisorn. Skriv varje kvot under lämpligt nummer. En kvot är resultatet av att dividera två tal.

      • Till exempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv ner 15 under 30.

   4. Hitta den divisor som är gemensam för båda kvoterna. Om det inte finns någon sådan divisor, hoppa över de nästa två stegen. Annars skriver du divisorn i den andra raden och den första kolumnen.

      • Till exempel är 9 och 15 delbara med 3, så skriv 3 i den andra raden och första kolumnen.

   5. Dela varje kvot med dess andra divisor. Skriv varje divisionsresultat under motsvarande kvot.

      • Till exempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

   6. Om det behövs, lägg till ytterligare celler i rutnätet. Upprepa de beskrivna stegen tills kvoterna har en gemensam divisor.

   7. Ringa in siffrorna i den första kolumnen och sista raden i rutnätet. Skriv sedan de valda talen som en multiplikationsoperation.

      • Till exempel, siffrorna 2 och 3 finns i den första kolumnen, och siffrorna 3 och 5 är i sista raden, så skriv multiplikationsoperationen så här: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Hitta resultatet av att multiplicera tal. Detta kommer att beräkna den minsta gemensamma multipeln av två givna tal.

      • Till exempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ gånger 3\ gånger 3\ gånger 5=90). Så den minsta gemensamma multipeln av 18 och 30 är 90.

   Euklids algoritm

   1. Kom ihåg terminologin förknippad med divisionsoperationen. Utdelningen är antalet som delas. Divisorn är talet som delas med. En kvot är resultatet av att dividera två tal. En rest är talet som finns kvar när två tal delas.

      • Till exempel i uttrycket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 är utdelningen
        6 är en divisor
        2 är kvot
        3 är resten.

Med online-kalkylatorn kan du snabbt hitta den största gemensamma divisorn och minsta gemensamma multipeln för två eller något annat antal tal.

Kalkylator för att hitta GCD och LCM

Hitta GCD och LOC

Hittade GCD och LOC: 5806

Hur man använder kalkylatorn

• Ange siffror i inmatningsfältet
• Om du anger felaktiga tecken kommer inmatningsfältet att markeras i rött
• klicka på knappen "Hitta GCD och LOC".

Hur man anger siffror

• Siffror skrivs in avgränsade med ett mellanslag, punkt eller kommatecken
• Längden på inmatade nummer är inte begränsad, så att hitta GCD och LCM för långa nummer är inte svårt

Vad är GCD och NOC?

Största gemensamma delare flera tal är det största naturliga heltal med vilket alla ursprungliga tal är delbara utan rest. Den största gemensamma divisorn förkortas som GCD.
Minsta gemensamma multipel flera tal är det minsta tal som är delbart med vart och ett av de ursprungliga talen utan rest. Den minsta gemensamma multipeln förkortas som NOC.

Hur kontrollerar man att ett tal är delbart med ett annat tal utan rest?

För att ta reda på om ett tal är delbart med ett annat utan en rest, kan du använda några egenskaper för delbarhet av tal. Sedan, genom att kombinera dem, kan du kontrollera delbarheten för några av dem och deras kombinationer.

Några tecken på delbarhet av tal

1. Delbarhetstest för ett tal med 2
För att avgöra om ett tal är delbart med två (om det är jämnt), räcker det att titta på den sista siffran i detta tal: om det är lika med 0, 2, 4, 6 eller 8, är talet jämnt, vilket betyder att det är delbart med 2.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 2.
Lösning: Vi tittar på den sista siffran: 8 - det betyder att talet är delbart med två.

2. Delbarhetstest för ett tal med 3
Ett tal är delbart med 3 när summan av dess siffror är delbart med tre. För att avgöra om ett tal är delbart med 3 måste du alltså beräkna summan av siffrorna och kontrollera om det är delbart med 3. Även om summan av siffrorna är mycket stor kan du upprepa samma process igen.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 3.
Lösning: Vi räknar summan av talen: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 3, vilket betyder att talet är delbart med tre.

3. Delbarhetstest för ett tal med 5
Ett tal är delbart med 5 när dess sista siffra är noll eller fem.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 5.
Lösning: titta på den sista siffran: 8 betyder att talet INTE är delbart med fem.

4. Delbarhetstest för ett tal med 9
Detta tecken är väldigt likt tecknet för delbarhet med tre: ett tal är delbart med 9 när summan av dess siffror är delbart med 9.
Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 9.
Lösning: Vi räknar summan av talen: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 9, vilket betyder att talet är delbart med nio.

Hur man hittar GCD och LCM med två nummer

Hur man hittar gcd för två nummer

Mest på ett enkelt sätt Att beräkna den största gemensamma delaren av två tal är att hitta alla möjliga delare av dessa tal och välja den största av dem.

Låt oss överväga den här metoden med exemplet att hitta GCD(28, 36):

1. Vi faktoriserar båda talen: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Vi hittar gemensamma faktorer, det vill säga de som båda talen har: 1, 2 och 2.
3. Vi beräknar produkten av dessa faktorer: 1 2 2 = 4 - detta är den största gemensamma delaren av talen 28 och 36.

Hur man hittar LCM för två siffror

Det finns två vanligaste sätt att hitta den minsta multipeln av två tal. Den första metoden är att du kan skriva ner de första multiplerna av två tal, och sedan välja bland dem ett tal som kommer att vara gemensamt för båda talen och samtidigt det minsta. Och det andra är att hitta gcd för dessa siffror. Låt oss bara överväga det.

För att beräkna LCM måste du beräkna produkten av de ursprungliga talen och sedan dividera den med den tidigare hittade GCD. Låt oss hitta LCM för samma nummer 28 och 36:

1. Hitta produkten av siffrorna 28 och 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), som redan känt, är lika med 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Hitta GCD och LCM för flera nummer

Den största gemensamma divisorn kan hittas för flera tal, inte bara två. För att göra detta sönderdelas talen som ska hittas för den största gemensamma divisorn i primtalsfaktorer, sedan hittas produkten av de gemensamma primtalsfaktorerna för dessa tal. Du kan också använda följande relation för att hitta gcd för flera tal: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Ett liknande förhållande gäller för den minsta gemensamma multipeln: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exempel: hitta GCD och LCM för nummer 12, 32 och 36.

1. Låt oss först faktorisera talen: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Låt oss hitta de gemensamma faktorerna: 1, 2 och 2.
3. Deras produkt kommer att ge GCD: 1·2·2 = 4
4. Låt oss nu hitta LCM: för att göra detta, låt oss först hitta LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. För att hitta LCM för alla tre talen måste du hitta GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.