Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.
Insamling och användning av personlig information
Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.
Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.
Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.
Vilken personlig information samlar vi in:
- När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress e-post etc.
Hur vi använder din personliga information:
- Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
- Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
- Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
- Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.
Utlämnande av information till tredje part
Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.
Undantag:
- Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
- I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.
Skydd av personlig information
Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.
Respektera din integritet på företagsnivå
För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.
Vinkel mellan lutande och plan Vinkeln mellan det lutande planet och dess projektion på detta plan kallas. Om en rät linje är parallell med ett plan eller ligger i det, anses vinkeln mellan den räta linjen och planet vara noll. Om en rät linje är vinkelrät mot ett plan, är vinkeln mellan dem per definition lika med `90^@`. Om vektorn "vecn(a;b;c)" är vinkelrät mot planet "alfa", så är vinkeln "varphi" mellan detta plan och den räta linjen "a" som går genom punkterna "A" och "B" bestäms utifrån jämlikheten
`sinvarphi=|cos(vecn,vec(AB))|=|(vecn*vec(AB))/(|vecn|*|vec(AB)|)|`.
Låt kanten på kuben ha längden 'a'. Låt oss introducera ett rektangulärt koordinatsystem med origo i punkt `D` och basen `(vece_1,vece_2,vece_3)`, där vektorerna `vece_1,vece_2,vece_3` har enhetslängder och är samriktade med vektorerna ` vec(DA)", "vec(DC)", "vec(D D_1)" (se fig. 12). I detta koordinatsystem har kubens hörn koordinater: `A(a,0,0)`, `B(a,a,0)`, `C(0,a,0)`, `D(0) ,0,0 )`, `A_1(a,0,a)`, `B_1(a,a,a)`, `C_1(0,a,a)`, `D_1(0,0,a)` .
Riktningsvektorn för den räta linjen `BD_1` är vektorn `vec(BD_1)=(-a,-a,a)`.
Låt oss komponera ekvationen för planet `BC_1D` . Låt det se ut som `a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0`. Detta plan passerar genom tre punkter: `(0, 0, 0)`, `( a, a, 0)` och `(0, a,a)`, ersätter koordinaterna för dessa punkter i planets ekvation och erhåller ett ekvationssystem:
d 1 = 0, a · a 1 + a · b 1 + d 1 = 0, a · b 1 + a · c 1 + d 1 = 0. \left\(\begin(array)(l)d_1=0,\\a\cdot a_1+a\cdot b_1+d_1=0,\\a\cdot b_1+a\cdot c_1+d_1=0.\end (array)\höger.
Vi hittar `a_1=-b_1=c_1`, `d_1=0`. Då kommer ekvationen för detta plan att vara `x-y+z=0`, `vecn=(1,-1,1)`.
Den erforderliga vinkeln är
`sinvarphi=((1*(-a)+(-1)*(-a)+1*a))/(asqrt(1^2+(-1)^2+1^2))=a/ (3a)=1/3`,
dvs `varphi=arcsin 1/3`.
I den geometriska metoden för att hitta vinkeln mellan det lutande `a` och planet `alfa` som skär detta lutande vid någon punkt `O`, välj någon punkt `A` på den räta linjen `a` och sänk vinkelrät `A A^ "` från den till planet `alpha`. Vinkel `AOA^"` kommer att vara den önskade vinkeln mellan linjen `a` och planet `alpha`. För att hitta det kan du använda värdena trigonometriska funktioner skarpa hörn rät triangel`AOA^"` eller cosinussatsen.
Problem 11
I ett regelbundet hexagonalt prisma `A...F_1`, vars alla kanter är lika med `1`, hitta vinkeln mellan den räta linjen `CD_1` och planet `AB B_1`.
Låt `O_1` vara mitten av den övre basen (fig. 13), den räta linjen `O_1H` är vinkelrät mot `A_1B_1`. Den räta linjen `BO_1` är parallell med `CD_1`. Den nödvändiga vinkeln `varphi` lika med vinkel"HBO_1". I den högra triangeln `HBO_1` har vi `BO_1=sqrt2`, `O_1H=(sqrt3)/2`. Därför `sinvarphi=(sqrt6)/4`.
Med hjälp av vektorer hittas vinkeln så här. Låt ett plan `alfa` med en känd bas `(veca,vecb)` ges i rymden, en punkt `A` som ligger i detta plan, och en punkt `M` utanför det, och vektorn `vec(AM)= vecr` antas vara känd (på samma grund). Låt 'N' vara den ortogonala projektionen av punkt 'M' på 'alfa'-planet (fig. 14). Uppgiften är att hitta vinkeln `MAN`. Låt oss representera vektorn `vec(MN)` i formuläret skillnaden mellan vektorerna `vec(AN)` och `vec(AM)`, och sedan, med hjälp av samplanariteten för vektorerna `vec(AN)`, `veca` och `vecb`, skriver vi den i formen ` vec(MN)=xveca+yvecb -vecr`, där `x` och `y` - fortfarande okända siffror. Dessa tal kan hittas från villkoret att vektorn "vec(MN)" är vinkelrät mot vektorerna "veca" och "vecb", dvs från följande ekvationssystem:
Xa → + y b → - r → · a → = 0, x a → + y b → - r → · b → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\överhögerpil a+y\överhögerpil b-\överhögerpil r\höger)\cdot\överhögerpil a=0,\\\vänster(x\överhögerpil a+y \överhögerpil b-\överhögerpil r\höger)\cdot\överhögerpil b=0.\end(array)\höger.
Om `vec(AN)=vec0` är uppenbarligen linjen `AM` vinkelrät mot planet `alfa` , annars `cos/_(AM,alpha)=cos/_(AM,AN)=(|(xveca+yvecb)*vecr|)/(|xveca+yvecb|*|vecr|)`.
Problem 12
I kuben `A...D_1` hitta vinkeln mellan linjen `BD_1` och planet `BC_1D`.
Låt längden på kubens kant vara "a". Låt oss introducera basen `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(D D_1`(Fig. 15). Låt oss beteckna med 'D_2'- ortogonal projektion av punkt `D_1` n och planet "BC_1D". . Sedan `vec(D_1D_2)=x(veca+vecb)+y(vecb+vecc)+veca+vecb-vecc`.
Låt oss skapa ett ekvationssystem för att hitta de okända talen `x` och `y`: x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → a → + b → = 0 , x a → + b → + y b → + c → + a → + b → - c → b → + c → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\left(\överhögerpil a+\överhögerpil b\höger)+y\vänster(\överhögerpil b+\överhögerpil c\höger)+\överhögerpil a+\överhögerpil b- \överhögerpil c\höger)\vänster(\överhögerpil a+\överhögerpil b\höger)=0,\\\vänster(x\vänster(\överhögerpil a+\överhögerpil b\höger)+y\vänster(\överhögerpil b+\överhögerpil c \höger)+\överhögerpil a+\överhögerpil b-\överhögerpil c\höger)\vänster(\överhögerpil b+\överhögerpil c\höger)=0.\end(array)\höger.
Låt oss reducera detta system till ett likvärdigt:
2 x + y + 2 = 0, x + 2 y = 0. \left\(\begin(array)(l)2x+y+2=0,\\x+2y=0.\end(array)\right.
Härifrån hittar vi `x=-4/3`, `y=2/3`. Låt oss nu hitta cosinus för den önskade vinkeln
`cosvarphi=(|vec(D_1B)*vec(BD_2)|)/(|vec(D_1B)|*|vec(BD_2)|)=(|(veca+vecb-vecc)(-4/3veca-2/ 3vecb+2/3vecc)|)/(sqrt((veca+vecb-vecc)^2)*sqrt((-4/3veca-2/3vecb+2/3vecc)^2))=`
`=(8/3 a^2)/(asqrt3*(2sqrt2)/(sqrt3)a)=(2sqrt2)/3`.
Därför `/_(BD_1,BC_1D)=arccos (2sqrt2)/3`.
Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som krävs för att lyckas klara Unified State Exam i matematik för 60-65 poäng. Helt alla problem 1-13 Profil Unified State Examination i matematik. Även lämplig för att klara Basic Unified State Examination i matematik. Om du vill klara Unified State Exam med 90-100 poäng måste du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!
Förberedelsekurs för Unified State Exam för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av Unified State Exam i matematik (de första 12 problemen) och Problem 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Exam, och varken en 100-poängsstudent eller en humaniorastudent kan klara sig utan dem.
All nödvändig teori. Snabba sätt lösningar, fallgropar och hemligheter från Unified State Exam. Alla aktuella uppgifter i del 1 från FIPI Task Bank har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven för Unified State Exam 2018.
Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.
Hundratals Unified State Exam-uppgifter. Ordproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg algoritmer för att lösa problem. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av Unified State Examination uppgifter. Stereometri. Knepiga knep lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från början till problem 13. Förstå istället för att proppa. Tydliga förklaringar av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. En grund för att lösa komplexa problem i del 2 av Unified State Exam.
Konceptet med en vinkel mellan en rät linje och ett plan kan införas för alla relativ position rakt och plant.
Om den räta linjen l är vinkelrät mot planet, anses vinkeln mellan l och vara lika med 90.
Om den räta linjen l är parallell med planet eller ligger i detta plan, anses vinkeln mellan l och vara lika med noll.
Om den räta linjen l lutar mot planet, så är vinkeln mellan l och detta vinkeln "mellan den räta linjen l och dess projektion p på planet (fig. 39).
Ris. 39. Vinkel mellan en rät linje och ett plan
Så låt oss komma ihåg definitionen för detta icke-triviala fall: om en rät linje är lutande, är vinkeln mellan den räta linjen och planet vinkeln mellan denna räta linje
Och dess projektion på ett givet plan.
7.1 Exempel på problemlösning
Låt oss titta på tre uppgifter, ordnade i ökande svårighetsgrad. Den tredje uppgiftsnivån C2 på Unified State Examination i matematik.
Uppgift 1. I en vanlig tetraeder, hitta vinkeln mellan sidokanten och basens plan.
Lösning. Låt ABCD vara en vanlig tetraeder med kanter | ||||||||||
rum a (fig. 40). Låt oss hitta vinkeln mellan AD och planet | ||||||||||
Låt oss rita höjden DH. Projektion av direkt AD på | ||||||||||
plan ABC fungerar som rät linje AH. Därför sökte | ||||||||||
vinkel "är vinkeln mellan linjerna AD och AH. | ||||||||||
Segmentet AH är radien för den beskrivna cirkeln | ||||||||||
runt triangeln ABC: | ||||||||||
AH = sid | ||||||||||
Nu från rät triangel ADH: | ||||||||||
Ris. 40. Till uppgift 1 |
||||||||||
cos "=AD=s | ||||||||||
Svar: arccos sid | ||||||||||
Uppgift 2. I rätt triangulärt prisma ABCA1 B1 C1 sidokant är lika med sidan av basen. Hitta vinkeln mellan linjen AA1 och plan ABC1.
Lösning. Vinkeln mellan den räta linjen och planet kommer inte att förändras om den räta linjen förskjuts parallellt med varandra. Eftersom CC1 är parallell med AA1 är den erforderliga vinkeln vinkeln mellan den räta linjen CC1 och planet ABC1 (fig. 41).
B 1"
Ris. 41. Till uppgift 2
Låt M vara mittpunkten av AB. Låt oss rita höjden CH i triangeln CC1 M. Låt oss visa att CH är vinkelrät mot planet ABC1. För att göra detta måste du presentera två skärande linjer i detta plan, vinkelräta mot CH.
Den första raka linjen är uppenbar - C1 M. Ja, CH ? C1 M av konstruktion.
Den andra raden är AB. I själva verket är projektionen av den lutande CH på planet ABC den räta linjen CM; medan AB ? CM. Av satsen om tre perpendikulära följer då att AB ? CH.
Så CH? ABC1. Därför är vinkeln mellan CC1 och ABC1 " = \CC1 H. Vi hittar värdet på CH från relationen
Cl M CH = CC1 CM
(båda sidorna av detta förhållande är lika med två gånger arean av triangeln CC1 M). Vi har:
CM = a23;
Det återstår att hitta vinkeln ":
Svar: arcsin 3 7 .
ClM =q CC12 + CM2 =r | a2 +4 | |||||||||||||||||
CH = a | ||||||||||||||||||
CH = ar | ||||||||||||||||||
sin " = CH =3 : CC1 7
Uppgift 3. Punkt K tas på kanten A1 B1 av kub ABCDA1 B1 C1 D1 så att A1 K: KB1 = 3: 1. Hitta vinkeln mellan den räta linjen AK och planet BC1 D1.
Lösning. Efter att ha gjort ritningen (fig. 42, vänster) förstår vi att ytterligare konstruktioner behövs.
K B 1 | |||||||||||
Ris. 42. Till uppgift 3 | |||||||||||
Observera först att linjen AB ligger i planet BC1 D1 (eftersom AB k C1 D1 ). För det andra, låt oss rita B1 M parallellt med AK (bild 42, höger). Låt oss också rita B1 C, och låt N vara skärningspunkten mellan B1 C och BC1.
Låt oss visa att den räta linjen B1 C är vinkelrät mot planet BC1 D1. I själva verket:
1) B1C? BC1 (som diagonalerna på en kvadrat);
2) B1C? AB med satsen om tre vinkelräta (AB är trots allt vinkelrät mot den räta linjen BC för projektionen av den lutande B1 C på planet ABC).
Således är B1 C vinkelrät mot två skärande linjer i planet BC1 D1; därför B1C? BC1 D1. Därför projektionen av den räta linjen MB
sin " = B 1 N = 2 2 : B 1 M 5