Kapitel ett.

Extrahera det största heltal från ett givet heltal kvadratrot.

170. Inledande anmärkningar.

A) Eftersom vi kommer att prata om att bara extrahera kvadratroten, för att förkorta talet i det här kapitlet, kommer vi istället för "kvadratrot" att säga helt enkelt "rot".

b) Om vi ​​kvadrerar talen för den naturliga serien: 1,2,3,4,5. . . , då får vi följande tabell med kvadrater: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Uppenbarligen finns det många heltal som inte finns i den här tabellen; Naturligtvis är det omöjligt att extrahera hela roten från sådana siffror. Därför, om du behöver extrahera roten till ett heltal, till exempel. krävs för att hitta √4082, är vi överens om att förstå detta krav enligt följande: extrahera hela roten av 4082, om möjligt; om det inte är möjligt måste vi hitta det största heltal vars kvadrat är 4082 (ett sådant tal är 63, eftersom 63 2 = 3969 och 64 2 = 4090).

V) Om detta tal är mindre än 100, så hittas roten av det med hjälp av multiplikationstabellen; Således skulle √60 vara 7, eftersom sju 7 är lika med 49, vilket är mindre än 60, och åtta 8 är lika med 64, vilket är större än 60.

171. Extrahera roten till ett tal mindre än 10 000 men större än 100. Låt oss säga att vi måste hitta √4082. Eftersom detta tal är mindre än 10 000 är dess rot mindre än √l0 000 = 100. Å andra sidan är detta tal större än 100; detta betyder att roten till det är större än (eller lika med 10). (Om det till exempel var nödvändigt att hitta √ 120 , då även om talet 120 > 100, dock √ 120 är lika med 10, eftersom 11 2 = 121.) Men varje tal som är större än 10 men mindre än 100 har 2 siffror; Detta betyder att den nödvändiga roten är summan:

tiotal + ettor,

och därför måste dess kvadrat vara lika med summan:

Denna summa måste vara den största kvadraten av 4082.

Låt oss ta den största av dem, 36, och anta att kvadraten på tiotalsroten blir lika med exakt denna största kvadrat. Då måste antalet tiotal i roten vara 6. Låt oss nu kontrollera att så alltid ska vara fallet, d.v.s. antalet tiotal i roten är alltid lika med den största heltalsroten av antalet hundra av radikalen.

Faktum är att i vårt exempel kan antalet tiotal av roten inte vara mer än 6, eftersom (7 dec.) 2 = 49 hundra, vilket överstiger 4082. Men det kan inte vara mindre än 6, eftersom 5 dec. (med enheter) är mindre än 6 des., och under tiden (6 des.) 2 = 36 hundra, vilket är mindre än 4082. Och eftersom vi letar efter den största hela roten, bör vi inte ta 5 des för roten, när ens 6 tior inte är många.

Så vi har hittat antalet tiotal i roten, nämligen 6. Vi skriver detta tal till höger om tecknet =, och kommer ihåg att det betyder tiotals av roten. Om vi ​​höjer den vid torget får vi 36 hundra. Vi subtraherar dessa 36 hundra från de 40 hundra i radikaltalet och subtraherar de återstående två siffrorna i detta tal. Resten 482 måste innehålla 2 (6 dec.) (enheter) + (enheter)2. Produkten (6 dec.) (enheter) måste vara tiotal; därför måste den dubbla produkten av tiotal med ettor sökas i tiotalet av resten, d.v.s. i 48 (vi får deras antal genom att separera en siffra till höger i resten av 48 "2). De dubblerade tiotalen av roten utgör 12. Det betyder att om vi multiplicerar 12 med enheterna av roten ( som fortfarande är okända), så bör vi få talet som finns i 48. Därför dividerar vi 48 med 12.

För att göra detta, rita en vertikal linje till vänster om resten och bakom den (gå tillbaka från linjen ett ställe till vänster för det syfte som nu kommer att visas) skriver vi dubbel den första siffran i roten, dvs 12, och dividera 48 med det I kvoten får vi 4.

Vi kan dock inte på förhand garantera att talet 4 kan tas som enheter av roten, eftersom vi nu har dividerat med 12 hela antalet tiotal av resten, medan vissa av dem kanske inte tillhör dubbelprodukten av tiotal med enheter, men är en del av kvadraten av enheter. Därför kan siffran 4 vara stor. Vi måste prova det. Det är självklart lämpligt om summan 2 (6 dec.) 4 + 4 2 inte är mer än resten 482.

Som ett resultat får vi summan av båda på en gång. Den resulterande produkten visade sig vara 496, vilket är större än resten 482; Det betyder att nummer 4 är stort. Sedan ska vi testa nästa mindre nummer 3 på samma sätt.

Exempel.

I exempel 4, när vi dividerar de 47 tiotalen av resten med 4, får vi 11 som en kvot. Men eftersom antalet enheter i roten inte kan vara ett tvåsiffrigt tal 11 eller 10, måste vi direkt testa talet 9.

I exempel 5, efter att ha subtraherat 8 från den första sidan av kvadraten, visar sig resten vara 0, och nästa sida består också av nollor. Detta visar att den önskade roten endast består av 8 tiotal, och därför måste en nolla sättas i stället för ettorna.

172. Extrahera roten till ett tal större än 10 000. Låt oss säga att vi måste hitta √35782. Eftersom radikaltalet överstiger 10 000 är roten av det större än √10000 = 100 och därför består det av 3 siffror eller fler. Oavsett hur många siffror den består av kan vi alltid betrakta den som summan av endast tiotal och ettor. Om till exempel roten visar sig vara 482, så kan vi räkna den som mängden 48 des. + 2 enheter Då kommer kvadraten på roten att bestå av 3 termer:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (enhet) + (enhet) 2 .

Nu kan vi resonera på exakt samma sätt som när vi hittade √4082 (i föregående stycke). Den enda skillnaden är att för att hitta tiotalet av roten av 4082 var vi tvungna att extrahera roten av 40, och detta kunde göras med hjälp av multiplikationstabellen; nu, för att få tiotal√35782, måste vi ta roten av 357, vilket inte kan göras med hjälp av multiplikationstabellen. Men vi kan hitta √357 med den teknik som beskrevs i föregående stycke, eftersom siffran 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Därefter fortsätter vi som vi gjorde när vi hittade √4082, nämligen: till vänster om resten 3382 ritar vi en vertikal linje och bakom den skriver vi (steg ett mellanslag tillbaka från linjen) två gånger antalet tiotal av roten som hittas, dvs 36 (två gånger 18). I resten separerar vi en siffra till höger och dividerar antalet tiotal av resten, d.v.s. 338, med 36. I kvoten får vi 9. Vi testar detta nummer, för vilket vi tilldelar det till 36 till höger och multiplicera med det. Produkten visade sig vara 3321, vilket är mindre än resten. Det betyder att siffran 9 är lämplig, vi skriver det i roten.

I allmänhet, för att extrahera kvadratroten av ett heltal, måste du först extrahera roten av dess hundratal; om detta antal är mer än 100, då måste du leta efter roten till antalet hundratals av dessa hundra, det vill säga av tiotusentals av ett givet tal; om detta nummer är mer än 100, måste du ta roten från antalet hundratals tiotusentals, det vill säga från miljonerna av ett givet tal, etc.

Exempel.

I det sista exemplet, efter att ha hittat den första siffran och subtraherat dess kvadrat, får vi en återstod av 0. Vi subtraherar de nästa 2 siffrorna 51. Om vi ​​separerar tiotalet får vi 5 des, medan den dubbelfunna siffran i roten är 6. Det betyder att från att dividera 5 med 6 får vi 0. Vi sätter 0 på andra plats vid roten och lägger till de två nästa siffrorna till resten. vi får 5110. Sedan fortsätter vi som vanligt.

I det här exemplet består den nödvändiga roten av endast 9 hundra, och därför måste nollor placeras på platserna för tiotals och på platserna för ettor.

Regel. För att extrahera kvadratroten ur ett givet heltal, dividera det från höger hand till vänster, på kanten, 2 siffror vardera, förutom den sista, som kan innehålla en siffra.
För att hitta den första siffran i roten, ta kvadratroten av det första ansiktet.
För att hitta den andra siffran subtraheras kvadraten på den första siffran i roten från den första ytan, den andra siffran tas till resten, och antalet tiotal av det resulterande talet divideras med dubbelt med den första siffran i roten ; det resulterande heltal testas.
Detta test utförs så här: bakom den vertikala linjen (till vänster om resten) skriv två gånger det tidigare hittade numret på roten och till den, med höger sida, den testade siffran tilldelas, det resulterande numret multipliceras med den testade siffran efter denna tillägg. Om resultatet efter multiplikation är ett tal större än resten, är den testade siffran inte lämplig och nästa mindre siffra måste testas.
De nästa siffrorna i roten hittas med samma teknik.
Om, efter att ha demolerat ansiktet, visar sig antalet tiotals av det resulterande antalet vara mindre än divisor, dvs mindre än två gånger den hittade delen av roten, sedan sätter de 0 vid roten, tar bort nästa ansikte och fortsätter handlingen vidare.

173. Antal siffror i roten. Av övervägandet av processen att hitta roten, följer att det finns lika många siffror i roten som det finns ytor med två siffror vardera i radikalnumret (den vänstra ytan kan ha en siffra).

Kapitel två.

Extrahera ungefärliga kvadratrötter av heltal och bråk .

För att extrahera kvadratroten av polynom, se tilläggen till 2:a delen av § 399 ff.

174. Tecken på en exakt kvadratrot. Den exakta kvadratroten ur ett givet tal är ett tal vars kvadrat är exakt lika med det givna talet. Låt oss ange några tecken med vilka man kan bedöma om en exakt rot kan extraheras från ett givet nummer eller inte:

A) Om den exakta helroten inte extraheras från ett givet heltal (resten erhålls när man extraherar), kan den exakta bråkroten inte hittas från ett sådant tal, eftersom varje bråkdel som inte är lika med ett heltal, när det multipliceras med sig själv , producerar också en fraktion i produkten, inte ett heltal.

b) Eftersom roten av ett bråk är lika med roten av täljaren dividerat med roten av nämnaren, kan den exakta roten av ett irreducerbart bråk inte hittas om det inte kan extraheras från täljaren eller nämnaren. Till exempel är det omöjligt att extrahera den exakta roten från bråken 4/5, 8/9 och 11/15, eftersom den i den första bråkdelen inte kan extraheras från nämnaren, i den andra - från täljaren och i tredje - varken från täljaren eller från nämnaren.

Från siffror från vilka den exakta roten inte kan extraheras, kan endast ungefärliga rötter extraheras.

175. Ungefärlig rot exakt till 1. En ungefärlig kvadratrot, exakt inom 1, av ett givet tal (heltal eller bråk, det spelar ingen roll) är ett heltal som uppfyller följande två krav:

1) kvadraten på detta tal är inte större än det givna talet; 2) men kvadraten på detta tal ökat med 1 är större än detta tal. Med andra ord, en ungefärlig kvadratrot exakt 1 är den största heltalskvadratroten av ett givet tal, det vill säga roten som vi lärde oss att hitta i föregående kapitel. Denna rot kallas ungefärlig till inom 1, eftersom för att få en exakt rot, måste vi lägga till någon bråkdel mindre än 1 till denna ungefärliga rot, så om vi istället för den okända exakta roten tar denna ungefärliga, kommer vi att göra ett fel mindre än 1.

Regel. För att extrahera en ungefärlig kvadratrot exakt inom 1, måste du extrahera den största heltalsroten av heltalsdelen av det givna talet.

Antalet som hittas av denna regel är en ungefärlig rot med en nackdel , eftersom den saknar den exakta roten av en viss bråkdel (mindre än 1). Om vi ​​ökar denna rot med 1 får vi ett annat tal där det finns något överskott över den exakta roten, och detta överskott är mindre än 1. Denna rot ökat med 1 kan också kallas en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1, men med ett överskott. (Namnen: "med brist" eller "med överskott" i vissa matematiska böcker ersätts med andra likvärdiga: "av brist" eller "med överskott.")

176. Ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/10. Låt oss säga att vi måste hitta √2,35104 med en noggrannhet på 1/10. Det betyder att du måste hitta ett decimaltal som skulle bestå av hela enheter och tiondelar och som skulle uppfylla följande två krav:

1) kvadraten på denna bråkdel överstiger inte 2,35104, men 2) om vi ökar den med 1/10, så överstiger kvadraten av denna bråkdel 2,35104.

För att hitta en sådan bråkdel hittar vi först en ungefärlig rot exakt till 1, det vill säga vi extraherar roten endast från heltal 2. Vi får 1 (och resten är 1). Vi skriver siffran 1 i roten och sätter ett kommatecken efter det. Nu ska vi leta efter antalet tiondelar. För att göra detta tar vi ner siffrorna 35 till höger om decimalkomma till rest 1 och fortsätter extraheringen som om vi extraherar roten av heltal 235. Vi skriver det resulterande talet 5 i roten i stället för tiondelar. Vi behöver inte de återstående siffrorna i radikalnumret (104). Att det resulterande talet 1,5 faktiskt kommer att vara en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/10 framgår av följande. Om vi ​​skulle hitta den största heltalsroten av 235 med en noggrannhet på 1, skulle vi få 15. Så:

15 2 < 235, men 16 2 >235.

Om vi ​​dividerar alla dessa tal med 100 får vi:

Så siffran 1,5 är det decimal, som vi kallade en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/10.

Med denna teknik kan vi också hitta följande ungefärliga rötter med en noggrannhet på 0,1:

177. Ungefärlig kvadratrot inom 1/100 till 1/1000 osv.

Antag att vi måste hitta ett ungefärligt √248 med en noggrannhet på 1/100. Det betyder: hitta ett decimalbråk som skulle bestå av hela, tiondelar och hundradelar och som skulle uppfylla två krav:

1) dess kvadrat överstiger inte 248, men 2) om vi ökar denna bråkdel med 1/100, så överstiger kvadraten av denna ökade bråkdel 248.

Vi kommer att hitta ett sådant bråk i följande sekvens: först hittar vi hela talet, sedan tiondelssiffran, sedan hundradelssiffran. Roten till ett heltal är 15 heltal. För att få antalet tiondelar, som vi har sett, måste du lägga till 23 ytterligare 2 siffror till höger om decimalkomma. I vårt exempel är dessa siffror inte närvarande alls, vi sätter nollor i deras ställe. Genom att lägga till dem till resten och fortsätta som om vi skulle hitta roten till heltal 24 800, hittar vi tiondelssiffran 7. Det återstår att hitta hundradelssiffran. För att göra detta lägger vi till ytterligare 2 nollor till resten 151 och fortsätter extraheringen, som om vi skulle hitta roten till heltal 2 480 000. Vi får 15,74. Att detta tal verkligen är en ungefärlig rot av 248 med en noggrannhet på 1/100 framgår av följande. Om vi ​​skulle hitta den största heltalskvadratroten av heltalet 2 480 000 skulle vi få 1574; Medel:

1574 2 < 2,480,000, men 1575 2 > 2,480,000.

Om vi ​​dividerar alla tal med 10 000 (= 100 2) får vi:

Det betyder att 15,74 är det decimaltal som vi kallade en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/100 av 248.

Genom att tillämpa denna teknik för att hitta en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/1000 till 1/10000, etc., finner vi följande.

Regel. För att extrahera detta heltal eller från ett givet decimaltal en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1/10 till 1/100 till 1/100, etc., hitta först en ungefärlig rot med en noggrannhet på 1, extrahera roten från heltal (om den inte är det där, skriv om roten 0 hela).

Sedan hittar de antalet tiondelar. För att göra detta, lägg till två siffror av radikalnumret till höger om decimaltecknet till resten (om de inte finns där, lägg till två nollor till resten), och fortsätt extraheringen som görs när du extraherar en rot från ett heltal. Det resulterande talet skrivs i roten i stället för tiondelar.

Hitta sedan hundradelstalet. För att göra detta läggs två nummer till höger om de som just togs bort till resten osv.

Sålunda, när man extraherar roten av ett heltal med ett decimaltal, är det nödvändigt att dela upp två siffror vardera i ytor, med början från decimalkomma, både till vänster (i heltalsdelen av talet) och till höger (i talet). bråkdelen).

Exempel.

1) Hitta upp till 1/100 rötter: a) √2; b) √0,3;

I det sista exemplet konverterade vi bråket 3/7 till en decimal genom att beräkna 8 decimaler för att bilda de 4 ytorna som behövs för att hitta rotens 4 decimaler.

178. Beskrivning av kvadratrotstabellen. I slutet av denna bok finns en tabell med kvadratrötter beräknade med fyra siffror. Med den här tabellen kan du snabbt hitta kvadratroten ur ett heltal (eller decimalbråk) som uttrycks med högst fyra siffror. Innan vi förklarar hur denna tabell är uppbyggd, noterar vi att vi alltid kan hitta den första signifikanta siffran i den önskade roten utan hjälp av tabeller genom att bara titta på det radikala talet; vi kan också enkelt bestämma vilken decimal den första siffran i roten betyder och därför, var i roten, när vi hittar dess siffror, måste vi sätta ett kommatecken. Här är några exempel:

1) √5"27,3 . Den första siffran kommer att vara 2, eftersom den vänstra sidan av radikalnumret är 5; och roten av 5 är lika med 2. Dessutom, eftersom det i heltalets del av radikalen bara finns 2 ytor, måste det i heltalsdelen av den önskade roten finnas 2 siffror och därför måste dess första siffra 2 betyder tiotal.

2) √9,041. Uppenbarligen kommer den första siffran i denna rot att vara 3 primtalsenheter.

3) √0,00"83"4. Första betydande siffraär 9, eftersom ytan från vilken roten skulle behöva tas för att erhålla den första signifikanta siffran är 83, och roten av 83 är 9. Eftersom det nödvändiga talet inte kommer att innehålla varken heltal eller tiondelar, måste den första siffran 9 betyder hundradelar.

4) √0,73"85. Den första signifikanta siffran är 8 tiondelar.

5) √0,00"00"35"7. Den första signifikanta siffran kommer att vara 5 tusendelar.

Låt oss göra en anmärkning till. Låt oss anta att vi behöver extrahera roten till ett tal som, efter att ha förkastat det upptagna ordet i det, representeras av en serie tal så här: 5681. Denna rot kan vara en av följande:

Om vi ​​tar rötterna som vi understryker med en rad, så kommer de alla att uttryckas av samma serie av tal, exakt de siffror som erhålls när man extraherar roten från 5681 (detta kommer att vara talen 7, 5, 3, 7 ). Anledningen till detta är att sidorna som radikaltalet måste delas in i när man ska hitta siffrorna i roten kommer att vara desamma i alla dessa exempel, därför kommer siffrorna för varje rot att vara desamma (endast positionen för decimalen punkt kommer naturligtvis att vara annorlunda). På samma sätt, i alla rötter understrukna av oss med två rader, bör vi få samma siffror, just de som √568.1 uttrycks med (dessa siffror kommer att vara 2, 3, 8, 3), och av samma anledning. Således kommer siffrorna i rötterna för talen som representeras (genom att släppa kommatecken) av samma rad med siffror 5681 vara av två (och endast två) slag: antingen är detta raden 7, 5, 3, 7, eller rad 2, 3, 8, 3. Detsamma kan naturligtvis sägas om alla andra nummerserier. Därför, som vi nu kommer att se, i tabellen, motsvarar varje rad med siffror i radikalnumret 2 rader med siffror för rötterna.

Nu kan vi förklara tabellens struktur och hur man använder den. För tydlighetens förklaring har vi visat början på den första sidan i tabellen här.

Denna tabell finns på flera sidor. På var och en av dem, i den första kolumnen till vänster, placeras siffrorna 10, 11, 12... (upp till 99). Dessa siffror uttrycker de två första siffrorna i talet från vilket kvadratroten söks. I den övre horisontella linjen (liksom i den nedre) finns siffrorna: 0, 1, 2, 3... 9, som representerar den 3:e siffran i detta nummer, och sedan längre till höger finns siffrorna 1, 2, 3. . . 9, representerar den fjärde siffran i detta nummer. Alla andra horisontella linjer innehåller två fyrsiffriga tal som uttrycker kvadratrötterna av motsvarande tal.

Anta att du behöver hitta kvadratroten ur något tal, antingen ett heltal eller uttryckt som ett decimaltal. Först och främst hittar vi, utan hjälp av tabeller, den första siffran i roten och dess siffra. Då slänger vi kommatecken i detta nummer, om det finns ett. Låt oss först anta att efter att kommatecken har slängts återstår till exempel endast 3 siffror. 114. Vi hittar i tabellerna i kolumnen längst till vänster de första 2 siffrorna, d.v.s. 11, och flyttar oss från dem till höger längs den horisontella linjen tills vi når den vertikala kolumnen, vars överkant (och botten) är den 3:e siffran. av talet , d.v.s. 4. På denna plats hittar vi två fyrsiffriga tal: 1068 och 3376. Vilket av dessa två tal ska tas och var man ska placera kommatecken i det, detta bestäms av den första siffran i roten och dess siffra, som vi hittade tidigare. Så, om vi behöver hitta √0,11"4, är den första siffran i roten 3 tiondelar, och därför måste vi ta 0,3376 för roten. Om vi ​​behövde hitta √1,14, så skulle den första siffran i roten vara 1, och vi Då skulle vi ta 1,068.

På så sätt kan vi enkelt hitta:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, etc.

Låt oss nu anta att vi måste hitta roten till ett tal uttryckt (genom att ta bort decimaltecknet) med 4 siffror, till exempel √7"45.6. Notera att den första siffran i roten är 2 tiotal, hittar vi för nummer 745, som nu har förklarats, siffrorna 2729 (vi märker bara detta nummer med vårt finger, men skriver inte ner det. Sedan flyttar vi oss längre till höger från detta nummer tills på höger sida av bordet (bakom). den sista fetstilta raden) möter vi den vertikala kolumnen som är markerad överst (och botten) 4. den:e siffran i detta nummer, dvs siffran 6, och hittar siffran 1 där. Detta kommer att vara ett tillägg som måste tillämpas (i sinnet) till det tidigare hittade talet 2729. Vi skriver ner detta tal och sätter ett kommatecken i det på rätt plats: 27.30.

På så sätt hittar vi till exempel:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, etc.

Om det radikala talet uttrycks med endast en eller två siffror, så kan vi anta att det finns en eller två nollor efter dessa siffror, och sedan fortsätta som förklarat för ett tresiffrigt tal. Till exempel, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 osv.

Slutligen, om det radikala talet uttrycks med mer än 4 siffror, kommer vi bara att ta de första 4 av dem och kassera resten, och för att minska felet, om den första av de kasserade siffrorna är 5 eller fler än 5, då kommer vi att öka med l den fjärde av de bibehållna siffrorna. Så:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; etc.

Kommentar. Tabellerna anger den ungefärliga kvadratroten, ibland med en brist, ibland med ett överskott, nämligen den av dessa ungefärliga rötter som kommer närmare den exakta roten.

179. Extrahera kvadratrötter från vanliga bråk. Den exakta kvadratroten ur en irreducerbar bråkdel kan bara extraheras när båda termerna i bråket är exakta kvadrater. I det här fallet räcker det att extrahera roten av täljaren och nämnaren separat, till exempel:

Den ungefärliga kvadratroten av ett vanligt bråk med viss decimalprecision kan enklast hittas om vi först vänder vanlig bråkdel till en decimal, beräkna i denna bråkdel antalet decimaler efter decimalkomma som skulle vara två gånger antalet decimaler i den önskade roten.

Du kan dock göra det annorlunda. Låt oss förklara detta med följande exempel:

Hitta ungefärlig √ 5 / 24

Låt oss göra nämnaren till en exakt kvadrat. För att göra detta skulle det räcka att multiplicera bråkets båda termer med nämnaren 24; men i det här exemplet kan du göra det annorlunda. Låt oss dekomponera 24 i primtalsfaktorer: 24 = 2 2 2 3. Från denna nedbrytning är det tydligt att om 24 multipliceras med 2 och ytterligare 3, så kommer varje enkel faktor att upprepas ett jämnt antal gånger i produkten, och därför , kommer nämnaren att bli en kvadrat:

Det återstår att beräkna √30 med viss noggrannhet och dividera resultatet med 12. Man måste komma ihåg att dividering med 12 också minskar bråket som anger graden av noggrannhet. Så om vi hittar √30 med en noggrannhet på 1/10 och dividerar resultatet med 12, får vi en ungefärlig rot av bråket 5/24 med en noggrannhet på 1/120 (nämligen 54/120 och 55/120)

Kapitel tre.

Graf över en funktionx = √y .

180. Omvänd funktion. Låt någon ekvation ges som avgör på som en funktion av X till exempel så här: y = x 2 . Vi kan säga att det inte bara avgör på som en funktion av X , men också, omvänt, bestämmer X som en funktion av på , om än på ett underförstått sätt. För att göra denna funktion explicit måste du lösa given ekvation relativt X , tar på för ett känt nummer; Så från ekvationen vi tog finner vi: y = x 2 .

Algebraiskt uttryck, som erhålls för x efter att ha löst ekvationen som bestämmer y som funktion av x, kallas den inversa funktionen av den som bestämmer y.

Funktionen alltså x = √y invers funktion y = x 2 . Om vi, som brukligt, betecknar den oberoende variabeln X , och den beroende på , då kan den nu erhållna inversa funktionen uttryckas på följande sätt: y = √ x . För att erhålla en funktion invers till en given (direkt) är det alltså nödvändigt att härleda från ekvationen som definierar denna givna funktion X beroende på y och i det resulterande uttrycket ersätt y på x , A X på y .

181. Graf över en funktion y = √ x . Denna funktion är inte möjlig med negativt värde X , men det är möjligt att beräkna det (med valfri noggrannhet) för alla positivt värde x , och för varje sådant värde får funktionen två olika betydelser med samma absoluta värde, men med motsatta tecken. Om du är bekant √ Om vi ​​bara betecknar det aritmetiska värdet av kvadratroten, kan dessa två värden på funktionen uttryckas på följande sätt: y= ± √ x För att rita en graf över denna funktion måste du först sammanställa en tabell med dess värden. Det enklaste sättet att skapa den här tabellen är från tabellen med direkta funktionsvärden:

y = x 2 .

x

y

om värdena på ta som värderingar X , och vice versa:

y= ± √ x

Genom att plotta alla dessa värden på ritningen får vi följande graf.

I samma ritning avbildade vi (med en streckad linje) grafen för den direkta funktionen y = x 2 . Låt oss jämföra dessa två grafer med varandra.

182. Förhållandet mellan graferna för direkta och inversa funktioner. Att sammanställa en värdetabell för den inversa funktionen y= ± √ x vi tog för X de siffror som finns i tabellen för direktfunktionen y = x 2 fungerat som värden för på , och för på tog de siffrorna; som i denna tabell var värdena för x . Det följer av detta att båda graferna är desamma, endast grafen för den direkta funktionen är så placerad i förhållande till axeln på - hur grafen för den inversa funktionen är placerad i förhållande till axeln X - ov. Som ett resultat, om vi böjer ritningen runt en rak linje OA dela en rät vinkel xOy , så att den del av ritningen som innehåller halvaxeln Åh , föll på den del som innehåller axelaxeln Åh , Det Åh kompatibel med Åh , alla divisioner Åh kommer att sammanfalla med uppdelningar Åh , och parabelpunkter y = x 2 kommer att justeras med motsvarande punkter på grafen y= ± √ x . Till exempel poäng M Och N , vars ordinat 4 , och abskissorna 2 Och - 2 , kommer att sammanfalla med punkterna M" Och N" , för vilken abskissan 4 , och ordinaterna 2 Och - 2 . Om dessa punkter sammanfaller betyder det att de räta linjerna MM" Och NN" vinkelrätt mot OA och dela denna raka linje på mitten. Detsamma kan sägas för alla andra motsvarande punkter i båda graferna.

Sålunda bör grafen för den inversa funktionen vara densamma som grafen för den direkta funktionen, men dessa grafer är placerade på olika sätt, nämligen symmetriskt med varandra i förhållande till vinkelns bisektris xOy . Vi kan säga att grafen för den inversa funktionen är en reflektion (som i en spegel) av grafen för den direkta funktionen i förhållande till vinkelns bisektrik xOy .

Låt oss titta på denna algoritm med ett exempel. Vi hittar

1:a steget. Vi delar upp numret under roten i tvåsiffriga ansikten (från höger till vänster):

2:a steget. Vi tar kvadratroten av det första ansiktet, det vill säga från talet 65 får vi talet 8. Under det första ansiktet skriver vi kvadraten av talet 8 och subtraherar. Vi tilldelar det andra ansiktet (59) till resten:

(nummer 159 är den första återstoden).

3:e steget. Dubbla den hittade roten och skriv resultatet till vänster:

4:e steget. Vi separerar en siffra till höger i resten (159), och till vänster får vi antalet tior (det är lika med 15). Sedan dividerar vi 15 med dubbelt den första siffran i roten, dvs med 16, eftersom 15 inte är delbart med 16, resulterar kvoten i noll, som vi skriver som den andra siffran i roten. Så i kvoten fick vi talet 80, som vi dubblar igen och tar bort nästa kant

(talet 15 901 är den andra resten).

5:e steget. I den andra återstoden separerar vi en siffra från höger och dividerar det resulterande talet 1590 med 160. Vi skriver resultatet (nummer 9) som den tredje siffran i roten och adderar den till talet 160. Vi multiplicerar det resulterande talet 1609 med 9 och hitta nästa rest (1420):

I ytterligare åtgärder utförs i den sekvens som anges i algoritmen (roten kan extraheras med den grad av noggrannhet som krävs).

Kommentar. Om det radikala uttrycket är ett decimalbråk, är hela dess del uppdelad i kanter av två siffror från höger till vänster, bråkdelen - två siffror från vänster till höger, och roten extraheras enligt den angivna algoritmen.

DIDAKTISKT MATERIAL

1. Ta kvadratroten ur talet: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Ganska ofta, när vi löser problem, ställs vi inför ett stort antal som vi behöver extrahera kvadratrot. Många elever bestämmer sig för att detta är ett misstag och börjar lösa hela exemplet igen. Under inga omständigheter bör du göra detta! Det finns två anledningar till detta:

1. Rötter av stora antal dyker upp i problem. Speciellt i text;
2. Det finns en algoritm med vilken dessa rötter beräknas nästan muntligt.

Vi kommer att överväga denna algoritm idag. Kanske kommer vissa saker att verka obegripliga för dig. Men om du uppmärksammar denna lektion kommer du att få ett kraftfullt vapen mot kvadratrötter.

Så, algoritmen:

1. Begränsa den nödvändiga roten ovanför och under till tal som är multiplar av 10. Därför kommer vi att minska sökintervallet till 10 tal;
2. Från dessa 10 nummer, sålla bort de som definitivt inte kan vara rötter. Som ett resultat kommer 1-2 nummer att återstå;
3. Kvadra dessa 1-2 siffror. Den vars kvadrat är lika med det ursprungliga talet kommer att vara roten.

Innan vi använder denna algoritm i praktiken, låt oss titta på varje enskilt steg.

Rotbegränsning

Först och främst måste vi ta reda på mellan vilka tal vår rot ligger. Det är mycket önskvärt att talen är multiplar av tio:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Vi får en serie siffror:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Vad säger dessa siffror oss? Det är enkelt: vi får gränser. Ta till exempel talet 1296. Det ligger mellan 900 och 1600. Därför kan dess rot inte vara mindre än 30 och större än 40:

[Bildtext till bilden]

Samma sak gäller för alla andra tal som du kan hitta kvadratroten från. Till exempel, 3364:

[Bildtext till bilden]

Istället för ett obegripligt tal får vi alltså ett mycket specifikt område där den ursprungliga roten ligger. För att ytterligare begränsa sökområdet, gå vidare till det andra steget.

Eliminerar uppenbarligen onödiga siffror

Så vi har 10 nummer - kandidater för roten. Vi fick dem väldigt snabbt, utan komplext tänkande och multiplikation i en kolumn. Det är dags att gå vidare.

Tro det eller ej, vi kommer nu att minska antalet kandidatnummer till två – igen utan några komplicerade beräkningar! Tillräckligt att veta särskild regel. Här är den:

Den sista siffran i kvadraten beror bara på den sista siffran originalnummer.

Med andra ord, titta bara på den sista siffran i kvadraten så förstår vi omedelbart var det ursprungliga numret slutar.

Det finns bara 10 siffror som kan komma på sista plats. Låt oss försöka ta reda på vad de blir till när de är kvadratiska. Ta en titt på tabellen:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Denna tabell är ytterligare ett steg mot att beräkna roten. Som du kan se visade sig siffrorna på den andra raden vara symmetriska i förhållande till femman. Till exempel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Som du kan se är den sista siffran densamma i båda fallen. Det betyder att till exempel roten till 3364 måste sluta på 2 eller 8. Däremot minns vi begränsningen från föregående stycke. Vi får:

[Bildtext till bilden]

Röda rutor indikerar att vi ännu inte känner till denna siffra. Men roten ligger i intervallet från 50 till 60, där det bara finns två tal som slutar på 2 och 8:

[Bildtext till bilden]

Det är det! Av alla möjliga rötter lämnade vi bara två alternativ! Och detta är i det svåraste fallet, eftersom den sista siffran kan vara 5 eller 0. Och då blir det bara en kandidat för rötterna!

Slutliga beräkningar

Så vi har 2 kandidatnummer kvar. Hur vet du vilken som är roten? Svaret är uppenbart: kvadrera båda siffrorna. Den som kvadrerat ger det ursprungliga talet blir roten.

Till exempel, för talet 3364 hittade vi två kandidatnummer: 52 och 58. Låt oss kvadrera dem:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Det är det! Det visade sig att roten är 58! För att förenkla beräkningarna använde jag samtidigt formeln för kvadraterna på summan och skillnaden. Tack vare detta behövde jag inte ens multiplicera siffrorna i en kolumn! Detta är en annan nivå av optimering av beräkningar, men det är naturligtvis helt valfritt :)

Exempel på beräkning av rötter

Teori är förstås bra. Men låt oss kolla det i praktiken.

[Bildtext till bilden]

Låt oss först ta reda på mellan vilka siffror talet 576 ligger:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Låt oss nu titta på den sista siffran. Det är lika med 6. När händer detta? Endast om roten slutar på 4 eller 6. Vi får två tal:

Allt som återstår är att kvadrera varje nummer och jämföra det med originalet:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Stor! Den första kvadraten visade sig vara lika med det ursprungliga numret. Så detta är roten.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadra den:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Här är svaret: 37.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

Vi begränsar antalet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadra den:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Vi fick svaret: 52. Den andra siffran behöver inte längre kvadratiseras.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

Vi begränsar antalet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

4225 → 5;
65.

Som du kan se finns det bara ett alternativ kvar efter det andra steget: 65. Detta är den önskade roten. Men låt oss ändå räta upp det och kontrollera:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Allt är korrekt. Vi skriver ner svaret.

Slutsats

Ack, inte bättre. Låt oss titta på orsakerna. Det finns två av dem:

• I alla vanliga matematikprov, vare sig det är State Examination eller Unified State Exam, är användningen av miniräknare förbjuden. Och om du tar med en miniräknare till klassen kan du lätt bli utslängd från tentan.
• Var inte som dumma amerikaner. Som inte bara är rötter – de är två primtal De kan inte vika den. Och när de ser fraktioner blir de i allmänhet hysteriska.

Elever frågar alltid: "Varför kan jag inte använda en miniräknare i matematikprovet? Hur extraherar man kvadratroten ur ett tal utan en miniräknare? Låt oss försöka svara på denna fråga.

Hur extraherar man kvadratroten ur ett tal utan hjälp av en miniräknare?

Handling kvadratrot omvänt till kvadreringens verkan.

√81= 9 9 2 =81

Om från positivt tal ta kvadratroten och kvadrera resultatet, vi får samma tal.

Av små tal som är perfekta rutor naturliga tal t.ex. 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratrötter kan extraheras oralt. Vanligtvis i skolan lär de ut en tabell med kvadrater med naturliga tal upp till tjugo. Genom att känna till den här tabellen är det lätt att extrahera kvadratrötter från talen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Från siffror större än 400 kan du extrahera dem med hjälp av urvalsmetoden med hjälp av några tips. Låt oss försöka titta på denna metod med ett exempel.

Exempel: Extrahera roten till talet 676.

Vi märker att 20 2 = 400 och 30 2 = 900, vilket betyder 20< √676 < 900.

Exakta kvadrater av naturliga tal slutar på 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Siffran 6 ges av 4 2 och 6 2.
Det betyder att om roten är hämtad från 676 så är den antingen 24 eller 26.

Det återstår att kontrollera: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √676 = 26 .

Mer exempel: √6889 .

Eftersom 80 2 = 6400 och 90 2 = 8100, sedan 80< √6889 < 90.
Siffran 9 ges av 3 2 och 7 2, då är √6889 lika med antingen 83 eller 87.

Låt oss kontrollera: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83 .

Om du tycker att det är svårt att lösa med urvalsmetoden kan du faktorisera det radikala uttrycket.

Till exempel, hitta √893025.

Låt oss faktorisera siffran 893025, kom ihåg att du gjorde detta i sjätte klass.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mer exempel: √20736. Låt oss faktorisera antalet 20736:

Vi får √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktorisering kräver förstås kunskap om delbarhetstecken och faktoriseringsfärdigheter.

Och slutligen finns det regel för att extrahera kvadratrötter. Låt oss bekanta oss med denna regel med exempel.

Beräkna √279841.

För att extrahera roten till ett flersiffrigt heltal delar vi det från höger till vänster i ytor som innehåller 2 siffror (kanten längst till vänster kan innehålla en siffra). Vi skriver det så här: 27’98’41

För att få den första siffran i roten (5) tar vi kvadratroten från den största perfekta kvadraten som finns i den första sidan till vänster (27).
Sedan subtraheras kvadraten på den första siffran i roten (25) från den första sidan och nästa sida (98) läggs till skillnaden (subtraheras).
Till vänster om det resulterande talet 298, skriv dubbelsiffran i roten (10), dividera med den numret av alla tiotal av det tidigare erhållna talet (29/2 ≈ 2), testa kvoten (102 ∙2 = 204 bör inte vara mer än 298) och skriv (2) efter den första siffran i roten.
Sedan subtraheras den resulterande kvoten 204 från 298 och nästa kant (41) adderas till skillnaden (94).
Till vänster om det resulterande talet 9441, skriv dubbelprodukten av siffrorna i roten (52 ∙2 = 104), dividera talet av alla tiotal av talet 9441 (944/104 ≈ 9) med denna produkt, testa kvoten (1049 ∙9 = 9441) ska vara 9441 och skriv ner den (9) efter den andra siffran i roten.

Vi fick svaret √279841 = 529.

Extrahera på liknande sätt rötter av decimalbråk. Endast det radikala talet måste delas upp i ansikten så att kommatecken står mellan ansiktena.

Exempel. Hitta värdet √0,00956484.

Kom bara ihåg att om ett decimalbråk har ett udda antal decimaler, kan kvadratroten inte tas från det.

Så nu har du sett tre sätt att extrahera roten. Välj den som passar dig bäst och träna. För att lära dig att lösa problem måste du lösa dem. Och om du har några frågor, .

blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.

I förordet till sin första upplaga "I uppfinningsrikedomen" (1908) skriver E. I. Ignatiev: "... intellektuellt initiativ, kvickhet och "uppfinnsamhet" kan inte "borras" i någons huvud. Resultaten är tillförlitliga endast när introduktionen till området matematisk kunskap görs på ett enkelt och trevligt sätt, med hjälp av föremål och exempel från vanliga och vardagliga situationer, valda med lämplig kvickhet och underhållning.”

I förordet till 1911 års upplaga "Minnets roll i matematiken" E.I. Ignatiev skriver "... i matematik är det inte formlerna som ska komma ihåg, utan tankeprocessen."

För att extrahera kvadratroten finns det tabeller med kvadrater för tvåsiffriga tal du kan faktorisera talet till primtalsfaktorer och extrahera kvadratroten av produkten. En tabell med kvadrater räcker ibland inte att extrahera roten genom att faktorisera är en tidskrävande uppgift, som inte heller alltid leder till det önskade resultatet. Testa att ta kvadratroten av 209764? Att inkludera primfaktorer ger produkten 2*2*52441. Genom att prova och missa, urval - detta kan naturligtvis göras om du är säker på att detta är ett heltal. Metoden jag vill föreslå låter dig ta kvadratroten i alla fall.

En gång i tiden på institutet (Perm State Pedagogical Institute) introducerades vi för denna metod, som jag nu vill prata om. Jag undrade aldrig om den här metoden hade ett bevis, så nu var jag tvungen att härleda en del av bevisen själv.

Grunden för denna metod är sammansättningen av talet =.

=&, dvs. & 2 =596334.

1. Dela talet (5963364) i par från höger till vänster (5`96`33`64)

2. Extrahera kvadratroten från den första gruppen till vänster ( - nummer 2). Så här får vi den första siffran i &.

3. Hitta kvadraten på den första siffran (2 2 =4).

4. Hitta skillnaden mellan den första gruppen och kvadraten på den första siffran (5-4=1).

5. Vi tar ner de nästa två siffrorna (vi får talet 196).

6. Dubbla den första siffran vi hittade och skriv den till vänster bakom raden (2*2=4).

7. Nu måste vi hitta den andra siffran i talet &: dubbla den första siffran vi hittade blir tiotalssiffran i talet, som när du multipliceras med antalet ettor måste du få ett tal mindre än 196 (detta är siffran 4, 44*4=176). 4 är den andra siffran i &.

8. Hitta skillnaden (196-176=20).

9. Vi river nästa grupp (vi får numret 2033).

10. Dubbla siffran 24, vi får 48.

Det finns 11,48 tiotal i ett tal, multiplicerat med antalet ettor bör vi få ett tal mindre än 2033 (484*4=1936). Ensiffran vi hittade (4) är den tredje siffran i numret &.

Jag har gett bevis för följande fall:

1. Extrahera kvadratroten ur ett tresiffrigt tal;

2. Extrahera kvadratroten ur ett fyrsiffrigt tal.

Ungefärliga metoder för att extrahera kvadratrötter (utan att använda en miniräknare).

1. De gamla babylonierna använde följande metod för att hitta det ungefärliga värdet av kvadratroten av deras tal x. De representerade talet x som summan a 2 + b, där a 2 är den exakta kvadraten på det naturliga talet a (a 2 ? x) närmast talet x, och använde formeln . (1)

Med formeln (1) extraherar vi kvadratroten, till exempel från talet 28:

Resultatet av att extrahera roten till 28 med MK är 5.2915026.

Som du kan se ger den babyloniska metoden en bra uppskattning av rotens exakta värde.

2. Isaac Newton utvecklade en metod för att ta kvadratrötter som går tillbaka till Heron of Alexandria (cirka 100 e.Kr.). Denna metod (känd som Newtons metod) är som följer.

Låta en 1- den första approximationen av ett tal (som en 1 kan du ta värdena av kvadratroten ur ett naturligt tal - en exakt kvadrat som inte överstiger X).

Nästa, mer exakt uppskattning en 2 tal hittas av formeln .