/

The Comprehensive Guide (2019). Kvadratiska ojämlikheter

Metoden med intervall anses med rätta vara en universell metod för att lösa ojämlikheter. Det är det enklaste att använda för att lösa kvadratiska olikheter i en variabel. I detta material kommer vi att överväga alla aspekter av att använda intervallmetoden för att lösa kvadratiska ojämlikheter. För att göra materialet lättare att förstå ska vi titta på stort antal exempel varierande grad komplexitet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm för att tillämpa intervallmetoden

Låt oss överväga en algoritm för att använda intervallmetoden i en anpassad version, som är lämplig för att lösa kvadratiska ojämlikheter. Det är denna version av intervallmetoden som eleverna introduceras för på algebralektionerna. Låt oss inte komplicera uppgiften heller.

Låt oss gå vidare till själva algoritmen.

Vi har det kvadratiska trinomiet a · x 2 + b · x + c från den vänstra sidan av den kvadratiska olikheten. Vi hittar nollorna i detta trinomium.

I koordinatsystemet avbildar vi en koordinatlinje. Vi markerar rötterna på den. För enkelhetens skull kan vi komma in olika sätt notering av poäng för strikta och icke strikta ojämlikheter. Låt oss komma överens om att vi kommer att använda "tomma" punkter för att markera koordinaterna när vi löser en strikt ojämlikhet, och vanliga punkter för att markera de icke-strikta. Genom att markera punkterna får vi flera intervall på koordinataxeln.

Om vi ​​i det första steget hittade nollor, bestämmer vi tecknen på värdena för trinomialet för vart och ett av de resulterande intervallen. Om vi ​​inte får nollor, utför vi denna åtgärd för hela talraden. Vi markerar luckorna med tecknen "+" eller "-".

Dessutom kommer vi att introducera skuggning i de fall vi löser ojämlikheter med tecken > eller ≥ och< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

Genom att notera tecknen på trinomialets värden och lägga skuggning över segmenten får vi en geometrisk bild av en viss numerisk uppsättning, vilket faktiskt är en lösning på ojämlikheten. Allt vi behöver göra är att skriva ner svaret.

Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid det tredje steget i algoritmen, vilket innebär att bestämma tecknet på gapet. Det finns flera sätt att definiera tecken. Låt oss titta på dem i ordning, börja med den mest exakta, men inte den snabbaste. Denna metod innebär att man beräknar värdena för trinomialet vid flera punkter i de resulterande intervallen.

Exempel 1

Låt oss till exempel ta trinomialet x 2 + 4 · x − 5 .

Rötterna till denna trinomial 1 och - 5 delar upp koordinataxeln i tre intervall (− ∞, − 5), (− 5, 1) och (1, + ∞).

Låt oss börja med intervallet (1, + ∞). För att förenkla vår uppgift, låt oss ta x = 2. Vi får 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 – positivt tal. Detta betyder att värdena för denna kvadratiska trinomial på intervallet (1, + ∞) är positiva och kan betecknas med tecknet "+".

För att bestämma tecknet för intervallet (− 5, 1) tar vi x = 0. Vi har 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Placera ett "-"-tecken ovanför intervallet.

För intervallet (− ∞, − 5) tar vi x = − 6, vi får (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Vi markerar detta intervall med ett "+"-tecken.

Du kan identifiera tecknen mycket snabbare genom att ta hänsyn till följande fakta.

Med en positiv diskriminant ger ett kvadratiskt trinomium med två rötter en alternering av tecken på dess värden i intervaller i vilka tallinjen delas med rötterna till detta trinomial. Det betyder att vi inte nödvändigtvis behöver definiera tecken för vart och ett av intervallen. Det räcker med att utföra beräkningar för en och sätta ner skyltar för resten, med hänsyn till växlingsprincipen.

Om du vill kan du klara dig helt utan beräkningar genom att dra slutsatser om tecknen baserat på värdet på den ledande koefficienten. Om a > 0 får vi en sekvens av tecken +, −, + och om a< 0 – то − , + , − .

För kvadratiska trinomial med en rot, när diskriminanten är noll, får vi två intervall på koordinataxeln med samma tecken. Det betyder att vi bestämmer tecknet för ett av intervallen och sätter samma för det andra.

Här tillämpar vi också metoden för att bestämma tecknet baserat på värdet av koefficienten a: om a > 0 blir det +, + och om a< 0 , то − , − .

Om ett kvadratiskt trinomium inte har några rötter, så sammanfaller tecknen på dess värden för hela koordinatlinjen med både tecknet för den ledande koefficienten a och tecknet för den fria termen c.

Om vi ​​till exempel tar det kvadratiska trinomiet − 4 x 2 − 7, har det inga rötter (dess diskriminant är negativ). Koefficienten för x 2 är negativ − 4, och skärningen − 7 är också negativ. Detta betyder att på intervallet (− ∞, + ∞) är dess värden negativa.

Låt oss titta på exempel på att lösa kvadratiska ojämlikheter med hjälp av algoritmen som diskuterats ovan.

Exempel 2

Lös ojämlikheten 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Lösning

Vi använder intervallmetoden för att lösa ojämlikheten. För att göra detta, låt oss hitta rötterna till kvadrattrinomialet 8 x 2 − 4 x − 1 . På grund av det faktum att koefficienten för x är jämn, kommer det att vara bekvämare för oss att inte beräkna diskriminanten, utan den fjärde delen av diskriminanten: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

Diskriminanten är större än noll. Detta gör att vi kan hitta de två rötterna till kvadrattrinomialet: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 och x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Låt oss markera dessa värden på tallinjen. Eftersom ekvationen inte är strikt använder vi vanliga punkter på grafen.

Nu, med hjälp av intervallmetoden, bestämmer vi tecknen för de tre resulterande intervallen. Koefficienten för x 2 är lika med 8, det vill säga positiv, därför kommer teckensekvensen att vara +, −, +.

Eftersom vi löser en ojämlikhet med ≥-tecknet, ritar vi skuggning över intervallen med plustecken:

Låt oss skriva den numeriska uppsättningen analytiskt från den resulterande grafiska bilden. Vi kan göra detta på två sätt:

Svar:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞ ) eller x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Exempel 3

Lös den kvadratiska ojämlikheten - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Lösning

Låt oss först hitta rötterna till det kvadratiska trinomialet från vänster sida av ojämlikheten:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Detta är en strikt ojämlikhet, så vi använder en "tom" punkt på grafen. Med koordinat 7.

Nu måste vi bestämma tecknen på de resulterande intervallen (− ∞, 7) och (7, + ∞). Eftersom diskriminanten för en kvadratisk trinomial är noll och den ledande koefficienten är negativ, sätter vi ner tecknen − , − :

Eftersom vi löser en ojämlikhet med ett tecken< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

I detta fall är lösningarna båda intervall (− ∞ , 7), (7 , + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) eller i annan notation x ≠ 7 .

Exempel 4

Har den kvadratiska olikheten x 2 + x + 7< 0 решения?

Lösning

Låt oss hitta rötterna till det kvadratiska trinomiet från vänster sida av ojämlikheten. För att göra detta hittar vi diskriminanten: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminerande mindre än noll, vilket betyder att det inte finns några riktiga rötter.

Den grafiska bilden kommer att se ut som en tallinje utan punkter markerade på den.

Låt oss bestämma tecknet för värdena för det kvadratiska trinomialet. Hos D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

I det här fallet kan vi lägga skuggning över utrymmena med tecknet "-". Men vi har inte sådana luckor. Därför ser ritningen ut så här:

Som ett resultat av beräkningarna fick vi ett tomt set. Det betyder att denna kvadratiska ojämlikhet inte har några lösningar.

Svar: Inga.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter


En av de mest bekväma metoder lösningar på kvadratiska ojämlikheter är grafisk metod. I den här artikeln ska vi titta på hur kvadratiska ojämlikheter löses grafiskt. Låt oss först diskutera vad kärnan i denna metod är. Därefter kommer vi att presentera algoritmen och överväga exempel på att lösa kvadratiska ojämlikheter grafiskt.

Sidnavigering.

Kärnan i den grafiska metoden

Alls grafisk metod för att lösa ojämlikheter med en variabel används inte bara för att lösa kvadratiska olikheter, utan även andra typer av ojämlikheter. Kärnan i den grafiska metoden för att lösa ojämlikheter nästa: betrakta funktionerna y=f(x) och y=g(x), som motsvarar vänster och höger sida av olikheten, bygg deras grafer i ett rektangulärt koordinatsystem och ta reda på med vilka intervall grafen för en av de är lägre eller högre än den andra. De där intervallerna där

  • grafen för funktion f ovanför grafen för funktion g är lösningar på olikheten f(x)>g(x) ;
  • grafen för funktionen f inte lägre än grafen för funktionen g är lösningar på olikheten f(x)≥g(x) ;
  • grafen för f under grafen för g är lösningar på olikheten f(x)
  • grafen för en funktion f inte högre än grafen för en funktion g är lösningar på olikheten f(x)≤g(x) .

Vi kommer också att säga att abskissorna för skärningspunkterna för graferna för funktionerna f och g är lösningar till ekvationen f(x)=g(x) .

Låt oss överföra dessa resultat till vårt fall - för att lösa den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introducerar två funktioner: den första y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) som motsvarar den vänstra sidan av den kvadratiska olikheten, den andra y=0 (med g ( x)=0 ) motsvarar den högra sidan av ojämlikheten. Schema kvadratisk funktion f är en parabel och grafen konstant funktion g – rät linje som sammanfaller med abskissaxeln Ox.

Därefter, enligt den grafiska metoden för att lösa ojämlikheter, är det nödvändigt att analysera med vilka intervall grafen för en funktion är belägen över eller under en annan, vilket gör att vi kan skriva ner den önskade lösningen till den kvadratiska ojämlikheten. I vårt fall måste vi analysera parabelns position i förhållande till Ox-axeln.

Beroende på värdena för koefficienterna a, b och c är följande sex alternativ möjliga (för våra behov är en schematisk representation tillräcklig, och vi behöver inte avbilda Oy-axeln, eftersom dess position inte påverkar lösningar på ojämlikheten):

    På denna ritning ser vi en parabel, vars grenar är riktade uppåt och som skär Ox-axeln i två punkter, vars abskiss är x 1 och x 2. Denna ritning motsvarar alternativet när koefficienten a är positiv (den är ansvarig för den uppåtgående riktningen av parabelgrenarna), och när värdet är positivt diskriminant av ett kvadratiskt trinomial a x 2 +b x+c (i det här fallet har trinomialet två rötter, som vi betecknade som x 1 och x 2, och vi antog att x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

    För tydlighetens skull, låt oss avbilda i rött de delar av parabeln som ligger ovanför x-axeln och i blått - de som ligger under x-axeln.

    Låt oss nu ta reda på vilka intervaller som motsvarar dessa delar. Följande ritning hjälper dig att identifiera dem (i framtiden kommer vi att göra liknande val i form av rektanglar mentalt):

    Så på abskissaxeln markerades två intervall (−∞, x 1) och (x 2 , +∞) i rött, på dem är parabeln ovanför Ox-axeln, de utgör en lösning på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x +c>0 , och intervallet (x 1 , x 2) är markerat i blått, det finns en parabel under Ox-axeln, den representerar lösningen på olikheten a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

    Och nu kort: för a>0 och D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 för en jämn koefficient b)

    • lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c>0 är (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en annan notation x x2;
    • lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c≥0 är (−∞, x 1 ]∪ eller i en annan notation x 1 ≤x≤x 2,

    där x 1 och x 2 är rötterna till kvadrattrinomialet a x 2 +b x+c och x 1


    Här ser vi en parabel, vars grenar är riktade uppåt och som berör abskissaxeln, det vill säga att den har en gemensam punkt med sig, vi betecknar denna punkts abskiss som x 0. Det presenterade fallet motsvarar a>0 (grenarna är riktade uppåt) och D=0 (kvadrattrinomialet har en rot x 0). Till exempel kan du ta den kvadratiska funktionen y=x 2 −4·x+4, här a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 och x 0 =2.

    Ritningen visar tydligt att parabeln är placerad ovanför Ox-axeln överallt utom kontaktpunkten, det vill säga på intervallen (−∞, x 0), (x 0, ∞). För tydlighetens skull, låt oss markera områden i ritningen i analogi med föregående stycke.

    Vi drar slutsatser: för a>0 och D=0

    • lösningen till den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c>0 är (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en annan notation x≠x 0;
    • lösningen på den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c≥0 är (−∞, +∞) eller i en annan notation x∈R ;
    • kvadratisk olikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
    • den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik lösning x=x 0 (den ges av tangenspunkten),

    där x 0 är roten till kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.


    I det här fallet är parabelns grenar riktade uppåt, och den har inte gemensamma punkter med abskissaxeln. Här har vi villkoren a>0 (grenarna är riktade uppåt) och D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=02−4·2·1=−8<0 .

    Uppenbarligen är parabeln placerad ovanför Ox-axeln längs hela dess längd (det finns inga intervall där den är under Ox-axeln, det finns ingen tangenspunkt).

    Således, för a>0 och D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 och a x 2 +b x+c≥0 är mängden av alla reella tal, och olikheterna a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Och det återstår tre alternativ för placeringen av parabeln med grenar riktade nedåt, inte uppåt, i förhållande till Ox-axeln. I princip behöver de inte beaktas, eftersom att multiplicera båda sidor av olikheten med −1 gör att vi kan gå till en ekvivalent olikhet med en positiv koefficient för x 2. Men det skadar fortfarande inte att få en uppfattning om dessa fall. Resonemanget här är liknande, så vi kommer bara att skriva ner huvudresultaten.

Lösningsalgoritm

Resultatet av alla tidigare beräkningar är algoritm för att lösa kvadratiska ojämlikheter grafiskt:

    På koordinatplan en schematisk ritning görs, som avbildar Ox-axeln (Oy-axeln behöver inte avbildas) och en skiss av en parabel som motsvarar den kvadratiska funktionen y=a·x 2 +b·x+c. För att rita en skiss av en parabel räcker det att ta reda på två saker:

    • För det första, av värdet på koefficienten a bestäms det var dess grenar är riktade (för a>0 - uppåt, för en<0 – вниз).
    • Och för det andra, baserat på värdet av diskriminanten för kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c, bestäms det om parabeln skär abskissaxeln vid två punkter (för D>0), berör den vid en punkt (för D= 0), eller har inga gemensamma punkter med Ox-axeln (vid D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

  • När ritningen är klar, använd den i det andra steget av algoritmen

    • vid lösning av den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestäms intervallen vid vilka parabeln är belägen ovanför abskissan;
    • vid lösning av olikheten a·x 2 +b·x+c≥0, bestäms intervallen vid vilka parabeln är placerad ovanför abskissaxeln och abskissan för skärningspunkterna (eller abskissan för tangentpunkten) adderas till dem;
    • vid lösning av ojämlikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
    • slutligen, när man löser en kvadratisk olikhet av formen a·x 2 +b·x+c≤0, hittas intervall där parabeln ligger under Ox-axeln och abskissan för skärningspunkterna (eller abskissan för tangentpunkten ) läggs till dem;

    de utgör den önskade lösningen på den kvadratiska ojämlikheten, och om det inte finns några sådana intervall och inga tangenspunkter, så har den ursprungliga kvadratiska ojämlikheten inga lösningar.

Allt som återstår är att lösa några kvadratiska ojämlikheter med denna algoritm.

Exempel med lösningar

Exempel.

Lös ojämlikheten .

Lösning.

Vi måste lösa en kvadratisk ojämlikhet, låt oss använda algoritmen från föregående stycke. I det första steget måste vi skissa grafen för den kvadratiska funktionen . Koefficienten för x 2 är lika med 2, den är positiv, därför är parabelns grenar riktade uppåt. Låt oss också ta reda på om parabeln har gemensamma punkter med x-axeln för att göra detta, vi beräknar diskriminanten för kvadrattrinomialet . Det har vi . Diskriminanten visade sig vara större än noll, därför har trinomialet två reella rötter: Och , det vill säga x 1 =−3 och x 2 =1/3.

Av detta framgår att parabeln skär Ox-axeln i två punkter med abskiss −3 och 1/3. Vi kommer att avbilda dessa punkter i ritningen som vanliga punkter, eftersom vi löser en icke strikt ojämlikhet. Baserat på de förtydligade uppgifterna får vi följande ritning (den passar den första mallen från artikelns första stycke):

Låt oss gå vidare till det andra steget i algoritmen. Eftersom vi löser en icke-strikt kvadratisk olikhet med tecknet ≤, måste vi bestämma intervallen vid vilka parabeln är belägen under abskissaxeln och addera till dem abskissorna för skärningspunkterna.

Från ritningen är det tydligt att parabeln ligger under x-axeln på intervallet (−3, 1/3) och till den lägger vi abskissorna för skärningspunkterna, det vill säga talen −3 och 1/3. Som ett resultat kommer vi till det numeriska intervallet [−3, 1/3] . Det här är lösningen vi letar efter. Det kan skrivas som en dubbel olikhet −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Exempel.

Hitta lösningen till den kvadratiska olikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Lösning.

Som vanligt börjar vi med en ritning. Den numeriska koefficienten för kvadraten på variabeln är negativ, −1, därför är parabelns grenar riktade nedåt. Låt oss beräkna diskriminanten, eller ännu bättre, dess fjärde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Dess värde är positivt, låt oss beräkna rötterna till kvadrattrinomialet: Och xl=7 och x2=9. Så parabeln skär Ox-axeln i två punkter med abskissorna 7 och 9 (den ursprungliga ojämlikheten är strikt, så vi kommer att avbilda dessa punkter med ett tomt centrum. Nu kan vi göra en schematisk ritning).

Eftersom vi löser en strikt kvadratisk ojämlikhet med ett tecken<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Ritningen visar att lösningarna till den ursprungliga kvadratiska olikheten är två intervall (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annan notation x<7 , x>9 .

När du löser kvadratiska olikheter, när diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium på dess vänstra sida är noll, måste du vara försiktig med att inkludera eller exkludera abskissan för tangentpunkten från svaret. Detta beror på ojämlikhetens tecken: om ojämlikheten är strikt så är det inte en lösning på ojämlikheten, men om den inte är strikt så är den det.

Exempel.

Har den kvadratiska olikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst en lösning?

Lösning.

Låt oss plotta funktionen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dess grenar är riktade uppåt, eftersom koefficienten för x 2 är positiv, och den berör abskissaxeln vid punkten med abskissan 0,7, eftersom D"=(−7) 2 −10 4,9=0, varav eller 0,7 i formen av en decimalbråkdel Schematiskt ser det ut så här:

Eftersom vi löser en kvadratisk olikhet med ≤-tecknet, kommer dess lösning att vara de intervall på vilka parabeln är under Ox-axeln, samt abskissan för tangentpunkten. Från ritningen är det tydligt att det inte finns ett enda gap där parabeln skulle vara under Ox-axeln, så dess lösning blir endast abskissan för tangentpunkten, det vill säga 0,7.

Svar:

denna ojämlikhet har en unik lösning 0,7.

Exempel.

Lös den kvadratiska olikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Lösning.

Vi följer algoritmen för att lösa kvadratiska ojämlikheter och börjar med att konstruera en graf. Parabolens grenar är riktade nedåt, eftersom koefficienten för x 2 är negativ, −1. Låt oss hitta diskriminanten för kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 och sedan x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parabeln rör vid Ox-axeln vid abskisspunkt 4. Låt oss göra ritningen:

Vi tittar på tecknet på den ursprungliga ojämlikheten, det finns där<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt fall är dessa öppna strålar (−∞, 4), (4, +∞) . Separat noterar vi att 4 - kontaktpunktens abskiss - inte är en lösning, eftersom parabeln vid kontaktpunkten inte är lägre än Ox-axeln.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en annan notation x≠4 .

Var särskilt uppmärksam på fall där diskriminanten för det kvadratiska trinomialet på vänstra sidan av den kvadratiska olikheten är mindre än noll. Det finns ingen anledning att rusa här och säga att ojämlikheten inte har några lösningar (vi är vana vid att göra en sådan slutsats för andragradsekvationer med en negativ diskriminant). Poängen är att den kvadratiska ojämlikheten för D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exempel.

Hitta lösningen på den kvadratiska olikheten 3 x 2 +1>0.

Lösning.

Som vanligt börjar vi med en ritning. Koefficienten a är 3, den är positiv, därför är parabelns grenar riktade uppåt. Vi beräknar diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Eftersom diskriminanten är negativ har parabeln inga gemensamma punkter med Ox-axeln. Den erhållna informationen är tillräcklig för en schematisk graf:

Vi löser en strikt kvadratisk ojämlikhet med ett >-tecken. Dess lösning kommer att vara alla intervall där parabeln är ovanför Ox-axeln. I vårt fall är parabeln ovanför x-axeln längs hela dess längd, så den önskade lösningen kommer att vara mängden av alla reella tal.

Ox , och du måste också lägga till abskissan för skärningspunkterna eller abskissan för tangens till dem. Men av ritningen är det tydligt synligt att det inte finns några sådana intervall (eftersom parabeln är överallt under abskissaxeln), precis som det inte finns några skärningspunkter, precis som det inte finns några tangenspunkter. Därför har den ursprungliga kvadratiska ojämlikheten inga lösningar.

Svar:

inga lösningar eller i en annan post ∅.

Referenser.

  • Algebra: lärobok för 8:e klass. allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Algebra: 9:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 8:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 9:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Mordkovich A.G. Algebra och början av matematisk analys. 11:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Begreppet matematisk ojämlikhet uppstod i antiken. Detta hände när den primitiva människan började behöva jämföra sin kvantitet och storlek vid räkning och hantering av olika föremål. Sedan antiken använde Arkimedes, Euklid och andra kända forskare: matematiker, astronomer, designers och filosofer ojämlikheter i sina resonemang.

Men de använde som regel verbal terminologi i sina verk. För första gången uppfanns moderna tecken för att beteckna begreppen "mer" och "mindre" i den form som varje skolbarn känner till dem idag i England. Matematikern Thomas Harriot tillhandahöll en sådan tjänst till sina ättlingar. Och detta hände för ungefär fyra århundraden sedan.

Det finns många typer av ojämlikheter kända. Bland dem finns enkla, som innehåller en, två eller flera variabler, kvadratiska, bråktal, komplexa förhållanden och till och med de som representeras av ett system av uttryck. Det bästa sättet att förstå hur man löser ojämlikheter är att använda olika exempel.

Missa inte tåget

Till att börja med, låt oss föreställa oss att en invånare i ett landsbygdsområde rusar till järnvägsstationen, som ligger 20 km från hans by. För att inte missa tåget som går vid 11-tiden måste han lämna huset i tid. Vid vilken tidpunkt ska detta göras om hastigheten är 5 km/h? Lösningen på detta praktiska problem handlar om att uppfylla villkoren för uttrycket: 5 (11 - X) ≥ 20, där X är avgångstiden.

Detta är förståeligt, eftersom avståndet som en bybor måste tillryggalägga till stationen är lika med rörelsehastigheten multiplicerat med antalet timmar på vägen. En person kan komma tidigt, men han kan inte vara sen. Genom att veta hur man löser ojämlikheter och tillämpa dina färdigheter i praktiken kommer du att få X ≤ 7, vilket är svaret. Det betyder att byborna ska gå till järnvägsstationen klockan sju på morgonen eller lite tidigare.

Numeriska intervall på en koordinatlinje

Låt oss nu ta reda på hur man kartlägger de beskrivna relationerna till Ojämlikheten ovan är inte strikt. Det betyder att variabeln kan ta värden mindre än 7, eller så kan den vara lika med detta nummer. Låt oss ge andra exempel. För att göra detta, överväg noggrant de fyra figurerna som presenteras nedan.

På den första av dem kan du se en grafisk representation av intervallet [-7; 7]. Den består av en uppsättning siffror placerade på en koordinatlinje och placerade mellan -7 och 7, inklusive gränserna. I det här fallet visas punkterna på grafen som fyllda cirklar, och intervallet registreras med

Den andra figuren är en grafisk representation av den strikta ojämlikheten. I det här fallet ingår inte gränssiffrorna -7 och 7, som visas med punkterade (ej ifyllda) punkter, i den angivna uppsättningen. Och själva intervallet är skrivet inom parentes enligt följande: (-7; 7).

Det vill säga, efter att ha listat ut hur man löser ojämlikheter av denna typ och fått ett liknande svar, kan vi dra slutsatsen att det består av siffror som ligger mellan gränserna i fråga, förutom -7 och 7. De följande två fallen måste utvärderas i en liknande sätt. Den tredje figuren visar bilder av intervaller (-∞; -7] U – hakparenteser.

*Detta gäller inte bara kvadratiska ojämlikheter. Hakparentesen betyder att själva intervallgränsen ingår i lösningen.

Du kommer att se detta i exemplen. Låt oss titta på några för att klargöra alla frågor om detta. I teorin kan algoritmen verka något komplicerad, men i verkligheten är allt enkelt.

EXEMPEL 1: Lös x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Lösa en andragradsekvation x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Hitta rötterna:


Ersätt koefficienten a

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

Vi skriver ojämlikheten i formuläret (x–50)(x–10) ≤ 0

Ekvationens rötter delar upp tallinjen i intervall. Låt oss visa dem på nummerraden:

Vi fick tre intervaller (–∞;10), (10;50) och (50;+∞).

Vi bestämmer "tecknen" på intervaller vi gör detta genom att ersätta godtyckliga värden för varje resulterande intervall i uttrycket (x–50)(x–10) och tittar på överensstämmelsen mellan det resulterande "tecknet" till tecknet i; ojämlikheten (x–50)(x–10) ≤ 0:

vid x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 felaktigt

vid x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

vid x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 felaktigt

Lösningen blir intervallet.

För alla värden på x från detta intervall kommer olikheten att vara sann.

*Observera att vi har inkluderat hakparenteser.

För x = 10 och x = 50 blir olikheten också sann, det vill säga att gränserna ingår i lösningen.

Svar: x∊

Igen:

— Intervallets gränser INGÅR i lösningen av ojämlikheten när villkoret innehåller tecknet ≤ eller ≥ (icke strikt olikhet). I det här fallet är det vanligt att visa de resulterande rötterna i en skiss med en HASHED cirkel.

— Intervallets gränser INGÅR INTE i lösningen av ojämlikheten när villkoret innehåller tecknet< или >(strikt ojämlikhet). I det här fallet är det vanligt att visa roten i skissen som en UNHASHED cirkel.

EXEMPEL 2: Lös x 2 + 4 x–21 > 0

Lösa en andragradsekvation x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Hitta rötterna:

Ersätt koefficienten a och rötter till formel (2) får vi:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

Vi skriver ojämlikheten i formuläret (x–3)(x+7) > 0.

Ekvationens rötter delar upp tallinjen i intervall. Låt oss markera dem på nummerraden:

*Ojämlikheten är inte strikt, så symbolerna för rötterna är INTE skuggade. Vi fick tre intervall (–∞;–7), (–7;3) och (3;+∞).

Vi bestämmer "tecknen" på intervallen, vi gör detta genom att ersätta godtyckliga värden för dessa intervall i uttrycket (x–3)(x+7) och letar efter överensstämmelse med ojämlikheten (x–3)(x+7)> 0:

vid x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 korrekt

vid x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

vid x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 korrekt


Lösningen kommer att vara två intervall (–∞;–7) och (3;+∞). För alla värden på x från dessa intervall kommer olikheten att vara sann.

*Observera att vi har inkluderat parenteser. Vid x = 3 och x = –7 blir ojämlikheten felaktig - gränserna ingår inte i lösningen.

Svar: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EXEMPEL 3: Lös – x 2 –9 x–20 > 0

Lösa en andragradsekvation – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Hitta rötterna:

Ersätt koefficienten a och rötter till formel (2) får vi:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Vi skriver ojämlikheten i formuläret –(x+5)(x+4) > 0.

Ekvationens rötter delar upp tallinjen i intervall. Låt oss markera på sifferraden:

*Ojämlikheten är strikt, så symbolerna för rötterna är inte skuggade. Vi fick tre intervall (–∞;–5), (–5; –4) och (–4;+∞).

Vi definierar "tecken" på intervaller, vi gör detta genom att ersätta uttrycket –(x+5)(x+4) godtyckliga värden för dessa intervall och titta på överensstämmelsen med ojämlikheten –(x+5)(x+4)>0:

vid x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

vid x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 korrekt

vid x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Lösningen blir intervallet (–5,–4). För alla värden på "x" som hör till den kommer ojämlikheten att vara sann.

*Observera att gränser inte är en del av lösningen. För x = –5 och x = –4 kommer olikheten inte att vara sann.

KOMMENTAR!

När vi löser en andragradsekvation kan vi sluta med en rot eller inga rötter alls, sedan när man använder denna metod blint kan det uppstå svårigheter att bestämma lösningen.

En liten sammanfattning! Metoden är bra och bekväm att använda, speciellt om du är bekant med den kvadratiska funktionen och kan egenskaperna hos dess graf. Om inte, ta en titt och gå vidare till nästa avsnitt.

Använda grafen för en kvadratisk funktion. Jag rekommenderar!

Kvadratisk är en funktion av formen:

Dess graf är en parabel, parabelns grenar är riktade uppåt eller nedåt:


Grafen kan placeras på följande sätt: den kan skära x-axeln vid två punkter, den kan röra vid en punkt (vertex), eller den kan inte skära. Mer om detta senare.

Låt oss nu titta på detta tillvägagångssätt med ett exempel. Hela lösningsprocessen består av tre steg. Låt oss lösa ojämlikheten x 2 +2 x –8 >0.

Första etappen

Lösa ekvationen x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Hitta rötterna:

Vi fick x 1 = 2 och x 2 = – 4.

Andra etappen

Att bygga en parabel y=x 2 +2 x–8 med poäng:


Punkterna 4 och 2 är skärningspunkterna för parabeln och x-axeln. Det är enkelt! Vad gjorde du? Vi löste andragradsekvationen x 2 +2 x–8=0. Kolla in hans inlägg så här:

0 = x 2+2x – 8

Noll för oss är värdet på "y". När y = 0 får vi abskissan för parabelns skärningspunkter med x-axeln. Vi kan säga att nollvärdet "y" är x-axeln.

Titta nu på vilka värden av x uttrycket x 2 +2 x – 8 större (eller mindre) än noll? Detta är inte svårt att avgöra från parabelgrafen som de säger, allt är i sikte:

1. Vid x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 kommer att vara positivt.

2. Vid –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 kommer att vara negativ.

3. För x > 2 ligger parabelns gren ovanför x-axeln. För det angivna x, trinomialet x 2 +2 x –8 kommer att vara positivt.

Tredje etappen

Från parabeln kan vi omedelbart se vid vilket x uttrycket x 2 +2 x–8 större än noll, lika med noll, mindre än noll. Detta är kärnan i det tredje steget av lösningen, nämligen att se och identifiera de positiva och negativa områdena i ritningen. Vi jämför det erhållna resultatet med den ursprungliga ojämlikheten och skriver ner svaret. I vårt exempel är det nödvändigt att bestämma alla värden på x för vilka uttrycket x 2 +2 x–8 mer än noll. Vi gjorde detta i andra etappen.

Allt som återstår är att skriva ner svaret.

Svar: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Låt oss sammanfatta: efter att ha beräknat rötterna till ekvationen i det första steget kan vi markera de resulterande punkterna på x-axeln (dessa är skärningspunkterna för parabeln med x-axeln). Därefter konstruerar vi schematiskt en parabel och vi kan redan se lösningen. Varför schematisk? Vi behöver inget matematiskt exakt schema. Och föreställ dig till exempel, om rötterna visar sig vara 10 och 1500, försök att bygga en exakt graf på ett pappersark med ett sådant värdeintervall. Frågan uppstår! Jo, vi fick rötterna, ja, vi markerade dem på o-axeln, men ska vi skissa på platsen för själva parabeln - med dess grenar uppåt eller nedåt? Allt är enkelt här! Koefficienten för x 2 kommer att säga dig:

- om den är större än noll, är parabelns grenar riktade uppåt.

- om mindre än noll är parabelns grenar riktade nedåt.

I vårt exempel, han lika med ett, det vill säga positivt.

*Notera! Om olikheten innehåller ett icke-strikt tecken, det vill säga ≤ eller ≥, så ska rötterna på tallinjen skuggas, detta indikerar konventionellt att gränsen för själva intervallet ingår i lösningen av ojämlikheten. I det här fallet är rötterna inte skuggade (punkterade), eftersom vår ojämlikhet är strikt (det finns ett ">"-tecken). Dessutom använder svaret i det här fallet parenteser snarare än kvadratiska (kanter ingår inte i lösningen).

Det har skrivits mycket, jag har nog förvirrat någon. Men om du löser minst 5 ojämlikheter med hjälp av paraboler, kommer din beundran att känna inga gränser. Det är enkelt!

Så, kortfattat:

1. Vi skriver ner ojämlikheten och minskar den till standarden.

2. Skriv ner en andragradsekvation och lös den.

3. Rita x-axeln, markera de resulterande rötterna, rita schematiskt en parabel, med grenar uppåt om koefficienten för x 2 är positiv, eller grenar ner om den är negativ.

4. Identifiera positiva eller negativa områden visuellt och skriv ner svaret på den ursprungliga ojämlikheten.

Låt oss titta på exempel.

EXEMPEL 1: Lös x 2 –15 x+50 > 0

Första etappen.

Lösa en andragradsekvation x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Hitta rötterna:

Andra etappen.

Vi bygger axeln o. Låt oss markera de resulterande rötterna. Eftersom vår ojämlikhet är strikt kommer vi inte att skugga dem. Vi konstruerar schematiskt en parabel, den ligger med sina grenar uppåt, eftersom koefficienten för x 2 är positiv:

Tredje etappen.

Vi definierar visuellt positiva och negativa områden, här har vi markerat dem olika färger för tydlighetens skull behöver du inte göra detta.

Vi skriver ner svaret.

Svar: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*U-tecknet indikerar en enhetslösning. Bildligt talat är lösningen "det här" OCH "även detta" intervall.

EXEMPEL 2: Lös – x 2 + x+20 ≤ 0

Första etappen.

Lösa en andragradsekvation – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Hitta rötterna:

Andra etappen.

Vi bygger axeln o. Låt oss markera de resulterande rötterna. Eftersom vår ojämlikhet inte är strikt skuggar vi beteckningarna på rötterna. Vi konstruerar schematiskt en parabel, den ligger med grenarna nedåt, eftersom koefficienten för x 2 är negativ (den är lika med –1):

Tredje etappen.

Vi identifierar visuellt positiva och negativa områden. Vi jämför det med den ursprungliga ojämlikheten (vårt tecken är ≤ 0). Olikheten kommer att vara sann för x ≤ – 4 och x ≥ 5.

Vi skriver ner svaret.

Svar: x∊(–∞;–4] U )

Dela