Ekvationer med parametrar: grafisk metod lösningar
8-9 årskurser
Artikeln diskuterar en grafisk metod för att lösa vissa ekvationer med parametrar, vilket är mycket effektivt när man ska fastställa hur många rötter en ekvation har beroende på parametern a.
Uppgift 1. Hur många rötter har ekvationen? | | x | – 2 | = a beroende på parameter a?
Lösning. I koordinatsystemet (x; y) kommer vi att konstruera grafer för funktionerna y = | | x | – 2 | och y = a. Graf för funktionen y = | | x | – 2 | visas i figuren.
Grafen för funktionen y = a är en rät linje, parallellt med axeln Oxe eller sammanfallande med den (om a = 0).
Av ritningen kan man se att:
Om a= 0, sedan rät linje y = a sammanfaller med Ox-axeln och har grafen för funktionen y = | | x |
– 2 | två gemensamma punkter; detta betyder att den ursprungliga ekvationen har två rötter (i detta fall kan rötterna hittas: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Om 0 a Om
Om 0 a= 2, då har linjen y = 2 tre gemensamma punkter med grafen för funktionen. Då har den ursprungliga ekvationen tre rötter. a> 2, sedan rät linje y =
kommer att ha två punkter med grafen för den ursprungliga funktionen, det vill säga denna ekvation kommer att ha två rötter. a < 0, то корней нет;
Om a = 0, a Om
Om a> 2, då finns det två rötter;
= 2, sedan tre rötter;< a < 2, то четыре корня.
om 0 Uppgift 2. Hur många rötter har ekvationen? a beroende på parameter a?
| x 2 – 2| x | – 3 | = a.
Lösning. I koordinatsystemet (x; y) kommer vi att konstruera grafer för funktionerna y = | x 2 – 2| x | – 3 | och y = a = 0).
Graf för funktionen y = | x 2 – 2| x | – 3 | visas i figuren. Grafen för funktionen y = a är en rät linje parallell med Ox eller sammanfallande med den (när
Om a= 0, sedan rät linje y = a Från ritningen kan du se: a sammanfaller med Ox-axeln och har grafen för funktionen y = | x2 – 2| x | – 3 | två gemensamma punkter, samt den räta linjen y = a kommer att ha med grafen för funktionen y = | x 2 – 2| x | – 3 | två gemensamma punkter kl a> 4. Så när a= 0 och
– 2 | två gemensamma punkter; detta betyder att den ursprungliga ekvationen har två rötter (i detta fall kan rötterna hittas: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 den ursprungliga ekvationen har två rötter. a har med grafen för funktionen y = | x 2 – 2| x | – 3 | a fyra gemensamma punkter, samt den räta linjen y=< a < 3, a kommer att ha fyra gemensamma punkter med grafen för den konstruerade funktionen vid
Om 0 a= 4. Så vid 0 a= 4 den ursprungliga ekvationen har fyra rötter.
= 3, sedan rät linje y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Om 0 a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
kommer att ha två punkter med grafen för den ursprungliga funktionen, det vill säga denna ekvation kommer att ha två rötter. a < 0, то корней нет;
Om a = 0, a skär grafen för en funktion vid fem punkter; därför har ekvationen fem rötter.
= 2, sedan tre rötter;< a < 3, a Om 3
Om a> 4, då finns det två rötter;
= 4, sedan fyra rötter;< a < 4, то шесть корней.
= 3, sedan fem rötter;
om 3 a?
Uppgift 3. Hur många rötter har ekvationen? 
beroende på parameter
Linjerna x = 1, y = 1 är asymptoter i grafen för funktionen. Graf för funktionen y = | x | + a erhålls från grafen för funktionen y = | x | förskjutning av enheter längs Oy-axeln.
Funktionsgrafer 
skära vid en punkt vid a> – 1; Detta betyder att ekvation (1) för dessa parametervärden har en lösning.
På a = – 1, a= – 2 grafer skär varandra i två punkter; Detta betyder att för dessa parametervärden har ekvation (1) två rötter.
Vid – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
kommer att ha två punkter med grafen för den ursprungliga funktionen, det vill säga denna ekvation kommer att ha två rötter. a> – 1, sedan en lösning;
Om a = – 1, a= – 2, då finns det två lösningar;
om – 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.
Kommentar. Vid lösning av ekvation (1) i problem 3 bör särskild uppmärksamhet ägnas åt fallet när a= – 2, eftersom punkten (– 1; – 1) inte hör till funktionens graf 
men tillhör grafen för funktionen y = | x | + a.
Låt oss gå vidare till att lösa ett annat problem.
Uppgift 4. Hur många rötter har ekvationen?
x + 2 = a| x – 1 |
om 3 a?
(2) Lösning. Observera att x = 1 inte är en rot given ekvation a, eftersom likhet 3 = a· 0 kan inte vara sant för något parametervärde 
. Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med | x – 1 |(| x – 1 | Nej. 0), då kommer ekvation (2) att ha formen 
I koordinatsystemet xOy kommer vi att plotta funktionen a Grafen för denna funktion visas i figuren. Graf över funktionen y = a = 0).
kommer att ha två punkter med grafen för den ursprungliga funktionen, det vill säga denna ekvation kommer att ha två rötter. aär en rät linje parallell med Ox-axeln eller sammanfallande med den (om
Ј – 1, då finns det inga rötter;< a om – 1
Om aЈ 1, sedan en rot;
> 1, då finns det två rötter. Låt oss överväga det mesta.
komplex ekvation a Problem 5. Vid vilka värden på parametern
a ekvation
x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
har tre lösningar? a Lösning. 1. Kontrollvärdet för parametern för denna ekvation är numret a= 0, vid vilken ekvation (3) har formen 0 + | x – 1 | = 0, varav x = 1. Därför när
= 0, ekvation (3) har en rot, som inte uppfyller villkoren för problemet. a № 0.
2. Överväg fallet när Låt oss skriva om ekvation (3) till: a följande formulär a < 0.
x 2 = – | x – 1 |. Observera att ekvationen kommer att ha lösningar endast när a I koordinatsystemet xOy kommer vi att konstruera grafer för funktionerna y = | x – 1 | och y = a x 2. Graf för funktionen y = | x – 1 | visas i figuren. Graf över funktionen y = a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
x 2 är en parabel vars grenar är riktade nedåt, eftersom a Ekvation (3) kommer att ha tre lösningar endast när den räta linjen y = – x + 1 är tangent till grafen för funktionen y=
x 2. a Låt x 0 vara abskissan för tangenspunkten för den räta linjen y = – x + 1 med parabeln y =
x 2. Tangentekvationen har formen
y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).
Låt oss skriva ner tangency-villkoren:
Denna ekvation kan lösas utan att använda begreppet derivata. a Låt oss överväga en annan metod. Låt oss använda det faktum att om den räta linjen y = kx + b har en gemensam punkt med parabeln y = a x 2 + px + q = kx + b måste ha en unik lösning, det vill säga dess diskriminant är noll. I vårt fall har vi ekvationen a x 2 = – x + 1 ( a nr 0). Diskriminerande ekvation
Problem att lösa självständigt
6. Hur många rötter har ekvationen beroende på parametern a?
1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.
1) om a<0, то корней нет; если a=0, a>3, sedan två rötter; Om a=3, sedan tre rötter; om 0<a<3, то четыре корня;
2) om a<1, то корней нет; если a=1, då finns det en oändlig uppsättning lösningar från intervallet [– 2; a– 1]; Om
> 1, då finns det två lösningar; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) om a=1, sedan sex rötter; Om a=3, då finns det tre lösningar; Om
>3, då finns det två lösningar; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) om a=4, sedan sex rötter; Om a=5, sedan tre rötter; Om
>5, då finns det två rötter. a 7. Hur många rötter har ekvationen | x + 1 | = a?
(x – 1) beroende på parameter 
.
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen a Svar: om a > 1, a J –1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, sedan en rot; om – 1
Ј 1, då finns det inga rötter. a 8. Hur många rötter har ekvationen x + 1 =? a?
| x – 1 |beroende på parameter
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen a Rita en graf (se figur).<aЈ –1, då finns det inga rötter; om – 1 aЈ 1, sedan en rot; Om
>1, då finns det två rötter.
9. Hur många rötter har ekvationen?
om 3 a?
2| x | – 1 = a(x – 1) 
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen a Notera: Reducera ekvationen till form a>2, a J –2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, sedan en rot; om –2
Ј 2, då finns det inga rötter.
om 3 a?
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen aЈ 0, a 10. Hur många rötter har ekvationen?<a<2, то два корня.
i 2, sedan en rot; om 0 a Problem 5. Vid vilka värden på parametern
11. Vid vilka värden av parametern a x 2 +
x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
| x – 2 | = 0 a Notera: Reducera ekvationen till formen x 2 = –
| x – 2 |. a Svar: när
J –8. a Problem 5. Vid vilka värden på parametern
a 12. Vid vilka värden av parametern
x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
x 2 + | x + 1 | = 0 a Notera: Använd problem 5. Denna ekvation har tre lösningar endast om ekvationen a x 2 + x + 1 = 0 har en lösning, och fallet 
= 0 uppfyller inte villkoren för problemet, det vill säga fallet kvarstår när
13. Hur många rötter har ekvationen? a
om 3 a?
x | x – 2 | = 1 – Notera: Reducera ekvationen till formen –x |x – 2| + 1 =
om 3 a?
a
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen a<0, a Notera: Konstruera grafer av vänster och höger sida av denna ekvation. a>2, då finns det två rötter; om 0Ј
Ј 2, sedan en rot.
om 3 a?
16. Hur många rötter har ekvationen? 
Notera: Konstruera grafer av vänster och höger sida av denna ekvation. Att rita en funktion
Notera: Eftersom x = 1 inte är en rot av ekvationen kan denna ekvation reduceras till formen a Låt oss hitta intervallen för konstant tecken för uttrycken x + 2 och x: a>– 1, sedan en lösning; Om<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, då finns det två lösningar; om – 3
Ekvationer med parametrar anses med rätta vara ett av de svåraste problemen i skolmatematiken. Det är just dessa uppgifter som år efter år ingår i listan över uppgifter av typ B och C i Unified State Examinationen. Men bland det stora antalet ekvationer med parametrar finns det de som enkelt kan lösas grafiskt. Låt oss överväga denna metod med hjälp av exemplet att lösa flera problem.
Hitta summan av heltalsvärden för talet a för vilket ekvationen |x 2 – 2x – 3| = a har fyra rötter.
Lösning.
För att svara på frågan om problemet, låt oss konstruera grafer över funktioner på ett koordinatplan
y = |x 2 – 2x – 3| och y = a.
Grafen för den första funktionen y = |x 2 – 2x – 3| kommer att erhållas från grafen för parabeln y = x 2 – 2x – 3 genom att symmetriskt visa den del av grafen som ligger under Ox-axeln i förhållande till x-axeln. Den del av grafen som ligger ovanför x-axeln förblir oförändrad.
Låt oss göra detta steg för steg. Grafen för funktionen y = x 2 – 2x – 3 är en parabel, vars grenar är riktade uppåt. För att bygga dess graf hittar vi koordinaterna för vertexet. Detta kan göras med formeln x 0 = -b/2a. Alltså, x 0 = 2/2 = 1. För att hitta koordinaten för parabelns vertex längs ordinataaxeln, ersätter vi det resulterande värdet för x 0 i ekvationen för funktionen i fråga. Vi får att y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Det betyder att parabelns vertex har koordinater (1; -4).
Därefter måste du hitta skärningspunkterna för parabelgrenarna med koordinataxlarna. Vid skärningspunkterna mellan parabelgrenarna och abskissaxeln är värdet på funktionen noll. Därför löser vi andragradsekvationen x 2 – 2x – 3 = 0. Dess rötter kommer att vara de nödvändiga punkterna. Enligt Vietas sats har vi x 1 = -1, x 2 = 3.
Vid skärningspunkterna för parabelgrenarna med ordinataaxeln är värdet på argumentet noll. Således är punkten y = -3 skärningspunkten för parabelns grenar med y-axeln. Den resulterande grafen visas i figur 1.
För att få en graf av funktionen y = |x 2 – 2x – 3|, låt oss visa den del av grafen som ligger under abskissan symmetriskt relativt x-axeln. Den resulterande grafen visas i figur 2.
Grafen för funktionen y = a är en rät linje parallell med abskissaxeln. Det avbildas i figur 3. Med hjälp av figuren finner vi att graferna har fyra gemensamma punkter (och ekvationen har fyra rötter) om a hör till intervallet (0; 4).
Heltalsvärden för nummer a från det resulterande intervallet: 1; 2; 3. För att svara på frågan om problemet, låt oss hitta summan av dessa siffror: 1 + 2 + 3 = 6.
Svar: 6.
Hitta det aritmetiska medelvärdet av heltalsvärden för talet a för vilket ekvationen |x 2 – 4|x| – 1| = a har sex rötter.
Låt oss börja med att plotta funktionen y = |x 2 – 4|x| – 1|. För att göra detta använder vi likheten a 2 = |a| 2 och välj hela kvadraten i det submodulära uttrycket skrivet på höger sida av funktionen:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
Då kommer den ursprungliga funktionen att ha formen y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
För att konstruera en graf av denna funktion, konstruerar vi sekventiella grafer av funktioner:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabel med vertex i punkt med koordinater (2; -5); (Fig. 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – en del av parabeln konstruerad i steg 1, som är placerad till höger om ordinataaxeln, visas symmetriskt till vänster om Oy-axeln; (Fig. 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – den del av grafen som är konstruerad i punkt 2, som är placerad under x-axeln, visas symmetriskt i förhållande till x-axeln uppåt. (Fig. 3).
Låt oss titta på de resulterande ritningarna:
Grafen för funktionen y = a är en rät linje parallell med abskissaxeln.
Med hjälp av figuren drar vi slutsatsen att graferna för funktioner har sex gemensamma punkter (ekvationen har sex rötter) om a hör till intervallet (1; 5).
Detta kan ses i följande bild:
Låt oss hitta det aritmetiska medelvärdet av heltalsvärdena för parameter a:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Svar: 3.
blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.
2. Bestämning av okända distributionsparametrar.
Med hjälp av ett histogram kan vi ungefär plotta fördelningsdensiteten för en slumpvariabel. Utseendet på denna graf tillåter oss ofta att göra ett antagande om sannolikhetstäthetsfördelningen för en slumpvariabel. Uttrycket av denna distributionstäthet inkluderar vanligtvis några parametrar som måste bestämmas från experimentella data.
Låt oss uppehålla oss vid det speciella fallet när distributionstätheten beror på två parametrar.
Så låt x 1, x 2, ..., x n- observerade värden av en kontinuerlig slumpvariabel, och låt dess sannolikhetsfördelningstäthet bero på två okända parametrar A Och B, dvs. ser ut som. En av metoderna för att hitta okända parametrar A Och Bär att de är valda på ett sådant sätt att den matematiska förväntan och variansen hos den teoretiska fördelningen sammanfaller med urvalets medelvärde och varians:
 |
(66) |
 |
(67) |
Från de två erhållna ekvationerna () hittas de okända parametrarna A Och B. Så, till exempel, om en slumpvariabel följer den normala sannolikhetsfördelningslagen, då dess sannolikhetsfördelningstäthet
beror på två parametrar a Och . Dessa parametrar är, som vi vet, den matematiska förväntan respektive standardavvikelsen för en slumpvariabel; därför kommer likheter () att skrivas så här:
 |
(68) |
Därför har sannolikhetsfördelningstätheten formen
Anmärkning 1. Vi har redan löst detta problem i . Mätresultatet är en slumpvariabel som följer normalfördelningslagen med parametrar a Och . För ungefärligt värde a vi valde värdet och för det ungefärliga värdet - värdet.
Anmärkning 2. Att hitta mängder och använda formler () är med ett stort antal experiment förknippat med krångliga beräkningar. Därför gör de detta: vart och ett av de observerade värdena för kvantiteten , faller in i i intervallet ] X i-1 , X i [ statistisk serie, anses ungefär lika med mitten c i detta intervall, dvs. ci =(Xi-1 +Xi)/2. Tänk på det första intervallet ] X 0 , X 1 [. Det slog honom m 1 observerade värden för den slumpmässiga variabeln, som var och en ersätter med ett nummer från 1. Därför är summan av dessa värden ungefär lika med m 1 s 1. På samma sätt är summan av värden som faller in i det andra intervallet ungefär lika med m 2 med 2 etc. Det är därför
På liknande sätt får vi den ungefärliga jämlikheten
Så låt oss visa det
 |
(71) |