Förkortade multiplikationsformler. Inledande parentes: regler och exempel (betyg 7)

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress e-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

Vid behov - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, rättsliga förfaranden och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Bland de olika uttryck som beaktas i algebra intar summor av monomialer en viktig plats. Här är exempel på sådana uttryck:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summan av monomer kallas ett polynom. Termerna i ett polynom kallas termer för polynomet. Monomial klassificeras också som polynom, och betraktar ett monom som ett polynom som består av en medlem.

Till exempel ett polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan förenklas.

Låt oss representera alla termer i form av monomialer standardvy:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Låt oss presentera liknande termer i det resulterande polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet är ett polynom, vars alla termer är monomer av standardformen, och bland dem finns det inga liknande. Sådana polynom kallas polynom av standardform.

För grad av polynom av en standardform ta den högsta av medlemmarnas befogenheter. Således har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje graden, och trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andra.

Vanligtvis är termerna för polynom av standardform som innehåller en variabel ordnade i fallande ordning efter exponenter av dess grad. Till exempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summan av flera polynom kan omvandlas (förenklas) till ett polynom av standardform.

Ibland behöver termerna för ett polynom delas in i grupper, och omsluta varje grupp inom parentes. Eftersom att omsluta parenteser är den omvända transformationen av öppnande parenteser är det lätt att formulera regler för att öppna parenteser:

Om ett "+"-tecken placeras före hakparenteserna skrivs termerna inom hakparenteser med samma tecken.

Om ett "-"-tecken placeras före hakparenteserna, skrivs termerna inom hakparenteserna med motsatta tecken.

Transformation (förenkling) av produkten av ett monom och ett polynom

Med hjälp av den fördelande egenskapen för multiplikation kan du transformera (förenkla) produkten av ett monom och ett polynom till ett polynom. Till exempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produkten av ett monom och ett polynom är identiskt lika med summan av produkterna av detta monom och var och en av termerna för polynomet.

Detta resultat formuleras vanligtvis som en regel.

För att multiplicera ett monomer med ett polynom måste du multiplicera det monomet med var och en av termerna i polynomet.

Vi har redan använt denna regel flera gånger för att multiplicera med en summa.

Produkt av polynom. Transformation (förenkling) av produkten av två polynom

I allmänhet är produkten av två polynom identiskt lika med summan av produkten av varje term av ett polynom och varje term av det andra.

Vanligtvis används följande regel.

För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i den andra och addera de resulterande produkterna.

Förkortade multiplikationsformler. Summa kvadrater, skillnader och skillnader av kvadrater

Du måste hantera vissa uttryck i algebraiska transformationer oftare än andra. De kanske vanligaste uttrycken är \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) och \(a^2 - b^2 \), det vill säga kvadraten på summan, kvadraten på skillnaden och skillnaden mellan rutor. Har du märkt att namnen angivna uttryck som om den inte är färdig, till exempel, är \((a + b)^2 \) naturligtvis inte bara kvadraten på summan, utan kvadraten på summan av a och b. Kvadraten på summan av a och b förekommer dock inte särskilt ofta, istället för bokstäverna a och b, innehåller den olika, ibland ganska komplexa, uttryck.

Uttrycken \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteras (förenklas) till polynom av standardformen, faktiskt, du har redan stött på denna uppgift när du multiplicerar polynom:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det är användbart att komma ihåg de resulterande identiteterna och tillämpa dem utan mellanliggande beräkningar. Korta verbala formuleringar hjälper detta.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadraten på summan lika med summan rutor och dubbla produkten.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadraten på skillnaden är lika med summan av kvadrater utan dubbelprodukten.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - skillnaden mellan kvadrater är lika med produkten av skillnaden och summan.

Dessa tre identiteter gör att man kan byta ut sina vänstra delar med högra delar i transformationer och vice versa - högra delar med vänsterhänta. Det svåraste är att se motsvarande uttryck och förstå hur variablerna a och b ersätts i dem. Låt oss titta på flera exempel på hur man använder förkortade multiplikationsformler.

Den huvudsakliga funktionen för parenteser är att ändra ordningen på åtgärder vid beräkning av värden. Till exempel, V numeriskt\(5·3+7\) multiplikationen kommer att beräknas först, och sedan additionen: \(5·3+7 =15+7=22\). Men i uttrycket \(5·(3+7)\) kommer additionen inom parentes att beräknas först, och först därefter multiplikationen: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exempel. Expandera parentesen: \(-(4m+3)\).
Lösning : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exempel. Öppna parentesen och ge liknande termer \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Lösning : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exempel. Expandera parenteserna \(5(3-x)\).
Lösning : Inom parentesen har vi \(3\) och \(-x\), och före parentesen finns en femma. Det betyder att varje medlem i parentesen multipliceras med \(5\) - jag påminner dig om det Multiplikationstecknet mellan ett tal och en parentes skrivs inte i matematik för att minska storleken på poster.

Exempel. Expandera parenteserna \(-2(-3x+5)\).
Lösning : Liksom i föregående exempel multipliceras \(-3x\) och \(5\) inom parentes med \(-2\).

Exempel. Förenkla uttrycket: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lösning : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Det återstår att överväga den sista situationen.

När du multiplicerar en parentes med en parentes, multipliceras varje term i den första parentesen med varje term i den andra:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exempel. Expandera parenteserna \((2-x)(3x-1)\).
Lösning : Vi har en produkt av parentes och den kan utökas omedelbart med formeln ovan. Men för att inte bli förvirrad, låt oss göra allt steg för steg.
Steg 1. Ta bort den första konsolen - multiplicera varje medlem med den andra konsolen:

Steg 2. Expandera produkterna från fästena och faktorn enligt beskrivningen ovan:
- Först till kvarn...

Sedan den andra.

Steg 3. Nu multiplicerar vi och presenterar liknande termer:

Det är inte nödvändigt att beskriva alla transformationer så detaljerat att du kan multiplicera dem direkt. Men om du bara lär dig hur man öppnar parenteser, skriv i detalj, det blir mindre chans att göra misstag.

Notera till hela avsnittet. Faktum är att du inte behöver komma ihåg alla fyra reglerna, du behöver bara komma ihåg en, den här: \(c(a-b)=ca-cb\) . Varför? För om du ersätter en istället för c får du regeln \((a-b)=a-b\) . Och om vi ersätter minus ett får vi regeln \(-(a-b)=-a+b\) . Tja, om du ersätter en annan parentes istället för c, kan du få den sista regeln.

Parentes inom en parentes

Ibland uppstår i praktiken problem med konsoler kapslade inuti andra konsoler. Här är ett exempel på en sådan uppgift: förenkla uttrycket \(7x+2(5-(3x+y))\).

För att framgångsrikt lösa sådana uppgifter behöver du:
- noga förstå kapslingen av parentes - vilken är i vilken;
- öppna fästena i tur och ordning, med början till exempel med den innersta.

Det är viktigt när du öppnar ett av fästena rör inte resten av uttrycket, bara att skriva om det som det är.
Låt oss titta på uppgiften ovan som ett exempel.

Exempel. Öppna parenteserna och ge liknande termer \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lösning:

Exempel. Öppna parenteserna och ge liknande termer \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lösning :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Det finns trippel häckning av parenteser här. Låt oss börja med den innersta (markerad i grönt). Det är ett plus framför fästet, så det lossnar helt enkelt.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Nu måste du öppna den andra konsolen, den mellanliggande. Men innan det kommer vi att förenkla uttrycket av de spökliknande termerna i denna andra parentes.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nu öppnar vi den andra konsolen (markerad i blått). Innan parentes är en faktor - så varje term i parentes multipliceras med den.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Och öppna den sista konsolen. Det finns ett minustecken framför fästet, så alla skyltar är omvända.

Att expandera parenteser är en grundläggande färdighet i matematik. Utan denna färdighet är det omöjligt att ha ett betyg över C i årskurs 8 och 9. Därför rekommenderar jag att du förstår detta ämne noggrant.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Den delen av ekvationen är uttrycket inom parentes. För att öppna parenteser, titta på skylten framför parentesen. Om det finns ett plustecken kommer det inte att ändra någonting genom att öppna parenteserna i uttrycket: ta bara bort parenteserna. Om det finns ett minustecken, när du öppnar parentesen, måste du ändra alla tecken som ursprungligen satt i parentesen till de motsatta. Till exempel, -(2x-3)=-2x+3.

Multiplicera två parenteser.
Om ekvationen innehåller produkten av två parenteser, öppna parenteserna enligt standardregel. Varje term i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen. De resulterande siffrorna summeras. I det här fallet ger produkten av två "plus" eller två "minus" termen ett "plus"-tecken, och om faktorerna har olika tecken, får sedan ett minustecken.
Låt oss överväga.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Genom att öppna parenteser, ibland höja ett uttryck till . Formlerna för kvadrering och kubering måste vara kända utantill och komma ihåg.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formler för att konstruera ett uttryck större än tre kan göras med hjälp av Pascals triangel.

Källor:

parentes expansionsformel

Stängd inom parentes matematiska operationer kan innehålla variabler och uttryck varierande grad komplexitet. För att multiplicera sådana uttryck måste du leta efter en lösning i allmän syn, öppna fästena och förenkla resultatet. Om parenteserna innehåller operationer utan variabler, bara med numeriska värden, är det inte nödvändigt att öppna parenteserna, eftersom om du har en dator har dess användare tillgång till mycket betydande datorresurser - det är lättare att använda dem än att förenkla uttrycket.

Instruktioner

Multiplicera sekventiellt varje (eller minuend med ) som finns inom en parentes med innehållet i alla andra parenteser om du vill få resultatet i allmän form. Låt till exempel det ursprungliga uttrycket skrivas så här: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Sedan kommer sekventiell multiplikation (det vill säga att öppna parenteserna) att ge följande resultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Förenkla resultatet genom att förkorta uttrycken. Till exempel kan uttrycket som erhölls i föregående steg förenklas enligt följande: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Använd en miniräknare om du behöver multiplicera x är lika med 4,75, det vill säga (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). För att beräkna detta värde, gå till Googles eller Nigmas sökmotorwebbplats och ange uttrycket i frågefältet i dess ursprungliga form (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google kommer att visa 82.265625 omedelbart, utan att klicka på en knapp, men Nigma måste skicka data till servern med ett klick på en knapp.