Det finns ett oändligt antal platta figurer olika former, både rätt och fel. Allmän egendom alla figurer - någon av dem har ett område. Figurernas ytor är dimensionerna för den del av planet som upptas av dessa figurer, uttryckta i vissa enheter. Denna mängd uttrycks alltid positivt tal. Måttenheten är arean av en kvadrat vars sida är lika med en längdenhet (till exempel en meter eller en centimeter). Den ungefärliga arean av vilken figur som helst kan beräknas genom att multiplicera antalet enhetsrutor i vilka den är dividerad med arean av en kvadrat.

Andra definitioner av detta begrepp är följande:

1. Områdena för enkla figurer är skalära positiva kvantiteter som uppfyller villkoren:

Lika siffror har lika stora ytor;

Om en figur är uppdelad i delar (enkla figurer), så är dess area summan av dessa figurers area;

En kvadrat med en sida av en måttenhet fungerar som en enhet för arean.

2. Ytor av figurer komplex form(polygoner) - positiva kvantiteter som har följande egenskaper:

Lika polygoner har samma areastorlekar;

Om en polygon är uppbyggd av flera andra polygoner är dess area lika med summan av den senares area. Denna regel är giltig för icke-överlappande polygoner.

Det är ett axiom att figurernas area (polygoner) är positiva storheter.

Definitionen av arean av en cirkel ges separat som värdet till vilket arean av en given cirkel inskriven i en cirkel tenderar - trots det faktum att antalet sidor tenderar att vara oändligt.

Områdena med oregelbundet formade figurer (godtyckliga figurer) har ingen definition bara metoderna för att beräkna dem.

Redan i gamla tider var beräkning av arealer en viktig praktisk uppgift för att bestämma storleken på tomter. Reglerna för beräkning av arealer över flera hundra år formulerades av grekiska vetenskapsmän och anges i Euklids element som satser. Det är intressant att reglerna för att bestämma områdena för enkla figurer i dem är desamma som för närvarande. Ytor med en krökt kontur beräknades med hjälp av passagen till gränsen.

Att beräkna arean av en enkel rektangel eller fyrkant), som är bekant för alla från skolan, är ganska enkelt. Det är inte ens nödvändigt att memorera innehållet bokstavsbeteckningar formler för figurernas ytor. Det räcker med att komma ihåg några enkla regler:

2. Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera dess längd med dess bredd. Det är nödvändigt att längden och bredden uttrycks i samma måttenheter.

3. Vi beräknar arean av en komplex figur genom att dela upp den i flera enkla och lägga till de resulterande områdena.

4. En rektangels diagonal delar den i två trianglar vars area är lika med och lika med hälften av dess area.

5. Arean av en triangel beräknas som hälften av produkten av dess höjd och bas.

6. Arean av en cirkel är lika med produkten av kvadraten på radien och det välkända talet "π".

7. Vi beräknar arean av ett parallellogram som produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln som ligger mellan dem.

8. Arean av en romb är ½ resultatet av att multiplicera diagonalerna med sinus för den inre vinkeln.

9. Hitta arean av en trapets genom att multiplicera dess höjd med dess längd mittlinjen, vilket är lika med det aritmetiska medelvärdet av baserna. Ett annat alternativ för att bestämma arean av en trapets är att multiplicera dess diagonaler och sinus för vinkeln som ligger mellan dem.

Barn i grundskola För tydlighetens skull ges ofta uppgifter: hitta området för en figur ritad på papper med hjälp av en palett eller ett ark av genomskinligt papper, uppdelat i rutor. Ett sådant pappersark placeras på figuren som mäts, antalet kompletta celler (areaenheter) som passar i dess kontur räknas, sedan antalet ofullständiga, som delas på hälften.

Lektion om ämnet: "Formler för att bestämma arean av en triangel, rektangel, kvadrat"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i Integrals webbutik för årskurs 5
Simulator för läroboken av I.I. Zubareva och A.G. Mordkovich
Simulator för läroboken av G.V. Dorofeev och L.G

Definition och koncept för arean av en figur

För att bättre förstå vad arean av en figur är, överväg figuren.
Denna godtyckliga figur är uppdelad i 12 små rutor. Sidan på varje kvadrat är 1 cm och arean på varje kvadrat är 1 kvadratcentimeter, vilket skrivs så här: 1 cm 2.

Då är figurens yta 12 kvadratcentimeter. I matematiken betecknas area latinsk bokstav S.
Detta betyder att arean av vår figur är: S-form = 12 cm 2.

Arean av figuren är lika med arean av alla små rutor som utgör den!

Killar, kom ihåg!
Arean mäts i kvadratiska längdenheter. Områdesenheter:
1. Kvadratkilometer - km 2 (när områdena är mycket stora, till exempel ett land eller hav).
2. Kvadratmeter - m2 (ganska lämplig för att mäta arean på en tomt eller lägenhet).
3. Kvadratcentimeter- cm 2 (används vanligtvis i matematiklektioner när man ritar figurer i en anteckningsbok).
4. Kvadratmillimeter - mm 2.

Arean av en triangel

Låt oss överväga två typer av trianglar: rätvinkliga och godtyckliga.

För att hitta arean av en rätvinklig triangel måste du veta längden på basen och höjden. I en rätvinklig triangel ersätts höjden av en av sidorna. Därför, i formeln för arean av en triangel, istället för höjden, ersätter vi en av sidorna.
I vårt exempel är sidorna 7 cm och 4 cm Formeln för att beräkna arean av en triangel är skriven som följer:
S av den räta triangeln ABC = BC * CA: 2

S för rätvinklig triangel ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Tänk nu på en godtycklig triangel.

För en sådan triangel måste du rita höjden till basen.
I vårt exempel är höjden 6 cm och basen 8 cm Som i föregående exempel beräknar vi arean med formeln:
S i en godtycklig triangel ABC = BC * h: 2.

Låt oss ersätta vår data i formeln och få:
S av en godtycklig triangel ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Arean av en rektangel och kvadrat

Ta en rektangel ABCD med sidorna 5 cm och 8 cm.
Formeln för att beräkna arean av en rektangel skrivs enligt följande:
S rektangel ABCD = AB * BC.

S rektangel ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Låt oss nu beräkna arean av kvadraten. Till skillnad från en rektangel och en triangel behöver du bara känna till en sida för att hitta arean på en kvadrat. I vårt exempel är sidan av kvadraten ABCD 9 cm. S kvadrat ABCD = AB * BC = AB 2.

Låt oss ersätta våra data i formeln och få:
S kvadrat ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Rutor geometriska former- numeriska värden som kännetecknar deras storlek i tvådimensionellt utrymme. Detta värde kan mätas i systemenheter och icke-systemenheter. Så, till exempel, en icke-systemisk enhet av area är en hundradel, en hektar. Detta är fallet om ytan som mäts är en bit mark. Systemenheten för area är kvadraten på längden. I SI-systemet är det allmänt accepterat att areaenheten för en plan yta är kvadratmeter. I GHS uttrycks areaenheten som en kvadratcentimeter.

Geometri och areaformler är oupplösligt sammanlänkade. Detta samband ligger i det faktum att beräkningen av arean av plana figurer är baserad exakt på deras tillämpning. För många figurer härleds flera alternativ från vilka deras kvadratiska dimensioner beräknas. Baserat på data från problembeskrivningen kan vi bestämma den enklaste möjliga lösningen. Detta kommer att underlätta beräkningen och minska sannolikheten för beräkningsfel till ett minimum. För att göra detta, överväga huvudområdena för figurer i geometri.

Formler för att hitta arean av en triangel presenteras i flera alternativ:

1) Arean av en triangel beräknas från basen a och höjden h. Basen anses vara den sida av figuren på vilken höjden sänks. Då är arean av triangeln:

2) Arean av en rätvinklig triangel beräknas på samma sätt om hypotenusan anses vara basen. Om vi ​​tar benet som bas, kommer arean av den högra triangeln att vara lika med produkten av benen halverade.

Formlerna för att beräkna arean av en triangel slutar inte där. Ett annat uttryck innehåller sidorna a,b och en sinusformad funktion av vinkeln y mellan a och b. Sinusvärdet finns i tabellerna. Du kan också ta reda på det med hjälp av en miniräknare. Då är arean av triangeln:

Av denna jämlikhet Du kan också se till att arean av en rätvinklig triangel bestäms genom benens längder. Därför att vinkeln γ är en rät vinkel, så arean av en rätvinklig triangel beräknas utan att multipliceras med sinusfunktionen.

3) Tänk på specialfall - vanlig triangel, vars sida a är känd av tillståndet eller vars längd kan hittas i lösningen. Inget mer är känt om figuren i geometriproblemet. Hur hittar man sedan området under detta tillstånd? I det här fallet tillämpas formeln för arean av en vanlig triangel:

Rektangel

Hur hittar man arean på en rektangel och använder måtten på sidorna som har en gemensam vertex? Uttrycket för beräkning är:

Om du behöver använda längderna på diagonalerna för att beräkna arean av en rektangel, behöver du en funktion av sinus för vinkeln som bildas när de skär varandra. Denna formel för arean av en rektangel är:

Fyrkant

Arean av en kvadrat bestäms som andra potensen av sidolängden:

Beviset följer av definitionen att en kvadrat är en rektangel. Alla sidor som bildar en kvadrat har samma dimensioner. Att beräkna arean av en sådan rektangel kommer därför ner på att multiplicera den ena med den andra, det vill säga till andra potensen av sidan. Och formeln för att beräkna arean av en kvadrat kommer att ha den önskade formen.

Arean av en kvadrat kan hittas på ett annat sätt, till exempel om du använder diagonalen:

Hur beräknar man arean av en figur som bildas av en del av ett plan som begränsas av en cirkel? För att beräkna arean är formlerna:

Parallellogram

För ett parallellogram innehåller formeln de linjära dimensionerna av sidan, höjd och matematisk operation - multiplikation. Om höjden är okänd, hur hittar man då parallellogrammets yta? Det finns ett annat sätt att beräkna. Ett visst värde kommer att krävas, vilket kommer att ta trigonometrisk funktion vinkeln som bildas av intilliggande sidor, såväl som deras längd.

Formlerna för arean av ett parallellogram är:

Romb

Hur hittar man området för en fyrhörning som kallas en romb? Arean av en romb bestäms med enkla matematiska operationer med diagonaler. Beviset bygger på att diagonalsegmenten i d1 och d2 skär varandra i räta vinklar. Av sinustabellen kan man se att för rät vinkel denna funktion är lika med en. Därför beräknas arean av en romb enligt följande:

Området för en romb kan också hittas på ett annat sätt. Detta är inte heller svårt att bevisa, med tanke på att dess sidor är lika långa. Ersätt sedan deras produkt med ett liknande uttryck för ett parallellogram. När allt kommer omkring är ett specialfall av denna speciella figur en romb. Här γ - inre hörn romb Arean av en romb bestäms enligt följande:

Trapets

Hur hittar man arean av en trapets genom baserna (a och b), om problemet indikerar deras längder? Här utan känt värde längden på höjden h, kommer det inte att vara möjligt att beräkna arean av en sådan trapets. Därför att detta värde innehåller uttrycket för beräkning:

Den kvadratiska storleken på en rektangulär trapets kan också beräknas på samma sätt. Det tas hänsyn till att i en rektangulär trapets kombineras begreppen höjd och sida. Därför, för en rektangulär trapets, måste du ange längden på sidosidan istället för höjden.

Cylinder och parallellepiped

Låt oss överväga vad som behövs för att beräkna ytan på hela cylindern. Arean av en given figur är ett par cirklar som kallas baser, och sidoyta. De cirklar som bildar cirklar har radielängder lika med r. För arean av en cylinder görs följande beräkning:

Hur hittar man arean av en parallellepiped som består av tre par ansikten? Dess mått matchar det specifika paret. Motsatta ytor har samma parametrar. Först, hitta S(1), S(2), S(3) - de kvadratiska dimensionerna på de ojämna ytorna. Då är parallellepipedens yta:

Ringa

Två cirklar med gemensamt centrum bildar en ring. De begränsar också ringens yta. Samtidigt båda beräkningsformler ta hänsyn till dimensionerna för varje cirkel. Den första av dem, som beräknar ringens area, innehåller de större R och mindre radierna. Oftare kallas de externa och interna. I det andra uttrycket beräknas ringens area genom de större D- och mindre d-diametrarna. Således beräknas ringens area baserat på kända radier enligt följande:

Ringens area, med hjälp av diametrarnas längder, bestäms enligt följande:

Polygon

Hur hittar man området för en polygon vars form inte är regelbunden? Allmän formel Det finns inga sådana siffror för area. Men om hon är avbildad på koordinatplan det kan till exempel vara rutigt papper, hur hittar man då ytan i det här fallet? Här använder man en metod som inte kräver att man ungefär mäter figuren. De gör så här: om de hittar punkter som faller in i hörnet av cellen eller har hela koordinater, så tas bara hänsyn till dem. För att sedan ta reda på vad området är, använd formeln som bevisats av Peake. Det är nödvändigt att lägga till antalet punkter som ligger inuti den streckade linjen med hälften av punkterna som ligger på den, och subtrahera en, det vill säga det beräknas på detta sätt:

där B, G är antalet punkter placerade inuti och på hela den streckade linjen, respektive.

Viktiga anteckningar!
1. Om du ser gobbledygook istället för formler, rensa cacheminnet. Hur du gör detta i din webbläsare står här:
2. Innan du börjar läsa artikeln, var uppmärksam på vår navigator för det mesta användbar resurs För

Så här hittar du området för figurer på rutigt papper:

Låt oss illustrera första vägen.

Anta att du behöver hitta området för en sådan trapets, byggd på ett pappersark i en bur

Vi räknar bara cellerna och ser det i vårt fall, och. Ersätt i formeln:

Det verkar till och med rektangulärt och, men vad är det lika med, och vad är det lika? Hur får man reda på det? Låt oss använda båda metoderna för fullständig tydlighet.

Metod I

Metod II (jag ska berätta en hemlighet - den här metoden är bättre!)

Vi måste omge vår figur med en rektangel. Så här:

Resultatet blev en (behövlig) triangel inuti och tre onödiga trianglar utanför. Men områdena för dessa onödiga trianglar beräknas lätt på ett rutigt papper!

Så vi kommer att räkna dem och sedan helt enkelt subtrahera dem från hela rektangeln.

Varför är denna metod bättre? Därför att det fungerar även för de mest listiga figurerna.

Vi omger den med en rektangel och återigen får vi ett nödvändigt, men komplext område och många onödiga, men enkla.

Nu, för att hitta arean, hittar vi helt enkelt rektangelns area och subtraherar från den den återstående arean av figurerna på det rutiga papperet.

KVADRATUR AV FIGURERNA PÅ RUNT PAPPER. SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMLER

Algoritm för att hitta arean av figurer på rutigt papper:

Metod 1: (bekvämt för standardformer: triangel, trapets, etc.)

1. Genom att räkna cellerna och tillämpa enkla satser, hitta de sidor, höjder, diagonaler som krävs för att tillämpa areaformeln.
2. Ersätt de hittade värdena i areaekvationen.

Metod 2: (mycket bekvämt för komplexa figurer, men inte heller dåligt för enkla)

1. Komplettera önskad figur till en rektangel.
2. Hitta arean för alla resulterande ytterligare figurer och arean av själva rektangeln.
3. Från arean av rektangeln, subtrahera summan av areorna för alla extra former.

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrik klara Unified State Exam, för antagning till college på en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som tagit emot bra utbildning, tjänar mycket mer än de som inte fick det. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer att behöva lösa problem mot tiden.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

1. Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln -
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - Köp en lärobok - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.

Och avslutningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Stanna bara inte vid teorin.

”Förstå” och ”Jag kan lösa” är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

För att lösa geometriproblem behöver du känna till formler - såsom arean av en triangel eller arean av en parallellogram - samt enkla tekniker, som vi kommer att prata om.

Låt oss först lära oss formlerna för figurernas områden. Vi har speciellt samlat dem i ett bekvämt bord. Skriv ut, lär och tillämpa!

Naturligtvis finns inte alla geometriformler i vår tabell. Till exempel att lösa problem inom geometri och stereometri i den andra delen profil Unified State Examination I matematik används också andra formler för arean av en triangel. Vi kommer definitivt att berätta om dem.

Men vad händer om du inte behöver hitta arean av en trapets eller triangel, utan arean av en komplex figur? Det finns universella sätt! Vi kommer att visa dem med hjälp av exempel från FIPI-uppgiftsbanken.

1. Hur hittar man området för en icke-standardfigur? Till exempel en godtycklig fyrhörning? En enkel teknik - låt oss dela upp denna figur i de som vi vet allt om, och hitta dess area - som summan av dessa figurers arealer.

Dela denna fyrhörning med en horisontell linje i två trianglar med gemensam grund, lika med . Höjden på dessa trianglar är lika med och . Då är fyrhörningens area lika med summan av de två trianglarnas area: .

Svar: .

2. I vissa fall kan arean av en figur representeras som skillnaden mellan vissa områden.

Det är inte så lätt att räkna ut vad basen och höjden är i denna triangel! Men vi kan säga att dess area är lika med skillnaden mellan ytorna på en kvadrat med en sida och tre räta trianglar. Ser du dem på bilden? Vi får:.

Svar: .

3. Ibland i en uppgift måste du hitta arean av inte hela figuren, utan en del av den. Vanligtvis talar vi om arean av en sektor - del av en cirkel Hitta arean av en sektor av en cirkel med radie vars båglängd är lika med .

På den här bilden ser vi en del av en cirkel. Arean av hela cirkeln är lika med . Det återstår att ta reda på vilken del av cirkeln som är avbildad. Eftersom längden på hela cirkeln är lika (sedan ), och längden på bågen av en given sektor är lika med , därför är längden på bågen flera gånger mindre än längden på hela cirkeln. Vinkeln vid vilken denna båge vilar är också en faktor som är mindre än en hel cirkel (det vill säga grader). Detta innebär att området för sektorn kommer att vara flera gånger mindre än hela cirkelns yta.