Visar sambandet mellan derivatans tecken och arten av funktionens monotoni.

Var extremt försiktig med följande. Titta, schemat för VAD som ges till dig! Funktion eller dess derivata

Om det ges en graf över derivatan, då är vi bara intresserade av funktionstecken och nollor. Vi är inte intresserade av några "kullar" eller "hålor" i princip!

Uppgift 1.

Figuren visar en graf över en funktion definierad på intervallet. Bestäm antalet heltalspunkter där derivatan av funktionen är negativ.

Lösning:

I figuren är områdena med minskande funktion markerade i färg:

Dessa minskande regioner av funktionen innehåller 4 heltalsvärden.

Uppgift 2.

Figuren visar en graf över en funktion definierad på intervallet. Hitta antalet punkter där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med linjen.

Lösning:

När tangenten till grafen för en funktion är parallell (eller sammanfaller) med en rät linje (eller, vilket är samma sak), har sluttning, lika med noll, då har tangenten en vinkelkoefficient .

Detta innebär i sin tur att tangenten är parallell med axeln, eftersom lutningen är tangenten för lutningsvinkeln för tangenten till axeln.

Därför hittar vi extrema punkter (maximum och minimipunkter) på grafen - det är vid dessa punkter som funktionerna som tangerar grafen kommer att vara parallella med axeln.

Det finns 4 sådana punkter.

Uppgift 3.

Figuren visar en graf över derivatan av en funktion definierad på intervallet. Hitta antalet punkter där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med linjen.

Lösning:

Eftersom tangenten till grafen för en funktion är parallell (eller sammanfaller) med en linje som har en lutning, så har tangenten också en lutning.

Detta innebär i sin tur att vid beröringspunkterna.

Därför tittar vi på hur många punkter på grafen som har en ordinata lika med .

Som du kan se finns det fyra sådana punkter.

Uppgift 4.

Figuren visar en graf över en funktion definierad på intervallet. Hitta antalet punkter där derivatan av funktionen är 0.

Lösning:

Derivatan är lika med noll vid extrema punkter. Vi har 4 av dem:

Uppgift 5.

Figuren visar en graf över en funktion och elva punkter på x-axeln:. Vid hur många av dessa punkter är derivatan av funktionen negativ?

Lösning:

Vid intervaller av minskande funktion tar dess derivata negativa värden. Och funktionen minskar punktvis. Det finns 4 sådana punkter.

Uppgift 6.

Figuren visar en graf över en funktion definierad på intervallet. Hitta summan av funktionens extrema punkter.

Lösning:

Extrema poäng– dessa är maxpoäng (-3, -1, 1) och minimipoäng (-2, 0, 3).

Summan av extrema punkter: -3-1+1-2+0+3=-2.

Uppgift 7.

Figuren visar en graf över derivatan av en funktion definierad på intervallet. Hitta ökningsintervallen för funktionen. I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Lösning:

Figuren belyser intervallen där derivatan av funktionen är icke-negativ.

Det finns inga heltalspunkter på det lilla ökande intervallet finns det fyra heltalsvärden: , , och .

Deras summa:

Uppgift 8.

Figuren visar en graf över derivatan av en funktion definierad på intervallet. Hitta ökningsintervallen för funktionen. I ditt svar, ange längden på den största av dem.

Lösning:

I figuren är alla intervall där derivatan är positiv markerade i färg, vilket betyder att själva funktionen ökar på dessa intervall.

Längden på den största av dem är 6.

Uppgift 9.

Figuren visar en graf över derivatan av en funktion definierad på intervallet. Vid vilken tidpunkt på segmentet får det störst värde?

Lösning:

Låt oss se hur grafen beter sig på segmentet, vilket är det vi är intresserade av endast derivatans tecken .

Tecknet för derivatan på är minus, eftersom grafen på detta segment ligger under axeln.

Instruktioner

Vi bestämmer vinkelkoefficienten för tangenten till kurvan i punkt M.
Kurvan som representerar grafen för funktionen y = f(x) är kontinuerlig i ett visst område av punkten M (inklusive själva punkten M).

Om värdet f‘(x0) inte finns, så finns det antingen ingen tangent eller så går det vertikalt. Med tanke på detta beror närvaron av en derivata av funktionen i punkten x0 på förekomsten av en icke-vertikal tangent till grafen för funktionen i punkten (x0, f(x0)). I detta fall kommer tangentens vinkelkoefficient att vara lika med f "(x0). Således blir den geometriska betydelsen av derivatan tydlig - beräkningen av tangentens vinkelkoefficient.

Hitta abskissvärdet för tangentpunkten, som betecknas med bokstaven "a". Om den sammanfaller med en given tangentpunkt kommer "a" att vara dess x-koordinat. Bestäm värdet funktioner f(a) genom att substituera in i ekvationen funktioner abskissvärde.

Bestäm den första derivatan av ekvationen funktioner f'(x) och ersätt värdet av punkt "a" i det.

Ta allmän ekvation tangent, som definieras som y = f(a) = f (a)(x – a), och ersätt de hittade värdena av a, f(a), f "(a) i den. Som ett resultat, lösningen till grafen och tangenten kommer att hittas.

Lös problemet på ett annat sätt om den givna tangentpunkten inte sammanfaller med tangentpunkten. I det här fallet är det nödvändigt att ersätta "a" istället för siffror i tangentekvationen. Efter detta, istället för bokstäverna "x" och "y", ersätt värdet på koordinaterna för den givna punkten. Lös den resulterande ekvationen där "a" är det okända. Koppla in det resulterande värdet i tangentekvationen.

Skriv en ekvation för en tangent med bokstaven "a" om problemformuleringen anger ekvationen funktioner och ekvationen för en parallell linje i förhållande till den önskade tangenten. Efter detta behöver vi derivatan funktioner, till koordinaten vid punkt "a". Ersätt lämpligt värde i tangentekvationen och lös funktionen.

Y = f(x) och om vid denna punkt en tangent kan dras till grafen för funktionen som inte är vinkelrät mot abskissaxeln, så är tangentens vinkelkoefficient lika med f"(a). Vi har redan använde detta flera gånger Till exempel, i § 33 fastställdes att grafen för funktionen y = sin x (sinusformad) vid origo bildar en vinkel på 45° med x-axeln (närmare bestämt tangenten till den. grafen vid origo gör en vinkel på 45° med x-axelns positiva riktning), och i exempel 5 § 33 hittades punkter enligt schema funktioner, där tangenten är parallell med x-axeln. I exempel 2 i § 33 upprättades en ekvation för tangenten till grafen för funktionen y = x 2 i punkten x = 1 (närmare bestämt, i punkten (1; 1), men oftare är bara abskissvärdet indikeras, och tror att om abskissvärdet är känt, så kan ordinatan hittas från ekvationen y = f(x)). I det här avsnittet kommer vi att utveckla en algoritm för att komponera en tangentekvation till grafen för en funktion.

Låt funktionen y = f(x) och punkten M (a; f(a)) ges, och låt det också vara känt att f"(a) finns. Låt oss skapa en ekvation för tangenten till grafen given funktion V given poäng. Denna ekvation, liksom ekvationen för alla räta linjer som inte är parallella med ordinataaxeln, har formen y = kx+m, så uppgiften är att hitta värdena för koefficienterna k och m.

Det finns inga problem med vinkelkoefficienten k: vi vet att k = f "(a). För att beräkna värdet på m använder vi det faktum att den önskade räta linjen går genom punkten M(a; f (a)) Detta betyder att om vi ersätter koordinaterna punkt M i ekvationen för den räta linjen, får vi den korrekta likheten: f(a) = ka+m, från vilken vi finner att m = f(a) - ka.
Det återstår att ersätta de hittade värdena för kitkoefficienterna ekvation direkt:

Vi har fått ekvationen för tangenten till grafen för funktionen y = f(x) i punkten x=a.
Om, säg,
Genom att ersätta de hittade värdena a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 i ekvation (1), får vi: y = 1+2(x-f), d.v.s. y = 2x-1.
Jämför detta resultat med det som erhölls i exempel 2 från § 33. Naturligtvis hände samma sak.
Låt oss skapa en ekvation för tangenten till grafen för funktionen y = tan x vid origo. Vi har: detta betyder cos x f"(0) = 1. Genom att ersätta de hittade värdena a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 i ekvation (1), får vi: y = x.
Det är därför vi ritade tangentoiden i § 15 (se fig. 62) genom origo för koordinater i en vinkel på 45° mot abskissaxeln.
Löser dessa tillräckligt enkla exempel, använde vi faktiskt en viss algoritm, som finns i formel (1). Låt oss göra den här algoritmen tydlig.

ALGORITM FÖR ATT UTVECKLA EN EKVATION FÖR EN TANGENT TILL FUNKTIONENS GRAFI y = f(x)

1) Beteckna tangentpunktens abskiss med bokstaven a.
2) Beräkna 1 (a).
3) Hitta f"(x) och beräkna f"(a).
4) Ersätt de hittade talen a, f(a), (a) med formel (1).

Exempel 1. Skriv en ekvation för tangenten till grafen för funktionen i punkten x = 1.
Låt oss använda algoritmen, med hänsyn till det i i detta exempel

I fig. 126 en hyperbel avbildas, en rät linje y = 2 konstrueras.
Ritningen bekräftar ovanstående beräkningar: den räta linjen y = 2 vidrör hyperbeln vid punkten (1; 1).

Svar: y = 2-x.
Exempel 2. Rita en tangent till grafen för funktionen så att den är parallell med linjen y = 4x - 5.
Låt oss klargöra problemformuleringen. Kravet att "rita en tangent" betyder vanligtvis "att bilda en ekvation för tangenten." Detta är logiskt, för om en person kunde skapa en ekvation för en tangent, då är det osannolikt att han har svårt att konstruera på koordinatplan rät linje enligt hennes ekvation.
Låt oss använda algoritmen för att komponera tangentekvationen, med hänsyn till att i det här exemplet. Men till skillnad från det föregående exemplet finns det tvetydighet: tangentpunktens abskiss är inte explicit indikerad.
Låt oss börja tänka så här. Den önskade tangenten måste vara parallell med den räta linjen y = 4x-5. Två linjer är parallella om och endast om deras lutning är lika. Detta betyder att vinkelkoefficienten för tangenten måste vara lika med vinkelkoefficienten för den givna räta linjen: Således kan vi hitta värdet på a från ekvationen f"(a) = 4.
Vi har:
Från ekvationen Detta betyder att det finns två tangenter som uppfyller problemets villkor: en vid punkten med abskissan 2, den andra i punkten med abskissan -2.
Nu kan du följa algoritmen.

Exempel 3. Från punkt (0; 1) rita en tangent till grafen för funktionen
Låt oss använda algoritmen för att komponera tangentekvationen, med hänsyn till att i detta exempel, Observera att här, som i exempel 2, är abskissan för tangentpunkten inte explicit indikerad. Ändå följer vi algoritmen.

Som villkor passerar tangenten genom punkten (0; 1). Genom att ersätta värdena x = 0, y = 1 i ekvation (2), får vi:
Som du kan se, i det här exemplet, lyckades vi bara i det fjärde steget av algoritmen hitta abskissan för tangentpunkten. Genom att ersätta värdet a =4 i ekvation (2) får vi:

I fig. 127 presenterar en geometrisk illustration av det övervägda exemplet: en graf över funktionen plottas

I § 32 noterade vi att för en funktion y = f(x), som har en derivata vid en fixpunkt x, är den ungefärliga likheten giltig:

För att underlätta ytterligare resonemang, låt oss ändra notationen: istället för x kommer vi att skriva a, istället för att vi skriver x och följaktligen kommer vi att skriva x-a istället för. Då kommer den ungefärliga likheten skriven ovan att ta formen:

Titta nu på fig. 128. En tangent dras till grafen för funktionen y = f(x) i punkten M (a; f (a)). Punkten x är markerad på x-axeln nära a. Det är tydligt att f(x) är ordinatan för grafen för funktionen vid den angivna punkten x. Vad är f(a) + f"(a) (x-a)? Detta är ordinatan för tangenten som motsvarar samma punkt x - se formel (1). Vad är meningen med den ungefärliga likheten (3)? Faktum att För att beräkna funktionens ungefärliga värde, ta tangentens ordinata.

Exempel 4. Hitta ungefärligt värde numeriskt uttryck 1,02 7 .
Vi talar om att hitta värdet på funktionen y = x 7 i punkten x = 1,02. Låt oss använda formel (3), med hänsyn till det i detta exempel
Som ett resultat får vi:

Om vi använder en miniräknare får vi: 1,02 7 = 1,148685667...
Som du kan se är approximationsnoggrannheten ganska acceptabel.
Svar: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10:e klass

Kalendertematisk planering i matematik, video i matematik online, Matematik i skolan ladda ner

Lektionens innehåll lektionsanteckningar stödja frame lektion presentation acceleration metoder interaktiv teknik Öva uppgifter och övningar självtest workshops, utbildningar, fall, uppdrag hemläxa diskussionsfrågor retoriska frågor från studenter Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder, grafik, tabeller, diagram, humor, anekdoter, skämt, serier, liknelser, ordspråk, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar knep för nyfikna spjälsängar läroböcker grundläggande och ytterligare ordbok över termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i en lärobok, inslag av innovation i lektionen, ersätta föråldrad kunskap med nya. Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året metodiska rekommendationer diskussionsprogram Integrerade lektioner

Ekvation för tangenten till grafen för en funktion

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk regionen

Ekvation för tangenten till grafen för en funktion

Artikeln publicerades med stöd av ITAKA+ Hotel Complex. När du bor i varvsbyggarnas stad Severodvinsk kommer du inte att stöta på problemet med att hitta tillfälliga bostäder. , på webbplatsen för hotellkomplexet "ITHAKA+" http://itakaplus.ru, kan du enkelt och snabbt hyra en lägenhet i staden, för vilken period som helst, med en daglig betalning.

På modern scen utveckling av utbildning, en av dess huvuduppgifter är bildandet av en kreativt tänkande personlighet. Förmågan till kreativitet hos eleverna kan utvecklas endast om de systematiskt är involverade i forskningsverksamhetens grunder. Grunden för att eleverna ska använda sina kreativa krafter, förmågor och talanger är bildade fullfjädrade kunskaper och färdigheter. I detta avseende är problemet med att bilda ett system med grundläggande kunskaper och färdigheter för varje ämne i skolans matematikkurs av ingen liten betydelse. Samtidigt bör fullfjädrade färdigheter vara det didaktiska målet inte för individuella uppgifter, utan för ett noggrant genomtänkt system av dem. I vid bemärkelse förstås ett system som en uppsättning sammankopplade interagerande element som har integritet och en stabil struktur.

Låt oss överväga en teknik för att lära elever hur man skriver en ekvation för en tangent till grafen för en funktion. I huvudsak beror alla problem med att hitta tangentekvationen på behovet att välja från en uppsättning (bunt, familj) av linjer de som uppfyller ett visst krav - de tangerar grafen för en viss funktion. I det här fallet kan uppsättningen rader från vilka valet utförs specificeras på två sätt:

a) en punkt som ligger på xOy-planet (central penna av linjer);
b) vinkelkoefficient (parallell stråle av räta linjer).

I detta avseende, när vi studerade ämnet "Tangent till grafen för en funktion" för att isolera elementen i systemet, identifierade vi två typer av problem:

1) problem på en tangent som ges av punkten genom vilken den passerar;
2) problem på en tangent som ges av dess lutning.

Träning i att lösa tangentproblem genomfördes med hjälp av den algoritm som A.G. Mordkovich. Hans grundläggande skillnad från de redan kända är att tangenspunktens abskiss betecknas med bokstaven a (istället för x0), och därför antar tangentekvationen formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(jämför med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Detta metodisk teknik, enligt vår mening, låter eleverna snabbt och enkelt förstå var i den allmänna tangentekvationen koordinaterna för den aktuella punkten är skrivna och var tangentpunkterna finns.

Algoritm för att sammanställa tangentekvationen till grafen för funktionen y = f(x)

1. Beteckna tangentpunktens abskiss med bokstaven a.
2. Hitta f(a).
3. Hitta f "(x) och f "(a).
4. Ersätt de hittade talen a, f(a), f "(a) i den allmänna tangentekvationen y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denna algoritm kan sammanställas på basis av elevernas oberoende identifiering av operationer och sekvensen av deras implementering.

Övning har visat att den sekventiella lösningen av vart och ett av nyckelproblemen med hjälp av en algoritm låter dig utveckla färdigheterna att skriva ekvationen för en tangent till grafen för en funktion i steg, och stegen i algoritmen fungerar som referenspunkter för åtgärder . Detta tillvägagångssätt motsvarar teorin om gradvis bildande av mentala handlingar som utvecklats av P.Ya. Galperin och N.F. Talyzina.

I den första typen av uppgifter identifierades två nyckeluppgifter:

tangenten passerar genom en punkt som ligger på kurvan (problem 1);
tangenten går genom en punkt som inte ligger på kurvan (problem 2).

Uppgift 1. Skriv en ekvation för tangenten till funktionens graf vid punkt M(3; – 2).

Lösning. Punkt M(3; – 2) är en tangentpunkt, eftersom

1. a = 3 – abskissan för tangentpunkten.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentekvation.

Uppgift 2. Skriv ekvationerna för alla tangenter till grafen för funktionen y = – x 2 – 4x + 2 som går genom punkten M(– 3; 6).

Lösning. Punkt M(– 3; 6) är inte en tangentpunkt, eftersom f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentekvation.

Tangenten passerar genom punkten M(– 3; 6), därför uppfyller dess koordinater tangentekvationen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Om a = – 4 är tangentekvationen y = 4x + 18.

Om a = – 2 har tangentekvationen formen y = 6.

I den andra typen kommer nyckeluppgifterna att vara följande:

tangenten är parallell med någon linje (uppgift 3);
tangenten passerar i en viss vinkel till den givna linjen (uppgift 4).

Uppgift 3. Skriv ekvationerna för alla tangenter till grafen för funktionen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallellt med linjen y = 9x + 1.

Lösning.

1. a – abskissan för tangentpunkten.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men å andra sidan är f "(a) = 9 (parallellismvillkor). Det betyder att vi måste lösa ekvationen 3a 2 – 6a = 9. Dess rötter är a = – 1, a = 3 (Fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangentekvation;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentekvation.

Uppgift 4. Skriv ekvationen för tangenten till grafen för funktionen y = 0,5x 2 – 3x + 1, passerande i en vinkel på 45° mot den räta linjen y = 0 (Fig. 4).

Lösning. Från villkoret f "(a) = tan 45° finner vi a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abskissan för tangentpunkten.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentekvation.

Det är lätt att visa att att lösa alla andra problem handlar om att lösa ett eller flera nyckelproblem. Betrakta följande två problem som ett exempel.

1. Skriv ekvationerna för tangenterna till parabeln y = 2x 2 – 5x – 2, om tangenterna skär varandra i rät vinkel och en av dem vidrör parabeln i punkten med abskissan 3 (fig. 5).

Lösning. Eftersom tangenspunktens abskiss är given reduceras den första delen av lösningen till nyckelproblem 1.

1. a = 3 – abskissan av tangenspunkten för en av sidorna av den räta vinkeln.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ekvationen för den första tangenten.

Låt a – Den första tangentens lutningsvinkel. Eftersom tangenterna är vinkelräta, är lutningsvinkeln för den andra tangenten. Från ekvationen y = 7x – 20 för den första tangenten har vi tg a = 7. Låt oss hitta

Det betyder att lutningen på den andra tangenten är lika med .

Den ytterligare lösningen kommer till nyckeluppgift 3.

Låt B(c; f(c)) vara tangenspunkten för den andra linjen

1. – abskissan av den andra tangenspunkten.
2.
3.
4.
– ekvationen för den andra tangenten.

Notera. Tangentens vinkelkoefficient kan lättare hittas om eleverna känner till förhållandet mellan koefficienterna för vinkelräta linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv ekvationerna för alla vanliga tangenter till graferna för funktioner

Lösning. Uppgiften går ut på att hitta abskissan för tangentpunkterna för vanliga tangenter, det vill säga lösa nyckelproblem 1 i allmän form, rita upp ett ekvationssystem och sedan lösa det (fig. 6).

1. Låt a vara abskissan för tangentpunkten som ligger på grafen för funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

1. Låt c vara abskissan för tangentpunkten som ligger på grafen för funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Eftersom tangenter är generella, alltså

Så y = x + 1 och y = – 3x – 3 är vanliga tangenter.

Huvudmålet med de övervägda uppgifterna är att förbereda eleverna att självständigt känna igen typen av nyckelproblem när de löser mer komplexa problem som kräver vissa forskningsfärdigheter (förmågan att analysera, jämföra, generalisera, lägga fram en hypotes, etc.). Sådana uppgifter inkluderar alla uppgifter där nyckeluppgiften ingår som en komponent. Låt oss som ett exempel betrakta problemet (inverst till uppgift 1) att hitta en funktion från familjen av dess tangenter.

3. För vilka b och c tangerar linjerna y = x och y = – 2x grafen för funktionen y = x 2 + bx + c?

Lösning.

Låt t vara abskissan för tangenspunkten för den räta linjen y = x med parabeln y = x 2 + bx + c; p är abskissan för tangenspunkten för den räta linjen y = – 2x med parabeln y = x 2 + bx + c. Då kommer tangentekvationen y = x att ha formen y = (2t + b)x + c – t 2 , och tangentekvationen y = – 2x kommer att ha formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Låt oss komponera och lösa ett ekvationssystem

Svar:

Problem att lösa självständigt

1. Skriv ekvationerna för tangenterna som ritas till grafen för funktionen y = 2x 2 – 4x + 3 vid grafens skärningspunkter med linjen y = x + 3.

Svar: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. För vilka värden av a passerar tangenten som ritas till grafen för funktionen y = x 2 – ax vid grafens punkt med abskissan x 0 = 1 genom punkten M(2; 3)?

Svar: a = 0,5.

3. För vilka värden av p rör den räta linjen y = px – 5 kurvan y = 3x 2 – 4x – 2?

Svar: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Hitta alla vanliga punkter i grafen för funktionen y = 3x – x 3 och tangenten som dras till denna graf genom punkten P(0; 16).

Svar: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Hitta det kortaste avståndet mellan parabeln y = x 2 + 6x + 10 och den räta linjen

Svar:

6. På kurvan y = x 2 – x + 1, hitta den punkt där tangenten till grafen är parallell med den räta linjen y – 3x + 1 = 0.

Svar: M(2; 3).

7. Skriv ekvationen för tangenten till grafen för funktionen y = x 2 + 2x – | 4x |, som vidrör den vid två punkter. Gör en ritning.

Svar: y = 2x – 4.

8. Bevisa att linjen y = 2x – 1 inte skär kurvan y = x 4 + 3x 2 + 2x. Hitta avståndet mellan deras närmaste punkter.

Svar:

9. På parabeln y = x 2 tas två punkter med abskiss x 1 = 1, x 2 = 3. Genom dessa punkter dras en sekant. Vid vilken punkt av parabeln kommer tangenten till den att vara parallell med sekanten? Skriv sekant- och tangentekvationerna.

Svar: y = 4x – 3 – sekantsekvation; y = 4x – 4 – tangentekvation.

10. Hitta vinkeln q mellan tangenterna till grafen för funktionen y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, ritade i punkterna med abskissorna 0 och 1.

Svar: q = 45°.

11. Vid vilka punkter bildar tangenten till funktionens graf en vinkel på 135° med Ox-axeln?

Svar: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Vid punkt A(1; 8) till kurvan en tangent ritas. Hitta längden på tangentsegmentet mellan koordinataxlarna.

Svar:

13. Skriv ekvationen för alla vanliga tangenter till graferna för funktionerna y = x 2 – x + 1 och y = 2x 2 – x + 0,5.

Svar: y = – 3x och y = x.

14. Hitta avståndet mellan tangenterna till funktionens graf parallellt med axeln abskissa.

Svar:

15. Bestäm med vilka vinklar parabeln y = x 2 + 2x – 8 skär x-axeln.

Svar: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Funktionsdiagram hitta alla punkter, varvid tangenten vid var och en av denna graf skär de positiva halvaxlarna för koordinater och skär av lika segment från dem.

Svar: A(– 3; 11).

17. Linjen y = 2x + 7 och parabeln y = x 2 – 1 skär varandra i punkterna M och N. Hitta skärningspunkten K för de linjer som tangerar parabeln i punkterna M och N.

Svar: K(1; – 9).

18. För vilka värden av b tangerar linjen y = 9x + b grafen för funktionen y = x 3 – 3x + 15?

Svar: – 1; 31.

19. För vilka värden av k har den räta linjen y = kx – 10 endast en gemensam punkt med grafen för funktionen y = 2x 2 + 3x – 2? För de hittade värdena för k, bestäm koordinaterna för punkten.

Svar: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. För vilka värden av b går tangenten som ritas till grafen för funktionen y = bx 3 – 2x 2 – 4 i punkten med abskissan x 0 = 2 genom punkten M(1; 8)?

Svar: b = – 3.

21. En parabel med en vertex på Ox-axeln vidrör linjen som går genom punkterna A(1; 2) och B(2; 4) vid punkt B. Hitta parabelns ekvation.

Svar:

22. Vid vilket värde av koefficienten k vidrör parabeln y = x 2 + kx + 1 Ox-axeln?

Svar: k = d 2.

23. Hitta vinklarna mellan den räta linjen y = x + 2 och kurvan y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Hitta avståndet mellan tangenterna till funktionens graf och generatorerna med Ox-axelns positiva riktning i en vinkel på 45°.

Svar:

30. Hitta platsen för hörnen för alla paraboler av formen y = x 2 + ax + b tangenten till linjen y = 4x – 1.

Svar: rak linje y = 4x + 3.

Litteratur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra och början av analys: 3600 problem för skolbarn och de som går in på universitet. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminarium fyra för unga lärare. Ämne: Derivatapplikationer. – M., ”Matematik”, nr 21/94.
3. Bildande av kunskap och färdigheter baserad på teorin om gradvis assimilering av mentala handlingar.

Låt en funktion f ges, som någon gång x 0 har en finit derivata f (x 0). Då kallas den räta linjen som går genom punkten (x 0 ; f (x 0)), som har en vinkelkoefficient f ’(x 0), en tangent.

Vad händer om derivatan inte finns i punkten x 0? Det finns två alternativ:

Det finns ingen tangent till grafen heller. Klassiskt exempel- funktion y = |x | vid punkt (0; 0).
Tangenten blir vertikal. Detta gäller till exempel för funktionen y = arcsin x i punkten (1; π /2).

Tangentekvation

Varje icke-vertikal rät linje ges av en ekvation av formen y = kx + b, där k är lutningen. Tangenten är inget undantag, och för att skapa sin ekvation vid någon punkt x 0 räcker det att veta värdet på funktionen och derivatan vid denna punkt.

Så låt en funktion y = f (x) ges, som har en derivata y = f ’(x) på segmentet. Sedan kan en tangent vid vilken punkt som helst x 0 ∈ (a; b) dras till grafen för denna funktion, som ges av ekvationen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Här är f ’(x 0) värdet på derivatan vid punkt x 0, och f (x 0) är värdet på själva funktionen.

Uppgift. Givet funktionen y = x 3 . Skriv en ekvation för tangenten till grafen för denna funktion i punkten x 0 = 2.

Tangentekvation: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punkten x 0 = 2 ges till oss, men värdena f (x 0) och f ’(x 0) måste beräknas.

Låt oss först hitta värdet på funktionen. Allt är enkelt här: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Låt oss nu hitta derivatan: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Vi ersätter x 0 = 2 i derivatan: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Totalt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Detta är tangentekvationen.

Uppgift. Skriv en ekvation för tangenten till grafen för funktionen f (x) = 2sin x + 5 i punkten x 0 = π /2.

Den här gången kommer vi inte att beskriva varje åtgärd i detalj - vi kommer bara att ange nyckelstegen. Vi har:

f (x 0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentekvation:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I det senare fallet visade sig den raka linjen vara horisontell, eftersom dess vinkelkoefficient k = 0. Det är inget fel med detta - vi snubblade precis över en extremumpunkt.