När man löser många matematiska problem , särskilt de som inträffar före årskurs 10, är ​​ordningen för utförda åtgärder som kommer att leda till målet tydligt definierade. Sådana problem inkluderar till exempel linjära och andragradsekvationer, linjära och kvadratiska ojämlikheter, bråkekvationer och ekvationer som reduceras till kvadratisk. Principen för att framgångsrikt lösa vart och ett av de nämnda problemen är som följer: du måste fastställa vilken typ av problem du löser, kom ihåg den nödvändiga sekvensen av åtgärder som kommer att leda till det önskade resultatet, d.v.s. svara och följ dessa steg.

Det är uppenbart att framgång eller misslyckande med att lösa ett visst problem främst beror på hur korrekt den typ av ekvation som löses bestäms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess lösning reproduceras. Naturligtvis är det i det här fallet nödvändigt att ha färdigheter för att utföra identiska transformationer och beräkningar.

Situationen är annorlunda med trigonometriska ekvationer. Det är inte alls svårt att fastställa att ekvationen är trigonometrisk. Svårigheter uppstår när man ska bestämma sekvensen av åtgärder som skulle leda till rätt svar.

Av utseende ekvation är det ibland svårt att bestämma dess typ. Och utan att känna till typen av ekvation är det nästan omöjligt att välja rätt bland flera dussin trigonometriska formler.

För att lösa en trigonometrisk ekvation måste du försöka:

1. föra alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "identiska funktioner";
3. faktorisera vänster sida av ekvationen osv.

Låt oss överväga grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

Lösningsdiagram

Steg 1. Uttrycka trigonometrisk funktion genom kända komponenter.

Steg 2. Hitta funktionsargumentet med hjälp av formlerna:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n båge a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Steg 3. Hitta den okända variabeln.

Exempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel ersättning

Lösningsdiagram

Steg 1. Reducera ekvationen till algebraisk form med avseende på en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2. Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inför vid behov begränsningar för t).

Steg 3. Skriv ner och lös den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4. Gör en omvänd ersättning.

Steg 5. Lös den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Låt sin (x/2) = t, där |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, uppfyller inte villkoret |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod för ekvationsordning

Lösningsdiagram

Steg 1. Ersätt denna ekvation med en linjär, med hjälp av formeln för att minska graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

Lösningsdiagram

Steg 1. Reducera denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogen ekvation första graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2. Dividera båda sidor av ekvationen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

och få ekvationen för tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Steg 3. Lös ekvationen med kända metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Låt då tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, vilket betyder

tg x = 1 eller tg x = -4.

Från den första ekvationen x = π/4 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metod för att transformera en ekvation med hjälp av trigonometriska formler

Lösningsdiagram

Steg 1. Använd alla möjliga trigonometriska formler och reducera denna ekvation till en ekvation löst med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med hjälp av kända metoder.

Exempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Lösning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Från den första ekvationen 2x = π/2 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; från den andra ekvationen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som ett resultat är x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Förmågan och skickligheten att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktigt, deras utveckling kräver betydande ansträngningar, både från elevens och lärarens sida.

Många problem med stereometri, fysik, etc. är förknippade med lösningen av trigonometriska ekvationer. Processen att lösa sådana problem förkroppsligar många av de kunskaper och färdigheter som förvärvas genom att studera elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer inta en viktig plats i processen att lära sig matematik och personlig utveckling i allmänhet.

Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man löser trigonometriska ekvationer?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.

Begreppet att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att lösa en trigonometrisk ekvation, omvandla den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation handlar i slutändan om att lösa de fyra grundläggande trigonometriska ekvationerna.

Lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.

• Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att titta på olika x-positioner på enhetscirkeln, samt att använda en omvandlingstabell (eller miniräknare).
• Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π/3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, vilket betyder att deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Därför är svaret skrivet så här:
• xl = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exempel 2. cos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π/3.
• xl = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, reduktion homogena medlemmar etc.) och trigonometriska identiteter.
• Exempel 5: Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Följande grundläggande trigonometriska ekvationer måste lösas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hitta vinklar genom kända värden funktioner.

  • Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer måste du lära dig hur du hittar vinklar med hjälp av kända funktionsvärden. Detta kan göras med hjälp av en omvandlingstabell eller kalkylator.
  • Exempel: cos x = 0,732. Kalkylatorn ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln kommer att ge ytterligare vinklar, vars cosinus också är 0,732.

• Lägg undan lösningen på enhetscirkeln.

  • Du kan rita lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln. Lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
  • Exempel: Lösningarna x = π/3 + πn/2 på enhetscirkeln representerar kvadratens hörn.
  • Exempel: Lösningarna x = π/4 + πn/3 på enhetscirkeln representerar hörnen på en regelbunden hexagon.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

  • Om en given trigonometrisk ekvation bara innehåller en trigonometrisk funktion, lös den ekvationen som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om en given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner, så finns det två metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
    • Metod 1.
  • Omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, där f(x), g(x), h(x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
  • Exempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning. Använd dubbelvinkelformeln sin 2x = 2*sin x*cos x, ersätt sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
  • Exempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
  • Exempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och transformera denna ekvation till en ekvation av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0 .
    • Metod 2.
  • Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som bara innehåller en trigonometrisk funktion. Byt sedan ut denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösning. I given ekvation ersätt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen är:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Nu är ekvationen: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Detta är andragradsekvation, med två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte funktionsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösning. Byt ut tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen till följande formulär: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tan x.

De enklaste trigonometriska ekvationerna löses som regel med formler. Låt mig påminna dig om att de enklaste trigonometriska ekvationerna är:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x är vinkeln som ska hittas,
a är vilket tal som helst.

Och här är formlerna med vilka du omedelbart kan skriva ner lösningarna till dessa enklaste ekvationer.

För sinus:

För cosinus:

x = ± bågar a + 2π n, n ∈ Z

För tangent:

x = arktan a + π n, n ∈ Z

För cotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Egentligen är detta den teoretiska delen av att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Dessutom allt!) Ingenting alls. Men antalet fel i detta ämne är helt enkelt utanför diagrammet. Speciellt om exemplet avviker något från mallen. Varför?

Ja, för att många skriver ner dessa bokstäver, utan att förstå deras innebörd alls! Han skriver ner med försiktighet, så att det inte händer något...) Detta måste redas ut. Trigonometri för människor, eller människor för trigonometri, trots allt!?)

Låt oss ta reda på det?

En vinkel kommer att vara lika med arccos a, andra: -arccos a.

Och det kommer alltid att fungera så här. För vilken som helst A.

Om du inte tror mig, för muspekaren över bilden eller tryck på bilden på din surfplatta.) Jag ändrade numret A till något negativt. Hur som helst, vi har ett hörn arccos a, andra: -arccos a.

Därför kan svaret alltid skrivas som två serier av rötter:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Låt oss kombinera dessa två serier till en:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Och det är allt. Vi har fått en generell formel för att lösa den enklaste trigonometriska ekvationen med cosinus.

Om du förstår att detta inte är någon form av övervetenskaplig visdom, men bara en förkortad version av två serier av svar, Du kommer även att kunna hantera uppgifter "C". Med ojämlikheter, med att välja rötter från ett givet intervall... Där fungerar inte svaret med plus/minus. Men om du behandlar svaret på ett affärsmässigt sätt och delar upp det i två separata svar kommer allt att lösas.) Det är faktiskt därför vi undersöker det. Vad, hur och var.

I den enklaste trigonometriska ekvationen

sinx = a

vi får också två serier av rötter. Alltid. Och dessa två serier kan också spelas in i en rad. Bara den här raden blir svårare:

x = (-1) n båge a + π n, n ∈ Z

Men essensen förblir densamma. Matematiker utformade helt enkelt en formel för att göra en istället för två poster för serier av rötter. Det var allt!

Låt oss kolla matematikerna? Och man vet aldrig...)

I föregående lektion diskuterades lösningen (utan några formler) av en trigonometrisk ekvation med sinus i detalj:

Svaret resulterade i två serier av rötter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Om vi ​​löser samma ekvation med formeln får vi svaret:

x = (-1) n båge 0,5 + π n, n ∈ Z

Egentligen är detta ett oavslutat svar.) Det måste eleven veta arcsin 0,5 = π /6. Det fullständiga svaret skulle vara:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Här uppstår det intressant fråga. Svara via x 1; x 2 (det här är rätt svar!) och genom ensam X (och det här är det korrekta svaret!) - är de samma sak eller inte? Vi får reda på det nu.)

Vi ersätter i svaret med x 1 värden n =0; 1; 2; etc., vi räknar, vi får en serie rötter:

xl = π/6; 13π/6; 25π/6 och så vidare.

Med samma substitution som svar med x 2 , vi får:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 och så vidare.

Låt oss nu ersätta värdena n (0; 1; 2; 3; 4...) i den allmänna formeln för singel X . Det vill säga, vi höjer minus ett till nollpotentialen, sedan till första, andra osv. Jo, naturligtvis, vi ersätter 0 i den andra termen; 1; 2 3; 4 osv. Och vi räknar. Vi får serien:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 och så vidare.

Det är allt du kan se.) Allmän formel ger oss exakt samma resultat liksom de två svaren separat. Bara allt på en gång, i ordning. Matematikerna lät sig inte luras.)

Formler för att lösa trigonometriska ekvationer med tangent och cotangens kan också kontrolleras. Men det kommer vi inte.) De är redan enkla.

Jag skrev ut all denna ersättning och kontroll specifikt. Det är viktigt att förstå en sak här enkel sak: det finns formler för att lösa elementära trigonometriska ekvationer, bara en kort sammanfattning av svaren. För denna korthet var vi tvungna att infoga plus/minus i cosinuslösningen och (-1) n i sinuslösningen.

Dessa inlägg stör inte på något sätt i uppgifter där du bara behöver skriva ner svaret på en elementär ekvation. Men om du behöver lösa en ojämlikhet, eller då måste du göra något med svaret: välj rötter på ett intervall, kolla efter ODZ, etc., kan dessa insättningar lätt störa en person.

Så vad ska jag göra? Ja, antingen skriv svaret i två serier, eller lös ekvationen/olikheten med hjälp av den trigonometriska cirkeln. Då försvinner dessa insättningar och livet blir lättare.)

Vi kan sammanfatta.

För att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna finns färdiga svarsformler. Fyra stycken. De är bra för att omedelbart skriva ner lösningen till en ekvation. Till exempel måste du lösa ekvationerna:

sinx = 0,3

Lätt: x = (-1) n båge 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Inga problem: x = ± bågar 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lätt: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

En kvar: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Om du, lysande av kunskap, omedelbart skriver svaret:

x= ± bågar 1,8 + 2π n, n ∈ Z

då lyser du redan, det här... det... från en pöl.) Rätt svar: det finns inga lösningar. Förstår inte varför? Läs vad arc cosinus är. Dessutom, om det på höger sida av den ursprungliga ekvationen finns tabellvärden av sinus, cosinus, tangent, cotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - svaret genom valven kommer att vara ofärdigt. Bågar måste omvandlas till radianer.

Och om man stöter på ojämlikhet, typ

då är svaret:

x πn, n ∈ Z

det finns sällsynt nonsens, ja...) Här måste du lösa med hjälp av den trigonometriska cirkeln. Vad vi kommer att göra i motsvarande ämne.

För den som hjältemodigt läser till dessa rader. Jag kan helt enkelt inte låta bli att uppskatta dina enorma ansträngningar. Bonus för dig.)

Bonus:

När man skriver ner formler i en alarmerande stridssituation blir även rutinerade nördar ofta förvirrade över var πn, och var 2π n. Här är ett enkelt knep för dig. I alla formler värda πn. Förutom den enda formeln med bågkosinus. Den står där 2πn. Två peen. Nyckelord - två. I samma formel finns det två tecken i början. Plus och minus. Och där, och där - två.

Så om du skrev två tecken före bågen cosinus, det är lättare att komma ihåg vad som kommer att hända i slutet två peen. Och det händer också tvärtom. Personen kommer att missa tecknet ± , kommer till slutet, skriver korrekt två Pien, och han kommer till besinning. Det är något som ligger framför oss två tecken! Personen kommer tillbaka till början och rättar till misstaget! Så här.)

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Lösa enkla trigonometriska ekvationer.

Att lösa trigonometriska ekvationer av vilken komplexitetsnivå som helst handlar i slutändan om att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Och i detta bästa hjälparenåterigen visar det sig vara en trigonometrisk cirkel.

Låt oss komma ihåg definitionerna av cosinus och sinus.

Cosinus för en vinkel är abskissan (det vill säga koordinaten längs axeln) för en punkt på enhetscirkeln som motsvarar en rotation genom en given vinkel.

En vinkels sinus är ordinatan (det vill säga koordinaten längs axeln) för en punkt på enhetscirkeln som motsvarar en rotation genom en given vinkel.

Den positiva rörelseriktningen på den trigonometriska cirkeln är moturs. En rotation på 0 grader (eller 0 radianer) motsvarar en punkt med koordinater (1;0)

Vi använder dessa definitioner för att lösa enkla trigonometriska ekvationer.

1. Lös ekvationen

Denna ekvation är uppfylld av alla värden på rotationsvinkeln som motsvarar punkter på cirkeln vars ordinata är lika med .

Låt oss markera en punkt med ordinata på ordinataaxeln:

Rita en horisontell linje parallell med x-axeln tills den skär cirkeln. Vi får två punkter som ligger på cirkeln och har en ordinata. Dessa punkter motsvarar rotationsvinklar in och radianer:

Om vi, lämnar punkten som motsvarar rotationsvinkeln per radian, går runt en hel cirkel, så kommer vi fram till en punkt som motsvarar rotationsvinkeln per radian och har samma ordinata. Det vill säga, denna rotationsvinkel uppfyller också vår ekvation. Vi kan göra så många "tomgång" som vi vill, återgå till samma punkt, och alla dessa vinkelvärden kommer att uppfylla vår ekvation. Antalet "tomgångsvarv" kommer att betecknas med bokstaven (eller). Eftersom vi kan göra dessa varv i både positiva och negativa riktningar, (eller) kan anta alla heltalsvärden.

Det vill säga, den första serien av lösningar till den ursprungliga ekvationen har formen:

, , - uppsättning heltal (1)

På liknande sätt har den andra serien av lösningar formen:

, Var , . (2)

Som du kanske har gissat är denna serie av lösningar baserad på den punkt på cirkeln som motsvarar rotationsvinkeln med .

Dessa två serier av lösningar kan kombineras till en post:

Om vi ​​tar (det vill säga till och med) i denna post, kommer vi att få den första serien av lösningar.

Om vi ​​tar (det vill säga udda) i denna post får vi den andra serien av lösningar.

2. Låt oss nu lösa ekvationen

Eftersom detta är abskissan för en punkt på enhetscirkeln som erhålls genom att rotera genom en vinkel, markerar vi punkten med abskissan på axeln:

Rita en vertikal linje parallellt med axeln tills den skär cirkeln. Vi kommer att få två punkter som ligger på cirkeln och har en abskissa. Dessa punkter motsvarar rotationsvinklar in och radianer. Kom ihåg att när vi rör oss medurs får vi en negativ rotationsvinkel:

Låt oss skriva ner två serier av lösningar:

,

,

(Vi går in i önskad punkt, passerar från huvudcirkeln, det vill säga.

Låt oss kombinera dessa två serier till en post:

3. Lös ekvationen

Tangentlinjen går genom punkten med koordinater (1,0) för enhetscirkeln parallella med OY-axeln

Låt oss markera en punkt på den med en ordinata lika med 1 (vi letar efter tangenten för vilka vinklar är lika med 1):

Låt oss koppla denna punkt till koordinaternas ursprung med en rät linje och markera skärningspunkterna för linjen med enhetscirkeln. Skärningspunkterna för den räta linjen och cirkeln motsvarar rotationsvinklarna på och:

Eftersom punkterna som motsvarar rotationsvinklarna som uppfyller vår ekvation ligger på ett avstånd av radianer från varandra, kan vi skriva lösningen så här:

4. Lös ekvationen

Linjen av kotangenser går genom punkten med koordinaterna för enhetscirkeln parallella med axeln.

Låt oss markera en punkt med abskissan -1 på raden av cotangenter:

Låt oss koppla denna punkt till den räta linjens ursprung och fortsätta den tills den skär cirkeln. Denna räta linje kommer att skära cirkeln vid punkter som motsvarar rotationsvinklarna in och radianer:

Eftersom dessa punkter är åtskilda från varandra med ett avstånd lika med , då generell lösning Vi kan skriva denna ekvation så här:

I de givna exemplen som illustrerar lösningen av de enklaste trigonometriska ekvationerna användes tabellvärden för trigonometriska funktioner.

Men om den högra sidan av ekvationen innehåller ett icke-tabellvärde, så ersätter vi värdet med den allmänna lösningen av ekvationen:

SPECIALLÖSNINGAR:

Låt oss markera punkterna på cirkeln vars ordinata är 0:

Låt oss markera en enda punkt på cirkeln vars ordinata är 1:

Låt oss markera en enda punkt på cirkeln vars ordinata är lika med -1:

Eftersom det är vanligt att ange värden närmast noll, skriver vi lösningen så här:

Låt oss markera punkterna på cirkeln vars abskissa är lika med 0:

5.
Låt oss markera en enda punkt på cirkeln vars abskissa är lika med 1:

Låt oss markera en enda punkt på cirkeln vars abskissa är lika med -1:

Och lite mer komplexa exempel:

1.

Sinus lika med ett, om argumentet är lika

Argumentet för vår sinus är lika, så vi får:

Dividera båda sidor av likheten med 3:

Svar:

2.

Cosinus är noll om argumentet för cosinus är det

Argumentet för vår cosinus är lika med , så vi får:

Låt oss uttrycka, för att göra detta går vi först till höger med motsatt tecken:

Låt oss förenkla den högra sidan:

Dividera båda sidor med -2:

Observera att tecknet framför termen inte ändras, eftersom k kan ta vilket heltalsvärde som helst.

Svar:

Och slutligen, titta på videolektionen "Välja rötter i en trigonometrisk ekvation med hjälp av en trigonometrisk cirkel"

Detta avslutar vårt samtal om att lösa enkla trigonometriska ekvationer. Nästa gång ska vi prata om hur vi ska bestämma oss.

Kräver kunskap om trigonometrins grundläggande formler - summan av kvadraterna av sinus och cosinus, uttrycket för tangent genom sinus och cosinus, med flera. För de som har glömt dem eller inte känner till dem rekommenderar vi att läsa artikeln "".
Så vi känner till de grundläggande trigonometriska formlerna, det är dags att använda dem i praktiken. Lösa trigonometriska ekvationer med rätt tillvägagångssätt - helt spännande aktivitet, som att till exempel lösa en Rubiks kub.

Utifrån själva namnet är det tydligt att en trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända står under den trigonometriska funktionens tecken.
Det finns så kallade enklaste trigonometriska ekvationer. Så här ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Låt oss överväga hur man löser sådana trigonometriska ekvationer, för tydlighetens skull kommer vi att använda den redan välbekanta trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

spjälsäng x = a

Varje trigonometrisk ekvation löses i två steg: vi reducerar ekvationen till dess enklaste form och löser den sedan som en enkel trigonometrisk ekvation.
Det finns 7 huvudsakliga metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

1. Variabel substitution och substitutionsmetod

Lös ekvationen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Med hjälp av reduktionsformlerna får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Byt ut cos(x + /6) med y för att förenkla och få den vanliga andragradsekvationen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rötterna är y 1 = 1, y 2 = 1/2

Låt oss nu gå i omvänd ordning

Vi ersätter de hittade värdena av y och får två svarsalternativ:

2. Lösa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur löser man ekvationen sin x + cos x = 1?

Låt oss flytta allt till vänster så att 0 blir kvar till höger:

sin x + cos x – 1 = 0

Låt oss använda identiteterna som diskuterats ovan för att förenkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Låt oss faktorisera:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får två ekvationer

3. Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation är homogen med avseende på sinus och cosinus om alla dess termer är relativa till sinus och cosinus av samma potens av samma vinkel. Gör så här för att lösa en homogen ekvation:

a) överföra alla dess medlemmar till vänster sida;

b) ta alla vanliga faktorer ur parentes;

c) likställa alla faktorer och parenteser med 0;

d) en homogen ekvation av lägre grad erhålls inom parentes, som i sin tur delas upp i en sinus eller cosinus av en högre grad;

e) lös den resulterande ekvationen för tg.

Lös ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Låt oss använda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de öppna två till höger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividera med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Byt ut tan x med y och få en andragradsekvation:

y 2 + 4y +3 = 0, vars rötter är y 1 =1, y 2 = 3

Härifrån hittar vi två lösningar till den ursprungliga ekvationen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Lösa ekvationer genom övergången till en halv vinkel

Lös ekvationen 3sin x – 5cos x = 7

Låt oss gå vidare till x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Låt oss flytta allt till vänster:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dividera med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduktion av hjälpvinkel

För övervägande, låt oss ta en ekvation av formen: a sin x + b cos x = c,

där a, b, c är några godtyckliga koefficienter, och x är en okänd.

Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med:



Nu ekvationens koefficienter enligt trigonometriska formler har egenskaperna sin och cos, nämligen: deras modul är inte mer än 1 och summan av kvadrater = 1. Låt oss beteckna dem som cos respektive sin, där - detta är den så kallade hjälpvinkeln. Då kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Lösningen på denna enklaste trigonometriska ekvation är

x = (-1) k * båge C - + k, där



Det bör noteras att beteckningarna cos och sin är utbytbara.

Lös ekvationen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterna i denna ekvation är:

a = , b = -1, så dividera båda sidorna med = 2