I den här lektionen kommer alla att kunna studera ämnet " Rektangulär parallellepiped" I början av lektionen kommer vi att upprepa vad godtyckliga och raka parallellepipeder är, kom ihåg egenskaperna för deras motsatta ytor och diagonaler av parallellepipeden. Sedan ska vi titta på vad en kuboid är och diskutera dess grundläggande egenskaper.

Ämne: Linjers och plans vinkelräthet

Lektion: Cuboid

En yta sammansatt av två lika parallellogram ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 och fyra parallellogram ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kallas parallellepiped(Fig. 1).

Ris. 1 parallellpiped

Det vill säga: vi har två lika parallellogram ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallella plan så att sidokanterna AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 är parallella. Således kallas en yta sammansatt av parallellogram parallellepiped.

Alltså är ytan på en parallellepiped summan av alla parallellogram som utgör parallellepipeden.

1. De motsatta ytorna på en parallellepiped är parallella och lika.

(formerna är lika, det vill säga de kan kombineras genom överlappning)

Till exempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (lika parallellogram per definition),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (eftersom AA 1 B 1 B och DD 1 C 1 C är motsatta ytor av parallellepipeden),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (eftersom AA 1 D 1 D och BB 1 C 1 C är motsatta ytor av parallellepipeden).

2. Diagonalerna för en parallellepiped skär varandra vid en punkt och delas av denna punkt.

Diagonalerna för parallellepipeden AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skär varandra vid en punkt O, och varje diagonal delas på mitten av denna punkt (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalerna för en parallellepiped skär varandra och delas på mitten av skärningspunkten.

3. Det finns tre fyrdubblar av lika och parallella kanter på en parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definition. En parallellepiped kallas rak om dess sidokanter är vinkelräta mot baserna.

Låt sidokanten AA 1 vara vinkelrät mot basen (Fig. 3). Det betyder att den räta linjen AA 1 är vinkelrät mot räta linjerna AD och AB, som ligger i basens plan. Det betyder att sidoytorna innehåller rektanglar. Och baserna innehåller godtyckliga parallellogram. Låt oss beteckna ∠BAD = φ, vinkeln φ kan vara vilken som helst.

Ris. 3 Höger parallellepiped

Så en höger parallellepiped är en parallellepiped där sidokanterna är vinkelräta mot parallellepipedens baser.

Definition. Parallepipeden kallas rektangulär, om dess sidokanter är vinkelräta mot basen. Baserna är rektanglar.

Den parallellepipediserade ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 är rektangulär (fig. 4), om:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral kant vinkelrät mot basens plan, det vill säga en rak parallellepiped).

2. ∠BAD = 90°, dvs basen är en rektangel.

Ris. 4 Rektangulär parallellepiped

En rektangulär parallellepiped har alla egenskaper som en godtycklig parallellepiped. Men det finns ytterligare egenskaper som härrör från definitionen av en kuboid.

Så, kubiskär en parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot basen. Basen av en kuboid är en rektangel.

1. I en rektangulär parallellepiped är alla sex ytor rektanglar.

ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 är rektanglar per definition.

2. Laterala revben är vinkelräta mot basen. Detta betyder att alla sidoytor på en rektangulär parallellepiped är rektanglar.

3. Alla dihedriska vinklar på en rektangulär parallellepiped är rätta.

Låt oss till exempel betrakta den dihedriska vinkeln för en rektangulär parallellepiped med kanten AB, d.v.s. den dihedrala vinkeln mellan planen ABC 1 och ABC.

AB är en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, och punkt D i det andra - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Då kan den övervägda dihedriska vinkeln också betecknas på följande sätt: ∠A 1 ABD.

Låt oss ta punkt A på kanten AB. AA 1 är vinkelrät mot kanten AB i planet АВВ-1, AD är vinkelrät mot kanten AB i planet ABC. Detta betyder att ∠A 1 AD är den linjära vinkeln för en given dihedrisk vinkel. ∠A 1 AD = 90°, vilket betyder att den dihedriska vinkeln vid kanten AB är 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samma sätt är det bevisat att alla dihedriska vinklar på en rektangulär parallellepiped är rätta.

Fyrkantig diagonal av en kuboid lika med summan kvadrater av dess tre dimensioner.

Notera. Längden på de tre kanterna som utgår från ena spetsen av en kuboid är måtten på kuben. De kallas ibland längd, bredd, höjd.

Givet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulär parallellepiped (Fig. 5).

Bevisa: .

Ris. 5 Rektangulär parallellepiped

Bevis:

Den räta linjen CC 1 är vinkelrät mot plan ABC, och därför mot den räta linjen AC. Det betyder att triangeln CC 1 A är rätvinklig. Enligt Pythagoras sats:

Låt oss överväga rät triangel ABC. Enligt Pythagoras sats:

Men BC och AD är motsatta sidor av rektangeln. Så BC = AD. Sedan:

Därför att , A , Det. Eftersom CC 1 = AA 1 var detta vad som behövde bevisas.

Diagonalerna för en rektangulär parallellepiped är lika.

Låt oss beteckna dimensionerna för parallellepiped ABC som a, b, c (se fig. 6), då AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Inom geometri är nyckelbegreppen plan, punkt, rät linje och vinkel. Med hjälp av dessa termer kan du beskriva vilken geometrisk figur som helst. Polyedrar brukar beskrivas i termer av enklare figurer som ligger i samma plan, såsom en cirkel, triangel, kvadrat, rektangel osv. I den här artikeln kommer vi att titta på vad en parallellepiped är, beskriva typerna av parallellepiped, dess egenskaper, vilka element den består av och även ge de grundläggande formlerna för att beräkna arean och volymen för varje typ av parallellepiped.

Definition

Parallellpiped in tredimensionellt utrymmeär ett prisma, vars alla sidor är parallellogram. Följaktligen kan den endast ha tre par parallella parallellogram eller sex ytor.

För att visualisera en parallellepiped, föreställ dig en vanlig standard tegelsten. Tegelsten - bra exempel en rektangulär parallellepiped som även ett barn kan föreställa sig. Andra exempel inkluderar flera våningar panelhus, skåp, matförvaringsbehållare av lämplig form, etc.

Varianter av figur

Det finns bara två typer av parallellepipeder:

1. Rektangulära, vars alla sidoytor har en vinkel på 90° mot basen och är rektanglar.
2. Lutande, vars sidokanter är belägna i en viss vinkel mot basen.

Vilka element kan denna figur delas in i?

• Precis som alla andra geometrisk figur, i en parallellepiped kallas alla två ytor med en gemensam kant angränsande, och de som inte har det är parallella (baserat på egenskapen hos ett parallellogram, som har par av parallella motsatta sidor).
• Topparna på en parallellepiped som inte ligger på samma yta kallas motsatta.
• Segmentet som förbinder sådana hörn är en diagonal.
• Längden på de tre kanterna på en kuboid som möts vid en vertex är dess dimensioner (nämligen dess längd, bredd och höjd).

Formegenskaper

1. Den är alltid byggd symmetriskt med avseende på mitten av diagonalen.
2. Skärningspunkten för alla diagonaler delar varje diagonal i två lika stora segment.
3. Motstående ytor är lika långa och ligger på parallella linjer.
4. Om du lägger till kvadraterna för alla dimensioner av en parallellepiped blir det resulterande värdet lika med kvadraten på diagonalens längd.

Beräkningsformler

Formlerna för varje särskilt fall av en parallellepiped kommer att vara olika.

För en godtycklig parallellepiped är det sant att dess volym är lika med det absoluta värdet av trippel prickprodukt vektorer av tre sidor som utgår från en vertex. Det finns dock ingen formel för att beräkna volymen av en godtycklig parallellepiped.

För en rektangulär parallellepiped gäller följande formler:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V är figurens volym;
• Sb - lateral ytarea;
• Sp - område full yta;
• a - längd;
• b - bredd;
• c - höjd.

Ett annat specialfall av en parallellepiped där alla sidor är kvadrater är en kub. Om någon av kvadratens sidor betecknas med bokstaven a, kan följande formler användas för ytan och volymen av denna figur:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- figurens yta,
• V är figurens volym,
• a är längden på figurens ansikte.

Den sista typen av parallellepiped vi överväger är en rak parallellepiped. Vad är skillnaden mellan en höger parallellepiped och en kuboid frågar du. Faktum är att basen av en rektangulär parallellepiped kan vara vilket parallellogram som helst, men basen för en rak parallellepiped kan bara vara en rektangel. Om vi ​​betecknar basens omkrets, lika med summan av längderna på alla sidor, som Po, och betecknar höjden med bokstaven h, har vi rätt att använda följande formler för att beräkna volymen och arean av totalen och sidoytor.

När du var liten och lekte med kuber kan du ha gjort formerna som visas i figur 154. Dessa siffror ger en uppfattning om rektangulär parallellepiped. Till exempel har en chokladask, en tegelsten, en tändsticksask, en förpackningsask och en juicelåda formen av en rektangulär parallellepiped.

Figur 155 visar en rektangulär parallellepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

En rektangulär parallellepiped begränsas av sex kanter. Varje ansikte är en rektangel, d.v.s. Ytan på en rektangulär parallellepiped består av sex rektanglar.

Sidorna på ansiktena kallas kanterna på en rektangulär parallellepiped, hörn av ansikten − hörn av en rektangulär parallellepiped. Till exempel är segmenten AB, BC, A 1 B 1 kanter, och punkterna B, A 1, C 1 är hörn av den parallellepipediska ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).

En rektangulär parallellepiped har 8 hörn och 12 kanter.

Ytorna AA 1 B 1 B och DD 1 C 1 C har inte gemensamma hörn. Sådana kanter kallas motsatt. I parallellepipeden ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 finns ytterligare två par av motsatta ytor: rektanglarna ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1, samt rektanglarna AA 1 D 1 D och BB 1 C 1 C.

De motsatta ytorna på en rektangulär parallellepiped är lika.

I figur 155 kallas ansiktet ABCD grund rektangulär parallellepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Ytarean på en parallellepiped är summan av ytorna på alla dess ytor.

För att få en uppfattning om dimensionerna på en rektangulär parallellepiped räcker det att överväga alla tre kanter som har en gemensam vertex. Längden på dessa kanter kallas mätningar rektangulär parallellepiped. För att särskilja dem använder de namn: längd, bredd, höjd(Fig. 156).

En rektangulär parallellepiped där alla dimensioner är lika kallas kub(Fig. 157). Kubens yta består av sex lika stora rutor.

Om en låda i form av en rektangulär parallellepiped öppnas (Fig. 158) och skärs längs fyra vertikala kanter (Fig. 159), och sedan viks ut, får vi en figur som består av sex rektanglar (Fig. 160). Denna figur kallas utveckling av en rektangulär parallellepiped.

Figur 161 visar en figur bestående av sex lika stora kvadrater. Det är utvecklingen av en kub.

Med hjälp av en framkallning kan du göra en modell av en rektangulär parallellepiped.

Detta kan göras till exempel så här. Rita dess utveckling på papper. Klipp ut den, böj den längs segmenten som motsvarar kanterna på den rektangulära parallellepipeden (se bild 159) och limma ihop den.

En rektangulär parallellepiped är en typ av polyeder - en figur vars yta består av polygoner. Figur 162 visar polyedrar.

En typ av polyeder är pyramid.

Den här siffran är inte ny för dig. Studerar kursen Forntida värld, fick du bekanta dig med ett av världens sju underverk - de egyptiska pyramiderna.

Figur 163 visar pyramiderna MABC, MABCD, MABCDE. Pyramidens yta består av sidoytor− trianglar som har en gemensam vertex, och grunder(Fig. 164). Den gemensamma vertexen av sidoytorna kallas kanterna på pyramidens bas, och de sidor av sidoytorna som inte hör till basen är pyramidens laterala kanter.

Pyramider kan klassificeras efter antalet sidor av basen: triangulära, fyrkantiga, femkantiga (se fig. 163) etc.

Yta triangulär pyramid består av fyra trianglar. Vilken som helst av dessa trianglar kan fungera som basen i en pyramid. Denna bas är en typ av pyramid, vars vilken yta som helst kan fungera som bas.

Figur 165 visar en figur som kan tjäna sopa fyrkantig pyramid . Den består av en kvadrat och fyra lika likbenta trianglar.

Figur 166 visar en figur bestående av fyra lika liksidiga trianglar. Med hjälp av denna figur kan du göra en modell av en triangulär pyramid, vars alla ansikten är liksidiga trianglar.

Polyedrar är exempel geometriska kroppar.

Figur 167 visar välbekanta geometriska kroppar som inte är polyedrar. Du kommer att lära dig mer om dessa kroppar i årskurs 6.

Det kommer att vara användbart för gymnasieelever att lära sig att lösa Unified State Examination uppgifter för att hitta volymen och andra okända parametrar för en rektangulär parallellepiped. Erfarenheterna från tidigare år bekräftar det faktum att sådana uppgifter är ganska svåra för många akademiker.

Samtidigt bör gymnasieelever med vilken utbildningsnivå som helst förstå hur man hittar volymen eller arean av en rektangulär parallellepiped. Endast i det här fallet kommer de att kunna räkna med att få konkurrenskraftiga poäng baserat på resultaten av att klara det enhetliga provet i matematik.

Viktiga punkter att komma ihåg

• De parallellogram som utgör en parallellepiped är dess ytor, deras sidor är dess kanter. Topparna av dessa figurer anses vara hörnen på själva polyedern.
• Alla diagonaler i en rektangulär parallellepiped är lika. Eftersom detta är en rak polyeder är sidoytorna rektanglar.
• Eftersom en parallellepiped är ett prisma med ett parallellogram vid sin bas, har denna figur alla egenskaper som ett prisma.
• Sidokanterna på en rektangulär parallellepiped är vinkelräta mot basen. Därför är de dess höjder.

Gör dig redo för Unified State Exam med Shkolkovo!

För att göra dina klasser enkla och så effektiva som möjligt, välj vår matematikportal. Här hittar du allt erforderligt material, vilket kommer att krävas vid förberedelsestadiet för det enhetliga provet.

Specialister från Shkolkovo-utbildningsprojektet föreslår att gå från enkelt till komplext: först ger vi teori, grundläggande formler och elementära problem med lösningar och går sedan gradvis vidare till uppgifter på expertnivå. Du kan träna till exempel med .

Du hittar den nödvändiga grundläggande informationen i avsnittet "Teoretisk information". Du kan också omedelbart börja lösa problem om ämnet "Rektangulär parallellepiped" online. Avsnittet "Katalog" presenterar ett stort urval av övningar varierande grad komplexitet. Uppgiftsdatabasen uppdateras regelbundet.

Se om du lätt kan hitta volymen av en rektangulär parallellepiped just nu. Analysera vilken uppgift som helst. Om övningen är lätt för dig, gå vidare till svårare uppgifter. Och om vissa svårigheter uppstår rekommenderar vi att du planerar din dag på ett sådant sätt att ditt schema inkluderar klasser med Shkolkovo fjärrportal.