Fyrdimensionell kubrotation. Kliv in i flerdimensionellt utrymme

Låt oss börja med att förklara vad fyrdimensionellt rymd är.

Detta är ett endimensionellt utrymme, det vill säga helt enkelt OX-axeln. Varje punkt på den kännetecknas av en koordinat.

Låt oss nu rita OY-axeln vinkelrät mot OX-axeln. Så vi får ett tvådimensionellt utrymme, det vill säga XOY-planet. Varje punkt på den kännetecknas av två koordinater - abskissa och ordinata.

Låt oss rita OZ-axeln vinkelrätt mot OX- och OY-axlarna. Resultatet är ett tredimensionellt utrymme där vilken punkt som helst har en abskissa, ordinata och applikat.

Det är logiskt att den fjärde axeln, OQ, ska vara vinkelrät mot OX-, OY- och OZ-axlarna samtidigt. Men vi kan inte exakt konstruera en sådan axel, och därför kan vi bara försöka föreställa oss den. Varje punkt i det fyrdimensionella rummet har fyra koordinater: x, y, z och q.

Låt oss nu se hur den fyrdimensionella kuben såg ut.

Bilden visar en figur i endimensionell rymd - en linje.

Om du gör en parallell översättning av denna linje längs OY-axeln och sedan ansluter motsvarande ändar av de två resulterande linjerna, får du en kvadrat.

På liknande sätt, om du gör en parallell översättning av kvadraten längs OZ-axeln och kopplar ihop motsvarande hörn, får du en kub.

Och om vi gör en parallell translation av kuben längs OQ-axeln och kopplar samman hörn av dessa två kuber, så får vi en fyrdimensionell kub. Det heter förresten tesseract.

För att rita en kub på ett plan behöver du den projekt. Visuellt ser det ut så här:

Låt oss föreställa oss att det hänger i luften ovanför ytan wireframe modell kub, det vill säga som om den är "gjord av tråd", och ovanför den finns en glödlampa. Om du slår på glödlampan, spårar skuggan av kuben med en penna och stänger sedan av glödlampan, kommer en projektion av kuben att avbildas på ytan.

Låt oss gå vidare till något lite mer komplext. Titta igen på ritningen med glödlampan: som du kan se, konvergerar alla strålar vid en punkt. Det heter försvinnande punkt och används för att bygga perspektivprojektion(och det sker också parallellt, när alla strålarna är parallella med varandra. Resultatet är att känslan av volym inte skapas, men den är lättare, och dessutom, om försvinnningspunkten är ganska långt borta från det projicerade objektet, då är skillnaden mellan dessa två projektioner föga märkbar). Att projektera denna punkt på ett givet plan, med hjälp av flyktpunkten, måste du rita en rät linje genom flyktpunkten och den givna punkten och sedan hitta skärningspunkten för den resulterande räta linjen och planet. Och för att projicera en mer komplex figur, säg en kub, måste du projicera var och en av dess hörn och sedan ansluta motsvarande punkter. Det bör noteras att algoritm för att projicera rymd på delrum kan generaliseras till fallet med 4D->3D, inte bara 3D->2D.

Vi kan som sagt inte föreställa oss exakt hur OQ-axeln ser ut, precis som tesserakten. Men vi kan få en begränsad uppfattning om det om vi projicerar det på en volym och sedan ritar det på en datorskärm!

Låt oss nu prata om tesseractprojektionen.

Till vänster är projektionen av kuben på planet, och till höger är tesserakten på volymen. De är ganska lika: projektionen av en kub ser ut som två kvadrater, små och stora, den ena inuti den andra, och vars motsvarande hörn är förbundna med linjer. Och projektionen av tesserakten ser ut som två kuber, små och stora, den ena inuti den andra, och vars motsvarande hörn är sammankopplade. Men vi har alla sett kuben, och vi kan med tillförsikt säga att både den lilla kvadraten och den stora, och de fyra trapetserna ovanför, nedanför, till höger och vänster om den lilla kvadraten, faktiskt är kvadrater, och de är lika . Och tesserakten har samma sak. Och en stor kub och en liten kub och sex stympade pyramider på sidorna av en liten kub - dessa är alla kuber, och de är lika.

Mitt program kan inte bara rita projektionen av en tesserakt på en volym, utan också rotera den. Låt oss titta på hur detta görs.

Först ska jag berätta vad det är rotation parallellt med planet.

Föreställ dig att kuben roterar runt OZ-axeln. Sedan beskriver var och en av dess hörn en cirkel runt OZ-axeln.

En cirkel är en platt figur. Och planen för var och en av dessa cirklar är parallella med varandra, och i detta fall parallella med XOY-planet. Det vill säga, vi kan inte bara tala om rotation runt OZ-axeln, utan också om rotation parallellt med XOY-planet Som vi ser, för punkter som roterar parallellt med XOY-axeln, ändras endast abskissan och ordinatan, medan applikatet förblir. oförändrad Och i själva verket kan vi tala om rotation runt en rät linje endast när vi har att göra med tredimensionellt rum. I det tvådimensionella rymden roterar allt runt en punkt, i det fyrdimensionella rymden roterar allt runt ett plan, i det femdimensionella rummet talar vi om rotation runt en volym. Och om vi kan föreställa oss rotation runt en punkt, så är rotation runt ett plan och volym något otänkbart. Och om vi talar om rotation parallellt med planet, så kan en punkt i vilket n-dimensionellt utrymme som helst rotera parallellt med planet.

Många av er har säkert hört talas om rotationsmatrisen. Multiplicerar vi punkten med den får vi en punkt som roteras parallellt med planet med en vinkel phi. För tvådimensionellt utrymme ser det ut så här:

Hur man multiplicerar: x av en punkt roterad med en vinkel phi = cosinus för vinkeln phi*ix för den ursprungliga punkten minus sinus för vinkeln phi*ig för den ursprungliga punkten;
ig för en punkt roterad med en vinkel phi = sinus för vinkeln phi * ix för den ursprungliga punkten plus cosinus för vinkeln phi * ig för den ursprungliga punkten.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, där Xa och Ya är abskissan och ordinatan för den punkt som ska roteras, Xa` och Ya` är abskissan och ordinatan för den redan roterade punkten

För tredimensionellt utrymme är denna matris generaliserad enligt följande:

Rotation parallellt med XOY-planet. Som du kan se ändras inte Z-koordinaten, utan endast X och Y ändras
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (i huvudsak Za`=Za)

Rotation parallellt med XOZ-planet. Inget nytt
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (i huvudsak Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Och den tredje matrisen.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (i huvudsak Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Och för den fjärde dimensionen ser de ut så här:

Jag tror att du redan förstår vad du ska multiplicera med, så jag ska inte gå in på detaljer igen. Men jag noterar att den gör samma sak som en matris för rotation parallellt med ett plan i tredimensionellt rymd! Båda ändrar bara ordinatan och applikationen och rör inte de andra koordinaterna, så det kan användas i det tredimensionella fallet, helt enkelt inte uppmärksamma den fjärde koordinaten.

Men med projektionsformeln är inte allt så enkelt. Oavsett hur många forum jag läser, fungerade ingen av projektionsmetoderna för mig. Den parallella var inte lämplig för mig, eftersom projektionen inte skulle se tredimensionell ut. I vissa projektionsformler måste du för att hitta en punkt lösa ett ekvationssystem (och jag vet inte hur man lär en dator att lösa dem), andra förstod jag helt enkelt inte... I allmänhet bestämde jag mig för att komma på mitt eget sätt. För detta ändamål, överväg 2D->1D-projektionen.

pov betyder "synvinkel", ptp betyder "Punkt till projektering" (punkten som ska projiceras), och ptp` är den önskade punkten på OX-axeln.

Vinklarna povptpB och ptpptp`A är lika med motsvarande (den prickade linjen är parallell med OX-axeln, den räta linjen povptp är en sekant).
X för punkten ptp` är lika med x för punkten ptp minus längden på segmentet ptp`A. Detta segment kan hittas från triangeln ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangens av vinkeln ptpptp`A. Vi kan hitta denna tangent från triangeln povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Svar: Xptp`=Xptp-Yptp/tangens av vinkeln ptpptp`A.

Jag beskrev inte denna algoritm i detalj här, eftersom det finns många speciella fall när formeln ändras något. Om någon är intresserad, titta på programmets källkod, allt beskrivs där i kommentarerna.

För att projicera en punkt i det tredimensionella rummet på ett plan, betraktar vi helt enkelt två plan - XOZ och YOZ, och löser detta problem för var och en av dem. När det gäller fyrdimensionellt utrymme är det nödvändigt att överväga tre plan: XOQ, YOQ och ZOQ.

Och till sist, om programmet. Det fungerar så här: initiera sexton hörn av tesseracten -> beroende på de kommandon som användaren matat in, rotera den -> projicera den på volymen -> beroende på de kommandon som användaren matat in, rotera dess projektion -> projicera den på volymen planet -> rita.

Jag skrev projektionerna och rotationerna själv. De fungerar enligt formlerna jag just beskrev. OpenGL-biblioteket ritar linjer och hanterar även färgblandning. Och koordinaterna för tesseraktens hörn beräknas på detta sätt:

Koordinater för hörnen på en linje centrerad vid origo och längd 2 - (1) och (-1);
- " - " - kvadratisk - " - " - och en kant med längd 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) och (-1; -1);
- " - " - kub - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Som du kan se är en kvadrat en linje ovanför OY-axeln och en linje under OY-axeln; en kub är en kvadrat framför XOY-planet och en bakom det; Tesserakten är en kub på andra sidan av XOYZ-volymen och en på den här sidan. Men det är mycket lättare att uppfatta denna växling av ettor och minus ettor om de är skrivna i en kolumn

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

I den första kolumnen växlar ett och minus ett. I den andra kolumnen finns det först två plus, sedan två minus. I den tredje - fyra plus ettor, och sedan fyra minus ettor. Dessa var kubens hörn. Tesserakten har dubbelt så många av dem, och därför var det nödvändigt att skriva en slinga för att deklarera dem, annars är det väldigt lätt att bli förvirrad.

Mitt program kan också rita anaglyf. Glada ägare av 3D-glasögon kan observera en stereoskopisk bild. Det är inget knepigt med att rita en bild du ritar helt enkelt två projektioner på planet, för höger och vänster öga. Men programmet blir mycket mer visuellt och intressant, och viktigast av allt, det ger en bättre uppfattning om den fyrdimensionella världen.

Mindre betydelsefulla funktioner är belysningen av en av kanterna i rött så att svängarna kan ses bättre, såväl som mindre bekvämligheter - reglering av koordinaterna för "ögon"-punkterna, ökar och minskar svänghastigheten.

Arkivera med programmet, källkod och bruksanvisning.

Låt oss börja med att förklara vad fyrdimensionellt rymd är.

Detta är ett endimensionellt utrymme, det vill säga helt enkelt OX-axeln. Varje punkt på den kännetecknas av en koordinat.

Låt oss nu rita OY-axeln vinkelrät mot OX-axeln. Så vi får ett tvådimensionellt utrymme, det vill säga XOY-planet. Varje punkt på den kännetecknas av två koordinater - abskissa och ordinata.

Låt oss rita OZ-axeln vinkelrätt mot OX- och OY-axlarna. Resultatet är ett tredimensionellt utrymme där vilken punkt som helst har en abskissa, ordinata och applikat.

Bilden visar en figur i endimensionell rymd - en linje.

Om du gör en parallell översättning av denna linje längs OY-axeln och sedan ansluter motsvarande ändar av de två resulterande linjerna, får du en kvadrat.

På liknande sätt, om du gör en parallell översättning av kvadraten längs OZ-axeln och kopplar ihop motsvarande hörn, får du en kub.

Och om vi gör en parallell translation av kuben längs OQ-axeln och kopplar samman hörn av dessa två kuber, så får vi en fyrdimensionell kub. Det heter förresten tesseract.

Låt oss gå vidare till något lite mer komplext. Titta igen på ritningen med glödlampan: som du kan se, konvergerar alla strålar vid en punkt. Det heter försvinnande punkt och används för att bygga perspektivprojektion(och det sker också parallellt, när alla strålarna är parallella med varandra. Resultatet är att känslan av volym inte skapas, men den är lättare, och dessutom, om försvinnningspunkten är ganska långt borta från det projicerade objektet, då är skillnaden mellan dessa två projektioner lite märkbar). För att projicera en given punkt på ett givet plan med hjälp av en flyktpunkt måste du rita en rät linje genom flyktpunkten och den givna punkten och sedan hitta skärningspunkten för den resulterande räta linjen och planet. Och för att projicera en mer komplex figur, säg en kub, måste du projicera var och en av dess hörn och sedan ansluta motsvarande punkter. Det bör noteras att algoritm för att projicera rymd på delrum kan generaliseras till fallet med 4D->3D, inte bara 3D->2D.

Låt oss nu prata om tesseractprojektionen.

Mitt program kan inte bara rita projektionen av en tesserakt på en volym, utan också rotera den. Låt oss titta på hur detta görs.

Först ska jag berätta vad det är rotation parallellt med planet.

Rotation parallellt med XOZ-planet. Inget nytt
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (i huvudsak Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Och den tredje matrisen.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (i huvudsak Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

pov betyder "synvinkel", ptp betyder "Punkt till projektering" (punkten som ska projiceras), och ptp` är den önskade punkten på OX-axeln.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Arkivera med programmet, källkod och bruksanvisning.

Geometri

En vanlig tesserakt i det euklidiska fyrdimensionella rymden definieras som ett konvext skrov av punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:

Tesserakten begränsas av åtta hyperplan, vars skärning med själva tesserakten definierar dess tredimensionella ansikten (som är vanliga kuber). Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.

I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadratisk CDBA. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub CDBAGHFE. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben CDBAGHFEKLJIOPNM.

Konstruktion av en tesseract på ett plan

Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten CDBA, kvadraten - som sidan av kuben CDBAGHFE, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn, en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

Precis som sidorna av en kvadrat är 4 endimensionella segment och sidorna (ytorna) på en kub är 6 tvådimensionella kvadrater, så är sidorna för en "fyrdimensionell kub" (tesserakt) 8 tredimensionella kuber . Utrymmena för motsatta par av tesseraktkuber (det vill säga de tredimensionella utrymmena som dessa kuber tillhör) är parallella. I figuren är dessa kuberna: CDBAGHFE och KLJIOPNM, CDBAKLJI och GHFEOPNM, EFBAMNJI och GHDCOPLK, CKIAGOME och DLJBHPNF.

På liknande sätt kan vi fortsätta vårt resonemang för hyperkuber av ett större antal dimensioner, men det är mycket mer intressant att se hur en fyrdimensionell hyperkub kommer att se ut för oss, invånare i tredimensionella rymden. För detta kommer vi att använda den redan välkända metoden för analogier.

Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ytor - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i riktning mot den fjärde axeln. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.

Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Tesseraktens egenskaper är en förlängning av egenskaperna geometriska former mindre dimension till fyrdimensionellt utrymme.

Projektioner

Till tvådimensionellt rum

Denna struktur är svår att föreställa sig, men det är möjligt att projicera en tesserakt i tvådimensionella eller tredimensionella rum. Att projicera på ett plan gör det dessutom lätt att förstå platsen för en hyperkubs hörn. På så sätt är det möjligt att få bilder som inte längre speglar de rumsliga relationerna inom tesserakten, men som illustrerar vertexkopplingsstrukturen, som i följande exempel:

Den tredje bilden visar tesserakten i isometri, i förhållande till konstruktionspunkten. Denna representation är av intresse när man använder en tesseract som bas för ett topologiskt nätverk för att länka flera processorer i parallell beräkning.

Till tredimensionellt rymd

En av projektionerna av en tesserakt på det tredimensionella rummet representerar två kapslade tredimensionella kuber, vars motsvarande hörn är sammankopplade med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är det det lika kuber. För att förstå likheten mellan alla tesseractkuber skapades en roterande tesseract-modell.

De sex stympade pyramiderna längs kanterna på tesserakten är bilder av lika sex kuber. Dessa kuber är dock till en tesserakt som rutor (ansikten) är till en kub. Men i själva verket kan tesserakten delas upp i ett oändligt antal kuber, precis som en kub kan delas upp i ett oändligt antal rutor, eller en kvadrat i ett oändligt antal segment.

En annan intressant projektion av tesserakten på det tredimensionella rummet är en rombisk dodekaeder med sina fyra diagonaler som förbinder par av motsatta hörn vid stora vinklar av romberna. I det här fallet projiceras 14 av tesseraktens 16 hörn in i 14 hörn av den rombiska dodekaedern, och projektionerna för de återstående 2 sammanfaller i dess mitt. I en sådan projektion på det tredimensionella rummet bevaras likheten och parallelliteten mellan alla endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella sidor.

Stereopar

Ett stereopar av en tesserakt avbildas som två projektioner på tredimensionell rymd. Den här bilden av tesserakten designades för att representera djupet som en fjärde dimension. Stereoparet betraktas så att varje öga bara ser en av dessa bilder, en stereoskopisk bild dyker upp som återger djupet av tesserakten.

Tesseract uppackning

Ytan på en tesserakt kan vikas ut till åtta kuber (liknande hur ytan på en kub kan vikas ut till sex rutor). Det finns 261 olika tesseract-designer. Utvecklingen av en tesserakt kan beräknas genom att plotta de sammankopplade vinklarna på en graf.

Tesseract i konsten

I Edwina A:s "New Abbott Plain" fungerar hyperkuben som en berättare.
I ett avsnitt av Jimmy Neutrons äventyr uppfinner "pojkegeniet" Jimmy en fyrdimensionell hyperkub som är identisk med foldboxen från romanen Glory Road (1963) av Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein har nämnt hyperkuber i minst tre science fiction-historier. I "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built") beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt, och sedan, på grund av en jordbävning, "vikte sig" i den fjärde dimensionen och blev en "riktig" tesserakt .
Heinleins roman Glory Road beskriver en hyperstor låda som var större på insidan än på utsidan.
Henry Kuttners berättelse "All Tenali Borogov" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.
I romanen av Alex Garland () används termen "tesseract" för den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub, snarare än själva hyperkuben. Detta är en metafor utformad för att visa att det kognitiva systemet måste vara bredare än det kännbara.
Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.
TV-serien Andromeda använder Tesseract-generatorer som en handlingsanordning. De är främst utformade för att manipulera rum och tid.
Målning "Korsfästelsen" (Corpus Hypercubus) av Salvador Dali ().
Nextwave-serieboken skildrar ett fordon som inkluderar 5 tesseract-zoner.
I Voivod Nothingface-albumet heter en av kompositionerna "In my hypercube".
I Anthony Pearces roman Route Cube kallas en av International Development Associations kretsande månar en tesserakt som har komprimerats till 3 dimensioner.
I serien "Black Hole School" i den tredje säsongen finns ett avsnitt "Tesseract". Lucas trycker på en hemlig knapp och skolan börjar "ta form som en matematisk tesserakt."
Termen "tesseract" och dess härledda term "tesserate" finns i berättelsen "A Wrinkle in Time" av Madeleine L'Engle.
TesseracT är namnet på ett brittiskt djent-band.
I filmserien Marvel Cinematic Universe är Tesseract ett nyckelelement, en kosmisk artefakt i form av en hyperkub.
I Robert Sheckleys berättelse "Miss Mouse and the Fourth Dimension" försöker en esoterisk författare, en bekant till författaren, se tesserakten genom att stirra i timmar på enheten han designade: en boll på ett ben med stavar instuckna i den, på vilka kuber som är monterade, klistrade över med alla möjliga esoteriska symboler. Berättelsen nämner Hintons arbete.
I filmerna The First Avenger, The Avengers. Tesseract - energin i hela universum

Andra namn

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Octochoron (engelska) Octachoron)
Tetrakub
4-kub
Hypercube (om antalet dimensioner inte anges)

Anteckningar

Litteratur

Charles H. Hinton. Fjärde dimensionen, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Länkar

På ryska

Transformator4D-program. Bildande av modeller av tredimensionella projektioner av fyrdimensionella objekt (inklusive Hyperkuben).
Ett program som implementerar konstruktionen av en tesseract och alla dess affina transformationer, med källkod i C++.

På engelska

Läran om flerdimensionella rum började dyka upp i mitten av 1800-talet i verk av G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli och andra matematiker. I början av 1900-talet, med tillkomsten av A. Einsteins relativitetsteorin och G. Minkowskis idéer, började ett fyrdimensionellt rum-tid-koordinatsystem användas i fysiken.

Sedan lånades idén om fyrdimensionell rymd från vetenskapsmän av science fiction-författare. I sina verk berättade de för världen om den fjärde dimensionens fantastiska underverk. Hjältarna i deras verk, med hjälp av egenskaperna hos det fyrdimensionella rummet, kunde äta innehållet i ett ägg utan att skada skalet och dricka en drink utan att öppna flasklocket. Tjuvarna tog bort skatten från kassaskåpet genom den fjärde dimensionen. Kedjans länkar kan lätt kopplas bort, och knuten på repet kan lösas utan att röra dess ändar. Kirurger utförde operationer på inre organ utan att skära av patientens kroppsvävnad. Mystiker placerade de avlidnas själar i den fjärde dimensionen. För en vanlig människa har idén om fyrdimensionell rymd förblivit obegriplig och mystisk, och många anser generellt att fyrdimensionell rymd är ett fantasifoster hos forskare och science fiction-författare, vilket inte har något med verkligheten att göra.

Problem med uppfattningen

Man tror traditionellt att en person inte kan uppfatta och föreställa sig fyrdimensionella figurer, eftersom han är en tredimensionell varelse. Subjektet uppfattar tredimensionella figurer med hjälp av näthinnan, som är tvådimensionell. För att uppfatta fyrdimensionella figurer behövs en tredimensionell näthinna, men människor har inte denna förmåga.

För att få en tydlig uppfattning om fyrdimensionella figurer kommer vi att använda analogier från lägre dimensionella utrymmen för att extrapolera till högre dimensionella figurer, använda modelleringsmetoden och tillämpa systemanalysmetoder för att söka efter mönster mellan elementen i fyra- dimensionella figurer. De föreslagna modellerna måste på ett adekvat sätt beskriva egenskaperna hos fyrdimensionella figurer, inte motsäga varandra och ge en tillräcklig förståelse för den fyrdimensionella figuren och först och främst dess geometriska form. Eftersom det inte finns någon systematisk och visuell beskrivning av fyrdimensionella figurer i litteraturen, utan endast deras namn som indikerar vissa egenskaper, föreslår vi att börja studiet av fyrdimensionella figurer med det enklaste - fyrdimensionell kub, som kallas en hyperkub.

Definition av en hyperkub

Hyperkubär en vanlig polytop vars cell är en kub.

Polytopär en fyrdimensionell figur vars gräns består av polyedrar. En analog till en polytopcell är ytan på en polyeder. En hyperkub är en analog till en tredimensionell kub.

Vi kommer att ha en uppfattning om hyperkuben om vi känner till dess egenskaper. Subjektet uppfattar ett visst objekt, representerar det i form av en viss modell. Låt oss använda den här metoden och presentera idén om en hyperkub i form av olika modeller.

Analytisk modell

Vi kommer att betrakta endimensionell rymd (rät linje) som en ordnad uppsättning punkterM(x), Var x– koordinat för en godtycklig punkt på en linje. Sedan specificeras enhetssegmentet genom att ange två punkter:A(0) och B(1).

Ett plan (tvådimensionellt utrymme) kan betraktas som en ordnad uppsättning punkter M(x; y). Enhetskvadraten kommer att vara helt definierad av dess fyra hörn: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Koordinaterna för kvadratens hörn erhålls genom att addera noll och sedan en till koordinaterna för segmentet.

Tredimensionellt utrymme - en ordnad uppsättning punkter M(x; y; z). För att definiera en tredimensionell kub krävs åtta punkter:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Koordinaterna för kuben erhålls från kvadratens koordinater genom att lägga till noll och sedan en.

Fyrdimensionellt utrymme är en ordnad uppsättning punkter M(x; y; z; t). För att definiera en hyperkub måste du bestämma koordinaterna för dess sexton hörn:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Koordinaterna för hyperkuben erhålls från koordinaterna för den tredimensionella kuben genom att lägga till en fjärde koordinat lika med noll och sedan en.

Genom att använda formlerna för analytisk geometri för det fyrdimensionella euklidiska rummet kan man få egenskaperna hos en hyperkub.
Som ett exempel, överväg att beräkna längden på huvuddiagonalen i en hyperkub. Antag att vi måste hitta avståndet mellan punkter A(0, 0, 0, 0) och R(1, 1, 1, 1). För att göra detta kommer vi att använda avståndsformeln i det fyrdimensionella euklidiska rummet.

I tvådimensionellt utrymme (på ett plan), avståndet mellan punkter A(x 1 , y 1) och B(x 2 , y 2) beräknas med formeln

Denna formel följer av Pythagoras sats.

Motsvarande formel för avståndet mellan punkter A(x 1 , y 1 , z 1) och B(x 2 , y 2 , z 2) i tredimensionellt rum har formen

Och i endimensionell rymd (på en rät linje) mellan punkterna A( x 1) och B( x 2) du kan skriva motsvarande avståndsformel:

Likaså avståndet mellan punkter A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) och B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) i fyrdimensionellt utrymme kommer att beräknas med formeln:

För det föreslagna exemplet finner vi

Således existerar en hyperkub analytiskt, och dess egenskaper kan inte beskrivas sämre än egenskaperna hos en tredimensionell kub.

Dynamisk modell

Den analytiska modellen för en hyperkub är mycket abstrakt, så låt oss överväga en annan modell - en dynamisk.

En punkt (en nolldimensionell figur), som rör sig i en riktning, genererar ett segment (en endimensionell figur). Segmentet, som rör sig i en riktning vinkelrät mot sig själv, skapar en kvadrat (tvådimensionell figur). Fyrkanten, som rör sig i en riktning vinkelrät mot kvadratens plan, skapar en kub (en tredimensionell figur).

Kuben, som rör sig vinkelrätt mot det tredimensionella utrymme där den ursprungligen var belägen, genererar en hyperkub (fyrdimensionell figur).

Gränsen för en hyperkub är tredimensionell, ändlig och stängd. Den består av en tredimensionell kub i utgångspositionen, en tredimensionell kub i slutpositionen och sex kuber som bildas genom att flytta kvadraterna på den ursprungliga kuben i riktning mot den fjärde dimensionen. Hela hyperkubgränsen består av 8 tredimensionella kuber (celler).

När man rörde sig i utgångsläget hade kuben 8 hörn och i slutpositionen fanns det också 8 hörn. Därför har en hyperkub totalt 16 hörn.

Fyra ömsesidigt vinkelräta kanter utgår från varje vertex. Hyperkuben har totalt 32 kanter I utgångsläget hade den 12 kanter, i slutpositionen fanns det också 12 kanter, och 8 kanter bildade kubens hörn när den rörde sig i den fjärde dimensionen.

Således består gränsen för en hyperkub av 8 kuber, som består av 24 rutor. Nämligen 6 rutor i utgångsläget, 6 i slutläget och 12 rutor som bildas genom att flytta 12 kanter i riktning mot den fjärde dimensionen.

Geometrisk modell

Den dynamiska modellen för en hyperkub kanske inte verkar tydlig nog. Låt oss därför överväga den geometriska modellen av en hyperkub. Hur får vi fram en geometrisk modell av en 3D-kub? Vi gör en utveckling av den, och från utvecklingen "limmar vi ihop" en modell av kuben. Utvecklingen av en tredimensionell kub består av en kvadrat, på vars sidor är fäst en kvadrat plus ytterligare en kvadrat. Vi roterar de intilliggande rutorna runt sidorna av kvadraten och kopplar de intilliggande sidorna av rutorna till varandra. Och vi stänger de återstående fyra sidorna med den sista kvadraten (Fig. 1).

Låt oss på samma sätt överväga utvecklingen av en hyperkub. Dess utveckling kommer att vara en tredimensionell figur som består av den ursprungliga tredimensionella kuben, sex kuber intill varje sida av den ursprungliga kuben och ytterligare en kub. Det finns totalt åtta tredimensionella kuber (fig. 2). För att få en fyrdimensionell kub (hyperkub) från denna utveckling måste du rotera var och en av de intilliggande kuberna 90 grader. Dessa intilliggande kuber kommer att placeras i ett annat tredimensionellt utrymme. Anslut intilliggande ytor (fyrkanter) av kuber till varandra. Placera den åttonde kuben med dess ytor i det återstående tomma utrymmet. Vi får en fyrdimensionell figur - en hyperkub, vars gräns består av åtta tredimensionella kuber.

Bild av en hyperkub

Ovan visades hur man "limmar" en hyperkubmodell från en tredimensionell skanning. Vi tar bilder med hjälp av projektion. Den centrala projektionen av en tredimensionell kub (dess bild på ett plan) ser ut så här (fig. 3). Inuti en ruta finns en annan ruta. Motsvarande hörn på kvadraten är förbundna med segment. Intilliggande rutor avbildas som trapetser, även om de i tredimensionellt utrymme är kvadrater. De inre och yttre kvadraterna är olika stora, men i verkligt tredimensionellt utrymme är de lika stora kvadrater.

På liknande sätt kommer den centrala projektionen av en fyrdimensionell kub på det tredimensionella rummet att se ut så här: inuti en kub finns en annan kub. Motsvarande hörn av kuberna är förbundna med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är de lika stora kuber (fig. 4).

Sex trunkerade pyramider är bilder av lika sex celler (kuber) i en fyrdimensionell kub.

Denna tredimensionella projektion kan ritas på ett plan och verifieras att egenskaperna hos hyperkuben som erhålls med hjälp av den dynamiska modellen är sanna.

En hyperkub har 16 hörn, 32 kanter, 24 ytor (rutor), 8 celler (kuber). Fyra ömsesidigt vinkelräta kanter utgår från varje vertex. Gränsen för en hyperkub är en tredimensionell stängd konvex figur, vars volym (hyperkubens laterala volym) är lika med åtta enheters tredimensionella kuber. Inuti sig själv innehåller denna figur en enhetshyperkub, vars hypervolym är lika med hypervolymen för enhetens hyperkub.

Slutsats

Målet med detta arbete var att ge en första introduktion till det fyrdimensionella rummet. Detta gjordes med hjälp av exemplet med den enklaste figuren - en hyperkub.

Världen av fyrdimensionell rymd är fantastisk! I den, tillsammans med liknande figurer i det tredimensionella rummet, finns det också figurer som inte har några analoger i det tredimensionella rummet.

Många fenomen i den materiella världen, makrovärlden och megavärlden, trots de enorma framgångarna inom fysik, kemi och astronomi, förblev oförklarade.

Det finns ingen enskild teori som förklarar alla naturens krafter. Det finns ingen tillfredsställande modell av universum som förklarar dess struktur och utesluter paradoxer.

Efter att ha lärt sig egenskaperna hos det fyrdimensionella rummet och lånat några idéer från den fyrdimensionella geometrin, kommer det att vara möjligt att inte bara bygga mer rigorösa teorier och modeller av den materiella världen, utan också att skapa verktyg och system som fungerar enligt lagarna av den fyrdimensionella världen, kommer mänskliga förmågor att vara ännu mer imponerande.

Läran om flerdimensionella rum började dyka upp i mitten av 1800-talet. Idén om fyrdimensionell rymd lånades från vetenskapsmän av science fiction-författare. I sina verk berättade de för världen om den fjärde dimensionens fantastiska underverk.

Hjältarna i deras verk, med hjälp av egenskaperna hos det fyrdimensionella rummet, kunde äta innehållet i ett ägg utan att skada skalet och dricka en drink utan att öppna flasklocket. Tjuvarna tog bort skatten från kassaskåpet genom den fjärde dimensionen. Kirurger utförde operationer på inre organ utan att skära av patientens kroppsvävnad.

Tesseract

Inom geometri är en hyperkub en n-dimensionell analogi av en kvadrat (n = 2) och en kub (n = 3). Den fyrdimensionella analogen till vår vanliga 3-dimensionella kub är känd som en tesserakt. Tesserakten är till kuben som kuben är till kvadraten. Mer formellt kan en tesserakt beskrivas som en vanlig konvex fyrdimensionell polyeder vars gräns består av åtta kubiska celler.

Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.
Förresten, enligt Oxford Dictionary, myntades ordet tesseract och började användas 1888 av Charles Howard Hinton (1853-1907) i sin bok " Ny era tankar". Senare kallade några människor samma figur för en tetrakub (grekiska tetra - fyra) - en fyrdimensionell kub.

Konstruktion och beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.
I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadratisk CDBA. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub CDBAGHFE. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben CDBAGHFEKLJIOPNM.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Själva den fyrdimensionella hyperkuben kan delas upp i ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta kvadrater.

Hyperkub i konsten

Tesseract är en så intressant figur att den upprepade gånger har uppmärksammats av författare och filmskapare.
Robert E. Heinlein nämnde hyperkuber flera gånger. I The House That Teal Built (1940) beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt och sedan, på grund av en jordbävning, "vikt" sig i den fjärde dimensionen för att bli en "riktig" tesserakt. Heinleins roman Glory Road beskriver en hyperstor låda som var större på insidan än på utsidan.

Henry Kuttners berättelse "All Tenali Borogov" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.

Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.

Parallell värld

Matematiska abstraktioner gav upphov till idén om existens parallella världar. Dessa förstås som verkligheter som existerar samtidigt med vår, men oberoende av den. En parallell värld kan ha olika storlekar: från ett litet geografiskt område till hela universum. I en parallell värld inträffar händelser på sitt sätt, det kan skilja sig från vår värld, både i enskilda detaljer och i nästan allt. Dessutom är de fysiska lagarna i en parallell värld inte nödvändigtvis lika lagarna i vårt universum.

Det här ämnet är grogrund för science fiction-författare.

Salvador Dalis målning "Korsfästelsen" föreställer en tesserakt. "Crucifixion or Hypercubic Body" är en målning av den spanska konstnären Salvador Dali, målad 1954. Avbildar den korsfäste Jesus Kristus på en tesseract-skanning. Målningen förvaras i Metropolitan Museum of Art i New York

Allt började 1895, när H.G. Wells, med sin berättelse "Dörren i väggen", upptäckte existensen av parallella världar för science fiction. 1923 återvände Wells till idén om parallella världar och placerade i en av dem ett utopiskt land dit karaktärerna i romanen Men Like Gods går.

Romanen gick inte obemärkt förbi. 1926 dök G. Dents berättelse "The Emperor of the Country "If" upp I Dents berättelse uppstod för första gången tanken att det kunde finnas länder (världar) vars historia kunde se annorlunda ut än verkliga länders historia. i vår värld Och världar är dessa inte mindre verkliga än vår.

1944 publicerade Jorge Luis Borges berättelsen "The Garden of Forking Paths" i sin bok Fictional Stories. Här uttrycktes slutligen idén om förgreningstid med största klarhet.
Trots utseendet på de verk som anges ovan började idén om många världar på allvar att utvecklas inom science fiction först i slutet av 40-talet av 1900-talet, ungefär samtidigt när en liknande idé uppstod i fysiken.

En av pionjärerna för den nya riktningen inom science fiction var John Bixby, som föreslog i berättelsen "One Way Street" (1954) att mellan världar kan du bara röra dig i en riktning - när du väl går från din värld till en parallell, du kommer inte tillbaka, men du kommer att flytta från en värld till en annan. Men att återvända till sin egen värld är inte heller uteslutet - för detta är det nödvändigt att systemet av världar stängs.

Clifford Simaks roman A Ring Around the Sun (1982) beskriver många planeter jorden, var och en existerande i sin egen värld, men i samma omloppsbana, och dessa världar och dessa planeter skiljer sig från varandra endast genom en liten (mikrosekund) förskjutning i tiden. De många jordar som besöks av romanens hjälte enhetligt system världar.

Alfred Bester uttryckte en intressant syn på världarnas förgrening i sin berättelse "Mannen som dödade Mohammed" (1958). "Genom att förändra det förflutna," hävdade hjälten i berättelsen, "förändrar du det bara för dig själv." Med andra ord, efter en förändring i det förflutna uppstår en gren av historien där denna förändring endast existerar för den karaktär som gjorde förändringen.

Bröderna Strugatskys berättelse "Monday Begins on Saturday" (1962) beskriver karaktärernas resor till olika alternativ framtiden som beskrivs av science fiction-författare - i motsats till resan till världen som redan fanns inom science fiction olika alternativ förbi.

Men även en enkel lista över alla verk som berör temat parallella världar skulle ta för mycket tid. Och även om science fiction-författare som regel inte vetenskapligt underbygger postulatet om multidimensionalitet, så har de rätt i en sak – det här är en hypotes som har rätt att existera.
Den fjärde dimensionen av tesserakten väntar fortfarande på att vi ska besöka.

Victor Savinov