52. Mer komplexa exempel ekvationer.
Exempel 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Den gemensamma nämnaren är x 2 – 1, eftersom x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation med x 2 – 1. Vi får:

eller, efter minskning,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 och x = 3½

Låt oss överväga en annan ekvation:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Löser vi enligt ovan får vi:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 eller 2x = 2 och x = 1.

Låt oss se om våra likheter är motiverade om vi ersätter x i var och en av de betraktade ekvationerna med det hittade talet.

För det första exemplet får vi:

Vi ser att det inte finns utrymme för några tvivel: vi har hittat ett tal för x så att den erforderliga likheten är motiverad.

För det andra exemplet får vi:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) eller 5/0 – 3/2 = 15/0

Här uppstår tvivel: vi står inför division med noll, vilket är omöjligt. Om vi ​​i framtiden lyckas ge en viss, om än indirekt, innebörd åt denna uppdelning, så kan vi komma överens om att den hittade lösningen x – 1 uppfyller vår ekvation. Tills dess måste vi erkänna att vår ekvation inte har en lösning som har en direkt betydelse.

Liknande fall kan inträffa när det okända på något sätt ingår i nämnarna för bråken som finns i ekvationen, och några av dessa nämnare, när lösningen hittas, blir noll.

Exempel 2.

Du kan omedelbart se att denna ekvation har formen av en proportion: förhållandet mellan talet x + 3 och talet x – 1 är lika med förhållandet mellan talet 2x + 3 och talet 2x – 2. Låt någon, i Med tanke på denna omständighet, bestäm dig för att tillämpa här för att befria ekvationen från bråk, proportionens huvudsakliga egenskap (produkten av de extrema termerna är lika med produkten av mellantermerna). Då får han:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Här kan rädslan för att vi inte kommer att klara av denna ekvation väckas av att ekvationen innehåller termer med x 2. Men vi kan subtrahera 2x 2 från båda sidor av ekvationen - detta kommer inte att bryta ekvationen; då förstörs termerna med x 2 och vi får:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Låt oss flytta de okända termerna till vänster och de kända till höger - vi får:

3x = 3 eller x = 1

Kom ihåg denna ekvation

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Vi kommer omedelbart att märka att det hittade värdet för x (x = 1) gör att nämnarna för varje bråkdel försvinner; Vi måste överge en sådan lösning tills vi har övervägt frågan om division med noll.

Om vi ​​också noterar att tillämpningen av proportionsegenskapen har komplicerat saken och att en enklare ekvation skulle kunna erhållas genom att multiplicera båda sidor av det givna med en gemensam nämnare, nämligen 2(x – 1) - trots allt 2x – 2 = 2 (x – 1), då får vi:

2(x + 3) = 2x – 3 eller 2x + 6 = 2x – 3 eller 6 = –3,

vilket är omöjligt.

Denna omständighet indikerar att denna ekvation inte har några lösningar som har en direkt betydelse som inte skulle vända på nämnare given ekvation till noll.
Låt oss nu lösa ekvationen:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Låt oss multiplicera båda sidor av ekvationen 2(x – 1), dvs med en gemensam nämnare får vi:

6x + 10 = 2x + 18

Den hittade lösningen får inte nämnaren att försvinna och har en direkt betydelse:

eller 11 = 11

Om någon, istället för att multiplicera båda delarna med 2(x – 1), skulle använda egenskapen proportion, skulle de få:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) eller
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Här skulle termerna med x 2 inte förstöras. Att flytta alla okända termer till vänster sida, och de kända till höger, skulle vi få

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Nu kommer vi inte att kunna lösa denna ekvation. I framtiden kommer vi att lära oss hur man löser sådana ekvationer och hitta två lösningar för det: 1) du kan ta x = 2 och 2) du kan ta x = 1. Det är lätt att kontrollera båda lösningarna:

1) 2 2 – 3 2 = –2 och 2) 1 2 – 3 1 = –2

Om vi ​​kommer ihåg den initiala ekvationen

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

då får vi se att nu får vi båda dess lösningar: 1) x = 2 är lösningen som har en direkt betydelse och inte vrider nämnaren till noll, 2) x = 1 är lösningen som vänder nämnaren till noll och har ingen direkt betydelse.

Exempel 3.

Låt oss hitta den gemensamma nämnaren för bråken som ingår i denna ekvation genom att faktorisera var och en av nämnarna:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Den gemensamma nämnaren är (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation (och vi kan nu skriva om den som:

med en gemensam nämnare (x – 3) (x – 2) (x + 1). Sedan, efter att ha reducerat varje bråkdel får vi:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) eller
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Härifrån får vi:

–x = –13 och x = 13.

Denna lösning har en direkt innebörd: den får inte någon av nämnarna att försvinna.

Om vi ​​tar ekvationen:

då, gör exakt samma som ovan, skulle vi få

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

var skulle du få det ifrån?

vilket är omöjligt. Denna omständighet visar att det är omöjligt att hitta en lösning för den sista ekvationen som har en direkt betydelse.

Bakåt Framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Lektionens mål:

Utbildning:

• Sammanfatta kunskap om alla typer av ekvationer, betona vikten av alla metoder som används för att lösa ekvationer.
• Intensifiera elevernas arbete genom en mängd olika tekniker i lektionen.
• Testa teoretiska och praktiska färdigheter i att lösa ekvationer.
• Fokusera på att en ekvation kan lösas på flera sätt

Utbildning:

• Öka elevernas intresse för ämnet genom användning av IKT.
• Bekanta eleverna med historiskt material om ämnet.
• Utveckling av mental aktivitet för att bestämma typen av ekvation och metoder för att lösa den.

Utbildning:

• Ingjuta disciplin i klassrummet.
• Utveckling av förmågan att uppfatta skönhet i sig själv, i en annan person och i världen omkring oss.

Lektionstyp:

• Lektion av generalisering och systematisering av kunskap.

Lektionstyp:

• Kombinerad.

Material och teknisk utrustning:

• Dator
• Skärm
• Projektor
• Skiva med presentation av ämnet

Metoder och tekniker:

• Använda en presentation
• Frontala samtal
• Muntligt arbete
• Spelögonblick
• Arbeta i par
• Arbeta i styrelsen
• Arbeta i anteckningsböcker

Lektionsplan:

1. Organisatoriskt ögonblick (1 minut)
2. Avkoda ämnet för lektionen (3 minuter)
3. Uttalande av ämnet och syftet med lektionen (1 minut)
4. Teoretisk uppvärmning (3 minuter)
5. Historisk utflykt (3 minuter)
6. Spelet "Ta bort överskottet" (2 minuter)
7. Kreativt arbete(2 minuter)
8. Uppgift "Hitta felet" (2 minuter)
9. Lösa en ekvation på flera sätt (på bild) (3 minuter)
10. Lösa en ekvation på flera sätt (vid tavlan) (24 minuter)
11. Självständigt arbete i par följt av förklaring (5 minuter)
12. Individuella läxor (1 min)
13. L(1 minut)

Lektions epigraf:

"Du kan bara lära dig genom nöje för att smälta kunskap måste du ta till dig den med aptit."
A. Frankrike

Lektionssammanfattning

Organisatorisk del

Jag kontrollerar elevernas beredskap för lektionen och markerar de som är frånvarande från lektionen. Killar, den franske 1800-talsförfattaren A. France anmärkte en gång: "Du kan bara lära dig genom skoj för att smälta kunskap, du måste ta till dig den med aptit." Så låt oss följa skribentens råd i vår lektion och smälta kunskap med stor aptit, för det kommer att vara användbart i våra liv.

Avkodning av ämnet för lektionen

För att gå vidare till en mer komplex uppgift, låt oss sträcka ut våra hjärnor med enkla uppgifter. Ämnet för vår lektion krypteras genom att lösa muntliga uppgifter och hitta svaret på dem, med vetskapen om att varje svar har sin egen bokstav, kommer vi att avslöja lektionens ämne. Presentationsbild 3

Kommunicera ämnet och syftet med lektionen

Du namngav själv ämnet för lektionen idag

"Typer av ekvationer och metoder för att lösa dem." Presentationsbild 4

Mål: Återkalla och generalisera alla typer av ekvationer och metoder för att lösa dem. Lös en ekvation med alla metoder. Presentationsbild 5 Läs Einsteins uttalande Presentationsbild 5

Teoretisk uppvärmning

Frågor Presentationsbild 7

Svar

1. En likhet som innehåller en variabel indikerad med en bokstav.
2. Detta innebär att hitta alla dess rötter, eller bevisa att det inte finns några rötter.
3. Värdet på variabeln där ekvationen blir sann.
4. Efter denna definition, läs en dikt om ekvationen Presentationsbild 12,13,14

Svar på 2 sista frågan Presentationsbild 9,10,11

Historisk utflykt

Historisk information om "Vem uppfann ekvationen och när" Presentationsbild 15

Låt oss föreställa oss att en primitiv mamma som heter ... men hon hade förmodligen inte ens ett namn, plockade 12 äpplen från ett träd för att ge till vart och ett av sina 4 barn. Hon visste förmodligen inte hur man räknar inte bara till 12, utan också till fyra, och visste absolut inte hur man delar 12 med 4. Och hon delade förmodligen äpplena så här: först gav hon varje barn ett äpple, sedan ett äpple till. , sedan en till ensam och så såg jag att det inte fanns fler äpplen och barnen var glada. Om vi ​​skriver ner dessa handlingar på modernt matematiskt språk får vi x4=12, det vill säga min mamma löste problemet med att komponera en ekvation. Tydligen är det omöjligt att svara på frågan ovan. Problem som leder till lösningen av ekvationer har lösts av människor som använt sunt förnuft sedan den tid de blev människor. Även 3-4 tusen år f.Kr. kunde egyptierna och babylonierna lösa de enklaste ekvationerna, vars form och lösningsmetoderna inte liknade moderna. Grekerna ärvde egyptiernas kunskap och gick vidare. Den största framgången i utvecklingen av ekvationsläran uppnåddes av den grekiske vetenskapsmannen Diophantus (III-talet), om vilken de skrev:

Han löste många problem.
Han förutspådde lukter och duschar.
Hans kunskap är verkligen fantastisk.

Den centralasiatiske matematikern Muhammad al Khorezmi (800-talet) gjorde ett stort bidrag till att lösa ekvationer. Hans berömda bok al-Khwarizmi ägnas åt att lösa ekvationer. Den kallas "Kitab al-jabr wal-mukabala", det vill säga "Bok om komplement och opposition". Den här boken blev känd för européer, och från ordet "al-jabr" från dess titel kom ordet "algebra" - namnet på en av matematikens huvuddelar. Därefter arbetade många matematiker med problem med ekvationer. Allmän beslutsregel andragradsekvationer reducerat till formen x2+in=0 formulerades av den tyske matematikern Stiefel, som levde på 1400-talet. Efter verk av den holländska matematikern Girard (1500-talet), samt Descartes och Newton, fick lösningsmetoden en modern form. Formler som uttrycker beroendet av rötterna till en ekvation på dess koefficienter introducerades av Vieth. Francois Viet levde på 1500-talet. Han gjorde stora bidrag till studiet av olika problem inom matematik och astronomi; i synnerhet införde han bokstavsbeteckningar för ekvationens koefficienter. Låt oss nu bekanta oss med en intressant episod från hans liv. Viet fick stor berömmelse under kung Henrik III, under det fransk-spanska kriget. De spanska inkvisitorerna uppfann en mycket komplex hemlig skrift, tack vare vilken spanjorerna korresponderade med Henrik III:s fiender även i själva Frankrike.

Förgäves försökte fransmännen hitta nyckeln till koden, och sedan vände sig kungen till Vieta. De säger att Viet hittade nyckeln till koden under två veckors kontinuerligt arbete, varefter Frankrike, oväntat för Spanien, började vinna den ena striden efter den andra. I övertygelse om att koden inte gick att dechiffrera, anklagade spanjorerna Viet för att ha ett samband med djävulen och dömde honom att brännas på bål. Som tur var utlämnades han inte till inkvisitionen och gick till historien som en stor matematiker.

Spelet "Ta bort överskottet"

Syftet med spelet orientering i typer av ekvationer.

Vi får tre kolumner med ekvationer, i var och en av dem är ekvationerna definierade enligt något kriterium, men en av dem är överflödig din uppgift är att hitta och karakterisera den. Presentationsbild 16

Kreativt arbete

Syftet med denna uppgift: Lyssningsförståelse av matematiskt tal, orientera barn i typer av ekvationer.

På skärmen ser du 9 ekvationer. Varje ekvation har sitt eget nummer, jag kommer att namnge typen av denna ekvation, och du måste hitta en ekvation av denna typ, och bara sätta numret som den förekommer under, som ett resultat får du ett 9-siffrigt nummer Presentationsbild 17

1. Reducerad andragradsekvation.
2. Bråkdel rationell ekvation
3. Kubikekvation
4. Logaritmisk ekvation
5. Linjär ekvation
6. Ofullständig andragradsekvation
7. Exponentiell ekvation
8. Irrationell ekvation
9. Trigonometrisk ekvation

Uppgift "Hitta felet"

En elev löste ekvationer, men hela klassen skrattade, han gjorde ett misstag i varje ekvation, din uppgift är att hitta den och rätta till den. Presentationsbild 18

Att lösa en ekvation på flera sätt

Låt oss nu lösa en ekvation på alla möjliga sätt, för att spara tid i klassen, en ekvation på skärmen. Nu ska du namnge typen av denna ekvation och förklara vilken metod som används för att lösa denna ekvation. Presentationsbilderna 19-27

Att lösa en ekvation på flera sätt (vid tavlan)

Vi tittade på exemplet och låt oss nu lösa ekvationen vid tavlan på alla möjliga sätt.

X-2 - irrationell ekvation

Låt oss kvadrera båda sidor av ekvationen.

X2 +2x+4x-1-4=0

Vi löser denna ekvation på bordet på 9 sätt.

Självständigt arbete i par följt av förklaring i styrelsen

Och nu kommer du att arbeta i par, jag ger en ekvation till ditt skrivbord, din uppgift är att bestämma typen av ekvation, lista alla sätt att lösa denna ekvation, lösa 1-2 på de mest rationella sätten för dig. (2 minuter)

Arbetsuppgifter för att arbeta i par

Lös ekvationen

Efter självständigt arbete i par kommer en representant till styrelsen, presenterar sin ekvation, löser på ett sätt

Individuella läxor(differentieringsbar)

Lös ekvationen

(bestäm typ av ekvation, lös på alla sätt på ett separat ark)

Sammanfattning av reflektionslektion.

Jag sammanfattar lektionen, uppmärksammar att en ekvation kan lösas på många sätt, ger betyg, drar en slutsats om vem som var aktiv och vem som behöver vara mer aktiv. Jag läste upp Kalinins uttalande Presentationsbild 28

Titta noga på målen som vi har satt upp för dagens lektion:

• Vad tror du att vi lyckades göra?
• Vad gick inte så bra?
• Vad gillade du speciellt och kom ihåg?
• Idag har jag lärt mig något nytt...
• Mina kunskaper var användbara under lektionen...
• Det var svårt för mig...
• Jag gillade lektionen...

Litteratur.

1. Dorofeev G.V. ”Samling av uppgifter för att genomföra en skriftlig tentamen i matematik för kursen gymnasiet” - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Matematikpussel och underhållning.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktiskt material om algebra och början av analys för årskurs 10, årskurs 11. M.: Upplysning. 2002.

I regel, ekvationer dyker upp i problem där du behöver hitta en viss mängd. Ekvationen låter dig formulera problemet på algebraspråket. Efter att ha löst ekvationen får vi värdet på den önskade kvantiteten, som kallas det okända. "Andrey har flera rubel i plånboken. Om du multiplicerar detta tal med 2 och sedan subtraherar 5 får du 10. Hur mycket pengar har Andrey?” Låt oss beteckna den okända summan pengar som x och skriva ekvationen: 2x-5=10.

Att prata om sätt att lösa ekvationer, först måste du definiera de grundläggande begreppen och bli bekant med de allmänt accepterade beteckningarna. För olika typer ekvationer finns det olika algoritmer för att lösa dem. Det enklaste sättet att lösa ekvationer är av första graden med en okänd. Många känner till formeln för att lösa andragradsekvationer från skolan. Tekniker för högre matematik hjälper dig att lösa ekvationer av högre ordning. Den uppsättning tal som en ekvation definieras på är nära relaterad till dess lösningar. Relationen mellan ekvationer och funktionsgrafer är också intressant, eftersom att representera ekvationer grafiskt är till stor hjälp för att lösa dem.

Beskrivning. En ekvation är en matematisk likhet med en eller flera okända storheter, till exempel 2x+3y=0.

Uttryck på båda sidor om likhetstecknet kallas vänster och höger sida av ekvationen. Bokstäverna i det latinska alfabetet indikerar okända. Även om det kan finnas hur många okända som helst, kommer vi nedan bara att prata om ekvationer med en okänd, som vi kommer att beteckna med x.

Grad av ekvationär den maximala kraften till vilken det okända kan höjas. Till exempel,
$3x^4+6x-1=0$ är en ekvation av fjärde graden, $x-4x^2+6x=8$ är en ekvation av andra graden.

De tal som det okända multipliceras med kallas koefficienter. I det föregående exemplet har det okända i fjärde potensen koefficienten 3. Om, när man ersätter x med detta tal, den givna likheten är uppfylld, sägs detta tal uppfylla ekvationen. Det heter lösa ekvationen, eller dess rot. Till exempel är 3 roten, eller lösningen, av ekvationen 2x+8=14, eftersom 2*3+8=6+8=14.

Lösa ekvationer. Låt oss säga att vi vill lösa ekvationen 2x+5=11.

Du kan ersätta ett x-värde i det, till exempel x=2. Byt ut x med 2 och få: 2*2+5=4+5=9.

Det är något fel här för på höger sida av ekvationen borde vi ha fått 11. Låt oss försöka x=3: 2*3+5=6+5=11.

Svaret är korrekt. Det visar sig att om det okända tar värdet 3, då jämställdheten är tillfredsställd. Därför har vi visat att talet 3 är en lösning på ekvationen.

Metoden vi använde för att lösa denna ekvation kallas urvalsmetod. Uppenbarligen är det obekvämt att använda. Dessutom kan det inte ens kallas en metod. För att verifiera detta, försök bara att tillämpa det på en ekvation av formen $x^4-5x^2+16=2365$.

Lösningsmetoder. Det finns så kallade "spelregler" som är användbara att bekanta sig med. Vårt mål är att bestämma värdet av det okända som uppfyller ekvationen. Därför är det nödvändigt att identifiera det okända på något sätt. För att göra detta är det nödvändigt att överföra termerna i ekvationen från en del till en annan. Den första regeln för att lösa ekvationer är...

1. När en medlem av en ekvation flyttas från en del till en annan ändras dess tecken till det motsatta: plus ändras till minus och vice versa. Betrakta som ett exempel ekvationen 2x+5=11. Låt oss flytta 5 från vänster sida till höger: 2x=11-5. Ekvationen blir 2x=6.

Låt oss gå vidare till den andra regeln.
2. Båda sidorna av ekvationen kan multipliceras och divideras med ett tal som inte är lika med noll. Låt oss tillämpa denna regel på vår ekvation: $x=\frac62=3$. På vänster sida av likheten finns bara det okända x kvar, därför hittade vi dess värde och löste ekvationen.

Vi har precis tittat på det enklaste problemet - linjär ekvation med en okänd. Ekvationer av denna typ har alltid en lösning, dessutom kan de alltid lösas med de enklaste operationerna: addition, subtraktion, multiplikation och division. Tyvärr är inte alla ekvationer så enkla. Dessutom ökar deras komplexitet mycket snabbt. Till exempel kan ekvationer av den andra graden lätt lösas av vilken gymnasieelev som helst, men metoder för att lösa system av linjära ekvationer eller ekvationer av högre grader studeras bara i gymnasiet.

Linjära ekvationer. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Linjära ekvationer.

Linjära ekvationer är inte det svåraste ämnet i skolmatematik. Men det finns några knep där som kan förbrylla även en utbildad elev. Låt oss ta reda på det?)

Vanligtvis definieras en linjär ekvation som en ekvation av formen:

yxa + b = 0 Där a och b– alla siffror.

2x + 7 = 0. Här a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Här a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Här a=12, b=1/2

Inget komplicerat, eller hur? Speciellt om du inte lägger märke till orden: "där a och b är valfria tal"... Och om du märker och slarvigt tänker på det?) När allt kommer omkring, om a=0, b=0(alla siffror är möjliga?), då får vi ett roligt uttryck:

Men det är inte allt! Om, säg, a=0, A b=5, Det här visar sig vara något helt utöver det vanliga:

Vilket är irriterande och undergräver förtroendet för matematik, ja...) Speciellt under prov. Men av dessa konstiga uttryck måste du också hitta X! Vilket inte alls finns. Och överraskande nog är detta X väldigt lätt att hitta. Vi kommer att lära oss att göra detta. I den här lektionen.

Hur känner man igen en linjär ekvation på dess utseende? Det beror på vad utseende.) Tricket är att inte bara formens ekvationer kallas linjära ekvationer yxa + b = 0 , men också alla ekvationer som kan reduceras till denna form genom transformationer och förenklingar. Och vem vet om det kommer ner eller inte?)

En linjär ekvation kan tydligt kännas igen i vissa fall. Låt oss säga, om vi har en ekvation där det bara finns okända i första graden och siffror. Och i ekvationen finns det nej bråk dividerat med okänd , detta är viktigt! Och division efter antal, eller en numerisk bråkdel - det är välkommet! Till exempel:

Detta är en linjär ekvation. Det finns bråk här, men det finns inga x i kvadraten, kuben etc. och inga x i nämnarna, d.v.s. Inga division med x. Och här är ekvationen

kan inte kallas linjär. Här är alla X i första graden, men det finns division med uttryck med x. Efter förenklingar och transformationer kan du få en linjär ekvation, en andragradsekvation eller vad du vill.

Det visar sig att det är omöjligt att känna igen den linjära ekvationen i något komplicerat exempel förrän man nästan löser den. Det här är upprörande. Men i uppdrag frågar de som regel inte om ekvationens form, eller hur? Uppgifterna frågar efter ekvationer besluta. Detta gör mig glad.)

Lösa linjära ekvationer. Exempel.

Hela lösningen av linjära ekvationer består av identiska transformationer av ekvationerna. Förresten, dessa transformationer (två av dem!) är grunden för lösningarna alla matematikens ekvationer. Med andra ord, lösningen några ekvationen börjar med just dessa transformationer. När det gäller linjära ekvationer är den (lösningen) baserad på dessa transformationer och slutar med ett fullständigt svar. Det är vettigt att följa länken, eller hur?) Dessutom finns det också exempel på att lösa linjära ekvationer där.

Låt oss först titta på det enklaste exemplet. Utan några fallgropar. Anta att vi måste lösa denna ekvation.

x - 3 = 2 - 4x

Detta är en linjär ekvation. X är alla i första potens, det finns ingen division med X. Men i själva verket spelar det ingen roll för oss vilken typ av ekvation det är. Vi måste lösa det. Schemat här är enkelt. Samla allt med X på vänster sida av ekvationen, allt utan X (nummer) till höger.

För att göra detta måste du överföra - 4x till vänster sida, med byte av tecken förstås, och - 3 - till höger. Detta är förresten den första identiska transformationen av ekvationer. Förvånad? Det betyder att du inte följde länken, men förgäves...) Vi får:

x + 4x = 2 + 3

Här är liknande, anser vi:

Vad behöver vi för fullständig lycka? Ja, så att det blir ett rent X till vänster! Fem är i vägen. Att bli av med de fem med hjälp den andra identiska transformationen av ekvationer. Vi dividerar nämligen båda sidor av ekvationen med 5. Vi får ett färdigt svar:

Ett elementärt exempel såklart. Det här är för att värma upp.) Det är inte så tydligt varför jag kom ihåg identiska transformationer här? OK. Låt oss ta tjuren vid hornen.) Låt oss bestämma något mer solidt.

Till exempel, här är ekvationen:

Var börjar vi? Med X - till vänster, utan X - till höger? Det är möjligt. Små steg längs en lång väg. Eller så kan du göra det direkt, på ett universellt och kraftfullt sätt. Om du naturligtvis har identiska transformationer av ekvationer i din arsenal.

Jag ställer en nyckelfråga till dig: Vad ogillar du mest med den här ekvationen?

95 av 100 personer kommer att svara: fraktioner ! Svaret är korrekt. Så låt oss bli av med dem. Därför börjar vi direkt med andra identitetsförvandling. Vad behöver du multiplicera bråket till vänster med så att nämnaren reduceras helt? Just det, vid 3. Och till höger? Med 4. Men matematiken tillåter oss att multiplicera båda sidor med samma nummer. Hur kan vi komma ut? Låt oss multiplicera båda sidor med 12! Dessa. till en gemensam nämnare. Då kommer både de tre och de fyra att minska. Glöm inte att du måste multiplicera varje del helt. Så här ser det första steget ut:

Utöka parenteserna:

Var uppmärksam! Täljare (x+2) Jag sätter det inom parentes! Detta beror på att när man multiplicerar bråk så multipliceras hela täljaren! Nu kan du minska fraktioner:

Expandera de återstående parenteserna:

Inte ett exempel, men rent nöje!) Låt oss nu komma ihåg en besvärjelse från grundskolan: med ett X - till vänster, utan ett X - till höger! Och tillämpa denna transformation:

Här är några liknande:

Och dividera båda delarna med 25, d.v.s. tillämpa den andra omvandlingen igen:

Det är allt. Svar: X=0,16

Observera: för att få den ursprungliga förvirrande ekvationen till en fin form använde vi två (bara två!) identitetsförvandlingar– översättning vänster-höger med byte av tecken och multiplikation-division av en ekvation med samma tal. Detta är en universell metod! Vi kommer att arbeta på detta sätt med några ekvationer! Absolut vem som helst. Det är därför jag fortsätter att upprepa om dessa identiska transformationer tröttsamt.)

Som du kan se är principen för att lösa linjära ekvationer enkel. Vi tar ekvationen och förenklar den med identiska transformationer tills vi får svaret. De största problemen här ligger i beräkningarna, inte i principen för lösningen.

Men... Det finns sådana överraskningar i processen att lösa de mest elementära linjära ekvationerna att de kan driva dig in i en stark dvala...) Lyckligtvis kan det bara finnas två sådana överraskningar. Låt oss kalla dem specialfall.

Specialfall vid lösning av linjära ekvationer.

Första överraskningen.

Anta att du stöter på en mycket grundläggande ekvation, något som:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lite uttråkade flyttar vi den med ett X till vänster, utan ett X - till höger... Med ett teckenbyte är allt perfekt... Vi får:

2x-5x+3x=5-2-3

Vi räknar, och... oj!!! Vi får:

Denna jämlikhet i sig är inte förkastlig. Noll är verkligen noll. Men X saknas! Och vi måste skriva ner i svaret, vad är x lika med? Annars räknas inte lösningen, eller hur...) Dödläge?

Lugna! I sådana tveksamma fall kommer de mest allmänna reglerna att rädda dig. Hur löser man ekvationer? Vad innebär det att lösa en ekvation? Detta betyder, hitta alla värden på x som, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger oss den korrekta likheten.

Men vi har sann jämlikhet redan det fungerade! 0=0, hur mycket mer exakt?! Det återstår att ta reda på vid vilka x's detta händer. Vilka värden på X kan ersättas med original ekvation om dessa x kommer de fortfarande att reduceras till noll? kom igen?)

Ja!!! X kan ersättas några! Vilka vill du ha? Minst 5, minst 0,05, minst -220. De kommer fortfarande att krympa. Om du inte tror mig kan du kontrollera det.) Byt ut alla värden på X original ekvation och beräkna. Hela tiden kommer du att få den rena sanningen: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 och så vidare.

Här är ditt svar: x - vilket nummer som helst.

Svaret kan skrivas i olika matematiska symboler, essensen förändras inte. Detta är ett helt korrekt och fullständigt svar.

Andra överraskningen.

Låt oss ta samma elementära linjära ekvation och ändra bara ett tal i den. Detta är vad vi kommer att bestämma:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Efter samma identiska transformationer får vi något spännande:

Så här. Vi löste en linjär ekvation och fick en konstig likhet. I matematiska termer fick vi falsk jämlikhet. Och talar på ett enkelt språk, detta är inte sant. Rave. Men ändå är detta nonsens en mycket bra anledning till rätt beslut ekvationer.)

Återigen tänker vi utifrån allmänna regler. Vad x, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, kommer att ge oss sann jämställdhet? Ja, ingen! Det finns inga sådana X. Oavsett vad du stoppar i dig kommer allt att minska, bara nonsens kommer att finnas kvar.)

Här är ditt svar: det finns inga lösningar.

Detta är också ett helt komplett svar. Inom matematiken finns ofta sådana svar.

Så här. Nu hoppas jag att försvinnandet av X i processen att lösa alla (inte bara linjära) ekvationer inte kommer att förvirra dig alls. Detta är redan en bekant sak.)

Nu när vi har tagit itu med alla fallgropar i linjära ekvationer, är det vettigt att lösa dem.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.