En cylinder är en geometrisk kropp som begränsas av två parallella plan och en cylindrisk yta. I artikeln kommer vi att prata om hur man hittar arean på en cylinder och med hjälp av formeln kommer vi att lösa flera problem som ett exempel.
En cylinder har tre ytor: en topp, en bas och en sidoyta.
Toppen och basen av en cylinder är cirklar och är lätta att identifiera.
Det är känt att arean av en cirkel är lika med πr 2. Därför kommer formeln för arean av två cirklar (toppen och basen av cylindern) att vara πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Den tredje sidoytan på cylindern är cylinderns krökta vägg. För att bättre kunna föreställa oss denna yta, låt oss försöka omvandla den för att få en igenkännbar form. Föreställ dig att cylindern är vanlig tenn, som inte har topplock och botten. Låt oss göra ett vertikalt snitt på sidoväggen från toppen till botten av burken (steg 1 i figuren) och försöka öppna (räta ut) den resulterande figuren så mycket som möjligt (steg 2).
Efter att den resulterande burken är helt öppnad kommer vi att se en välbekant figur (steg 3), detta är en rektangel. Arean av en rektangel är lätt att beräkna. Men innan dess, låt oss återvända ett ögonblick till den ursprungliga cylindern. Spetsen på den ursprungliga cylindern är en cirkel, och vi vet att omkretsen beräknas med formeln: L = 2πr. Det är markerat med rött i figuren.
När cylinderns sidovägg är helt öppen ser vi att omkretsen blir längden på den resulterande rektangeln. Sidorna på denna rektangel kommer att vara omkretsen (L = 2πr) och cylinderns höjd (h). Arean av en rektangel är lika med produkten av dess sidor - S = längd x bredd = L x h = 2πr x h = 2πrh. Som ett resultat fick vi en formel för att beräkna arean på cylinderns laterala yta.
Formel för den laterala ytan av en cylinder
S sida = 2πrh
Total yta av en cylinder
Slutligen, om vi lägger till arean av alla tre ytorna, får vi areaformeln full yta cylinder. Ytan på en cylinder är lika med arean av cylinderns topp + arean av cylinderns bas + arean av cylinderns sidoyta eller S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Ibland skrivs detta uttryck identiskt med formeln 2πr (r + h).
Formel för den totala ytan av en cylinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – cylinderns radie, h – cylinderns höjd
Exempel på beräkning av ytan på en cylinder
För att förstå formlerna ovan, låt oss försöka beräkna ytan på en cylinder med hjälp av exempel.
1. Radien på cylinderns bas är 2, höjden är 3. Bestäm arean av cylinderns laterala yta.
Den totala ytan beräknas med formeln: S-sidan. = 2πrh
S sida = 2 * 3,14 * 2 * 3
S sida = 6,28 * 6
S sida = 37,68
Cylinderns laterala yta är 37,68.
2. Hur hittar man ytan på en cylinder om höjden är 4 och radien är 6?
Den totala ytan beräknas med formeln: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
När eleverna förbereder sig för Unified State Exam i matematik måste eleverna systematisera sina kunskaper om algebra och geometri. Jag skulle vilja kombinera all känd information, till exempel om hur man beräknar arean av en pyramid. Dessutom, från basen och sidokanterna till hela ytan. Om situationen med sidoytorna är tydlig, eftersom de är trianglar, är basen alltid annorlunda.
Hur hittar man området för pyramidens bas?
Det kan vara absolut vilken figur som helst: från en godtycklig triangel till en n-gon. Och denna bas, förutom skillnaden i antalet vinklar, kan vara en vanlig figur eller en oregelbunden. I Unified State Exam-uppgifterna som intresserar skolbarn finns det bara uppgifter med korrekta siffror i basen. Därför kommer vi bara att prata om dem.
Vanlig triangel
Det vill säga liksidig. Den där alla sidor är lika och betecknas med bokstaven "a". I det här fallet beräknas arean av pyramidens bas med formeln:
S = (a 2 * √3) / 4.
Fyrkant
Formeln för att beräkna dess area är den enklaste, här är "a" igen sidan:
Godtycklig regelbunden n-gon
Sidan av en polygon har samma notation. För antalet använda vinklar latinsk bokstav n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Vad ska man göra när man beräknar den laterala och totala ytan?
Eftersom basen är en vanlig figur är alla ytor i pyramiden lika. Dessutom är var och en av dem en likbent triangel, eftersom sidokanterna är lika. Sedan för att räkna ut sidoområde pyramid behöver du en formel som består av summan av identiska monomialer. Antalet termer bestäms av antalet sidor av basen.
Fyrkant likbent triangel beräknas med en formel där halva produkten av basen multipliceras med höjden. Denna höjd i pyramiden kallas apotem. Dess beteckning är "A". Allmän formel för den laterala ytan ser det ut så här:
S = ½ P*A, där P är omkretsen av pyramidens bas.
Det finns situationer när sidorna av basen inte är kända, men sidoribborna (c) och platt vinkel vid dess spets (α). Sedan måste du använda följande formel för att beräkna pyramidens laterala yta:
S = n/2 * i 2 sin α .
Uppgift nr 1
Skick. Hitta den totala ytan av pyramiden om dess bas har en sida på 4 cm och apotem har ett värde på √3 cm.
Lösning. Du måste börja med att beräkna basens omkrets. För det här vanlig triangel, då P = 3*4 = 12 cm Eftersom apotem är känt kan vi omedelbart beräkna arean av hela sidoytan: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
För triangeln vid basen får du följande areavärde: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
För att bestämma hela området måste du lägga till de två resulterande värdena: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Svar. 10√3 cm 2.
Problem nr 2
Skick. Det finns en vanlig fyrkantig pyramid. Längden på bassidan är 7 mm, sidokanten är 16 mm. Det är nödvändigt att ta reda på dess yta.
Lösning. Eftersom polyedern är fyrkantig och regelbunden är dess bas en kvadrat. När du väl känner till arean av basen och sidoytorna kommer du att kunna beräkna pyramidens yta. Formeln för kvadraten ges ovan. Och för sidoytorna är alla sidor av triangeln kända. Därför kan du använda Herons formel för att beräkna deras arealer.
De första beräkningarna är enkla och leder till följande antal: 49 mm 2. För det andra värdet måste du beräkna halvomkretsen: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nu kan du beräkna arean av en likbent triangel: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Det finns bara fyra sådana trianglar, så när du beräknar det slutliga talet måste du multiplicera det med 4.
Det visar sig: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.
Svar. Det önskade värdet är 267,576 mm 2.
Problem nr 3
Skick. För en vanlig fyrkantig pyramid måste du beräkna arean. Sidan på kvadraten är känd för att vara 6 cm och höjden är 4 cm.
Lösning. Det enklaste sättet är att använda formeln med produkten av omkrets och apotem. Det första värdet är lätt att hitta. Den andra är lite mer komplicerad.
Vi måste komma ihåg Pythagoras sats och överväga att den bildas av höjden på pyramiden och apotem, som är hypotenusan. Det andra benet är lika med halva sidan av kvadraten, eftersom polyederns höjd faller in i dess mitt.
Den sökta apotem (hypotenus rät triangel) är lika med √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Nu kan du beräkna önskat värde: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Svar. 96 cm 2.
Problem nr 4
Skick. Dana rätt sida dess baser är 22 mm, sidoribbor är 61 mm. Vad är den laterala ytan av denna polyeder?
Lösning. Resonemanget i den är detsamma som beskrivs i uppgift nr 2. Bara där gavs en pyramid med en kvadrat vid basen, och nu är den en hexagon.
Först och främst beräknas basarean med formeln ovan: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Nu måste du ta reda på halvomkretsen av en likbent triangel, vilket är sidoytan. (22+61*2):2 = 72 cm Allt som återstår är att använda Herons formel för att beräkna arean av varje sådan triangel, och sedan multiplicera den med sex och addera den till den som erhålls för basen.
Beräkningar med Herons formel: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Beräkningar som ger den laterala ytan: 660 * 6 = 3960 cm 2. Det återstår att lägga ihop dem för att ta reda på hela ytan: 5217.47≈5217 cm 2.
Svar. Basen är 726√3 cm 2, sidoytan är 3960 cm 2, hela ytan är 5217 cm 2.
Arean av den laterala ytan av en godtycklig pyramid är lika med summan av ytorna på dess laterala ytor. Det är vettigt att ge en speciell formel för att uttrycka detta område i fallet med en vanlig pyramid. Så låt det vara givet vanlig pyramid, vars bas är en vanlig n-gon med sida lika med a. Låt h vara höjden på sidoytan, även kallad apotem pyramider. Arean av en sidoyta är lika med 1/2ah, och hela sidoytan på pyramiden har en area lika med n/2ha Eftersom na är omkretsen av pyramidens bas, kan vi skriva den hittade formeln i formen:
Sidoyta av en vanlig pyramid är lika med produkten av dess apotem och halva basens omkrets.
Angående total yta, då lägger vi helt enkelt till området på basen till sidan.
Inskriven och omskriven sfär och kula. Det bör noteras att mitten av sfären som är inskriven i pyramiden ligger i skärningspunkten mellan bisekturplanen för pyramidens inre dihedriska vinklar. Mitten av sfären som beskrivs nära pyramiden ligger vid skärningspunkten mellan plan som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter och vinkelrätt mot dem.
Stympad pyramid. Om en pyramid skärs av ett plan parallellt med dess bas, kallas den del som är innesluten mellan skärplanet och basen stympad pyramid. Figuren visar en pyramid som kastar sin del som ligger ovanför skärplanet, vi får en stympad pyramid. Det är tydligt att den lilla kasserade pyramiden är homotetisk mot den stora pyramiden med homotetisk centrum i spetsen. Likhetskoefficienten är lika med förhållandet mellan höjder: k=h 2 /h 1, eller sidokanter, eller andra motsvarande linjära dimensioner för båda pyramiderna. Vi vet att områdena för liknande figurer är relaterade som kvadrater med linjära dimensioner; så områdena för baserna för båda pyramiderna (dvs. området för baserna för den avkortade pyramiden) är relaterade till
Här är S 1 arean av den nedre basen, och S 2 är arean av den övre basen av den trunkerade pyramiden. Pyramidernas sidoytor står i samma förhållande. En liknande regel finns för volymer.
Volymer liknande kroppar är relaterade som kuber med sina linjära dimensioner; till exempel är volymerna av pyramiderna relaterade som produkten av deras höjder och arean av baserna, från vilken vår regel omedelbart erhålls. Den är av helt allmän karaktär och följer direkt av att volymen alltid har en dimension av tredje potens av längd. Med hjälp av denna regel härleder vi en formel som uttrycker volymen av en trunkerad pyramid genom höjden och arean av baserna.
Låt en stympad pyramid med höjd h och basareor S 1 och S 2 ges. Om vi föreställer oss att den är utvidgad till en hel pyramid, så är likhetskoefficienten mellan den fullständiga pyramiden och den lilla pyramiden lätt att hitta som roten till förhållandet S 2 /S 1 . Höjden på en stympad pyramid uttrycks som h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nu har vi för volymen av en stympad pyramid (V 1 och V 2 betecknar volymerna för de hela och små pyramiderna)
formel för volymen av en stympad pyramid
Låt oss härleda formeln för arean S av den laterala ytan av en regelbunden trunkerad pyramid genom omkretsarna P 1 och P 2 av baserna och längden på apotem a. Vi resonerar på exakt samma sätt som när vi härleder formeln för volym. Vi kompletterar pyramiden med den övre delen, vi har P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, där k är likhetskoefficienten, P 1 och P 2 är omkretsen av baserna, och S 1 och S 2 är områdena på sidoytorna av hela den resulterande pyramiden och dess övre del i enlighet därmed. För den laterala ytan finner vi (a 1 och a 2 är apotemer för pyramiderna, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formel för den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid
är en mångfacetterad figur, vars bas är en polygon, och de återstående ytorna representeras av trianglar med en gemensam vertex.
Om basen är en kvadrat, så kallas pyramiden fyrkantig, om en triangel – då triangulär. Pyramidens höjd dras från dess topp vinkelrätt mot basen. Används även för att beräkna area apotem– höjden på sidoytan, sänkt från toppen.
Formeln för arean av sidoytan av en pyramid är summan av ytorna på dess sidoytor, som är lika med varandra. Denna beräkningsmetod används dock mycket sällan. I grund och botten beräknas pyramidens yta genom basens omkrets och apotem:
Låt oss överväga ett exempel på att beräkna arean av sidoytan av en pyramid.
Låt en pyramid ges med bas ABCDE och topp F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotem a = 5 cm Hitta arean på pyramidens laterala yta.
Låt oss hitta omkretsen. Eftersom alla kanter på basen är lika, kommer femhörningens omkrets att vara lika med:
Nu kan du hitta pyramidens sidoarea: 
Område av en vanlig triangulär pyramid
En vanlig triangulär pyramid består av en bas i vilken det ligger en vanlig triangel och tre sidoytor som är lika stora.
Formel för lateral yta korrekt triangulär pyramid kan beräknas på olika sätt. Du kan tillämpa den vanliga beräkningsformeln med hjälp av omkretsen och apotem, eller så kan du hitta arean på ett ansikte och multiplicera det med tre. Eftersom ytan på en pyramid är en triangel, tillämpar vi formeln för arean av en triangel. Det kommer att kräva en apotem och längden på basen. Låt oss överväga ett exempel på att beräkna den laterala ytan av en vanlig triangulär pyramid.
Givet en pyramid med apotem a = 4 cm och basyta b = 2 cm Hitta arean av pyramidens sidoyta.
Hitta först arean av en av sidoytorna. I det här fallet blir det:
Ersätt värdena i formeln: 
Eftersom i en vanlig pyramid alla sidor är lika, kommer arean på pyramidens sidoyta att vara lika med summan av ytorna på de tre ytorna. Respektive: 
Område av en stympad pyramid
Trunkerad En pyramid är en polyeder som bildas av en pyramid och dess tvärsnitt är parallellt med basen.
Formeln för den laterala ytan av en trunkerad pyramid är mycket enkel. Arean är lika med produkten av halva summan av basernas och apotemens omkrets: 
Pyramid- en av varianterna av en polyeder bildad av polygoner och trianglar som ligger vid basen och är dess ytor.
Dessutom, på toppen av pyramiden (dvs vid en punkt) är alla ansikten förenade.
För att beräkna arean av en pyramid är det värt att bestämma att dess laterala yta består av flera trianglar. Och vi kan enkelt hitta deras områden med hjälp av
olika formler. Beroende på vilken data vi känner till om trianglarna letar vi efter deras area.
Vi listar några formler som kan användas för att hitta arean av trianglar:
- S = (a*h)/2 . I det här fallet vet vi höjden på triangeln h , som sänks åt sidan a .
- S = a*b*sinβ . Här är triangelns sidor a , b , och vinkeln mellan dem är β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Här är triangelns sidor a, b, c . Radien för en cirkel som är inskriven i en triangel är r .
- S = (a*b*c)/4*R . Radien för en omskriven cirkel runt en triangel är R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Denna formel bör endast tillämpas när triangeln är rätvinklig.
- S = (a²*√3)/4 . Vi tillämpar denna formel på en liksidig triangel.
Först efter att vi beräknat områdena för alla trianglar som är ytorna på vår pyramid, kan vi beräkna arean av dess laterala yta. För att göra detta kommer vi att använda formlerna ovan.
För att beräkna arean av sidoytan av en pyramid uppstår inga svårigheter: du måste ta reda på summan av arean för alla trianglar. Låt oss uttrycka detta med formeln:
Sp = ΣSi
Här Si är arean av den första triangeln, och S n - område av pyramidens laterala yta.
Låt oss titta på ett exempel. Med en vanlig pyramid, är dess sidoytor bildade av flera liksidiga trianglar,
« Geometri är det mest kraftfulla verktyget för att vässa våra mentala förmågor».
Galileo Galilei.
och kvadraten är basen av pyramiden. Dessutom har pyramidens kant en längd på 17 cm. Låt oss hitta arean på den här pyramidens laterala yta.
Vi resonerar så här: vi vet att pyramidens ytor är trianglar, de är liksidiga. Vi vet också vad kantlängden på denna pyramid är. Det följer att alla trianglar har lika sidor och att deras längd är 17 cm.
För att beräkna arean av var och en av dessa trianglar kan du använda följande formel:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Så eftersom vi vet att kvadraten ligger vid basen av pyramiden, visar det sig att vi har fyra liksidiga trianglar. Detta innebär att pyramidens laterala yta lätt kan beräknas med hjälp av följande formel: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²
Vårt svar är följande: 500.548 cm² - det här är området för den laterala ytan av denna pyramid.