Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?
Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей
Вероятности 
и 
определим по формуле Бернулли, применяемой
в следующем случае. Пусть проводится
серия п
независимых испытаний, при каждом из
которых вероятность наступления события
постоянна и равна р
,
а вероятность ненаступления этого
события равна 
.
Тогда вероятность того, что событие А
в п
испытаниях появится ровно 
раз, вычисляется по формуле Бернулли
,
где 
– число сочетаний из п
элементов по 
.
Тогда
Искомая вероятность
Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.
Решение. Вычислить
искомую вероятность 
по формуле Бернулли затруднительно
из-за громоздкости вычислений. Поэтому
применим приближенную формулу, выражающую
локальную теорему Лапласа:
,
где 
и 
.
Из условия задачи . Тогда
.
Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна
Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?
Решение. Применение
локальной теоремы Лапласа из-за малой
вероятности 
приводит к значительному отклонению
вероятности от точного значения 
.
Поэтому при малых значениях р
для вычисления 
применяют асимптотическую формулу
Пуассона
,
где .
Эта формула
используется при 
,
причем чем меньше р
и больше п
,
тем результат точнее.
По условию задачи
;
.
Тогда
Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.
Решение. Если
вероятность наступления события А
в каждом из п
испытаний постоянна и равна р
,
то вероятность 
того, что событие А
в таких испытаниях наступит не менее 
раз и не более 
раз определяется по интегральной теореме
Лапласа следующей формулой:
,
где
, 
.
Функция 
называется функцией Лапласа. В приложениях
(табл. 2) даны значения этой функции для
.
При 
функция 
.
При отрицательных значениях х
в силу нечетности функции Лапласа 
.
Используя функцию Лапласа, имеем:
По условию задачи
.
По приведенным выше формулам находим
и 
:
Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х :
Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
|
| ||||||
Где в первой строке даны значения случайной величины х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание вычисляется по формуле
2) Дисперсия 
дискретной
случайной величины Х
называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, т.е.
Эта величина
характеризует среднее ожидаемое значение
квадрата отклонения Х
от 
.
Из последней формулы имеем
Дисперсию 
можно найти другим способом, исходя из
следующего ее свойства: дисперсия 
равна разности между математическим
ожиданием квадрата случайной величины
Х
и квадратом ее математического ожидания
,
то есть
Для вычисления 
составим следующий закон распределения
величины 
:
3) Для характеристики
рассеяния возможных значений случайной
величины вокруг ее среднего значения
вводится среднее квадратическое
отклонение 
случайной величины Х
,
равное квадратному корню из дисперсии
,
то есть
.
Из этой формулы
имеем: 
Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
Найти: 1)
дифференциальную функцию распределения
;
2) математическое ожидание 
;
3) дисперсию 
.
Решение. 1)
Дифференциальной функцией распределения
непрерывной случайной величины Х
называется производная от интегральной
функции распределения 
,
то есть
.
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:
2) Если непрерывная
случайная величина Х
задана функцией 
,
то ее математическое ожидание определяется
формулой
Так как функция
при 
и при 
равна нулю, то из последней формулы
имеем
.
3) Дисперсию 
определим по формуле
Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.
Решение. 1) Пусть
Х
– длина детали. Если случайная величина
Х
задана дифференциальной функцией 
,
то вероятность того, что Х
примет значения, принадлежащие отрезку
,
определяется по формуле
.
Вероятность
выполнения строгих неравенств 
определяется той же формулой. Если
случайная величина Х
распределена по нормальному закону, то
, (1)
где 
– функция Лапласа, 
.
В задаче . Тогда
2) По условию задачи
,
где 
.
Подставив в (1) ,
имеем
. (2)
Из формулы (2) имеем.
Решение:
6.1.2 Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.
Пример: M(X) = 5, M(Y) = 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z , применив свойства математического ожидания, если известно, что Z=2X + 3Y .
Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий
2) постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания
Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Тогда имеет место следующая теорема:
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
6.1.3 Дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.
Поэтому применяется другой способ.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания .
Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
6.1.4 Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 
.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.
Пример: Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в 2-х независимых испытаниях, если вероятность появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X) = 1,2.
Применим теорему из п. 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n = 2. Найдём p :
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Найдём дисперсию по формуле :
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
(25)
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.
6.1.6 Мода и медиана дискретной случайной величины
Модой M o ДСВ называется наиболее вероятное значение случайной величины (т.е. значение, которое имеет наибольшую вероятность)
Медианой M e ДСВ называется значение случайной величины, которое делит ряд распределения пополам. Если число значений случайной величины чётное, то медиана находится как среднее арифметическое двух средних значений.
Пример: Найти моду и медиану ДСВ Х :
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
M e = = 5,5
Ход работы
1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).
2. Выполнить задание по своему варианту.
3. Составить отчет по работе.
4. Защитить работу.
2. Цель работы.
3. Ход работы.
4. Решение своего варианта.
6.4 Варианты заданий для самостоятельной работы
Вариант №1
1. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану ДСВ X, заданной законом распределения.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 1.
4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х : x 1 = 1, x 2 = 2, x 3
Вариант №2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 0,9.
x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 10, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.
Вариант №3
1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в четырёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (х) = 1,2.
4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 5, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.
Вариант №4
1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)
Тем не менее, ваши гипотезы?
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .
Закон распределения дискретной случайной величины
– этосоответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
Без комментариев.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .
Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Разоблачаем «партизана»:
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
Контроль: , в чём и требовалось убедиться.
Ответ :
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :
Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:
Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ
: искомый закон распределения выигрыша:
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение
при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений
всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь
Математическое ожидание
Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): 
Задана функция распределения F(x): 
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей 
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }