Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Определение 22

Пусть имеем систему из n-векторови имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23

Система векторовназываетсялинейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называетсялинейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Утверждение 3

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называетсялинейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всехравных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называетсялинейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

Пусть, тогда.

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию(12) система линейно зависима.

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть- линейно зависимая подсистема, среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Теорема 4

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой.

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Теорема 5

Два вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда.

 Необходимость.

и- линейно зависимы, что выполняется условие. Тогда, т.е..

Достаточность.

линейно зависимы. 

Следствие 5.1

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Следствие 5.2

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Теорема 6

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

 Необходимость.

Линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

где и. По правилу параллелограммаесть диагональ параллелограмма со сторонами, но параллелограмм – плоская фигуракомпланарны- тоже компланарны.

Достаточность .

Компланарны. Приложим три вектора к точке О:

– линейно зависимы

Следствие 6.1

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Следствие 6.2

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Следствие 6.3

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Теорема 7

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точкуD, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипедOB 1 D 1 C 1 ABDC .

Рассмотрим OB 1 D 1 C 1 – параллелограмм по построению по правилу параллелограмма.

Рассмотрим OADD 1 – параллелограмм (из свойства параллелепипеда), тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что. Тогда, и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Следствие 7.1

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Следствие 7.2

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

Пусть - поле скаляров и F - его основное множество. Пусть - -мерное арифметическое пространство над - произвольная система векторов пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной комбинацией системы векторов называется сумма вида где . Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один ее коэффициент отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой этой системы и обозначается через . Линейной оболочкой пустой системы считается множество, состоящее из нулевого вектора.

Итак, по определению,

Легко видеть, что линейная оболочка данной системы векторов замкнута относительно операций сложения векторов, вычитания векторов и умножений векторов на скаляры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно независимой, если для любых скаляров из равенства следуют равенства . Пустая система векторов

считается линейно независимой.

Другими словами, конечная система векторов линейно независима в том и только в том случае, когда всякая нетривиальная линейная комбинация векторов системы не равна нулевому вектору.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Другими словами, конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.

Система векторов

называется системой единичных векторов векторного пространства Эта система векторов линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства следует равенство и, значит, равенства

Рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.

СВОЙСТВО 1.1. Система векторов, содержащая нуле вой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Если в системе векторов один из векторов, например вектор нулевой, то линейная комбинация векторов системы, все коэффициенты которой нулевые, за исключением коэффициента при равна нулевому вектору. Следовательно, такая система векторов линейно зависима.

СВОЙСТВО 1.2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Доказательство. Пусть - линейно зависимая подсистема системы причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

СВОЙСТВО 1.3. Система векторов

в которой линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима и Тогда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Обозначим через k наибольшее из чисел удовлетворяющее условию Тогда равенство (2) можно записать в виде

Отметим, что ибо в противном случае следовательно, поскольку . Из (3) следует равенство

Предположим теперь, что вектор есть линейная комбинация предшествующих ему векторов, т. е. Тогда , т. е. подсистема системы (1) линейно зависима. Следовательно, по свойству 1.2, линейно зависима и исходная система (1).

СВОЙСТВО 1.4. Если система векторов линейно независима, а система векторов

линейно зависима, то вектор v линейно выражается через векторы

и притом единственным образом.

Доказательство. По условию система (2) линейно зависима, т. е. существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

При этом так как при что противоречит линейной независимости системы (1). Из (3) следует равенство

В силу линейной независимости системы (1) отсюда следует, что

СВОЙСТВО 1.5. Если и

Доказательство. Условие означает что найдутся такие скаляры что

Условие означает, что существуют такие скаляры что

В силу (1) и (2) получаем

ТЕОРЕМА 1.2. Если

то система векторов линейно зависима. Доказательство (проводится индукцией по ).

Перейдем к описанию свойств линейных пространств. В первую очередь к ним относятся отношения между его элементами.

Линейной комбинацией элементов над полем действительных чиселR называется элемент

Определение. Множество элементов ,называется линейно независимым, если из равенства

с необходимостью следует, что ,. Ясно, что любая часть элементов изтакже линейно независимая. Если хотя бы одно из,, то множествоназывается линейно зависимым.

Пример III .6. Пусть дано векторное множество . Если один из векторов, например,, то такая система векторов линейно зависима. В самом деле, пусть множество,, …,,, …,линейно независимо, тогда из равенстваследует, что.

Добавляя к этому множеству вектор, умноженный на, по-прежнему имеем равенство

Следовательно, множество векторов, как, впрочем, и любых других элементов, содержащих нулевой элемент, всегда линейно зависимо ▼.

Замечание. Если множество векторов пусто, то оно линейно независимо. В самом деле, если нет никаких индексов, то невозможно выбрать им соответствующие не равные нулю числа, чтобы сумма вида (III.2) была равна 0. Такая интерпретация линейной независимости может быть принята за доказательство, тем более что такой результат хорошо согласуется с теорией 11.

В связи со сказанным определение линейной независимости можно сформулировать так: множество элементов линейно независимо, еслии нет ни одного индекса, для которого. В частности, это множество может быть и пустым.

Пример III .7. Любые два скользящих вектора линейно зависимы. Напомним, что скользящими векторами называются векторы, лежащие на одной прямой. Взяв единичный вектор , можно получить любой другой вектор умножением на соответствующее действительное число, то естьили. Следовательно, уже любые два вектора в одномерном пространстве линейно зависимы.

Пример III .8. Рассмотрим пространство полиномов, где ,,,. Запишем

Полагая ,,, получим, тождественно поt

то есть множество линейно зависимо. Заметим, что любое конечное множество вида,линейно независимо. Для доказательства рассмотрим случай, тогда из равенства

в случае предположения о его линейной зависимости, следовало бы, что существуют не все равные нулю числа  1 ,  2 ,  3 , что тождественно для любого выполняется (III.3), но это противоречит основной теореме алгебры: любой многочлен n -ой степени имеет не более чем n действительных корней. В нашем случае это уравнение имеет только два корня, а не бесконечное их множество. Получили противоречие.

§ 2. Линейные комбинации. Базисы

Пусть . Будем говорить, чтоестьлинейная комбинация элементов .

Теорема III .1 (основная). Множество ненулевых элементов линейно зависимо тогда и только тогда, когда некоторый элемент,является линейной комбинацией предшествующих элементов.

Доказательство . Необходимость . Предположим, что элементы ,, …,линейно зависимы и пустьпервое натуральное число, для которого элементы,, …,линейно зависимы, тогда

при не всех равных нулю и обязательно(иначе этим коэффициентом было бы, что противоречило бы заявленному). Отсюда имеем линейную комбинацию

Достаточность очевидна, поскольку, каждое множество, содержащее линейно зависимое множество, само линейно зависимо ▼.

Определение. Базисом (координатной системой) линейного пространства L называется множество A линейно независимых элементов, такое, что каждый элемент из L является линейной комбинацией элементов из A , 11.

Мы будем рассматривать конечномерные линейные пространства ,.

Пример III .9. Рассмотрим трехмерное векторное пространство . Возьмем единичные векторы,,. Они образуют базис при.

Покажем, что векторы линейно независимы. В самом деле, имеем

или . Отсюда по правилам умножения вектора на число и сложения векторов (примерIII.2) получим

Следовательно, ,,▼.

Пусть – произвольный вектор пространства, тогда исходя из аксиом линейного пространства получаем

Аналогичные рассуждения справедливы для пространства с базисом, . Из основной теоремы следует, что в произвольном конечномерном линейном пространствеL любой элемент может быть представлен как линейная комбинация его базисных элементов,, …,, то есть

Причем такое разложение единственно. В самом деле, пусть имеем

тогда после вычитания получаем

Отсюда, в силу независимости элементов ,,

То есть ▼.

Теорема III .2 (о дополнении до базиса). Пусть – конечномерное линейное пространство и– некоторое множество линейно независимых элементов. Если они не образуют базис, то вможно найти такие элементы,, …,, что множество элементовобразуют базис в. То есть, каждое линейно независимое множество элементов линейного пространства может быть дополнено до базиса.

Доказательство . Поскольку пространство – конечномерное, то у него есть базис, состоящий, например, изn элементов, пусть это элементы . Рассмотрим множество элементов.

Применим основную теорему. В порядке следования элементов рассмотрим множество A . Оно заведомо линейно зависимое, поскольку любой из элементов есть линейная комбинация,,. Так как элементы,, …,– линейно независимые, то добавляя к нему последовательно элементыдо тех пор, пока не появится первый элемент, например,, такой, что он будет линейной комбинацией предыдущих векторов этого множества, то есть. Выбрасывая этот элемент из множестваA , получим . Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока в этом множестве не останетсяn линейно независимых элементов, среди которых все элементы ,, …,иn -m из элементов . Полученное множество и будет базисом ▼.

Пример III .10. Доказать, что векторы ,,иобразуют линейно зависимое множество, а любые три из них линейно независимы.

Покажем, что существуют не все равные нулю числа , для которых

В самом деле, при ,имеем

Линейная зависимость доказана. Покажем, что тройка векторов, например ,,, образует базис. Составим равенство

Выполняя действия с векторами, получим

Приравнивая соответствующие координаты в правой и левой частях последнего равенства, получим систему уравнений ,,, решая ее, получим.

Аналогичное рассуждение справедливо и для оставшихся троек векторов ,,или,,.

Теорема III .3 (о размерности пространства). Все базисы конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового числа базисных элементов.

Доказательство . Пусть даны два множества , где;,. Каждому из них припишем одно из двух свойств, определяющих базис: 1) через элементы множестваA линейно выражаются любые элементы из L , 2) элементы множества B представляют линейно независимую совокупность, но не обязательно всю из L . Будем считать, что элементы A и B упорядочены.

Рассмотрим множество A и применим к его элементам m раз метод из основной теоремы. Так как элементы из B линейно независимы, то получим, по-прежнему, линейно зависимое множество

В самом деле, если бы , то получилось бы линейно независимое множество, а оставшиесяn элементов множества B линейно выражались бы через них, что невозможно, значит . Но этого тоже быть не может, так как по построению множество (III.4) обладает свойством базиса множества A . Поскольку пространство L конечномерное, то остается только , то есть два разных базиса пространстваL состоят из одинакового числа элементов ▼.

Следствие. В любом n -мерном линейном пространстве () можно найти бесконечно много базисов.

Доказательство следует из правила умножения элементов линейного (векторного) пространства на число.

Определение. Размерностью линейного пространства L называется число элементов, составляющих его базис.

Из определения следует, что пустое множество элементов – тривиальное линейное пространство – имеет размерность 0, что, как следует заметить, оправдывает терминологию линейной зависимости и позволяет заявить: n -мерное пространство имеет размерностьn , .

Таким образом, подводя итоги сказанному, получаем, что каждое множество из n +1 элемента n -мерного линейного пространства линейно зависимо; множество из n элементов линейного пространства является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое (или каждый элемент пространства является линейной комбинацией элементов его базиса); в любом линейном пространстве число базисов бесконечно.

Пример III .11 (теорема Кронекера – Капелли).

Пусть имеем систему линейных алгебраических уравнений

где A – матрица коэффициентов системы,  расширенная матрица коэффициентов системы

Где , (III.6)

эта запись эквивалентна системе уравнений (III.5).

Теорема III .4 (Кронекера – Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (III.5) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу матрицы , то есть.

Доказательство . Необходимость . Пусть система (III.5) совместна, тогда у нее существует решение: ,,. Учитывая (III.6), , но в этом случаеесть линейная комбинация векторов,, …,. Следовательно, через множество векторов,,, …,можно выразить любой вектор из. Это означает, что.

Достаточность . Пусть . Выберем любой базис из,, …,, тогдалинейно выражается через базис (это могут быть как все векторы, так и их часть) и тем самым, через все векторы,. Это означает, что система уравнений совместна ▼.

Рассмотрим n -мерное линейное пространство L . Каждый вектор можно представить линейной комбинацией , где множество,состоит из базисных векторов. Перепишем линейную комбинацию в видеи установим взаимнооднозначное соответствие между элементами и их координатами

Это означает, что между n -мерным линейным векторным пространством векторов надn -мерным полем действительных чисел установлено взаимно-однозначное соответствие.

Определение. Два линейных пространства инад одним и тем же скалярным полемизоморфны , если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие f , так чтобы

то есть под изоморфизмом понимается взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее все линейные отношения. Ясно, что изоморфные пространства имеют одинаковую размерность.

Из примера и определения изоморфизма следует, что с точки зрения изучения проблем линейности изоморфные пространства одинаковы, поэтому формально вместо n -мерного линейного пространства L над полем можно изучать только поле.

Зададим в (действительном или комплексном) систему из векторов

По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства

где , , ..., - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа , , ..., , одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что , то из (2) следует, что

Таким образом, если система из векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.

Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.

Один вектор тоже образует систему - линейно независимую, если , и зависимую, если .

Если система векторов линейно независима, то любая часть этой системы тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел ,…,, для которой выполнялось бы

но тогда для системы , ..., , , которая тоже нетривиальна, имело бы место

Из сказанного следует, что если система векторов линейно зависима то любая пополненная система

обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.

Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):

Теорема 1. Если ранг , т.е. ранг равен числу векторов, то система (1) линейно независима.

Если же ранг , то система (1) линейно зависима.

Пример 1. Два вектора , в действительном пространстве образуют линейно независимую систему, если определитель

потому что векторное уравнение

эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент

Но если , то система (5) имеет единственное тривиальное решение

Если же , то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система , т.е. при система векторов , линейно зависима.

Очевидно, сказать, что в действительном пространстве векторы и коллинеарны или линейно зависимы - это все равно. Но тогда сказать, что векторы и не коллинеарны или линейно независимы - это тоже все равно.

Пример 2. Система векторов , , ...., в действительном пространстве всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если произвольный вектор и , - неколлинеарные векторы, то всегда можно указать такие числа , , что

Это показывает, что система , , линейно зависима. Если же и - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы , , .

По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов , , мы должны записать матрицу из их координат

В данном случае .

а) Если ранг , то теорема утверждает, что векторы , линейно зависимы.

б) Если же ранг , то векторы , линейно независимы.

Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) и б).

Тот факт, что три произвольных вектора , , в линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь ранг

Пример 3. В трехмерном действительном пространстве два вектора

линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

В самом деле, пусть , коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же и коллинеарны и не нулевые, то

где - некоторое число. Последнее означает, что , линейно зависимы.

Обратно, если , линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например

т.е. векторы коллинеарны.

Если в этом случае рассмотреть матрицу

то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому

т.е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.

Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в :

Векторному уравнению

эквивалентна система из трех уравнений

Если , то система (7") имеет единственное тривиальное решение . Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов , , , линейно независима.

Если , то система (7"), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (). Но тогда система векторов (, , ) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:

1) Пусть ранг, где

Тогда по крайней мере одна из строк , пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу

Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю

Но тогда, очевидно, компоненты векторов и пропорциональны.

Аналогично, учитывая, что в матрице

тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что

где - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы , , коллинеарны.

2) Пусть теперь ранг . Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы , имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица (см. (8)). На основании примера 3 векторы и , линейно независимы. Но система , , зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел ()

Здесь , потому что иначе , и в силу независимости системы , было бы . Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно :

Таким образом, если , а ранг (см. (8)), то векторы и неколлинеарны, а вектор , принадлежит к плоскости этих векторов.. Существует не равный нулю определитель уравнений системы (2") удовлетворяются найденными числами (см.(11)) и произвольными числами . На основании утверждения 2) §4 (правила решения систем) числа удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2"), т. е. числа , (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2").

Таким образом, векторы линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.

Важнейшим понятием в теории линейных пространств является линейная зависимость векторов. Прежде чем определить это понятие, рассмотрим несколько примеров.

Примеры. 1. Дана следующая система трех векторов из пространства Тк:

Легко заметить, что или

2. Возьмем теперь другую систему векторов из

Соотношение, аналогичное равенству (1), для этой системы векторов непосредственно усмотреть затруднительно. Однако нетрудно проверить, что

Коэффициенты 4, -7,5 соотношения (2) можно было бы найти следующим образом. Обозначим их через считая неизвестными, будем решать векторное уравнение:

Произведя указанные операции умножения и сложения и переходя к равенству компонент векторов в (2), получаем однородную систему линейных уравнений относительно

Одним из решений этой системы является:

3. Рассмотрим систему векторов:

Равенство

приводит к системе уравнений, имеющей единственное - нулевое - решение. (Проверьте!) Таким образом, из равенства (3) следует,

что Иначе говоря, равенство (3) выполняется только при

Системы векторов в примерах 1-2 являются линейно зависимыми, система примера 3 - линейно независимой.

Определение 3. Система векторов линейного пространства над полем называется линейно зависимой, если существуют не все равные нулю числа поля Я, такие, что

Если же для векторов равенство имеет место только при то система векторов называется линейно независимой.

Заметим, что свойство линейной зависимости и независимости является свойством системы векторов. Однако в литературе широко используют те же прилагательные в применении непосредственно к самим векторам и говорят, допуская вольность речи, «система линейно независимых векторов» и даже «векторы линейно независимы».

Если в системе имеется всего один вектор а, то при по свойству 6 (§ 2) из следует Значит, система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима. Напротив, любая система векторов содержащая нулевой вектор 0, линейно зависима. Например, если то

Если система двух векторов линейно зависима, то имеет место равенство при (или . Тогда

т. е. векторы пропорциональны. Верно и обратное, так как из следует Значит, система двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Пропорциональные векторы из лежат на одной прямой; в связи с этим и в общем случае пропорциональные векторы иногда называют коллинеарными.

Отметим некоторые свойства линейной зависимости векторов.

Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Пусть линейно зависима подсистема

Тогда существуют не все равные нулю числа такие, что

Добавив в левую часть этого равенства остальные векторы данной системы с нулевыми коэффициентами, получим требуемое.

Из свойства 1 следует, что всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

Свойство 2. Если система векторов

линейно независима, а система векторов

линейно зависима, то вектор линейно выражается через векторы системы (4).

Так как система векторов (5) линейно зависима, то существуют не все равные нулю числа такие, что

Если то и тогда ненулевые коэффициенты будут среди что означало бы линейную зависимость системы (4). Значит, и

Свойство 3. Упорядоченная система ненулевых векторов

линейно зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Пусть система линейно зависима. Так как то вектор линейно независим. Обозначим через наименьшее натуральное число, при котором система линейно зависима. (Такое существует: в крайнем случае, если системы линейно независимы, то Тогда существуют не все равные нулю числа такие, что выполняется равенство

Если бы то ненулевые коэффициенты были бы среди и выполнялось бы равенство

что означало бы линейную зависимость системы но это противоречило бы выбору числа Значит, и потому

Обратно, из равенства (7) по свойству 1 следует линейная зависимость системы

Из свойства 3 легко следует, что система векторов тогда и только тогда линейно зависима, когда хотя бы один ее вектор линейно выражается через остальные. В этом смысле и говорят, что понятие линейной зависимости эквивалентно понятию линейной выражаемости.

Свойство 4. Если вектор х линейно выражается через векторы системы

а вектор линейно выражается через остальные векторы системы (8), то вектор также линейно выражается через эти векторы системы (8).

В самом деле,

Теперь можно доказать одну из важнейших теорем о линейной зависимости векторов.

Теорема 1. Если каждый вектор линейно независимой системы

есть линейная комбинация векторов

то Другими словами, в линейно независимой системе векторов, являющихся линейными комбинациями векторов число векторов не может быть больше

Доказательство. 1-й шаг. Построим систему

По условию каждый вектор системы (9), в частности вектор линейно выражается через векторы (10), а потому система (11) линейно зависима. По свойству 3 в системе (11) некоторый вектор где линейно выражается через предшествующие векторы, а потому и через векторы системы

полученной из (11) удалением вектора Отсюда по свойству 4 имеем: каждый вектор системы (9) линейно выражается через векторы системы (12).

2-й шаг. Применяя те же рассуждения, что и на шаге, к системам векторов

и (12) и учитывая, что система векторов линейно независима, мы получим систему векторов

через которые линейно выражаются все векторы системы (9).

Если допустить, что то, продолжая этот процесс, мы через шагов исчерпаем все векторы и получим систему

такую, что каждый вектор системы (9), в частности линейно выражается через векторы системы (14). Тогда система (9) оказывается линейно зависимой, что противоречит условию. Остается принять, что

Рассмотрим теперь, что означает линейная зависимость векторов в различных пространствах.

1. Пространство Если система двух векторов линейно зависима, то или т. е. векторы коллинеарны. Верно и обратное. Система трех векторов пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости. (Докажите!) Система четырех векторов пространства всегда линейно зависима. В самом деле, если какая-либо подсистема нашей системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Если же никакая собственная подсистема не является линейно зависимой, то по предыдущему это означает, что никакие три вектора нашей системы не лежат на одной плоскости. Тогда из геометрических соображений следует существование вещественных чисел таких, что параллелепипед с ребрами-векторами будет иметь диагональ т. е. в равенстве