EGYENESEK KERESZTÉSE Nagy enciklopédikus szótár
metsző vonalak olyan vonalak a térben, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban. * * * KERESZTEZŐ IRÁNYOK KERESZTEZÉS JOGAKON, egyenes vonalak a térben, nem fekszenek ugyanabban a síkban ... enciklopédikus szótár
Keresztezett vonalak olyan vonalak a térben, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban. Párhuzamos síkok rajzolhatók az S. p.-n keresztül, amelyek közötti távolságot az S. p távolságának nevezzük. Ez egyenlő az S. p pontjai közötti legrövidebb távolsággal ... Nagy szovjet enciklopédia
EGYENESEK KERESZTÉSE olyan vonalak a térben, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban. Az S. p. közötti szög. a tér tetszőleges pontján áthaladó két párhuzamos egyenes bármely szöge. Ha a és b az S. p. irányvektorai, akkor az S. p közötti szög koszinusza ... Matematikai Enciklopédia
EGYENESEK KERESZTÉSE- vonalak a térben, amelyek nem fekszenek ugyanabban a síkban ... Természettudomány. enciklopédikus szótár
Párhuzamos vonalak- Tartalom 1 Az euklideszi geometriában 1.1 Tulajdonságok 2 A Lobacsevszkij-geometriában ... Wikipédia
Ultrapárhuzamos vonalak- Tartalom 1 Az euklideszi geometriában 1.1 Tulajdonságok 2 A Lobacsevszkij-geometriában 3 Lásd még ... Wikipédia
RIEMANN GEOMETRIA- elliptikus geometria, a nem-euklideszi geometriák egyike, azaz geometriai, axiómákon alapuló elmélet, amelynek követelményei eltérnek az euklideszi geometria axiómáinak követelményeitől. Ellentétben az euklideszi geometriával R. g. ...... Matematikai Enciklopédia
A LECKE SZÖVEG MAGYARÁZATA:
Már ismeri a vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének két esetét:
1. metsző vonalak;
2. párhuzamos egyenesek.
Nézzük a definícióikat.
Meghatározás. A térben lévő egyeneseket metszőnek nevezzük, ha egy síkban fekszenek, és van egy közös pontjuk
Meghatározás. A térben lévő egyeneseket párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.
Ezekben a meghatározásokban az a közös, hogy a vonalak ugyanabban a síkban helyezkednek el.
Ez nem mindig így van az űrben. Több síkkal is foglalkozhatunk, és nem minden két vonal lesz ugyanabban a síkban.
Például az ABCDA1B1C1D1 kocka élei
AB és A1D1 különböző síkban helyezkednek el.
Meghatározás. Két egyenest metszőnek nevezünk, ha nincs olyan sík, amely átmenne ezeken az egyeneseken. A definícióból világos, hogy ezek az egyenesek nem metszik egymást és nem párhuzamosak.
Bizonyítsunk be egy tételt, amely kifejezi a ferde vonalak előjelét.
Tétel (ferde vonalak jele).
Ha az egyik egyenes egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy nem ehhez az egyeneshez tartozó pontban metszi ezt a síkot, akkor ezek az egyenesek ferdeek.
Az AB egyenes az α síkban fekszik. A CD egyenes az α síkot nem az AB egyenesen lévő C pontban metszi.
Bizonyítsuk be, hogy az AB és DC egyenesek metszik egymást.
Bizonyíték
A bizonyítás ellentmondással történik.
Tegyük fel, hogy AB és CD egy síkban van, jelöljük β-val.
Ekkor a β sík átmegy az AB egyenesen és a C ponton.
Az axiómák következménye szerint az AB egyenesen és egy azon nem fekvő C ponton keresztül lehet síkot rajzolni, ráadásul csak egyet.
De már van egy ilyen sík – az α sík.
Ezért a β és α síkok egybeesnek.
De ez lehetetlen, mert CD vonal metszi az α-t, de nem fekszik benne.
Ellentmondáshoz érkeztünk, ezért a feltevésünk téves. AB és CD benne van
különböző síkok és metszik egymást.
A tétel bizonyítást nyert.
Tehát három lehetséges módja van a vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének:
A) Az egyenesek metszik egymást, vagyis csak egy közös pontjuk van.
B) Az egyenesek párhuzamosak, azaz. egy síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.
C) Az egyenesek metszik egymást, azaz. ne feküdj egy síkban.
Tekintsünk egy másik tételt a ferde vonalakról
Tétel. A két egymást metsző egyenesen a másik egyenessel párhuzamos sík halad át, ráadásul csak egy.
AB és CD - metsző vonalak
Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan α sík, amelyre az AB egyenes az α síkban van, a CD egyenes pedig párhuzamos az α síkkal.
Bizonyíték
Bizonyítsuk be egy ilyen sík létezését.
1) Rajzolj egy AE egyenest az A ponton keresztül párhuzamosan a CD-vel.
2) Mivel az AE és AB egyenesek metszik egymást, sík rajzolható át rajtuk. Jelölje α-val.
3) Mivel a CD egyenes párhuzamos AE-vel, és AE az α síkban fekszik, akkor a CD ∥ egyenes az α síkot (az egyenes és a sík merőlegességi tétele alapján).
Az α sík a kívánt sík.
Bizonyítsuk be, hogy az α sík az egyetlen, amelyik teljesíti a feltételt.
Az AB egyenesen áthaladó bármely más sík metszi az AE-t, és így a vele párhuzamos CD egyenest. Azaz bármely más AB-n áthaladó sík metszi a CD egyenest, ezért nem párhuzamos vele.
Ezért az α sík egyedi. A tétel bizonyítást nyert.
az l1 és l2 egyeneseket metszőnek nevezzük, ha nem egy síkban fekszenek. Legyen a és b ezen egyenesek irányvektorai, az M1 és M2 pont pedig az l1 és l2 egyenesekhez tartozik.
Ekkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, ezért vegyes szorzatuk nem egyenlő nullával, azaz (a, b, M1M2>) =/= 0. Ez fordítva is igaz: ha (a, b, M1M2> ) =/= 0, akkor az a, b, M1M2> vektorok nem egysíkúak, következésképpen az l1 és l2 egyenesek nem egy síkban fekszenek, azaz metszik egymást. Így két egyenes metszi egymást, ha és csak akkor, ha feltétel(a, b, M1M2>) =/= 0, ahol a és b az egyenesek irányvektorai, M1 és M2 pedig az adott egyenesekhez tartozó pontok. Az (a, b, M1M2>) = 0 feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az egyenesek egy síkban feküdjenek. Ha az egyeneseket kanonikus egyenleteik adják
akkor a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) és a (2) feltétel a következőképpen íródik:
A metsző vonalak közötti távolság
ez a távolság az egyik ferde vonal és a vele párhuzamos, a másik egyenesen átmenő sík között. A ferde vonalak távolsága az egyik ferde vonal valamely pontjától a másik egyenesen átmenő síkig terjedő távolság. az első sor.
26. Ellipszis definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok.
Az ellipszis egy sík azon pontjainak lokusza, amelyekre e sík két fókuszált F1 és F2 pontja távolságának összege állandó. Ez nem zárja ki az ellipszis fókuszpontjainak egybeesését. gócok egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör. olyan koordinátarendszer, hogy az ellipszist az egyenlet (az ellipszis kanonikus egyenlete) írja le: 
Olyan ellipszist ír le, amelynek középpontja az origóban van, és amelynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel.
Ha a jobb oldalon van egy mínuszjelű egység, akkor a kapott egyenlet: 
képzeletbeli ellipszist ír le. A valós síkban ilyen ellipszist nem lehet rajzolni, jelöljük a fókuszokat F1 és F2-vel, a köztük lévő távolságot pedig 2c-vel, az ellipszis tetszőleges pontjától a fókuszpontokig tartó távolságok összegét pedig 2a-val
Az ellipszis egyenlet levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert választjuk úgy, hogy az F1 és F2 fókuszok az Ox tengelyen helyezkedjenek el, és a koordináták origója egybeessen az F1F2 szakasz közepével. Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: u Legyen M(x; y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor az ellipszis definíciója szerint, i.e.
Ez valójában egy ellipszis egyenlete.
27. Hiperbola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok
A hiperbola egy síkban lévő olyan pontok lokusza, amelyeknél a sík két fix pontja F1 és F2 távolsága közötti különbség abszolút értéke állandó. Legyen M(x;y) tetszőleges pont a hiperbola. Ekkor a hiperbola definíciója szerint |MF 1 – MF 2 |=2a vagy MF 1 – MF 2 =±2a,
28. Parabola definíciója, kanonikus egyenlet. A kanonikus egyenlet levezetése. Tulajdonságok. A parabola egy olyan sík GMT-je, amelynél a sík valamely rögzített F pontjának távolsága megegyezik valamely rögzített egyenes távolságával, amely szintén a vizsgált síkban található. F a parabola fókusza; a rögzített egyenes a parabola irányítója. r=d, 
r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 = (x+p/2) 2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2px;
Tulajdonságok: 1. A parabolának van egy szimmetriatengelye (a parabola tengelye); 2.Minden
a parabola az Oxy-sík jobb oldali félsíkjában p>0-nál, a bal oldalon található
ha p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.
| " |
Ha a térben két egyenesnek van közös pontja, akkor azt mondjuk, hogy ez a két egyenes metszi egymást. A következő ábrán az a és b egyenesek az A pontban metszik egymást. Az a és c egyenesek nem metszik egymást.
Bármely két egyenesnek vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja.
Párhuzamos vonalak
A térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban fekszenek és nem metszik egymást. A párhuzamos vonalak kijelöléséhez használjon speciális ikont - ||.
Az a||b jelölés azt jelenti, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel. A fenti ábrán az a és c egyenesek párhuzamosak.
Párhuzamos egyenes tétel
A tér bármely pontján, amely nem egy adott egyenesen fekszik, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át, ráadásul csak egy.
Keresztezett vonalak
Két, egy síkban fekvő egyenes metszi egymást vagy párhuzamos lehet. De a térben két egyenesnek nem kell ugyanahhoz a síkhoz tartoznia. Két különböző síkban helyezkedhetnek el.
Nyilvánvaló, hogy a különböző síkban elhelyezkedő egyenesek nem metszik egymást, és nem párhuzamos egyenesek. Két olyan egyenest nevezünk, amelyek nem esnek ugyanabban a síkban keresztező vonalak.
A következő ábrán két egymást metsző a és b egyenes látható, amelyek különböző síkban helyezkednek el.
Előjel és a ferde vonalak tétele
Ha két egyenes közül az egyik egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem az első egyenesen fekszik, akkor ezek az egyenesek ferdeek.
Egyenes keresztezési tétel: a két egymást metsző egyenesen a másik egyenessel párhuzamos sík halad át, ráadásul csak egy.
Így megvizsgáltuk a vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének minden lehetséges esetét. Csak három van belőlük.
1. A vonalak metszik egymást. (Azaz egyetlen közös pontjuk van.)
2. Az egyenesek párhuzamosak. (Azaz nincs közös pontjuk, és egy síkban fekszenek.)
3. Az egyenesek metszik egymást. (Azaz különböző síkban helyezkednek el.)