Вероятността за кое събитие е равна на единица. Прости задачи в теорията на вероятностите

Вероятностсъбитие се нарича отношението на броя на елементарните благоприятни резултати това събитие, до броя на всички еднакво възможни резултати от преживяването, в което това събитие може да се появи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква от френската дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от експеримента, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възникна на начален етапразвитие на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица. Нека означим достоверно събитие с буквата . За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Нека означим невъзможно събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като за случайно събитие неравенствата , или , са изпълнени, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношения (1.2.2) - (1.2.4).

Пример 1.Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?

Решение. Означаваме събитието „изтеглената топка се оказа синя“ с буквата А. Този тест има 10 еднакво възможни елементарни резултата, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2.Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След щателно разбъркване на картите, една карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на взетата карта да е кратно на 5?

Решение.Нека означим с А събитието „числото на взетата карта е кратно на 5“. IN този тестима 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които събитие А е благоприятно от 6 изхода (числата 5, 10, 15, 20, 25, 30). следователно

Пример 3.Хвърлят се два зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, така че горните страни на заровете да имат общо 9 точки.

Решение.В този тест има само 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата. Събитие B се благоприятства от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), следователно

Пример 4. Избрани на случаен принцип естествено число, не повече от 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Нека означим събитието „избраното число е просто” с буквата C. В този случай n = 10, m = 4 ( прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно, необходимата вероятност

Пример 5.Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността от горната страна на двете монети да има числа?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието „има число от горната страна на всяка монета“. В този тест има 4 еднакво възможни елементарни изхода: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че първата монета е с герб, втората е с номер). Събитие D се благоприятства от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6.Каква е вероятността произволно избрано двуцифрено число да има еднакви цифри?

Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; Има общо 90 такива числа. Същите числаимат 9 числа (тези числа са 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.

Пример 7.От буквите на думата диференциалЕдна буква се избира на случаен принцип. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна, б) съгласна, в) буква ч?

Решение. Думата диференциал има 12 букви, от които 5 са гласни и 7 са съгласни. Писма чняма в тази дума. Нека обозначим събитията: A - „гласна буква“, B - „съгласна буква“, C - „буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n = 12, тогава
, И .

Пример 8.Хвърлят се два зара и се отбелязва броят на точките отгоре на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да показват еднакъв брой точки.

Решение.Нека обозначим това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни изхода: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Общият брой еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Това означава, че необходимата вероятност

Пример 9.Книгата има 300 страници. Каква е вероятността да има произволно отворена страница сериен номер, кратно на 5?

Решение.От условията на задачата следва, че всички еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, ще бъдат n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето . следователно
, където A - събитието „страница“ има пореден номер, който е кратен на 5".

Пример 10. Хвърлят се два зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 7 или 8?

Решение. Нека обозначим събитията: A - „Хвърлят се 7 точки“, B – „Хвърлят се 8 точки“. Събитие A се предпочита от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) и събитие B се предпочита по 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всички еднакво възможни елементарни резултати са n = 6 2 = 36. Това означава И .

И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие, отколкото получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 30?
2. В урната ачервено и bсини топки, еднакви по размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да бъде синя?
3. Число, което не надвишава 30, е избрано произволно. Каква е вероятността това число да е делител на 30?
4. В урната Асиньо и bчервени топки, еднакви по размер и тегло. Една топка се изважда от тази урна и се оставя настрана. Тази топка се оказа червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. Национално число, което не надвишава 50, е избрано произволно. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара и се изчислява сумата от хвърлените точки. Какво е по-вероятно - да получите общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?

Отговори

1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятност да получите общо 9 точки; p 2 = 27/216 - вероятност да получите общо 10 точки; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Въпроси

1. Как се нарича вероятността от събитие?
2. Каква е вероятността за надеждно събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?

Ясно е, че всяко събитие има различна степен на възможност за възникване (реализиране). За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Това число се нарича вероятност за събитие.

Вероятност за събитие– е числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.

Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие A, наблюдаван в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m(A) е броят експерименти, в които е настъпило събитие А.

Отношение (1.1)

наречен относителна честотасъбития А в поредицата от извършени експерименти.

Лесно е да проверите валидността на свойствата:

ако A и B са непоследователни (AB=), тогава ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Относителната честота се определя само след серия от експерименти и, най-общо казано, може да варира от серия на серия. Опитът обаче показва, че в много случаи, с увеличаване на броя на експериментите, относителната честота се доближава до определен брой. Този факт на стабилност на относителната честота е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.

Пример 1.19.. Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди от коя страна ще падне отгоре. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре с герба, тоест относителната честота на падане на герба е приблизително 0,5.

Ако с увеличаване на броя на експериментите относителната честота на събитието ν(A) клони към някакво фиксирано число, тогава се казва, че събитие А е статистически стабилнои това число се нарича вероятност за събитие А.

Вероятност за събитието Аизвиква се някакво фиксирано число P(A), към което относителната честота ν(A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е.

Това определение се нарича статистическо определяне на вероятността .

Нека разгледаме определен стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1, ω 2, …, ω i, …. Да приемем, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоено определено число - р i, характеризиращо степента на възможност за възникване на дадено елементарно събитие и удовлетворяващо следните свойства:

Това число p i се нарича вероятност за елементарно събитиеωi.

Нека сега А е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и нека съответства на определено множество

В тази обстановка вероятност за събитие А наричаме сумата от вероятностите за елементарни събития в полза на A(включени в съответния комплект А):

(1.4)

Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:

И ако AB = (A и B са несъвместими),

тогава P(A+B) = P(A) + P(B)

Действително, съгласно (1.4)

В последното отношение се възползвахме от факта, че нито едно елементарно събитие не може да благоприятства две несъвместими събития едновременно.

Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва методи за определяне на p i; те трябва да се търсят по практически причини или да се получат от съответен статистически експеримент.

Като пример, разгледайте класическата схема на теорията на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Нека допълнително приемем, че всички тези елементарни събития са еднакво възможни, т.е. вероятностите за елементарни събития са равни на p(ω i)=p i =p. От това следва, че

Пример 1.20. При хвърляне на симетрична монета, получаването на глави и опашки е еднакво възможно, техните вероятности са равни на 0,5.

Пример 1.21. При хвърляне на симетричен зар всички лица са еднакво възможни, техните вероятности са равни на 1/6.

Сега нека събитие А се предпочита от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати, благоприятни за събитие А. Тогава

получено класическо определение на вероятността: вероятността P(A) за събитие A е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитие A към общ бройрезултати

Пример 1.22. Урната съдържа m бели топки и n черни топки. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение. Общият брой на елементарните събития е m+n. Всички те са еднакво вероятни. Благоприятно събитие А, от което m. следователно .

Следните свойства следват от определението за вероятност:

Имот 1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В този случай t=p,следователно,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Имот 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В този случай Т= 0, следователно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Имот 3.Има вероятност от случайно събитие положително число, ограден между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m/n≤1, следователно вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Сравнявайки дефинициите на вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиниция на вероятност не изисква извършване на тестванев действителност; определението за относителна честота предполага, че действително са проведени тестове. С други думи, вероятността се изчислява преди експеримента, а относителната честота - след експеримента.

Въпреки това, изчисляването на вероятността изисква предварителна информация за броя или вероятностите на елементарни резултати, благоприятни за дадено събитие. При липса на такава предварителна информация се използват емпирични данни за определяне на вероятността, т.е. относителната честота на събитието се определя въз основа на резултатите от стохастичен експеримент.

Пример 1.23. Отдел технически контрол открит 3нестандартни части в партида от 80 произволно избрани части. Относителна честота на поява на нестандартни части r(A)= 3/80.

Пример 1.24. Според предназначението.произведени 24 стрелба, а бяха регистрирани 19 попадения. Относителна степен на попадение на целта. r(A)=19/24.

Дългосрочните наблюдения показват, че ако експериментите се провеждат при еднакви условия, във всеки от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че в различни експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се извършват), варирайки около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно число може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.

Връзката между относителната честота и вероятността ще бъде описана по-подробно и по-точно по-долу. Сега нека илюстрираме свойството стабилност с примери.

Пример 1.25. Според шведската статистика относителната честота на ражданията на момичета за 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, като се започне с януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относителната честота варира около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойност за вероятността да имате момичета.

Имайте предвид, че статистическите данни от различни страни дават приблизително една и съща стойност на относителната честота.

Пример 1.26.Многократно са провеждани експерименти с хвърляне на монети, при които е преброен броят на появяванията на „герба“. Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.

Вероятността е степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на дадено събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните причини над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) може да бъде по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на „нива“ на вероятност.
Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина - теория на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика концепцията за вероятност е формализирана като числена характеристика на събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), приемащи стойности от
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значение
(\displaystyle 1)
Съответства на надеждно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е
(\displaystyle p)
Тогава вероятността да не се случи е равна на
(\displaystyle 1-p)
По-специално, вероятността
(\displaystyle 1/2)
Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитие.
Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за еднаква вероятност за резултати. Вероятността е съотношението на броя на благоприятните резултати за дадено събитие към общия брой еднакво възможни резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се срещат само тези две възможности и че те са еднакво възможни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако някакво събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някакъв ограничен регион на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази възможна област е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на областта на всички възможни точки.
Емпиричното „дефиниране“ на вероятността е свързано с честотата на възникване на дадено събитие въз основа на факта, че с достатъчно голям бройчестотата на тестване трябва да клони към обективната степен на вероятност от това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично като специален случайабстрактна теория на установената мярка. въпреки това връзкаМежду абстрактната мярка и вероятността, изразяваща степента на възможност за настъпване на дадено събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не изглежда практически възможно или подходящо. IN квантова физикасамите описани процеси имат вероятностен характер.

Необходимостта да се действа по вероятности възниква, когато вероятностите за някои събития са известни и е необходимо да се изчислят вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития.

Събирането на вероятности се използва, когато трябва да изчислите вероятността за комбинация или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития АИ бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Това означава, че А + б– събитие, което се случва тогава и само ако събитието се е случило по време на наблюдение Аили събитие б, или едновременно АИ б.

Ако събития АИ бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на един опит се изчислява чрез добавяне на вероятности.

Теорема за добавяне на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Например по време на лов се произвеждат два изстрела. Събитие А– уцелване на патица с първия изстрел, събитие IN– попадение от втори удар, събитие ( А+ IN) – попадение от първи или втори удар или от два удара. Така че, ако две събития АИ IN– несъвместими събития, значи А+ IN– настъпването на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1.В кутия има 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да се гледа.

Решение. Да приемем, че събитието А- „червената топка е взета“ и събитието IN- „Синята топка беше взета.“ Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Нека намерим вероятността за събитието А:

и събития IN:

събития АИ IN– взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава топките не могат да бъдат взети различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:

Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията представляват пълен набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се отбелязват с малки букви стрИ р. по-специално,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2.Мишената в стрелбището е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишената в първа зона е 0,15, във втора зона – 0,23, в трета зона – 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:

Нека намерим вероятността стрелецът да пропусне целта:

За по-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране, така и умножение на вероятности, вижте страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".

Събиране на вероятности за взаимно едновременни събития

Две случайни събития се наричат съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне заровесъбитие АЧислото 4 се счита за разгърнато и събитието IN– хвърляне на четно число. Тъй като 4 е четно число, двете събития са съвместими. На практика има проблеми с изчисляването на вероятностите за настъпване на едно от взаимно едновременните събития.

Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития има следната форма:

От събитията АИ INсъвместим, събитие А+ INвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:

Събитие Аще се случи, ако се случи едно от двете несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:

При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията АИ INможе да бъде:

взаимно независими;
взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула за вероятност за взаимно зависими събития:

Ако събития АИ INса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е:

Пример 3.В автомобилните състезания, когато карате първата кола, имате по-голям шанс да спечелите, а когато карате втората кола. намирам:

вероятността и двете коли да спечелят;
вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията А(първата кола печели) и IN(втората кола ще спечели) – независими събития. Нека намерим вероятността и двете коли да спечелят:

2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:

Решете сами проблема със събирането на вероятностите и след това вижте решението

Пример 4.Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герба на първата монета. Събитие б- загуба на герба на втората монета. Намерете вероятността за събитие В = А + б .

Умножаване на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.

В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятност за едновременно възникване на две независими събития АИ INе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5.Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да се появи и трите пъти.

Решение. Вероятността гербът да се появи при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Нека намерим вероятността гербът да се появи и трите пъти:

Решете сами задачи за умножение на вероятности и след това погледнете решението

Пример 6.Има кутия с девет нови тенис топки. За игра се вземат три топки, а след играта се връщат обратно. При избора на топки, играните топки не се разграничават от неиграните топки. Каква е вероятността след три игри да не останат неизиграни топки в полето?

Пример 7. 32 букви от руската азбука са написани на изрязани карти с азбука. Пет карти се изтеглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по ред на появяване. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8.От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от различни цветове.

Пример 9.Същата задача като в пример 8, но всяка карта, след като бъде премахната, се връща в тестето.

По-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития, можете да намерите на страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".

Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане от 1 на произведението на вероятностите за противоположни събития, тоест по формулата:

Пример 10.Товарите се доставят с три вида транспорт: речен, железопътен и автомобилен транспорт. Вероятността товарът да бъде доставен с речен транспорт е 0,82, с железопътен транспорт 0,87, с автомобилен транспорт 0,90. Намерете вероятността товарът да бъде доставен от поне един от три видатранспорт.

вероятност- число между 0 и 1, което отразява шансовете за настъпване на случайно събитие, където 0 е пълната липса на вероятност събитието да се случи, а 1 означава, че въпросното събитие определено ще се случи.

Вероятността за събитие E е число от до 1.
Сумата от вероятностите за взаимно изключващи се събития е равна на 1.

емпирична вероятност- вероятност, която се изчислява като относителната честота на събитие в миналото, извлечена от анализа на исторически данни.

Вероятността от много редки събития не може да бъде изчислена емпирично.

субективна вероятност- вероятност, основана на лична субективна оценка на дадено събитие без оглед на исторически данни. Инвеститорите, които вземат решения за покупка и продажба на акции, често действат въз основа на съображения за субективна вероятност.

предварителна вероятност -

Шансът е 1 в... (коефициенти), че дадено събитие ще се случи чрез концепцията за вероятност. Вероятността за възникване на събитие се изразява чрез вероятност, както следва: P/(1-P).

Например, ако вероятността за събитие е 0,5, тогава шансът за събитието е 1 от 2, защото 0,5/(1-0,5).

Шансът събитието да не се случи се изчислява по формулата (1-P)/P

Непоследователна вероятност- например цената на акциите на компания А отчита възможно събитие Е с 85%, а цената на акциите на компания Б взема предвид само 50%. Това се нарича непоследователна вероятност. Според холандската теорема за залагания, непоследователната вероятност създава възможности за печалба.

Безусловна вероятносте отговорът на въпроса „Каква е вероятността събитието да се случи?“

Условна вероятност- това е отговорът на въпроса: "Каква е вероятността за събитие А, ако събитие Б се случи." Условната вероятност се означава като P(A|B).

Съвместна вероятност- вероятността събития А и Б да се случат едновременно. Означава се като P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило за сумиране на вероятностите:

Вероятността събитие А или събитие Б да се случи е

P (A или B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ако събития A и B са взаимно изключващи се, тогава

P (A или B) = P(A) + P(B)

Независими събития- събития A и B са независими ако

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тоест, това е поредица от резултати, където стойността на вероятността е постоянна от едно събитие до следващо.
Хвърлянето на монета е пример за такова събитие - резултатът от всяко следващо хвърляне не зависи от резултата от предишното.

Зависими събития- това са събития, при които вероятността за настъпване на едно зависи от вероятността за настъпване на друго.

Правилото за умножаване на вероятностите за независими събития:
Ако събития A и B са независими, тогава

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило за пълна вероятност:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" са взаимно изключващи се събития

очаквана стойностслучайна променлива е средната стойност на възможните резултати от случайна променлива. За събитие X, очакването се означава като E(X).

Да кажем, че имаме 5 стойности на взаимно изключващи се събития с определена вероятност (например доходът на компанията е бил такава и такава сума с такава вероятност). Очакваната стойност е сумата от всички резултати, умножена по тяхната вероятност:

Дисперсията на случайна променлива е очакването на квадратни отклонения на случайна променлива от нейното очакване:

s 2 = E( 2 ) (6)

Условно очакване(условна очаквана стойност) - очакването на случайна величина X, при условие, че събитието S вече е настъпило.