Стукалова Надежда Василиевна
Място на работа, длъжност:
МБОУ СОУ №15, учител по математика
Тамбовска област
Характеристики на урока (урок)
Ниво на образование:
Средно (пълно) общо образование
Целева аудитория:
ученик (студент)
Целева аудитория:
учител (учител)
Клас(ове):
Артикул(и):
Алгебра
Артикул(и):
Математика
Цел на урока:
Тип урок:
Комбиниран урок
Ученици в класа (аудитория):
Използвани учебници и учебни помагала:
А. Г. Мордкович, алгебра, 9 клас, учебник, 2011 г
А. Г. Мордкович, алгебра, 9 клас, задачник, 2011 г
S.A. Теляковски, алгебра 9 клас, учебник, 2009 г
Използвана методическа литература:
Мирошин, В.В. Решаване на задачи с параметри: Теория и практика / V.V. Мирошин - М.: Изпит, 2009.
Л. В. Кузнецова Сборник задачи за изпита
Използвано оборудване:
Компютър, филмов проектор
Кратко описание:
План на урока: 1. Организационен момент. 2. Обобщение и систематизиране на знанията (помнете необходимите и достатъчни условия за местоположението на корените на квадратен трином на числовата ос). 3. Решаване на задачи с параметри (работа в групи). 4. Самостоятелна работапоследвано от проверка. 5. Обобщаване. 6. Домашна работа.
Обобщение на урока
по темата
„Местоположение на корените на квадратния тричлен
в зависимост от стойностите на параметрите"
учител по математика Стукалова Н.В. MBOU средно училище № 15
Мичуринск - научен град на Руската федерация 2011 г
Цел на урока:
Развиват практически умения на учениците при решаване на задачи с параметри;
Подгответе учениците за успешно полагане на Държавния изпит по математика;
Развиване на изследователската и познавателна дейност на учениците;
Развийте интерес към математиката;
Развийте математическите способности на учениците.
План на урока:
1. Организационен момент.
2. Обобщение и систематизиране на знанията (помнете необходимите и достатъчни условия за местоположението на корените на квадратен трином на числовата ос).
3. Решаване на задачи с параметри (работа в групи).
4. Самостоятелна работа с последваща проверка.
5. Обобщаване.
6. Домашна работа.
Прогрес на урока.
1. Организационен момент.
Учителят обявява темата на урока, поставя цели и задачи на учениците и съобщава плана на урока.
Проблемите с параметрите създават големи трудности. Това се дължи на факта, че решаването на подобни задачи изисква не само познаване на свойствата на функциите и уравненията, способност за извършване на алгебрични трансформации, но и висока логическа култура и добра изследователска техника.
Нашият урок е посветен на решаването на задачи за местоположението на корените на квадратен трином на числовата ос.
2. Обобщаване и систематизиране на знанията:
Запомнете необходимите и достатъчни условия за изпълнение различни изискванияместоположение на корените на квадратно уравнение спрямо дадени точки или интервали.
След като учениците отговорят, се показват слайдове с правилния отговор.
1. Местоположението на корените от двете страни на дадена числова ос
точки.
състояние х 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.
2. Разположението на корените от двете страни на дадена отсечка.
За да могат корените на квадратно уравнение за a ≠ 0 да удовлетворяват
състояние х 1< m, х 2 < n, где m системи от неравенства 3.
Местоположението на корените от едната страна на дадения на числовата ос
Точки.
За да могат корените на квадратно уравнение за a ≠ 0 да удовлетворяват състояние m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m, е необходимо и достатъчно да се удовлетвори системата от неравенства Ако вляво от точката x = m, е необходимо и достатъчно да се направи системи от неравенства 4. Корените принадлежат на даден интервал. интервал (m;n), е необходимо и достатъчно за изпълнение на системата неравенства 5. Принадлежност на корени към дадена отсечка. За да принадлежат корените на квадратно уравнение за a ≠ 0 интервал, е необходим и достатъчен за изпълнение на системата неравенства 3. Решаване на задачи с параметри. Учениците са разделени на 4 групи. Във всяка група има деца, които са по-успешни по алгебра. Всяка група започва да решава задача, която отговаря на номера на нейната група. След обсъждане на хода на решаването на проблема, по един представител от всяка група идва на дъската и начертава решението на проблема на своята група и обяснява решението му (на сгъваеми дъски). По това време децата трябва да решават задачи от друга група (можете да получите съвет от учителя). Задача No1. При какви стойности на параметрите Адали единият корен на уравнението (12a + 7)x 2 + (9a - 42)x + +11 - 3a = =0 е по-голям от 1, а другият корен е по-малък от 1? Решение. Графиката на функцията y = f(x), където f(x) = (12a + 7)x 2 + (9a - 42)x + +11 - 3a, с a ≠ - 7/12 е парабола, клоновете на която при a > - 7/12 са насочени нагоре, при a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра Аудовлетворяват неравенството (12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3). Проблем No2. Намерете стойностите на параметъра a, при които корените на уравнението (1+a)x 2 - 3ax +4a = 0 са по-големи от 1. Решение. За a≠-1 даденото уравнение е квадратно и D= -a(7a+16). Получаваме система, от която -16/7≤а≤ -1. Стойностите на параметрите, при които корените на това уравнение за a ≠ - 1 са по-големи от 1, принадлежат на интервала [-16/7; -1). Когато a = -1, даденото уравнение има формата 3x - 4 = 0 и единствен корен Отговор: [-16/7; -1] Проблем No3. При какви стойности на параметъра k са корените на уравнението (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0 принадлежат на интервала (0;1)? Решение. За k≠2 желаните стойности на параметрите трябва да отговарят на системата от неравенства Където D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x in = k/(k-2). Тази система няма решения. За k = 2 даденото уравнение е -4x+1 = 0, единственият му корен е x = ¼, което принадлежи на интервала (0;1). Задача No4. За какви стойности на a двата корена на уравнението x 2 -2ax + a 2 -a = 0 са разположени на сегмента? Необходимите стойности трябва да отговарят на системата от неравенства където D= 4a 2 -4(a 2 -a) = 4a, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, x b = a. Единственото решение на системата е стойността a = 4. 4.
Самостоятелна работа (контролна и тренировъчна). Учениците работят по групи, като изпълняват една и съща версия, тъй като материалът е много сложен и не всеки може да го направи. номер 1. За какви стойности на параметъра a и двата корена на уравнението x 2 -2ax + a 2 - 1 =0 принадлежат на интервала (-2;4)? номер 2. Намерете всички стойности на k, за които един корен на уравнението (k-5)x 2 -2kx+k-4=0 е по-малко от 1, а другият корен е по-голям от 2. номер 3. За какви стойности на a числото 1 се намира между корените на квадратния трином x 2 + (a + 1)x - a 2? Когато времето изтече, се показват отговорите. Извършва се самопроверка на самостоятелната работа. 5.
Обобщение на урока. Довършете изречението. „Днес в час...“ „Спомням си…“ „Бих искал да отбележа...“ Учителят анализира целия ход на урока и неговите основни точки, оценява дейността на всеки ученик в урока. 6. домашна работа (от сборник със задачи за подготовка за държавен изпит в 9 клас на Л. В. Кузнецов) При каква стойност на параметъра a е един корен от уравнението е повече от 1, а другото е по-малко от 1? Помислете за функцията - Цел на работата: Задачи: Хипотеза: Използването на графичния метод при нетрадиционни задачи с параметър опростява математическите изчисления и е рационален начин за решаване. тогава и само тогава: 1. И двата корена по-малко числоа, 2. Корените лежат на противоположните страни на числото A, тогава и само тогава: тогава и само тогава: 3. И двата корена са по-големи от числото А, т.е Намерете всички стойности на параметъра a, за които има един корен на уравнението едното е по-голямо от 1, а другото е по-малко от 1. За какви стойности на параметъра прави уравнението има два различни корена от един и същи знак? -6
-2
3
а
1. И двата корена лежат между точките A и B, т.е тогава и само тогава: 2. Корените лежат на противоположните страни на сегмента тогава и само тогава: 3. Единият корен лежи извън сегмента, а другият върху него, т.е тогава и само тогава: Разгледайте уравнението по броя на корените в зависимост от параметъра. уравнението няма решения. има едно решение. Разгледайте уравнението по броя на корените в в зависимост от параметъра. Ако единият корен лежи на сегмент, а другият вляво от него. Ако единият корен лежи на сегмент, а другият е вдясно от него. оригиналното уравнение ще има два различни корена. при което уравнението има три различни корена. Отговор: кога при което първоначалното уравнение ще има две различни корени. уравнението има четири различни корена. Квадратният тричлен е основната функция на училищната математика - между другото, тя не е най-примитивната. Способността да използва предоставените му ресурси за решаване на проблеми до голяма степен характеризира нивото на математическото мислене на ученик по училищна алгебра. Тази статия предоставя обосновка на тази теза и предоставя примери за конкретни приложения на свойствата на квадратична функция. Стимулиращият фактор е фактът, че когато се решава проблем с параметри, рано или късно е необходимо (и успява) да се преформулира проблемът по отношение на квадратичен трином и да се реши, като се използват свойствата на тази универсална функция. Изучаване на квадратния трином Определение.
Квадрат тричлен
спрямо променлива xсе нарича израз от формата f(x) = ax 2 + bx + c (1), където a, b, cR, a0. Квадратният тричлен е обикновен полином от степен 2. Обхватът на въпросите, формулирани по отношение на квадратен трином, неочаквано се оказва изключително широк. Тъй като задачите, свързани с изучаването на квадратния трином, традиционно заемат почетно и видно място в писмените окончателни училищни и университетски приемни изпити, е много важно ученикът (бъдещият кандидат) да се научи на неформални (т.е. творчески) знания за различни техники и методи за такова изследване. Тази методическа разработка фиксира основните твърдения относно квадратичния трином (теорема на Виета, местоположението на корените спрямо дадени точки на числовата ос, техниката за работа с дискриминанта) и решава проблеми различни видовеи различни нива на трудност. Основният идеологически извод е, че в училищната математика има фрагменти, богати на дълбоко съдържание, които са достъпни за ученика и не изискват използването на инструменти за математически анализ и други раздели на така наречената „висша математика“. Графиката на тринома (1) е парабола; при 0 - нагоре. Местоположението на параболата спрямо оста Ox зависи от стойността на дискриминанта D = b 2 - 4ac: за D>0 има две точки на пресичане на параболата с оста Ox (два различни реални корена на тринома) ; при D=0 - една точка (двоен реален корен); при D 0 - над оста Ox). Стандартната техника е тричленът да се представи по следния начин (като се използва перфектен квадрат): f(x) = ax 2 + bx + c = Същата трансформация ви позволява незабавно да решите най-простия проблем на екстремум: намерете най-голямата (за 0) стойност на функция (1); екстремната стойност е достигната в точката и е равна на Едно от основните съждения за квадратния трином е Теорема 1 (Виета). Ако x 1, x 2 са корените на тричлена (1), тогава (Формули на Виета). Теоремата на Vieta може да се използва за решаване на много проблеми, по-специално тези, при които е необходимо да се формулират условия, които определят знаците на корените. Следващите две теореми са преки следствия от теоремата на Виета. Теорема 2. За да бъдат корените на квадратния трином (1) реални и да имат еднакви знаци, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия: D = b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 = > 0, Освен това и двата корена са положителни за x 1 + x 2 = > 0, и двата корена са отрицателни при x 1 + x 2 = Теорема 3. За да бъдат корените на квадратния трином (1) реални и да имат различни знаци, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия: D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 = в този случай положителният корен има по-голям модул при x 1 + x 2 = > 0, и отрицателният корен има по-голям модул при x 1 + x 2 = Доказаните по-долу теореми и следствия могат (и следователно трябва) да се прилагат ефективно при решаване на проблеми с параметри. Теорема 4. За да бъдат и двата корена на квадратния трином (1) по-малки от числото M, т.е. на числовата ос корените да лежат вляво от точката M, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия: (фиг. 1, а и 1, б). Доказателство. Необходимост. Ако тричленът (1) има реални корени x 1 и x 2 (може би съвпадащи), x 1 x 2 и x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. По формулите на Виета Адекватност Теорема 5. За да може единият от корените на квадратния трином (1) да бъде по-малък от числото M, а другият по-голям от числото M, т.е. точката M да лежи в интервала между корените, е необходимо и достатъчно е да бъдат изпълнени следните условия: (фиг. 2,а и 2,б). Доказателство. Необходимост. Ако триномът (1) има реални корени x 1 и x 2 , x 1 M , тогава (x 1 - M)(x 2 - M), следователно Адекватност. Нека af(M) , или , тогава (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откъдето Теорема 6. За да могат и двата корена на квадратния трином (1) да са по-големи от числото M, т.е. на числовата ос корените да лежат вдясно от точка M, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия: (фиг. 3,а и 3,б). Доказателство.
Необходимост. Ако тричленът (1) има реални корени x 1 и x 2 (може би съвпадащи), x 1 x 2 и x 1 > M, x 2 > M, тогава , (x 1 -M)(x 2 -M)> 0 , x 1 + x 2 > 2M; в противен случай x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M, следователно, или и т.н. Адекватност. Нека . Ние твърдим от обратното. Да приемем, че , , тогава Следствие 1. За да могат двата корена на квадратния трином (1) да бъдат по-големи от числото M, но по-малки от числото N (M (фиг. 4,а и 4,б). Следствие 2. За да може само по-големият корен от квадратния трином (1) да принадлежи на интервала (M,N), където M по-малкият корен лежи извън сегмента (фиг. 5,а и 5,б). Следствие 3. За да може само по-малкият корен от квадратния трином (1) да принадлежи на интервала (M,N), където M по-големият корен лежи извън сегмента (фиг. 6,а и 6,б). Следствие 4. За да може единият от корените на квадратния трином (1) да бъде по-малък от M, а другият по-голям от N (M (фиг. 7,а и 7,б). Разбира се, аналитичните и геометричните интерпретации на резултатите от теореми 4-6 и следствия 1-4 са еквивалентни и стратегическата цел е да се развият точни умения за превод от един език на друг. Особено важно е да се демонстрира как „визуализацията“ („графичен изглед“) помага за точното записване на формалните условия, необходими и достатъчни за изпълнение на изискванията на задачата. Нека посочим типични проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на доказани теореми (по-общо, те могат да бъдат решени въз основа на свойствата на квадратен трином). Проблем 1. Намерете всички стойности на a, за които уравненията x 2 +ax+1=0 и x 2 +x+a=0 имат поне един общ корен. Решение. И двете уравнения имат абсолютно еднакви корени тогава и само ако коефициентите на съответните квадратни триноми съвпадат (полином от втора степен е напълно определен от двата си корена и съответните коефициенти на тези полиноми са равни), следователно получаваме a=1 . Но ако вземем предвид само реални корени, тогава за a=1 няма такива корени (дискриминантът на съответния трином е отрицателен). За a1 разсъждаваме по следния начин: ако x 0 е коренът на двете уравнения f(x)=0 и g(x)=0, тогава x 0 ще бъде коренът на уравнението f(x)-g(x) =0 (това е само необходимо, но не и достатъчно условие за съществуването на общ корен на две уравнения f(x)=0 и g(x)=0, тъй като уравнението f(x) - g(x)= 0 е техен следствие); изваждаме второто от първото уравнение и получаваме (x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, откъдето, тъй като a1, x=1. по този начин Акодадено уравненията имат общ корен, то той е равен на 1. Нека заместим x = 1 в първото уравнение: 1 + a + 1 = 0 и a = -2. отговор. а = -2. Проблем 2. При колко a сумата от квадратите на корените на уравнението x 2 - ax + a – 1 = 0 ще бъде най-малка? Решение. от Теорема на Виета, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Имаме: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 и = 1 за a=1. отговор. а = 1. Проблем 3. Има ли такива, че корените на полинома f(x)=x 2 +2x+a са реални, различни и двата лежат между -1 и 1? Решение. За да могат двата корена x 1 и x 2 на тричлена f(x) да се съдържат между -1 и 1, е необходимо средноаритметичното на тези корени да се съдържа между -1 и 1: отговор. не Проблем 4. За какви стойности на параметъра a са валидни и двата корена на квадратното уравнение x 2 +(2a+6)x + 4a + 12 = 0 и двата са по-големи от -1? Решение. Теорема 6дава: отговор.
. Проблем 5. За какви стойности на параметъра a са валидни и двата корена на квадратното уравнение x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 и двата са по-малки от -1? Решение. Теорема 4дава: отговор. а > 1. Проблем 6. За какви стойности на параметъра a един корен от квадратното уравнение f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 е по-голям от 3, а другият е по-малък от 2 ? Решение. Нека веднага да отбележим, че a2 (в противен случай уравнението би имало само един корен). Приложимо следствие 4(тук M=2, N=3): Често има проблеми с параметри, при които трябва да определите местоположението на корените на квадратен трином на числовата ос. Въз основа на основните разпоредби и обозначения на предходния параграф, ние разглеждаме следните случаи: 1. Нека е даден квадратен трином, където Геометрична илюстрация е показана на фигури 3.1 и 3.2. 2. Нека е даден квадратен трином, където и е точка мпо оста вол. Неравенство 3. Нека е даден квадратен трином, където и е точката мпо оста вол. След това и двата коня Геометрична илюстрация е показана на фигури 5.1 и 5.2. 4. Нека е даден квадратен трином, където и интервалът (м,
М)
Тогава и двата корена на квадратния трином принадлежат на посочения интервал тогава и само ако са изпълнени следните условия: Геометрична илюстрация е показана на фигури 6.1 и 6.2. 5. Нека е даден квадратен трином, където , са неговите корени и сегмент Геометрична илюстрация е показана на фигури 7.1 и 7.2. Пример.Намерете всички стойности на параметритеа, за всеки от които и двата корена на уравнението Решение.Посочено е в условията на задачата. Че уравнението има два корена, следователно . Разглежданата ситуация е описана от случай 3 и е изобразена на фигура 5.1. и 5.2. Да намерим Като вземем предвид всичко това, нека запишем комбинацията от две системи: Решавайки тези две системи, получаваме . отговор.За всяка стойност на параметъра аот интервала и двата корена на уравнението са по-големи от -2. Пример.При какви стойности на параметритеанеравенство Решение.Ако наборът Xе решението на това неравенство, тогава условието на проблема означава, че интервалът Нека разгледаме всички възможни стойности на параметъра А. 1.Ако а=0, тогава неравенството приема формата 2.Ако Разгледайте случая, когато Решавайки тази система, получаваме Ако Решавайки тази система, получаваме 3.Ако Комбиниране на всички намерени стойности А, ще получим отговора. отговор.За всяка стойност на параметър от интервала Пример.За какви стойности на параметъра a наборът от функционални стойности съдържа сегмента Решение. 1. Ако а) когато а = 1 функция ще приеме формата г =
2, а множеството от неговите стойности се състои от една точка 2 и не съдържа сегмента ; б) когато а =-1 функция ще приеме формата г = -2
х+2
. Неговите много значения 2.Ако Наборът от стойности на функцията е интервалът 3. Ако Решавайки тази система от неравенства, получаваме Комбинирайки решенията, получаваме отговор.При 1. Без изчисляване на корените на квадратното уравнение а) 2. Намерете множеството от стойности на функцията а) 3. Решете уравнения а) 4. При какви стойности на параметрите Адвата корена на уравнението 5. При какви стойности на параметрите Анеравенството е валидно за всички стойности х? 6. При какви стойности на параметрите Анай-малката стойност на функцията На сегмента 7. При какви стойности на параметрите Ауравнение В момента универсалността на вероятностно-статистическите закони става очевидна; те са станали основа за описанието научна картинамир. Съвременната физика, химия, биология, демография, лингвистика, философия, целият комплекс от социално-икономически науки се развиват на вероятностно-статистическа основа. Едно дете се сблъсква с вероятностни ситуации всеки ден в живота си. Редица въпроси, свързани с разбирането на връзката между понятията вероятност и надеждност, проблемът с избора на най-доброто от няколко варианта на решение, оценката на степента на риск и шансовете за успех - всичко това е в сферата на реалните интереси във формирането и саморазвитието на индивида. Всичко това налага запознаването на детето с вероятностните и статистически закони. Цел на курса:запознава студентите с някои закони на теорията на вероятностите и статистически методи за обработка на данни. Цели на курса Запознайте студентите с основния концептуален апарат на теорията на вероятностите. Научете се да определяте вероятността от събития в класическа тестова схема. Въвеждане на методи за първична обработка на статистически данни. Изисквания към нивото на усвояване на учебното съдържание В резултат на усвояването на програмата на курса студентите трябва знам: основни понятия на теорията на вероятностите: тест, резултат от тест, пространство от елементарни събития, случайни, надеждни, невъзможни събития, съвместими и несъвместими събития; условия на класическата тестова схема и определяне на вероятността от събитие в класическата тестова схема; определяне на относителната честота на възникване на събитие и статистическа вероятност; определяне на вариационния ред и основните му числени характеристики. По време на курса студентите трябва да завършат умения: определя всички възможни резултати от тестове, съвместимост и несъвместимост на събития; решаване на теоретични проблеми на вероятността, включващи изчисляване на вероятност в класическа схема за тестване; изчисляване на относителната честота на възникване на дадено събитие; съставяне на статистическо разпределение на извадката и изчисляване на числените й характеристики. Програмата включва развитие в учениците умения: използване на съществуващи алгоритми и при необходимост творческата им обработка в конкретни условия на проблема; самостоятелно решаване на проблеми; използване на обобщени схеми, съдържащи основни определения и формули при решаване на задачи. Обхват на курса:
Предложеният курс е с продължителност 20 часа Теми на урока Брой часове Основни понятия на теорията на вероятностите. Класическа тестова схема. Определяне на вероятността в класически тестов дизайн. Честотата е абсолютна и относителна. Статистическа дефиниция на вероятността. Генерални и извадкови съвкупности. Статистическо разпределение на извадката. Числени характеристики на статистическото разпределение. Статистическа оценка и прогноза. Много хора обичат математиката заради нейните вечни истини: два пъти две винаги е четири, сборът от четните числа е четен, а площта на правоъгълника е равна на произведението на съседните му страни. Във всяка задача, която решихте в часовете по математика, всички получиха един и същ отговор - просто трябваше да не правите грешки в решението. Истинският живот не е толкова прост и еднозначен. Резултатите от много явления не могат да бъдат предвидени предварително, колкото и пълна информация да имаме за тях. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг през следващата година или колко хора в града ще искат да проведат телефонен разговор в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат случаен. Случайността обаче има и свои закони, които започват да се проявяват, когато случайните явления се повтарят многократно. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тя ще излезе с глави приблизително половината от времето, което не може да се каже за две или дори десет хвърляния. Обърнете внимание на думата „приблизително“ – законът не посочва, че броят на главите ще бъде точно 500 или ще бъде между 490 и 510. Не посочва нищо със сигурност, но дава известна степен на увереност, че някакво случайно събитие ще настъпи. Такива модели се изучават от специален клон на математиката - теория на вероятностите. Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашата ежедневието. Това предоставя отлична възможност за експериментално установяване на много вероятностни закони, повтаряйки случайни експерименти много пъти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, комплект домино, рулетка и дори тесте карти. Всеки от тези елементи е свързан с игрите по един или друг начин. Факт е, че шансът се появява тук в най-чистата си форма и първите вероятностни проблеми са свързани с оценката на шансовете на играчите да спечелят. Съвременната теория на вероятностите се е отдалечила от хазартдоколкото геометрията е от проблемите на управлението на земята, но техните реквизити все още остават най-простият и надежден източник на случайност. Упражнявайки се с рулетка и зарове, ще научите как да изчислявате вероятността случайни събитияв реално житейски ситуации, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези и да вземате решения не само в игри и лотарии. Математическата статистика е дял от математиката, който изучава методите за събиране, систематизиране и обработка на резултатите от наблюдения на масови случайни явления за идентифициране на съществуващи модели. В известен смисъл проблемите на математическата статистика са обратни на проблемите на теорията на вероятностите: работа само с експериментално получени стойности случайни променливи, Статистиката има за цел да изложи и провери хипотези за разпределението на тези случайни променливи и да оцени параметрите на тяхното разпределение. Както всеки друг дял от математиката, теорията на вероятностите има свой концептуален апарат, който се използва при формулиране на дефиниции, доказване на теореми и извеждане на формули. Нека разгледаме понятията, които ще използваме в по-нататъшното представяне на теорията. Изпитание– изпълнение на набор от условия. Резултат от теста (елементарно събитие)– всеки резултат, който може да възникне по време на теста. Примери. 1) Пробен период: Резултати от теста:ω 1 – една точка се появява на горната страна на куба; ω 2 – две точки се появяват на горната страна на куба; ω 3 – три точки се появяват на горната страна на куба; ω 4 – четири точки се появяват на горната страна на куба; ω 5 – пет точки се появяват на горната страна на куба; ω 6 – шест точки се появяват на горната страна на куба. Има общо 6 възможни резултата от теста (или 6 елементарни събития). 2) Пробен период:студентът се явява на изпит. Резултати от теста:ω 1 – ученикът е получил лоша оценка; ω 2 – ученикът е получил С; ω 3 – студентът получава B; ω 4 – ученикът получава „А”. Има 4 възможни резултата от теста (или 4 елементарни събития). Коментирайте.
Нотацията ω е стандартната нотация за елементарно събитие; Ще извикаме резултатите този тест еднакво възможно, ако резултатите от изпитанието имат равни шансове за възникване. Пространство на елементарни събития– множеството от всички елементарни събития (резултати от теста), които могат да възникнат по време на теста. В примерите, които разгледахме по-горе, всъщност бяха описани пространствата на елементарни събития от тестови данни. Коментирайте.Броят точки в пространството на елементарните събития (PES), т.е. броят на елементарните събития ще бъде допълнително обозначен с буквата п. Нека разгледаме основната концепция, която ще използваме в бъдеще. Определение 1.1.Едно събитие е колекция от определен брой PES точки. По-нататък ще обозначаваме събитията като цяло с латински букви: А, Б, В. Определение 1.2.Събитие, което може или не може да се случи по време на тест, се нарича случайно събитие. Когато купуваме лотариен билет, може да спечелим или да не спечелим; на следващите избори управляващата партия може да спечели или да не спечели; по време на час може да бъдете извикан или не на дъската и т.н. Това са всички примери за случайни събития, които при едни и същи условия могат или не могат да се появят по време на тест. Коментирайте.Всяко елементарно събитие също е случайно събитие. Определение 1.3.Събитие, което се случва за всеки резултат от изпитание, се нарича надеждно събитие. Определение 1.4.Събитие, което не може да се случи при никакъв резултат от теста, се нарича невъзможно събитие. Пример. 1) Пробен период:Заровете се хвърлят. Събитие А:върху горната повърхност на куба се появява четен брой точки; Събитие B:брой точки, кратен на 3, се появява на горната повърхност на куба; Събитие C: 7 точки се появяват от горната страна на зара; Събитие D:Върху горната страна на куба се хвърлят точки, по-малки от 7. събития АИ INможе или не може да се случи по време на теста, така че това са случайни събития. Събитие СЪСникога не може да се случи, така че е невъзможно събитие. Събитие гвъзниква за всеки резултат от теста, което означава, че това е надеждно събитие. Казахме, че случайни събития при едни и същи условия могат или не могат да се случат. В същото време някои случайни събития имат повече шансове да се случат (което означава, че са по-вероятни - по-близо до надеждни), докато други имат по-малко (те са по-малко вероятни - по-близо до невъзможно). Следователно, като първо приближение, можем да определим вероятността като степента на възможност за настъпване на събитие. Ясно е, че по-вероятните събития ще се случват по-често от по-малко вероятните. Така че можете да сравните вероятностите по честотата, с която се случват събитията. Нека се опитаме да подредим следните събития в специална вероятностна скала по ред на нарастване на вероятността за тяхното възникване. Събитие А:следващата година първият сняг в Хабаровск ще падне в неделя; Събитие B:сандвич, който падна от масата, падна с маслото надолу; Събитие C:при хвърляне на зар ще се появят 6 точки; Събитие D:при хвърляне на зар ще се появи четен брой точки; Събитие E:при хвърляне на зара се появиха 7 точки; Събитие F:При хвърляне на зар ще се появи число, по-малко от 7. И така, в началната точка на нашата скала ще поставим невъзможни събития, тъй като степента на възможност за тяхното възникване (вероятност) е практически равна на 0. По този начин това ще бъде събитие д. В крайната точка на нашата скала ще поставим надеждни събития - Е. Всички останали събития са случайни; нека се опитаме да ги подредим по скалата по степен на възникване. За да направим това, трябва да разберем кои от тях са по-малко вероятни и кои са по-вероятни. Да започнем със събитието г: Когато хвърляме зар, всяка от 6-те страни има равен шанс да бъде на върха. На трите страни на куба има четен брой точки, а на останалите три - нечетен. Това означава, че точно половината от шансовете (3 от 6) са събитието гще се случи. Затова ние ще поставим събитието гв средата на нашата скала. На събитието СЪСсамо един шанс от 6, докато събитието г– три шанса от 6 (както разбрахме). Ето защо СЪСпо-малко вероятно и ще се намира на скалата вляво от събитието г. Събитие Адори по-малко вероятно от СЪС, тъй като седмицата има 7 дни и във всеки от тях с равна вероятностможе да падне първият сняг, така че събитието Аедин шанс от 7. Събитие А, по този начин ще бъде разположен още по-вляво от събитието СЪС. Най-трудното събитие за класиране в скалата е IN. Тук е невъзможно да се изчислят точно шансовете, но можете да се обадите на житейския опит на помощ: сандвичът много по-често пада на пода с лицето надолу (има дори „закон за сандвича“), така че събитието INмного по-вероятно от г, така че на скалата ще го поставим повече вдясно от г. Така получаваме мащаба: E A C D B F невъзможен случаен надежден Изградената вероятностна скала не е съвсем реална - върху нея няма цифрови знаци или деления. Изправени сме пред задачата да се научим да изчисляваме степента на възможност за настъпване (вероятност) на конкретно събитие.
Министерство на образованието и младежката политика на Република Чуваш Автономна институция на Чувашката република "Цивилски селскостопански и технологичен колеж" Направление – физика, математика и информационни технологии Местоположение на корените на квадратния тричлен Завършена работа: Студент 1 курс 14 Б група специалност "Икономика" ръководител: Ешмейкина Ирина Анатолиевна, учител по математика Цивилск 2012 г 1. Въведение. 2. Теоретична част 2.1. Местоположението на корените на квадратен тричлен. 2.2. Десет правила за намиране на корените на квадратен тричлен 3. Практическа част 3.1. Примери за решаване на проблеми 3.2. Местоположението на корените спрямо една точка. 3.3. Местоположението на корените спрямо две или повече точки. 4. Изводи. 5. Използвана литература. 6. Приложения Въведение Уместност: в задачите на държавния изпит (част 2) и единния държавен изпит по математика с подробен отговор (част В) има задачи с параметри, които често създават големи затруднения на учениците. Освен това учениците често изпитват психологически проблеми, страхувайте се от такива проблеми, защото в училище и техническия колеж рядко решават задачи, съдържащи параметри. Трудностите при решаването на проблеми с параметри се дължат на факта, че наличието на параметър ви принуждава да решавате проблема не по шаблон, а да вземете предвид различни случаи, за всеки от които методите за решаване се различават значително един от друг. Много задачи с параметри се свеждат до изучаване на местоположението на корените на квадратен тричлен спрямо дадена точка или даден интервал (отсечка, интервал, лъч). Цел на работата: да се изследва местоположението на корените на квадратен тричлен спрямо дадена точка или даден интервал. Съберете материал по тази тема. Обмислете правилата за местоположението на корените на квадратен тричлен. Решете задачи, като използвате правилата за намиране на корените на квадратен тричлен. Обект на изследване: квадратен тричлен и местоположението на неговите корени. 1. Търсене-колектив. Практическо значение: този материалще помогне при подготовката за Единния държавен изпит за студенти, желаещи да продължат образованието си в университет. Теоретична част 2.1. Местоположение на корените на квадратния тричлен Много проблеми с параметри се свеждат до изучаване на местоположението на корените на квадратен трином спрямо дадена точка или даден интервал: При какви стойности на параметъра корените (или коренът) на квадратно уравнение са по-големи (по-малко от, не повече от, не по-малко от) дадено число; разположени между две дадени числа; не принадлежат на дадените интервали и т.н., и т.н. Графиката на квадратичната функция y = ax²+inx+c има следните позиции спрямо абсцисната ос. https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202">Квадратно уравнение x²+pх+q=0 или не има решение (парабола от тип D), или има един или два положителни корена (C), или има един или два отрицателни корена (A), или има корени с различни знаци (B). Нека анализираме параболата C. За да има корени уравнението, е необходимо дискриминантът D ≥ 0. Тъй като и двата корена на уравнението по конструкция трябва да са положителни, тогава абсцисата на върха на параболата, лежаща между корените, е положителен, xv > 0. Ординатата на върха f(xв) ≤ 0 поради факта, че изисквахме наличието на корени. Ако изискваме изпълнение на условието f(0) > 0, тогава, поради непрекъснатостта на изследваната функция, ще има точка x1(0; xv), така че f(x1) = 0. Очевидно това е по-малък корен на уравнението. И така, като съберем всички условия заедно, получаваме: Квадратното уравнение x² + px + q = 0 има два възможно кратни корена x1, x2 > Разсъждавайки по подобен начин, извеждаме следните правила за местоположението на корените на квадратен трином. 2.2. Десет правила за намиране на корените на квадратен тричлен Правило 1.Квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0 (a ≠няма решения тогава и само когато Д< 0. Правило 2.1.Квадратното уравнение (1) има два различни корена тогава и само ако когато D > 0. Правило 2.2.Тогава квадратното уравнение (1) има два, може би множество корени само когато D ≥ 0. Правило 3.1.Квадратното уравнение (1) има два корена x1< М и х2 >М тогава и само https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> Правило 4.1.Квадратното уравнение x2 + px +q = 0 за a ≠ 0) има две различни корени x1, x2 > M ако и само ако Правило 4.2.Квадратното уравнение има два възможни кратни корена x1,x2 > M ако и само ако Правило 4.3.Квадратното уравнение има два различни корена x1, x2 ≥ M тогава и само когато Правило 4.4.Квадратното уравнение има 2, може би кратни на корена x1, x2 ≥ M тогава и само ако https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src="> Правило 5.1.Квадратното уравнение има 2 различни корена x1, x2< М тогда и Правило 6.1. < N < M < х2 тогда и само когато Правило 6.2.Квадратното уравнение има корени x1 = N< М < х2 тогава и само когато Правило 6.3.Квадратното уравнение има x1 корени< N < M = х2 тогава и само когато Правило 7.1.Квадратното уравнение има x1 корени< m < x2 < M тогда и только когато https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48"> Правило 7.2. ДОквадратното уравнение има корени N< x1 < M < x2 тогда и только когато Правило 8.1. Н < x1 < x2 < M (может быть множество корени на N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98"> Правило 8.3.Квадратното уравнение (1) има различни корени Н≤ x1< x2 ≤ M (может да бъдат кратни корени на N< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда Правило 8.4.Квадратното уравнение (1) има различни корени N ≤ x1< x2 ≤ M (может бъде множество корени N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M), ако и само ако https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98"> Правило 9.Квадратното уравнение има един корен в интервала (N; M), а другият се намира извън този интервал тогава и само ако f (N) f (M)< 0. Правило 10.Квадратното уравнение (1) има единствено решение x1 = x2 > M (x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда Практическа част 3.1. Примери за решаване на проблеми. Пример 1. За какви стойности на a уравнението x² - 2ax + a² + 2a – 3 = 0 а) няма корени; б) има корени с различни знаци; в) има положителни корени; г) има два различни отрицателни корена? Решение: а) Съгласно правило 1, няма решения, когато дискриминантът D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2. b) Съгласно правило 3.1 за M = 0 имаме f(0)=a² + 2a – 3< 0, откуда а(-3;1). в) Съгласно правило 4.2 за M=0 г) Съгласно правило 5.1 за М=0 откъде е< - 3. 3.2. Местоположението на корените спрямо една точка. Пример 2. За какви стойности на параметъра a корените на уравнението x² + 2(a+1)x + a² + a + 1 = 0 лежат на лъча (-2;+∞).
xv = - a – 1 И двата случая са аналитично описани от условията От това следва, че 0 ≤ a< . Пример 3 . Намерете всички стойности на параметъра a, за които корените на квадратния трином x² + x + a са различни и не са по-големи от a. (Приложение 1)
3.3. Местоположението на корените спрямо две или повече точки. Пример 4. При какви стойности на параметъра m са корените на уравнението x² - 2
mx +
m² -1= 0 се съдържат между числата -2 и 4.
Дискриминантът на уравнението D = 4m² - 4m² + 4 = 4 е идеален квадрат. Нека намерим корените на уравнението: x1= m+1, x2= m - 1. Тези корени отговарят на даденото условие, ако Отговор: при m(-1;3). Пример 5. При какви стойности на параметъра a уравнението 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 има различни корени, които удовлетворяват неравенството │x-1│>2. (Приложение 2)
Решаването на квадратни уравнения с параметри може да се запише под формата на схема за изследване на задачи, свързани с местоположението на корените на квадратния трином Ax²+Bx+C. Изследване на случая A = 0 (ако зависи от параметрите). 1. Намиране на дискриминанта D в случай A≠0. 2. Ако D е пълен квадрат на някакъв израз, тогава намерете корените x1, x2 и ги подчинете на условията на задачата. 3. Ако квадратният корен от D не е извлечен, тогава графичен анализ на проблема. 4. Аналитично описание на подходящи случаи на местоположение на парабола, за които се вземат предвид: Ø знак (стойност) на коефициента при x²; Ø знак (стойност) на дискриминанта; Ø знаци (стойности) на квадратичната функция в изследваните точки; Ø местоположение на върха на параболата спрямо изследваните точки. 4. Обединяване на някои неравенства (системи). 5. Решение на получените системи. Намерих 10 правила за местоположението на корените на квадратен тричлен. Решени задачи за местоположението на корените спрямо една точка; местоположение на корените спрямо две или повече точки. Владеенето на техники за решаване на проблеми с параметри може да се счита за критерий за познаване на основните клонове на математиката, нивото на математически и логическо мислене, математическа култура. Използвана литература 1. Мочалов и неравенства с параметри / , .- Чебоксари: Чувашко издателство. Univ., 200s. 2. Кожухов, Методи за решаване на задачи с параметри/ // Математика в училище - 1998. - No6. 3. Седмично учебно-методическо приложение към вестник “Първи септември” “Математика” бр.18, 2002г. Приложение 1 Пример 3 . Намерете всички стойности на параметъра a, за които корените на квадратния трином x² + x + a са различни и не са по-големи от a.
xv= -1/2
Нека намерим дискриминанта D = 1 - 4a. Като се има предвид, че не е извлечен, нека решим примера графично. Нека направим графичен анализ. Тъй като корените x1, x2 на функцията f(x) = x² + x + a са различни и x1≤ a, x2 ≤ a, нейната графика може да има само следните подредби. Нека опишем тези графики аналитично. https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48"> Нека разберем при какво a корените на уравнението са различни, т.е. дискриминантът D=a²-16a е положителен и или двата са по-малки от -1, или и двата са по-големи от 3, или един от тях е по-малък от -1 а другият е по-голям от 3. Графиката на функцията f( x)=2x²+(a-4)x+a+2 в тези случаи има следната подредба: Аналитично тези графики се описват от условията
=
. Това представяне ви позволява лесно да изградите графика, като използвате линейни трансформации на графиката на функцията y=x 2 ; координати на върха на параболата: 
.
.
, или, комбинирайки условията,
, следователно или и т.н.
- противоречие с условието. Ако , тогава (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откъдето 
, af(M) 0 - отново противоречие с условието; остава само възможност х 1
, или, комбинирайки условията, af(M)
, или af(M)
, af(M)0 - противоречие с условието; Остава само възможността, която трябва да се докаже. Теоремата е доказана.
, или, комбинирайки условията,
- противоречие с условието. Ако , то (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откъдето , af(M) 0 - отново противоречие с условието; Остава само възможността x 1 > M, x 2 > M, което трябва да се докаже. Теоремата е доказана.
, или, комбинирайки условията, 
, или, комбинирайки условията,
, или, комбинирайки условията, ;
, или, комбинирайки условията,
; но, според Теорема на Виета,
, Ето защо
,
,
,
.
,
,
, a>1.4. Местоположение на корените на квадратния тричлен в зависимост от параметъра
и точка мпо оста вол. След това и двата коня 
квадратен тричлен 
ще бъде строго по-малко м 
или 
тогава и само когато числата
аИ 
имат различни знаци, т.е 
(Фиг. 4.1 и 4.2.)
квадратен трином ще бъде строго по-голям мако и само ако са изпълнени следните условия:
или 
или 
.
Отсечката лежи в интервала 
ако и само ако са изпълнени следните условия:
повече от -2.
,
или 
се извършва за всякакви 
?
трябва да е вътре в комплекта X, т.е
.
, а решението му ще бъде интервалът 
. В този случай условието е изпълнено и а=0е решението на проблема.
, тогава графиката на дясната страна на неравенството е квадратен тричлен, чиито клонове са насочени нагоре. Решението на неравенството зависи от знака.
. Тогава, за да е валидно неравенството за всички, се изисква корените на квадратния тричлен да са по-малки от числото -1, т.е.
или 
.
, тогава параболата лежи над оста ЗАх, а решението на неравенството ще бъде всяко число от множеството реални числа, включително интервала . Да намерим такива Аот условието:
или 
.
, тогава кога 
решението на неравенството е интервалът, който не може да включва интервала и кога 
това неравенство няма решения.
неравенството е валидно за всяко .
?
, Това
съдържа сегмент, което означава а =-1 е решението на проблема.
, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре, функцията приема най-малката си стойност във върха на параболата 
:
, 
.
, който съдържа сегмента 
, ако са изпълнени следните условия:
.
, тогава клоновете на параболата са насочени надолу, функцията приема най-голямата си стойност във върха на параболата 
. Наборът от стойности на функцията е интервалът 
, който съдържа сегмента, ако са изпълнени следните условия: 
.
.
наборът от стойности на функцията съдържа сегмента.Проблеми за самостоятелно решаване
, намери
, б) 
, V) 
, б) 
, V) 
, G) 
, б) 
лежи на интервала (-5, 4)?
равно на -1?
има ли корени?Карпова Ирина Викторовна
ПРОГРАМА И УЧЕБНИ МАТЕРИАЛИ НА ИЗБИРАЕМА ДИСЦИПЛИНА по математика за ученици от 8-9 клас „Елементи на теорията на вероятностите и математическата статистика“
Обяснителна бележка
Тематично планиране
Текст на ръководството
1. Случайни събития. Как да сравняваме събития?
само когато
където =
https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">
само когато
https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">
Къде .
Нека направим графичен анализ на проблема. Съгласно условията на задачата са възможни само следните два случая за разположение на графиката на функцията f(x) = x² + 2(a+1)x + a² + a + 1 спрямо точката x = -2.
,
,
,
2
. И двата корена са положителни, когато 
(Теорема 6), където
И 
;
(Теорема 4) - тази система няма решения; корените имат различни знаци за (a-1)(a+5) Теорема 5), това е -5 
,
, ако 1-p+q=0. В този случай вторият корен е равен на x 2 =1-p; това означава, че ако , то уравнението sin 2 t +psint+q=0 (4) освен посочените има и корени (при p=2 и двете серии от корени съвпадат).
, Ако
, Това 
, а за p2 няма корени. Ако p=2, тогава q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t= и ако p=-2, тогава x=1, t=.
.
.
.