Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ни позволяват да преминем от сумата на тези ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2. Нека незабавно да отбележим, че не трябва да бъркате формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сбора и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме техните изводи и показваме примери за приложение при конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

Нека запишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси

Формули за сбор и разлика за синуси

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули за сбор и разлика за косинуси

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат ​​съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Нека дадем формулировката за всяка формула.

Дефиниции на формули за суми и разлики на синуси и косинуси

Сума от синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.

Разлика на синусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.

Сума от косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разлика на косинусите на два ъгълае равно на удвоения продукт от синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.

Извеждане на формули за сбор и разлика от синуси и косинуси

За извеждане на формули за сбора и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Нека ги изброим по-долу

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Нека си представим и самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сбор и разлика за sin и cos.

Извеждане на формулата за сбор от синуси

IN сума гряхα + sin β замени α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. получаваме

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз, а към втория - формулата за синуса на ъгловите разлики (вижте формулите по-горе)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете скобите, добавете подобни членове и получете необходимата формула

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.

Извеждане на формулата за разликата на синусите

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Извеждане на формулата за сбор от косинуси

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Извеждане на формулата за разликата на косинусите

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примери за решаване на практически задачи

Първо, нека проверим една от формулите, като заменим конкретни ъглови стойности в нея. Нека α = π 2, β = π 6. Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо ще използваме таблицата с основните стойности на тригонометричните функции и след това ще приложим формулата за сбора на синусите.

Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим разликата между синусите на тези ъгли.

Пример 2. Приложение на формулата за разликата на синусите

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сумата или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат ​​формули за преминаване от сбор към продукт. Формулите за сбора и разликата на синусите и косинусите се използват широко при решаването тригонометрични уравненияи при преобразуване на тригонометрични изрази.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълния триъгълник. Нека дефинираме какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека си припомним това прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположната страна към съседната:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме дефиниции и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намери .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намери .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме проблеми за решаване правоъгълни триъгълници- тоест да намерите неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! IN Опции за единен държавен изпитв математиката има много задачи, в които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.

В тази статия ще говорим за универсално тригонометрично заместване. Включва изразяване на синус, косинус, тангенс и котангенс на всеки ъгъл чрез тангенса на половин ъгъл. Освен това такава подмяна се извършва рационално, тоест без корени.

Първо, ще запишем формули, изразяващи синус, косинус, тангенс и котангенс по отношение на тангенса на половин ъгъл. След това ще покажем извеждането на тези формули. И в заключение, нека да разгледаме няколко примера за използване на универсалното тригонометрично заместване.

Навигация в страницата.

Синус, косинус, тангенс и котангенс през тангенса на половин ъгъл

Първо, нека запишем четири формули, изразяващи синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл през тангенса на половин ъгъл.

Посочените формули са валидни за всички ъгли, при които са определени тангенсите и котангенсите, включени в тях:

Извеждане на формули

Нека анализираме извеждането на формули, изразяващи синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл през тангенса на половин ъгъл. Нека започнем с формулите за синус и косинус.

Нека представим синус и косинус чрез формули за двоен ъгълкак И съответно. Сега изразите И записваме го под формата на дроби със знаменател 1 as И . По-нататък в основата основна тригонометрична идентичностзаместваме единиците в знаменателя със сумата от квадратите на синус и косинус, след което получаваме И . Накрая разделяме числителя и знаменателя на получените дроби на (стойността му е различна от нула при условие ). В резултат на това цялата верига от действия изглежда така:


И

Това завършва извеждането на формули, изразяващи синус и косинус през тангенса на половин ъгъл.

Остава да изведем формули за тангенс и котангенс. Сега, като се вземат предвид получените по-горе формули, и двете формули и , веднага получаваме формули, изразяващи тангенса и котангенса през тангенса на полуъгъла:

И така, извели сме всички формули за универсалното тригонометрично заместване.

Примери за използване на универсално тригонометрично заместване

Първо, нека разгледаме пример за използване на универсално тригонометрично заместване при трансформиране на изрази.

Пример.

Дайте израз към израз, съдържащ само един тригонометрична функция.

Решение.

отговор:

.

Референции.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Образование, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.