Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълния триъгълник. Нека дефинираме какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека ви го напомним прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Когато се приложи към такъв ъгъл, „тъп“ не е обида, а математически термин :-)

Да рисуваме правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на срещуположната страна към съседната страна:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намери .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намери .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! IN Опции за единен държавен изпитв математиката има много задачи, в които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.

Таблица с основни тригонометрични функции за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

От тригонометричните дефиниции на функциите $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ можете да разберете техните стойности за ъгли $0$ и $90$ градуса:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не е дефинирано;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не е дефинирано.

В училищен курс по геометрия, когато изучават правоъгълни триъгълници, намират тригонометричните функции на ъглите $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.

Намерени стойности на тригонометрични функции за посочените ъгли в градуси и радиани, съответно ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) за по-лесно запомняне и използване се въвеждат в таблица, наречена тригонометрична таблица, таблица на основните стойности на тригонометричните функциии т.н.

Когато използвате формули за намаляване, тригонометрична таблицаможе да се разшири до ъгъл $360°$ и съответно $2\pi$ радиана:

Използвайки свойствата на периодичността на тригонометричните функции, всеки ъгъл, който ще се различава от вече известния с $360°$, може да бъде изчислен и записан в таблица. Например тригонометричната функция за ъгъл $0°$ ще има една и съща стойност за ъгъл $0°+360°$, и за ъгъл $0°+2 \cdot 360°$, и за ъгъл $0°+3 \cdot 360°$ и т.н.

С помощта на тригонометрична таблица можете да определите стойностите на всички ъгли на единична окръжност.

В училищен курс по геометрия трябва да запомните основните стойности на тригонометричните функции, събрани в тригонометрична таблица за удобство при решаването на тригонометрични проблеми.

Използване на маса

В таблицата е достатъчно да намерите необходимата тригонометрична функция и стойността на ъгъла или радианите, за които трябва да се изчисли тази функция. В пресечната точка на реда с функцията и колоната със стойността получаваме желаната стойност на тригонометричната функция на дадения аргумент.

На фигурата можете да видите как да намерите стойността на $\cos⁡60°$, която е равна на $\frac(1)(2)$.

Разширената тригонометрична таблица се използва по същия начин. Предимството на използването му е, както вече беше споменато, изчисляването на тригонометричната функция на почти всеки ъгъл. Например можете лесно да намерите стойността $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Таблици на Брадис на основните тригонометрични функции

Възможността за изчисляване на тригонометричната функция на абсолютно всяка стойност на ъгъл за цяло число от градуси и цяло число от минути се осигурява от използването на таблиците на Bradis. Например, намерете стойността на $\cos⁡34°7"$. Таблиците са разделени на 2 части: таблица със стойностите на $\sin$ и $\cos$ и таблица със стойностите на $ \tan$ и $\cot$.

Таблиците на Bradis позволяват да се получат приблизителни стойности на тригонометричните функции с точност до 4 знака след десетичната запетая.

Използване на таблици на Bradis

Използвайки таблиците на Брадис за синуси, намираме $\sin⁡17°42"$. За да направите това, в лявата колона на таблицата със синуси и косинуси намираме стойността на градусите - $17°$, а в горния ред намираме стойността на минутите - $42"$. В тяхното пресичане получаваме желаната стойност:

$\sin17°42"=0,304$.

За да намерите стойността $\sin17°44"$, трябва да използвате корекцията от дясната страна на таблицата. В този случай към стойността $42"$, която е в таблицата, трябва да добавите корекция за $2 "$, което е равно на $0,0006$. Получаваме:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

За да намерим стойността $\sin17°47"$, ние също използваме корекцията от дясната страна на таблицата, само че в този случай вземаме стойността $\sin17°48"$ като основа и изваждаме корекцията за $1"$ :

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Когато изчисляваме косинусите, извършваме подобни действия, но гледаме градусите в дясната колона и минутите в долната колона на таблицата. Например $\cos20°=0,9397$.

Няма корекции за стойности на тангенс до $90°$ и котангенс на малък ъгъл. Например, нека намерим $\tan 78°37"$, което според таблицата е равно на $4,967$.

Референтни данни за тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица на тангенси и котангенси, производни, интеграли, разширения на редове. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.

Геометрична дефиниция

|BD|
- дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.

α е ъгълът, изразен в радиани. Тангенса () тен α

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .) Котангенс (

ctg α

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

Къде
.
;
;
.

п

- цяло.

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
Графика на функцията тангенс, y = tan x
;
;
.

Котангенс

В западната литература котангенсът се означава по следния начин:

Приемат се и следните нотации:

Графика на функцията котангенс, y = ctg x Свойства на тангенса и котангенсаПериодичност Функции y = tg x

и y =

ctg x

са периодични с период π.

Паритет до дължината на срещуположния катет |BC| .Функциите тангенс и котангенс са нечетни.

	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи Свойства на тангенса и котангенса	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи Функции y =
Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата (
- цяло).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y=		-
Спускане	-
Крайности	-	-
Нули, y = 0
Пресечете точки с ординатната ос, x = 0	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи 0	-

Формули

Изрази, използващи синус и косинус

; ;
; ;
;

Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика

Останалите формули са лесни за получаване, например

Произведение на допирателните

Формула за сбор и разлика на тангенси

Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента.

Изрази, използващи комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

; .

.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>

Интеграли

Разширения на сериите

За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, .

Това произвежда следните формули.

В .
при . Къде Bn
;
;
- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
Къде .

Или според формулата на Лаплас:

Обратни функции

Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.

Арктангенс, arctg до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

, Къде

Арктангенс, arctg до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

Аркотангенс, arcctg
Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.

Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберем добре тези, на пръв поглед, сложни понятия (които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да се уверим, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберете концепцията за ъгъл.

Концепция за ъгъл: радиан, градус Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде.

ъгъл

Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!

Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.

Ъгъл (един градус) е централният ъгъл в окръжност, сложен от кръгова дъга, равна на част от окръжността. Така цялата окръжност се състои от „парчета“ от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.

Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.

И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:

Къде е централният ъгъл в радиани.

Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето го:

Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.

Колко радиана има? точно така!

Разбра ли? След това продължете напред и го поправете:

Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:

Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл

И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези в съседство с прав ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус от ъгъл- това е съотношението на противоположния (отдалечен) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).

В нашия триъгълник.

Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

В нашия триъгълник.

Тези определения са необходими запомни! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). не ми вярваш Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете например за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!

За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиус на кръга равно на едно, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равен триъгълникът? точно така Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

На какво е равен триъгълникът? Ами разбира се! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.

На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:

Какво се е променило в в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но той ще бъде само отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

не съществува

не съществува

не съществува

не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формулаза намиране на координатите на точка.

Например, ето кръг пред нас:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. по този начин

И така, в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула и радиусът е равен на едно:

Добре, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?

1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!

1.

Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:

Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни, и като определим, че косинусът тук отнема отрицателна стойности синусът е положителен, имаме:

Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координати на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).

Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:

и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.

Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.

Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за указване корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, указваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез pi)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), това означава, че когато дадена стойностГрадусната мярка на ъглова функция няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме влезли желаната стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18