Хипотеза:смятаме, че съвършенството на формата на пирамидата се дължи на математически закони, вложени във формата му.
цел:След като сте изучили пирамидата като геометрично тяло, обяснете съвършенството на нейната форма.
Задачи:
1. Дайте математическа дефиницияпирамида.
2. Изучаване на пирамидата като геометрично тяло.
3. Разберете какво математическо знание са включили египтяните в своите пирамиди.
Лични въпроси:
1. Какво представлява пирамидата като геометрично тяло?
2. Как може да се обясни уникалната форма на пирамидата от математическа гледна точка?
3. Какво обяснява геометричните чудеса на пирамидата?
4. Какво обяснява съвършенството на формата на пирамидата?
Определение за пирамида.
ПИРАМИДА (от гръцки pyramis, gen. pyramidos) - многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх (чертеж). Въз основа на броя на ъглите на основата пирамидите се класифицират като триъгълни, четириъгълни и др.
ПИРАМИДА - монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога също стъпаловидна или кулообразна). Пирамидите са името, дадено на гигантските гробници на древните египетски фараони от 3-то-2-ро хилядолетие пр.н.е. д., както и древни американски храмови постаменти (в Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), свързани с космологични култове.
Възможно е гръцката дума „пирамида“ да произлиза от египетския израз per-em-us, т.е. от термин, означаващ височината на пирамидата. Изключителният руски египтолог В. Струве смята, че гръцкото "puram...j" идва от древноегипетското "p"-mr".
От историята. След изучаване на материала в учебника „Геометрия” на авторите на Атанасян. Бутузов и други, научихме, че: Многостен, съставен от n-ъгълник A1A2A3 ... An и n триъгълника PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, се нарича пирамида. Многоъгълник A1A2A3...An е основата на пирамидата, а триъгълниците PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 са страничните стени на пирамидата, P е върха на пирамидата, отсечки PA1, PA2,..., PAn са страничните ръбове.
Това определение за пирамида обаче не винаги е съществувало. Например древногръцкият математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнали до нас, Евклид, определя пирамидата като твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.
Но това определение беше критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник.“
Нашата група, сравнявайки тези определения, стигна до извода, че те нямат ясна формулировка на понятието „фондация“.
Разгледахме тези дефиниции и намерихме дефиницията на Адриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своята работа „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е плътна фигура, образувана от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа."
Струва ни се, че последното определение дава ясна представа за пирамидата, тъй като говори за факта, че основата е плоска. Друго определение за пирамида се появява в учебник от 19-ти век: „пирамидата е плътен ъгъл, пресечен от равнина“.
Пирамидата като геометрично тяло.
това. Пирамидата е многостен, едно от чиито лица (основа) е многоъгълник, останалите лица (страни) са триъгълници, които имат един общ връх (върхът на пирамидата).
Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височиначпирамиди.
В допълнение към произволната пирамида има правилна пирамидав основата на който е правилен многоъгълник и пресечена пирамида.
На фигурата има пирамида PABCD, ABCD е нейната основа, PO е нейната височина.
Площ пълна повърхност пирамидата е сумата от площите на всичките й лица.
Пълен = Sside + Smain,Къде отстрани– сумата от площите на страничните лица.
Обем на пирамидата се намира по формулата:
V=1/3Sбас. ч, където Сбас. - основна площ, ч- височина.
 |
|
Апотема ST е височината на страничната повърхност на правилна пирамида.
Площта на страничната страна на правилна пирамида се изразява, както следва: Sстрана. =1/2P ч, където P е периметърът на основата, ч- височина на страничното лице (апотема на правилна пирамида). Ако пирамидата е пресечена от равнина A’B’C’D’, успоредна на основата, тогава:
1) страничните ребра и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;
2) в напречно сечение се получава многоъгълник A’B’C’D’, подобен на основата;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Основи на пресечена пирамида– подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица са трапеци.
Височинапресечена пирамида - разстоянието между основите.
Съкратен обемпирамида се намира по формулата:
V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява по следния начин: Sside = ½(P+P'). ч, където P и P’ са периметрите на основите, ч- височина на страничната повърхност (апотема на правилна пресечена пирамида
Сечения на пирамида.
Сеченията на пирамида с равнини, минаващи през нейния връх, са триъгълници.
Сечение, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамида, се нарича диагонално сечение.
Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава неговата следа към равнината на основата на пирамидата ще бъде тази страна.
Разрез, минаващ през точка, разположена на лицето на пирамидата и дадена следа на сечението върху основната равнина, тогава конструкцията трябва да се извърши, както следва:
· намира пресечната точка на равнината на дадено лице и следата от сечението на пирамидата и я обозначава;
постройте права линия, минаваща през дадена точкаи получената пресечна точка;
· повторете тези стъпки за следващите лица.
, което съответства на съотношението на краката правоъгълен триъгълник 4:3. Това съотношение на краката съответства на добре познатия правоъгълен триъгълник със страни 3:4:5, който се нарича "перфектен", "свещен" или "египетски" триъгълник. Според историците на "египетския" триъгълник е придадено магическо значение. Плутарх пише, че египтяните сравняват природата на Вселената със „свещен“ триъгълник; те символично оприличиха вертикалния катет на съпруга, основата на съпругата и хипотенузата на това, което се ражда от двете.
За триъгълник 3:4:5 е вярно равенството: 32 + 42 = 52, което изразява Питагоровата теорема. Не беше ли тази теорема, която египетските свещеници искаха да увековечат, когато построиха пирамида въз основа на триъгълника 3:4:5? Трудно е да се намери повече добър примерза да илюстрира Питагоровата теорема, която е била известна на египтяните много преди откриването й от Питагор.
И така, брилянтните творци Египетски пирамидисе стремяха да удивят далечните потомци с дълбочината на своите знания и те постигнаха това, като избраха „златния“ правоъгълен триъгълник като „основна геометрична идея“ за пирамидата на Хеопс и „свещения“ или „египетския“ триъгълник за пирамидата на Хефрен .
Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидите със златни пропорции.
По математика енциклопедичен речникДадена е следната дефиниция на златното сечение - това е хармонично деление, деление в екстремно и средно съотношение - разделяне на отсечката AB на две части по такъв начин, че по-голямата му част AC е средното пропорционално между цялата отсечка AB и нейната по-малка част NE.
Алгебрично определяне на златното сечение на отсечка AB = aсвежда до решаване на уравнението a: x = x: (a – x), от което x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да бъде изразено като дроби 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, където 2, 3, 5, 8, 13, 21 са числата на Фибоначи.
Геометричната конструкция на златното сечение на сегмента AB се извършва по следния начин: в точка B се възстановява перпендикуляр на AB, върху него се поставя сегментът BE = 1/2 AB, A и E са свързани, DE = BE се съкращава и накрая AC = AD, тогава равенството AB е изпълнено: CB = 2:3.
Златното сечение често се използва в произведения на изкуството, архитектурата и се среща в природата. Ярки примериса скулптурата на Аполон Белведере, Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например подвързиите на много книги имат съотношение на ширина към дължина, близко до 0,618. Като се има предвид разположението на листата на общото стъбло на растенията, можете да забележите, че между всеки два чифта листа третият се намира в златното сечение (слайдове). Всеки от нас „носи“ златното съотношение със себе си „в ръцете си“ - това е съотношението на фалангите на пръстите.
Благодарение на откриването на няколко математически папируса, египтолозите са научили нещо за древните египетски системи за изчисление и измерване. Задачите, съдържащи се в тях, са решавани от писари. Един от най-известните е математическият папирус на Райнд. Изучавайки тези проблеми, египтолозите научиха как древните египтяни се справяха с различните количества, възникващи при изчисляването на мерки за тегло, дължина и обем, които често включваха дроби, както и как боравеха с ъгли.
Древните египтяни са използвали метод за изчисляване на ъгли въз основа на съотношението на височината към основата на правоъгълен триъгълник. Те изразяват всеки ъгъл на езика на градиента. Градиентът на наклона беше изразен като съотношение на цяло число, наречено "отсечено". В „Математиката през епохата на фараоните“ Ричард Пилинс обяснява: „Секедът на правилна пирамида е наклонът на което и да е от четирите триъгълни лица към равнината на основата, измерен чрез n-тия брой хоризонтални единици на вертикална единица издигане . Така тази мерна единица е еквивалентна на съвременния ни котангенс на ъгъла на наклон. Ето защо египетската дума „сецед“ е свързана с нашата съвременна дума „градиент“.
Цифровият ключ към пирамидите се крие в съотношението на тяхната височина към основата. От практическа гледна точка това е най-лесният начин да направите шаблоните, необходими за постоянна проверка на правилния ъгъл на наклон по време на конструкцията на пирамидата.
Египтолозите биха се радвали да ни убедят, че всеки фараон е копнеел да изрази своята индивидуалност, оттук и разликите в ъглите на наклона на всяка пирамида. Но може да има и друга причина. Може би всички те са искали да въплъщават различни символични асоциации, скрити в различни пропорции. Въпреки това, ъгълът на пирамидата на Хефрен (базиран на триъгълника (3:4:5) се появява в трите проблема, представени от пирамидите в математическия папирус на Райнд). Така че това отношение е било добре известно на древните египтяни.
За да бъдем честни към египтолозите, които твърдят, че древните египтяни не са знаели за триъгълника 3:4:5, дължината на хипотенузата 5 никога не е била споменавана. Но задачи по математикавъпросите относно пирамидите винаги се решават въз основа на втория ъгъл - съотношението на височината към основата. Тъй като дължината на хипотенузата никога не се споменава, се стигна до заключението, че египтяните никога не са изчислявали дължината на третата страна.
Съотношенията височина към основа, използвани в пирамидите в Гиза, несъмнено са били известни на древните египтяни. Възможно е тези отношения за всяка пирамида да са избрани произволно. Това обаче противоречи на значението, придавано на символиката на числата във всички видове египетско изобразително изкуство. Много е вероятно подобни връзки да са били значими, защото са изразявали специфични религиозни идеи. С други думи, целият комплекс в Гиза беше подчинен на последователен дизайн, предназначен да отразява определена божествена тема. Това би обяснило защо дизайнерите са избрали различни ъглинаклона на трите пирамиди.
В „Мистерията на Орион“ Баувал и Гилбърт представиха убедителни доказателства, свързващи пирамидите в Гиза със съзвездието Орион, особено звездите от пояса на Орион. Същото съзвездие присъства в мита за Изида и Озирис и има причина всяка пирамида да се разглежда като представяне на едно от трите основни божества - Озирис, Изида и Хор.
„ГЕОМЕТРИЧНИ“ ЧУДЕСА.
Сред грандиозните пирамиди на Египет специално мястовзема Голямата пирамида на фараона Хеопс (Хуфу). Преди да започнем да анализираме формата и размера на Хеопсовата пирамида, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните имали три единици за дължина: „лакът“ (466 мм), който се равнявал на седем „длани“ (66,5 мм), което от своя страна било равно на четири „пръста“ (16,6 мм).
Нека анализираме размерите на Хеопсовата пирамида (фиг. 2), следвайки аргументите, дадени в прекрасната книга на украинския учен Николай Васютински „Златната пропорция” (1990).
Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, напр. GFравно на Л= 233,16 m Тази стойност съответства почти точно на 500 „колена“. Пълно съответствие с 500 „лакътя“ ще настъпи, ако дължината на „лакътя“ се счита за равна на 0,4663 m.
Височина на пирамидата ( з) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 m и в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички отношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценките за височината на пирамидата? Факт е, че строго погледнато пирамидата на Хеопс е пресечена. Горната му платформа днес е с размери приблизително 10 ´ 10 m, но преди век е била 6 ´ 6 m. Очевидно върхът на пирамидата е бил разглобен и не отговаря на оригиналния.
При оценката на височината на пирамидата е необходимо да се вземе предвид това физически фактор, като „чернова” конструкция. За дълъг период от време, под въздействието на колосален натиск (достигащ 500 тона на 1 m2 от долната повърхност), височината на пирамидата намалява спрямо първоначалната си височина.
Каква е била първоначалната височина на пирамидата? Тази височина може да бъде пресъздадена чрез намиране на основната "геометрична идея" на пирамидата.
Фигура 2.
През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен а= 51°51". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгъла съответства на тангентата (tg а), равно на 1,27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата ACдо половината от основата си C.B.(фиг.2), т.е A.C. / C.B. = з / (Л / 2) = 2з / Л.
И тук изследователите бяха за голяма изненада!.png" width="25" height="24">= 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността на tg а= 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъла а= 51°50", т.е. намалете го само с една дъгова минута, след това стойността аще стане равно на 1,272, тоест ще съвпадне със стойността. Трябва да се отбележи, че през 1840 г. Г. Уайз повтаря своите измервания и изяснява, че стойността на ъгъла а=51°50".
Тези измервания доведоха изследователите до следното интересна хипотеза: триъгълникът ACB на Хеопсовата пирамида се основава на връзката AC / C.B. = = 1,272!
Помислете сега за правоъгълния триъгълник ABC, при които съотношението на крака A.C. / C.B.= (фиг. 2). Ако сега дължините на страните на правоъгълника ABCопределям от х, г, z, а също така вземете предвид, че съотношението г/х= , тогава в съответствие с Питагоровата теорема дължината zможе да се изчисли по формулата:
Ако приемем х = 1, г= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Фигура 3."Златен" правоъгълен триъгълник.
Правоъгълен триъгълник, в който страните са свързани като t:golden" правоъгълен триъгълник.
След това, ако вземем за основа хипотезата, че основната „геометрична идея“ на Хеопсовата пирамида е „златен“ правоъгълен триъгълник, тогава от тук лесно можем да изчислим „проектната“ височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Нека сега изведем някои други отношения за Хеопсовата пирамида, които следват от „златната“ хипотеза. По-специално ще намерим съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направите това, вземаме дължината на крака C.B.на единица, тоест: C.B.= 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата GF= 2, и площта на основата EFGHще бъдат равни SEFGH = 4.
Нека сега изчислим площта на страничната повърхност на Хеопсовата пирамида SD. Тъй като височината ABтриъгълник AEFравно на t, тогава площта на страничната повърхност ще бъде равна на SD = t. Тогава общата площ на четирите странични стени на пирамидата ще бъде равна на 4 t, а съотношението на общата външна площ на пирамидата към площта на основата ще бъде равно на златното сечение! това е - основната геометрична мистерия на Хеопсовата пирамида!
Групата на „геометричните чудеса” на Хеопсовата пирамида включва реални и пресилени свойства на връзките между различните измерения в пирамидата.
По правило те се получават в търсене на определени „константи“, по-специално числото „пи“ (числото на Лудолфо), равно на 3,14159...; основата на естествените логаритми "e" (число на Неперово), равна на 2,71828...; числото "F", числото на "златното сечение", равно на например 0,618... и т.н.
Можете да посочите например: 1) Собственост на Херодот: (Височина)2 = 0,5 ст. основен x Апотема; 2) Собственост на В. Цена: Височина: 0,5 чл. база = корен квадратен от "F"; 3) Свойство на M. Eist: Периметър на основата: 2 Височина = "Pi"; в различна интерпретация - 2 супени лъжици. основен : Височина = "Pi"; 4) Свойство на G. Edge: Радиус на вписаната окръжност: 0,5 чл. основен = "F"; 5) Собственост на K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. .основен X апотема) + (v. основен)2). И т.н. Можете да измислите много такива свойства, особено ако свържете две съседни пирамиди. Например като „Свойства на А. Арефьев” може да се посочи, че разликата в обемите на пирамидата на Хеопс и пирамидата на Хефрен е равна на удвоения обем на пирамидата на Микерин...
Много интересни моменти, по-специално за изграждането на пирамиди според „златното съотношение“, са изложени в книгите на Д. Хамбидж „Динамична симетрия в архитектурата“ и М. Гик „Естетика на пропорцията в природата и изкуството“. Нека си припомним, че "златното сечение" е разделянето на сегмент в такова съотношение, че част А е толкова пъти по-голяма от част Б, колкото пъти А е по-малка от цялата отсечка А + В. Съотношението A/B е равно на числото “F” == 1.618. Използването на “златното сечение” е посочено не само в отделните пирамиди, но и в целия комплекс от пирамиди в Гиза.
Най-любопитното обаче е, че една и съща Хеопсова пирамида просто „не може“ да съдържа толкова много чудесни свойства. Вземайки определено свойство едно по едно, то може да бъде „напаснато“, но всички те не се вписват наведнъж - не съвпадат, те си противоречат. Следователно, ако, например, когато проверяваме всички свойства, първоначално вземем една и съща страна на основата на пирамидата (233 m), тогава височините на пирамидите с различни свойства също ще бъдат различни. С други думи, има определено „семейство“ от пирамиди, които външно са подобни на Хеопс, но имат различни свойства. Обърнете внимание, че няма нищо особено чудотворно в „геометричните“ свойства - много възниква чисто автоматично, от свойствата на самата фигура. За „чудо“ трябва да се счита само нещо, което е било очевидно невъзможно за древните египтяни. Това по-специално включва „космически“ чудеса, при които измерванията на Хеопсовата пирамида или пирамидния комплекс в Гиза се сравняват с някои астрономически измервания и се посочват „четни“ числа: милион пъти по-малко, милиард пъти по-малко и така нататък. Нека разгледаме някои "космически" взаимоотношения.
Едно от твърденията е: „ако разделите страната на основата на пирамидата на точната продължителност на годината, ще получите точно 10 милионни от годината.“ земната ос". Изчислете: разделете 233 на 365, получаваме 0,638. Радиусът на Земята е 6378 км.
Друго твърдение всъщност е обратното на предишното. Ф. Ноетлинг посочи, че ако използваме „египетския лакът“, който той самият изобрети, тогава страната на пирамидата ще съответства на „най-точната продължителност на слънчевата година, изразена до най-близката милиардна част от деня“ - 365.540.903.777 .
Твърдението на П. Смит: „Височината на пирамидата е точно една милиардна част от разстоянието от Земята до Слънцето“. Въпреки че обикновено приеманата височина е 146,6 m, Смит я приема за 148,2 m. Според съвременните радарни измервания голямата полуос на земната орбита е 149 597 870 + 1,6 km. Това е средното разстояние от Земята до Слънцето, но в перихелий то е с 5 000 000 километра по-малко, отколкото в афелий.
Едно последно интересно твърдение:
„Как можем да обясним, че масите на пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин са свързани една с друга, както масите на планетите Земя, Венера, Марс?“ Нека изчислим. Масите на трите пирамиди са: Хефрен - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Съотношенията на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земя - 1000; Марс - 0,108.
И така, въпреки скептицизма, отбелязваме добре известната хармония на конструкцията на твърденията: 1) височината на пирамидата, като линия, „отиваща в космоса“, съответства на разстоянието от Земята до Слънцето; 2) страната на основата на пирамидата, най-близо „до субстрата“, тоест до Земята, отговаря за земния радиус и земната циркулация; 3) обемите на пирамидата (четете - масите) съответстват на съотношението на масите на най-близките до Земята планети. Подобен „шифър“ може да бъде проследен например в езика на пчелите, анализиран от Карл фон Фриш. Засега обаче ще се въздържим от коментар по темата.
ФОРМА НА ПИРАМИДА
Известната тетраедрична форма на пирамидите не възниква веднага. Скитите са правили погребения под формата на земни хълмове - могили. Египтяните са строили "хълмове" от камък - пирамиди. Това се случва за първи път след обединението на Горен и Долен Египет, през 28 век пр. н. е., когато основателят на Третата династия фараон Джосер (Зосер) е изправен пред задачата да укрепи единството на страната.
И тук, според историците, важна роля„Новата концепция за обожествяване“ на краля играе роля в укрепването на централната власт. Въпреки че кралските погребения се отличаваха с по-голям блясък, те по принцип не се различаваха от гробниците на придворните благородници, те бяха същите структури - мастаби. Над камерата със саркофага, съдържащ мумията, е изсипан правоъгълен хълм от малки камъни, където след това е поставена малка сграда, изработена от големи каменни блокове - „мастаба“ (на арабски - „пейка“). Фараонът Джосер издига първата пирамида на мястото на мастаба на своя предшественик Санахт. Тя беше стъпаловидна и представляваше видимо преходно стъпало от една архитектурна форма към друга, от мастаба към пирамида.
По този начин мъдрецът и архитект Имхотеп, който по-късно е смятан за магьосник и идентифициран от гърците с бог Асклепий, „възкресява“ фараона. Сякаш шест мастаби бяха издигнати в редица. Освен това първата пирамида е заемала площ от 1125 х 115 метра, с приблизителна височина от 66 метра (според египетските стандарти - 1000 "палми"). Първоначално архитектът планира да построи мастаба, но не продълговата, а квадратна в план. По-късно тя беше разширена, но тъй като разширението беше направено по-ниско, изглеждаше, че има две стъпала.
Тази ситуация не задоволи архитекта и горна платформаИхотеп постави още три огромни плоски мастаби, постепенно намаляващи към върха. Гробницата се е намирала под пирамидата.
Известни са още няколко стъпаловидни пирамиди, но по-късно строителите преминаха към изграждането на тетраедрични пирамиди, които са ни по-познати. Защо обаче не триъгълна или, да речем, осмоъгълна? Косвен отговор дава фактът, че почти всички пирамиди са идеално ориентирани по четирите кардинални посоки и следователно имат четири страни. Освен това пирамидата е била „къща“, обвивка на четириъгълна гробна камера.
Но какво определя ъгъла на наклона на лицата? В книгата „Принципът на пропорциите“ цяла глава е посветена на това: „Какво би могло да определи ъглите на наклона на пирамидите“. По-специално се посочва, че „образът, към който гравитират големите пирамиди Древно царство- триъгълник с прав ъгъл във върха.
В пространството това е полуоктаедър: пирамида, в която ръбовете и страните на основата са равни, ръбовете са равностранни триъгълници." Някои съображения са дадени по този въпрос в книгите на Хамбидж, Гик и други.
Какво е предимството на ъгъла полуоктаедър? Според описания на археолози и историци някои пирамиди са се срутили под собствената си тежест. Това, което беше необходимо, беше „ъгъл на издръжливост“, ъгъл, който е най-енергийно надежден. Чисто емпирично, този ъгъл може да бъде взет от ъгъла на върха в купчина разпадащ се сух пясък. Но за да получите точни данни, трябва да използвате модел. Вземете четири здраво фиксирани топки, трябва да поставите пета върху тях и да измерите ъглите на наклона. Тук обаче можете да направите грешка, така че теоретичното изчисление помага: трябва да свържете центровете на топките с линии (мислено). Основата ще бъде квадрат със страна, равна на два пъти радиуса. Квадратът ще бъде само основата на пирамидата, дължината на ръбовете на която също ще бъде равна на два пъти радиуса.
По този начин, плътно опаковане на топчета като 1:4 ще ни даде правилен полуоктаедър.
Но защо много пирамиди, гравитиращи към подобна форма, въпреки това не я запазват? Пирамидите вероятно остаряват. Противно на известната поговорка:
„Всичко на света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“, сградите на пирамидите трябва да стареят, в тях могат и трябва да се случват не само процеси на външно изветряне, но и процеси на вътрешно „свиване“, което може карат пирамидите да стават по-ниски. Свиването също е възможно, тъй като, както се разкрива от работата на Д. Давидовиц, древните египтяни са използвали технологията за производство на блокове от варовик, с други думи, от „бетон“. Именно подобни процеси биха могли да обяснят причината за разрушаването на пирамидата Медум, намираща се на 50 км южно от Кайро. Той е на 4600 години, размерите на основата са 146 х 146 м, височината е 118 м. „Защо е толкова обезобразен?“ – пита В. Замаровски.
В края на краищата повечето от неговите блокове и облицовъчни плочи са останали на мястото си и до днес, в руини в подножието му." Както ще видим, редица разпоредби дори ни карат да мислим, че известната пирамида на Хеопс също е „сбръчкана". във всеки случай, във всички древни изображения пирамидите са заострени ...
Формата на пирамидите също може да бъде генерирана чрез имитация: някои природни образци, „чудо съвършенство“, да речем, някои кристали под формата на октаедър.
Подобни кристали могат да бъдат диамантени и златни кристали. Характеристика голям брой"припокриващи се" знаци за понятия като фараон, слънце, злато, диамант. Навсякъде - благороден, блестящ (блестящ), велик, безупречен и т.н. Приликите не са случайни.
Слънчевият култ, както е известно, беше важна частрелигия Древен Египет. „Без значение как превеждаме името на най-голямата от пирамидите“, отбелязва едно от съвременните наръчници „Небето на Хуфу“ или „Куфу към небето“, това означаваше, че царят е слънцето. Ако Хуфу, в блясъка на своята сила, си въобразяваше, че е второто слънце, тогава неговият син Джедеф-Ра стана първият от египетските царе, който се нарече „син на Ра“, тоест син на Слънцето. Слънцето в почти всички народи е било символизирано от „слънчевия метал“, златото. " Голям дискярко злато” – така египтяните наричали нашия дневна светлина. Египтяните познаваха перфектно златото, познаваха местните му форми, където златните кристали могат да се появят под формата на октаедри.
Как "примерните формуляри" са интересни тук и " слънчев камък" - диамант. Името на диаманта идва именно от арабския свят, "алмас" е най-твърдият, най-твърдият, неразрушим. Древните египтяни са познавали доста добре диаманта и неговите свойства. Според някои автори дори са използвали бронзови тръби с диамант фрези за пробиване.
В момента основният доставчик на диаманти е Южна Африка, но Западна Африка също е богата на диаманти. Територията на Република Мали дори се нарича „Диамантената земя“. Междувременно на територията на Мали живеят догоните, с които привържениците на хипотезата за палео-посещението възлагат много надежди (виж по-долу). Диамантите не биха могли да са причината за контактите на древните египтяни с този регион. Въпреки това, по един или друг начин, е възможно точно чрез копиране на октаедрите на диамантени и златни кристали, древните египтяни по този начин обожествяват фараоните, „неразрушими“ като диамант и „блестящи“ като злато, синовете на Слънцето, сравними само към най-прекрасните творения на природата.
Заключение:
Изучавайки пирамидата като геометрично тяло, запознавайки се с нейните елементи и свойства, ние се убедихме в основателността на мнението за красотата на формата на пирамидата.
В резултат на нашите изследвания стигнахме до извода, че египтяните, след като са събрали най-ценните математически знания, са ги въплътили в пирамида. Следователно пирамидата наистина е най-съвършеното творение на природата и човека.
СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНАТА ЛИТЕРАТУРА
„Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции\ и др. - 9-то изд.: Образование, 1999г
История на математиката в училище, М: "Просвещение", 1982 г.
Геометрия 10-11 клас, М: "Просвещение", 2000 г
Питър Томпкинс „Тайните на Великата Хеопсова пирамида“, М: „Центрополиграф“, 2005 г.
Интернет ресурси
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).
Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.
Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.
Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.
Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.
Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.
Обем и повърхност на пирамидата
Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:
Свойства на пирамидата
Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да се начертае кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).
Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.
Страничните ребра са равни, когато се образуват с равнината на основата равни ъглиили ако може да се опише кръг около основата на пирамидата.
Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.
Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.
Свойства на правилната пирамида
1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.
2. Всички странични ръбове са равни.
3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.
4. Апотемите на всички странични лица са равни.
5. Площите на всички странични лица са равни.
6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.
7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.
8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.
9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата плоски ъглина върха е равен на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е броят на ъглите в основата на пирамидата.
Връзката между пирамидата и сферата
Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.
Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.
Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.
Свързване на пирамида с конус
Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.
В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.
Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.
Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.
Връзка между пирамида и цилиндър
Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.
Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.
Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.
Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.
Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).
Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).
Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.
Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.
Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.
Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.
Определение. Правоъгълен тетраедъре тетраедър с прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.
Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.
Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.
Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.
Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение. Нека да разгледаме какво е правилната пирамида и какви свойства има. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.
В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение.
Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точката П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точките Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. получаваме птриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи така нататък.
Определение. Многостен RA 1 A 2 ...A n, съставен от п-квадрат A 1 A 2...A nи птриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се извиква п- въглищна пирамида. ориз. 1.
ориз. 1
Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).
Р- върха на пирамидата.
ABCD- основата на пирамидата.
RA- странично ребро.
AB- основно ребро.
От точка Рнека изпуснем перпендикуляра RNкъм базовата равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.
ориз. 2
Пълната повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, т.е. площта на всички странични лица и площта на основата:
S пълен = S страничен + S основен
Пирамидата се нарича правилна, ако:
- основата му е правилен многоъгълник;
- сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.
Обяснение с помощта на пример за правилно четириъгълна пирамида
Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).
Р- върха на пирамидата. Основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка ЗА, точката на пресичане на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.
ориз. 3
Обяснение: в правилното пВ триъгълника центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът е проектиран в центъра.
Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемаи е обозначен з а.
1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;
2. страничните лица са равни равнобедрени триъгълници.
Ще дадем доказателство за тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.
дадени: PABCD- правилна четириъгълна пирамида,
ABCD- квадрат,
RO- височина на пирамидата.
Докажи:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Вижте фиг. 4.
ориз. 4
Доказателство.
RO- височина на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен АД, ВО, СОи НАПРАВЕТЕлежи в него. Значи триъгълници ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.
Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = VO = CO = НАПРАВЕТЕ.
След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака АД, ВО, СОи НАПРАВЕТЕса равни, което означава, че тези триъгълници са равни от двете страни. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = RS = PD.Точка 1 е доказана.
Сегменти ABи слънцеса равни, защото са страни на един и същ квадрат, RA = PB = RS. Значи триъгълници AVRи VSR -равнобедрен и равен от три страни.
По подобен начин намираме, че триъгълниците ABP, VCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, както се изисква да се докаже в параграф 2.
Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:
За да докажем това, нека изберем правилна триъгълна пирамида.
дадени: RAVS- правилно триъгълна пирамида.
AB = BC = AC.
RO- височина.
Докажи: 
. Вижте фиг. 5.
ориз. 5
Доказателство.
RAVS- правилна триъгълна пирамида. това е AB= AC = BC. Нека ЗА- център на триъгълника ABC, Тогава ROе височината на пирамидата. В основата на пирамидата лежи равностранен триъгълник ABC. Забележете това 
.
Триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълна пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:
S страна = 3S RAW
Теоремата е доказана.
Радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m, височината на пирамидата е 4 m. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,
ABCD- квадрат,
r= 3 м,
RO- височина на пирамидата,
RO= 4 м.
Намерете: S страна. Вижте фиг. 6.
ориз. 6
Решение.
Според доказаната теорема,.
Нека първо намерим страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.
След това, m.
Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:
Помислете за триъгълник BCD. Нека М- средата на страната DC. защото ЗА- средно BD, Това 
(м).
Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. т.е. RM- медиана, и следователно височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.
RO- височина на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен ОМ, лежейки в него. Да намерим апотемата RMот правоъгълен триъгълник ROM.
Сега можем да намерим странична повърхностпирамиди:
отговор: 60 м2.
Радиусът на окръжността, описана около основата на правилна триъгълна пирамида, е равен на m. Площта на страничната повърхност е 18 m 2. Намерете дължината на апотемата.
дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,
AB = BC = SA,
Р= m,
S страна = 18 м2.
Намерете: . Вижте фиг. 7.
ориз. 7
Решение.
В правоъгълен триъгълник ABCДаден е радиусът на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник, използвайки закона на синусите.
Познавайки страната на правилен триъгълник (m), намираме неговия периметър.
По теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. След това:
отговор: 4 м.
И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида и доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.
Референции
- Геометрия. 10-11 клас: учебник за студенти образователни институции(основни и нива на профил) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователна подготовка образователни институции/ Шаригин И.Ф.: Дропа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал "Yaklass" ()
- Интернет портал „Фестивал на педагогическите идеи „Първи септември“ ()
- Интернет портал “Slideshare.net” ()
домашна работа
- Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
- Докажете, че несвързаните ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
- Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
- RAVS- правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.
Пирамида. Пресечена пирамида
Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .
Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.
Теореми
1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.
2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.
3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, вписана в основата.
За да изчислите обема на произволна пирамида, правилната формула е:
Къде V- обем;
S база– базова площ;
з– височина на пирамидата.
За правилна пирамида следните формули са правилни:
Къде стр– основен периметър;
з а– апотема;
з- височина;
S пълен
S страна
S база– базова площ;
V– обем на правилна пирамида.
Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида е част от правилна пирамида, затворена между основата и сечаща равнина, успоредна на основата на пирамидата.
Основанияпресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
За пресечена пирамида са валидни следните формули:
(4)
Къде С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;
S пълен– обща повърхност;
S страна– площ на страничната повърхност;
з- височина;
V– обем на пресечена пирамида.
За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:
Къде стр 1 , стр 2 – периметри на основите;
з а– апотема на правилна пресечена пирамида.
Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).
 |
Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ЗАсегмент BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: 
От намираме: 
отговор:
Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.
Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:
отговор: 112 см 3.
Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).
Страничното лице на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 г– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За да намерите DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ЗА– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна добре– радиус, вписан в окръжността и 
ОМ– радиус, вписан в окръжност:
MK = DE.
Според Питагоровата теорема от
Странична лицева зона: 
отговор:
Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи Аи b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.
Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ЗА– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:
По същия начин означава 
По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ЗА– център на окръжност, вписана в трапец.
Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме
Триизмерна фигура, която често се появява в геометрични задачи, е пирамидата. Най-простата от всички фигури в този клас е триъгълна. В тази статия ще анализираме подробно основните формули и свойствата на правилните
Геометрични идеи за фигурата
Преди да преминем към разглеждане на свойствата на правилна триъгълна пирамида, нека разгледаме по-подробно за каква фигура говорим.
Да предположим, че има произволен триъгълник триизмерно пространство. Нека изберем всяка точка от това пространство, която не лежи в равнината на триъгълника и я свържем с трите върха на триъгълника. Имаме триъгълна пирамида.
Състои се от 4 страни, всички от които са триъгълници. Точките, в които се срещат три лица, се наричат върхове. Фигурата също има четири от тях. Линиите на пресичане на две лица са ръбове. Въпросната пирамида има 6 ръба на фигурата по-долу.
Тъй като фигурата е образувана от четири страни, тя се нарича още тетраедър.
Правилна пирамида
По-горе разгледахме произволна фигура с триъгълна основа. Сега да предположим, че начертаваме перпендикулярен сегмент от върха на пирамидата до нейната основа. Този сегмент се нарича височина. Очевидно е възможно да се изпълнят 4 различни височиниза фигурата. Ако височината пресича триъгълната основа в геометричния център, тогава такава пирамида се нарича права.
Права пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник, се нарича правилна. За нея и трите триъгълника, образуващи страничната повърхност на фигурата, са равнобедрени и равни един на друг. Специален случай на правилна пирамида е ситуацията, когато и четирите страни са равностранни еднакви триъгълници.
Нека разгледаме свойствата на правилна триъгълна пирамида и да дадем съответните формули за изчисляване на нейните параметри.
Основна страна, височина, страничен ръб и апотема
Всеки два от изброените параметъра еднозначно определят останалите две характеристики. Нека представим формули, които свързват тези количества.
Да приемем, че страната на основата на правилна триъгълна пирамида е a. Дължината на страничния му ръб е b. Каква ще бъде височината на правилна триъгълна пирамида и нейната апотема?
За височина h получаваме израза:
Тази формула следва от Питагоровата теорема, за която са страничният ръб, височината и 2/3 от височината на основата.
Апотемата на пирамида е височината на всеки страничен триъгълник. Дължината на апотемата a b е равна на:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
От тези формули става ясно, че каквато и да е страната на основата на триъгълна правилна пирамида и дължината на нейния страничен ръб, апотемата винаги ще бъде повече височинапирамиди.
Представените две формули съдържат и четирите линейни характеристики на въпросната фигура. Следователно, при известните две от тях, можете да намерите останалите, като решите системата от писмени равенства.
Обем на фигурата
За абсолютно всяка пирамида (включително наклонена) стойността на обема на ограниченото от нея пространство може да се определи, като се знае височината на фигурата и площта на нейната основа. Съответната формула е:
Прилагайки този израз към въпросната фигура, получаваме следната формула:
Където височината на правилна триъгълна пирамида е h, а нейната основна страна е a.
Не е трудно да се получи формула за обема на тетраедър, в който всички страни са равни една на друга и представляват равностранни триъгълници. В този случай обемът на фигурата се определя по формулата:
Това означава, че се определя еднозначно от дължината на страната a.
Повърхностна площ
Нека продължим да разглеждаме свойствата на правилната триъгълна пирамида. Общата площ на всички лица на фигура се нарича нейната повърхност. Последното може да бъде удобно проучено чрез разглеждане на съответното развитие. Фигурата по-долу показва как изглежда развитието на правилна триъгълна пирамида.
Да приемем, че знаем височината h и страната на основата a на фигурата. Тогава площта на основата му ще бъде равна на:
Всеки ученик може да получи този израз, ако си спомни как да намери площта на триъгълник и също така вземе предвид, че надморската височина на равностранен триъгълник също е ъглополовяща и медиана.
Площта на страничната повърхност, образувана от три еднакви равнобедрени триъгълника, е:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Това равенствоследва от израза на апотемата на пирамидата по отношение на височината и дължината на основата.
Общата площ на фигурата е:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Обърнете внимание, че за тетраедър, в който и четирите страни са еднакви равностранни триъгълници, площта S ще бъде равна на:
Свойства на правилна пресечена триъгълна пирамида
Ако върхът на разглежданата триъгълна пирамида се отреже с равнина, успоредна на основата, тогава останалата долна част ще се нарече пресечена пирамида.
В случай на триъгълна основа, резултатът от описания метод на сечение е нов триъгълник, който също е равностранен, но има по-къса дължина на страната от страната на основата. По-долу е показана пресечена триъгълна пирамида.
Виждаме, че тази цифра вече е ограничена до две триъгълни основии три равнобедрени трапеца.
Да приемем, че височината на получената фигура е равна на h, дължините на страните на долната и горната основа са съответно a 1 и a 2, а апотемата (височината на трапеца) е равна на a b. Тогава повърхността на пресечената пирамида може да се изчисли по формулата:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Тук първият член е площта на страничната повърхност, вторият член е площта на триъгълните основи.
Обемът на фигурата се изчислява, както следва:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
За да се определят недвусмислено характеристиките на пресечена пирамида, е необходимо да се знаят трите й параметъра, както се вижда от дадените формули.